Tài liệu Giáo án Hàm số liên tục doc

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TIỀN GIANG Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
TRƯỜNG THPT VĨNH BÌNH Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

GVHD : Huỳnh Văn Phước
Giáo sinh : Nguyễn Thị Xuân An
Ngày soạn : Thứ sáu 19/03/2010
Ngày dạy : Thứ hai 22/03/2010(Tiết 3)
§8. HÀM SỐ LIÊN TỤC
(2 tiết)
I. Mục tiêu
1. Về kiến thức : Giúp HS nắm được định nghĩa của hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng
và trên một đoạn, tính liên tục của các hàm số thường gặp trên tập xác định của chúng và hiểu được
định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục cũng như ý nghĩa hình học của định lý này.
2. Về kỹ năng : Giúp HS biết cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên
một đoạn và áp dụng định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại nghiệm
của một số phương trình đơn giản.
3. Về tư duy thái độ : Có tinh thần tích cực tham gia bài học, rèn luyện tư duy logic.
II. Chuẩn bị
1. Giáo viên: giáo án, bài giảng, SGK, dụng cụ dạy học
2. Học sinh: SGK, tập ghi chép, xem bài trước ở nhà
III. Phương pháp dạy học
Gợi mở, vấn đáp.
IV. Tiến trình dạy học
1. Ổn định lớp.
2. Nội dung bài mới
HĐ1: Hàm số liên tục tại một điểm
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung chính
- Hoạt động gợi ý vào bài mới: (có minh
họa bằng đồ thị)
1) Cho các hàm số
2

( )f x x=
2
2
2, 1
( ) 3, 1 1
2, 1
x x
g x x
x x

− + ≤ −

= − < <


− + ≥

a) Tính f(1), g(1), so sánh với
1 1
lim ( ),lim ( )
x x
f x g x
→ →
b) Nhận xét về đồ thị mỗi hàm số tại
1x =
2) Xét hàm số
2
2 2
, 1
( )

1
1, 1
x x
x
h x
x
x

−
≠

=
−


=

Ta có
Thực hiện theo gợi ý
của GV
I. Hàm số liên tục tại một điểm
Đại số - Giải tích 11 NC
1

2
1 1
2 2
lim ( ) lim 2
1
x x

x x
h x
x
→ →
−
= =
−
(1) 1h =
Vậy
1
lim ( ) (1)
x
h x h
→
≠
 Ta có các kết quả sau
1
lim ( ) (1)
x
f x f
→
=
1
lim ( )
x
g x
→
không tồn tại
1
lim ( ) (1)

x
h x h
→
≠
Ta nói hàm số
( )f x
liên tục tại
1x
=
,
còn các hàm số
( )g x
và
( )h x
không liên
tục tại
1x =
- Nêu định nghĩa hàm số liên tục tại một
điểm.
 Vậy để xét tính liên tục của hàm số tại
điểm
0
x
ta tiến hành các bước sau:
B1: tính
0
( )f x
B2: tính
0
lim ( )

x x
f x
→
B3: so sánh
0
lim ( )
x x
f x
→
với
0
( )f x
 Khi nào hàm số
( )f x
gián đoạn tại
điểm
0
x
?
- Thực hiện H1, minh họa bằng đồ thị
Xét tính liên tục của hàm số
( ) | |f x x=

tại điểm
0x
=
- Hướng dẫn HS theo dõi Ví dụ 2 SGK
trang 169.
- Thực hiện H2, minh họa bằng đồ thị
Xét tính liên tục của hàm số

2
1, 1
( )
1, 1
x x
f x
x x

+ ≤
=

− >

tại điểm
1x
=
.
Ghi bài
Hàm số gián đoạn khi
không tồn tại
0
lim ( )
x x
f x
→

hoặc
0
0
lim ( ) ( )

x x
f x f x
→
≠
Theo dõi
Theo dõi
Theo dõi và ghi bài
Định nghĩa
Hàm số
( )f x
xác định trên
khoảng
( ; )a b
và
0
( ; )x a b∈
Hàm số
f
liên tục tại điểm
0
x

nếu
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
=

Hàm số không liên tục tại điểm
0
x
gọi là gián đoạn tại điểm
0
x
.
Giải
(0) 0f =
0 0
lim ( ) lim | | 0
x x
f x x
→ →
= =
Do
0
lim ( ) (0)
x
f x f
→
=
nên
( )f x

liên tục tại
0x =
.
Giải
(1) 2f =

2
1 1
lim ( ) lim( 1) 2
x x
f x x
− −
→ →
= + =
1 1
lim ( ) lim( 1) 0
x x
f x x
+ +
→ →
= − =
Suy ra không tồn tại
1
lim ( )
x
f x
→
Vậy hàm số gián đoạn tại
1x
=
.
Hoạt động 2: Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
Hoạt động của GV Hoạt động của
HS
Nội dung chính
II. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên

Đại số - Giải tích 11 NC
2
- Nêu định nghĩa hàm số liên tục trên
một khoảng, trên một đoạn.
 Để chứng minh hàm số liên tục trên
một khoảng ta cần chứng minh hàm
số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng.
 Để chứng minh hàm số liên tục trên
đoạn
[ ; ]a b
trước hết chứng minh hàm
số liên tục trên khoảng
( ; )a b
và kết
hợp với
lim ( ) ( )
x a
f x f a
+
→
=
,
lim ( ) ( )
x b
f x f b
−
→
=
.
 Vậy chứng minh hàm số liên tục

trên nửa khoảng
[ ; ),( ; ],a b a b

[ ; ),( ; ]a b+∞ −∞
thế nào?
- Thực hiện Ví dụ 3 SGK trang 170,
minh họa đồ thị.
Xét tính liên tục của hàm số
2
( ) 1f x x= −
trên đoạn
[ 1;1]−
- Yêu cầu HS làm Ví dụ, minh họa
bằng đồ thị
Chứng minh rằng
1)
2
( ) 8 2g x x= −
liên tục trên đoạn
[-2;2]
2)
( ) 2 1h x x= −
liên tục trên nửa
khoảng
1
[ ; )
2
+∞
Ghi bài
Theo dõi

Thực hiện yêu
cầu của GV
một đoạn
Định nghĩa
Hàm số
f
xác định trên tập hợp J, trong đó
J là một khoảng hoặc là hợp của nhiều
khoảng, gọi là liên tục trên J nếu nó liên tục
tại mọi điểm thuộc J.
Hàm số
f
xác định trên đoạn [a;b] gọi là
liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên
khoảng (a;b) và
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a x b
f x f a f x f b
+ −
→ →
= =
Giải
0
( 1;1)x∀ ∈ −
, ta có
0 0
2 2
0 0
lim ( ) lim 1 1 ( )
x x x x

f x x x f x
→ →
= − = − =
Nên hàm số liên tục trên khoảng
( 1;1)−
Ngoài ra ta có
2
( 1) ( 1)
lim ( ) lim 1 0 ( 1)
x x
f x x f
+ +
→ − → −
= − = = −
2
1 1
lim ( ) lim 1 0 (1)
x x
f x x f
− −
→ →
= − = =
Do đó hàm số liên tục trên đoạn
[ 1;1]−
.
Giải
1)
( )g x
xác định trên đoạn [-2;2]
0

( 2;2),x∀ ∈ −
0 0
2 2
0 0
lim ( ) lim 8 2 8 2 ( )
x x x x
g x x x g x
→ →
= − = − =
Nên
( )g x
liên tục trên khoảng (-2;2)
Ngoài ra ta có
2
( 2) ( 2)
lim ( ) lim 8 2 0 ( 2)
x x
g x x g
− −
→ − → −
= − = = −
2
2 2
lim ( ) lim 8 2 0 (2)
x x
g x x g
+ +
→ →
= − = =
Vậy

( )g x
liên tục trên đoạn [-2;2]
2)
( )h x
xác định trên nửa khoảng
1
[ ; )
2
+∞
0
1
( ; )
2
x∀ ∈ +∞
,
0 0
0 0
lim ( ) lim 2 1 2 1 ( )
x x x x
h x x x h x
→ →
= − = − =
Nên
( )h x
liên tục trên khoảng
1
( ; )
2
+∞
Đại số - Giải tích 11 NC

3
 Hàm số liên tục trên một khoảng
hay trên một đoạn thì có đồ thị là
đường liền nét. Hàm số gián đoạn tại
một điểm thì đồ thị không là đường
liền nét.
- Nêu nhận xét
- Nêu định lý
Ghi bài
Ghi bài
Ngoài ra
1 1
2 2
1
lim ( ) lim 2 1 0 ( )
2
x x
h x x h
+ +
   
→ →
 ÷  ÷
   
= − = =
Vậy
( )h x
liên tục trên nửa khoảng
1
[ ; )
2

+∞
.
Nhận xét
1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số
liên tục tại một điểm là những hàm số liên
tục tại điểm đó ( trong trường hợp thương,
giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0)
2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ
(thương của hai đa thức) liên tục trên tập
xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi
điểm thuộc tập xác định của chúng).
Định lý 1
Các hàm số lượng giác
sin , cos , tan , coty x y x y x y x= = = =
liên tục trên tập xác định của chúng.
Hoạt động 3: Tính chất của hàm số liên tục
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung chính
- Yêu cầu học sinh làm ví dụ sau
đó lên bảng trình bày:
1. Cho hàm số y = f(x) =-
x
3
+3x
2
+1 liên tục trên đoạn [-
1;3] có đồ thị như hình vẽ.
a. Tính f(-1), f(3). Hãy so sánh
f(-1) và f(3).
b. Với M=3 nằm giữa f(-1), f(3),
hãy tìm c∈(-1;3) sao cho f(c) =

M.
 Cho hàm số y = f(x) (có đồ
thị như hình vẽ) liên tục trên
đoạn [a;b] và f(a) ≠ f(b), một
điểm M nằm giữa f(a), f(b).
Phán đoán có tồn tại c
∈
(a;b)
sao cho f(c) = M?
- Nêu định lý 2 (định lý về giá trị
Thực hiện theo yêu cầu GV
Có
Ghi bài
Giải
a. f(-1) = 5, f(3) = 1
Vậy f(-1) ≠ f(3)
b. Ta có
f(c) = - c
3
+ 3c
2
+ 1
M = 3
Và f(c) = M nên :
- c
3
+ 3c
2
+ 1 = 3
⇔ - c

3
+ 3c
2
+ 1 – 3 = 0
⇔ - c
3
+ 3c
2
- 2 = 0
⇔ (c – 1)(- c
2
+ 2c + 2) = 0
⇔



=++−
=−
022
01
2
cc
c
⇔




−=
+=

=
31
31
1
c
c
c
Vậy có 3 giá trị c thỏa mãn yêu
cầu đề bài.
Định lý 2
Hàm số
f
liên tục trên đoạn
Đại số - Giải tích 11 NC
4
trung gian của hàm số liên tục)
- Hướng dẫn cho HS bằng cách
phân tích trên đồ thị để rút ra
nhận xét về ý nghĩa hình học.
 Hàm f liên tục trên đoạn
[a;b], M nằm giữa f(a) và f(b).
Khi M = 0, f(a).f(b) < 0. Theo
định lí 2: tồn tại ít nhất 1 điểm
c
∈
(a;b) sao cho f(c) = 0
- Nêu hệ quả
 Ta có: f(c) = 0. Khi đó c được
gọi là nghiệm của phương trình
f(x) = 0.

- Nêu ý nghĩa hình học của hệ
quả.
 Ứng dụng của hệ quả là
chứng minh phương trình có
nghiệm thuộc khoảng.
- Yêu cầu HS làm Ví dụ
1) Chứng minh hàm số f(x) = x
3
+ 2x – 2 có ít nhất một nghiệm
dương nhỏ hơn 1.
2) Chứng minh rằng phương
trình x
3
+ x + 1= 0 có ít nhất một
nghiệm.
Theo dõi và ghi bài
Theo dõi
Ghi bài
Ghi bài
Làm bài
[a;b]. Nếu f(a)
≠
f(b) thì với mỗi
số thực M nằm giữa f(a) và f(b),
tồn tại ít nhất một điểm
( ; )c a b∈
sao cho f(c)=M.
Ý nghĩa hình học của định lý
Nếu hàm số
f

liên tục trên đoạn
[a;b] và M là một số thực nằm
giữa f(a) và f(b) thì đường thẳng
y=M cắt đồ thị của hàm số
( )y f x=
ít nhất tại một điểm có
hoành độ
( ; )c a b∈
Hệ quả
Nếu hàm f liên tục trên đoạn
[a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít
nhất một điểm c∈(a;b) sao cho
f(c) = 0.
Ý nghĩa hình học của hệ quả
Nếu hàm f liên tục trên đoạn
[a;b] và f(a).f(b) < 0 thì đồ thị
của hàm số
( )y f x=
cắt trục
hoành ít nhất tại một điểm có
hoành độ
( ; )c a b∈
.
Giải
1) f(x) = x
3
+ 2x – 5 liên tục trên
R
Đoạn [0;1]
⊂

R nên hàm f liên
tục trên đọan [0;1].
Lại có : f(0) = - 2
f(1) = 1
và f(0).f(1) = -2.1 = -2 < 0
Theo hệ quả, tồn tại ít nhất một
điểm c∈(0;1) sao cho f(c) = 0.
Vậy x = c là một nghiệm của
Đại số - Giải tích 11 NC
5
- Yêu cầu HS làm H4
Cho hàm số
2
5 2
( )
2 2
x x
f x
x
+ −
=
+
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất
một điểm
( ; )c a b∈
sao cho
( ) 0.8f c = −
Làm bài
phương trình f(x)= 0 (đpcm)
2) Xét hàm f(x) = x

3
+ x + 1 liên
tục trên R
Ta có [-1;0]
⊂
R nên hàm f liên
tục trên đoạn [-1;0]
Lại có : f(0) = 1
f(-1) = -1
và f(-1).f(0) = -1 < 0
Theo hệ quả, tồn tại ít nhất một
điểm c∈(-1;0) sao cho f(c) = 0.
Vậy x = c là một nghiệm của
phương trình f(x)= 0 (đpcm)
Giải
Hàm số
f
liên tục trên đoạn
[0;2],
(0) 1; (2) 2f f= − =
Vì
0.8 ( 1;2)− ∈ −
nên theo định
lý về giá trị trung gian của hàm
số liên tục, tồn tại ít nhất một
điểm
(0;2)c ∈
sao cho
( ) 0.8f c = −
Nhận xét của GVDH Người soạn

Bài soạn đầy đủ
Huỳnh Văn Phước Nguyễn Thị Xuân An
Đại số - Giải tích 11 NC
6