Chuyen de gioi han va ham lien tuc

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG CHUYÊN ĐỀ LỚP 11 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN Giáo viên: Nguyễn Thị Thoa - THPT Nhị Chiểu- Hải Dương.. I. Giới hạn của dãy số Giới hạn hữu hạn 1. Giới hạn đặc biệt: 1 1  lim 0 lim k 0 (k  ) n   n  n n ; lim q n 0 ( q  1). n . Giới hạn vô cực 1. Giới hạn đặc biệt: lim n  lim n k  (k   ) n  n. n . lim q  (q  1). lim C C. n . ; n . 2. Định lí:. 2. Định lí : 1 lim 0 a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì lim un  un a)Nếu thì  lim (un + vn) = a + b un  lim (un – vn) = a – b  lim (un.vn) = a.b v b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim n = 0 un a c) Nếu lim un =a  0, lim vn = 0 lim  vn b un   neáu a.v  0  (nếu b  0) n b) Nếu un  0, n và lim un= a thì a  0 và lim vn    neáu a.vn  0 thì lim = un  a d) Nếu lim u = +, lim v = a n. u vn c) Nếu n ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 lim un  a d) Nếu lim un = a thì 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn u1  q  1 S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1  q. thì lim(un.vn) =. n. . 0 * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 0 ,   ,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.. Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:  Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n. 1 1 n 1 n 1 lim lim 3 2 2n  3 2 n VD: a) lim. 2. n  n  3n lim 1  2n. b). 1 3 n 1 1 2 n. 1.  4 1  lim(n2  4n  1) lim n2  1      n n2  c)  Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức. . a. b   a  b  a  b;. 3a. 3. b.  neáu a  0   neáu a  0.  3 a2  3 ab  3 b2  a  b.

<span class='text_page_counter'>(2)</span>  VD: lim. n. 2.  3n  n  =. lim. . n2  3n  n. . 2. . n2  3n  n. n  3n  n. . . lim =. 3n. 3 n  3n  n = 2. u vn  Dùng định lí kẹp: Nếu n ,n và lim vn = 0 thì sin n lim n . VD: a) Tính sin n 1 1 sin n  lim 0 lim 0 n và n n Vì 0  n nên 3sin n  4 cos n lim 2 n2  1 b) Tính .. 2. lim un = 0. 2 2 2 2 Vì 3sin n  4 cos n  (3  4 )(sin n  cos n) 5 3sin n  4 cos n 5  2 2 2n  1 2n  1 . nên 0  5 3sin n  4 cos n lim 0 lim 0 2 2 2 n  1 2 n  1 Mà nên. Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:  Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.  Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.  Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +  nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu(ta thường đặt nhân tử chung của tử, mẫu riêng). Baøi 1: Tính các giới hạn sau: (Chia cả tử và mẫu cho na với số mũ a cao nhất Hoặc đặt nhân tử chung) 1) lim(n2  n + 1). ĐS: + 3n3  2n2  n lim 2) lim(n2 + n + 1). ĐS: - n3  4 13) ĐS: 3 3) lim √ 2n 2 −3 n − 8 ĐS: + 4 3 n 4) lim √ 1+ 2n − n3 ĐS: - lim 5) lim(2n + cosn). ĐS: + (n  1)(2  n)(n2  1) ĐS: 1 14) 1 2 6) lim( n  3sin2n + 5). ĐS: + 15)lim ĐS: -1/2 2 16)lim ĐS: 2 n 3 +1 2n  3 7) un = . ĐS: + n 2 −1 3 3 17)lim n  2n  1 ĐS: 2 8) un = 2n  3n. ĐS: -  2n  1 2n 4  n2  3 lim lim n3  4n2  3 ĐS: 0 3n3  2n2  1 ĐS: + 9) 18) n2  1 3n3  2n2  n lim lim 2n 4  n  1 ĐS: 0 4  n2 10) 19) ĐS: - 2 2 n 1  4 n  2n  5 lim 4 11)lim 2n  n  1 ĐS: 0 3n  1 20) ĐS: - 2 2n  n  3 lim 3n2  2n  1 ĐS: 2/3 12) Baøi 2: Tính các giới hạn sau: (Chia cho lũy thừa có cơ số lớn nhất).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1  3n. lim. 4  3n. 1) lim. ĐS: 1. n. 4.3  7. lim. 4. n 1. 6. ĐS: 7. n 2. 2n  5n 1 1  5n. 4). n 1. 2.5n  7n. 2). lim. lim. n. 1  2.3  7 5n  2.7n. 5) lim. ĐS: 5 n. n. 1  2.3  6. ĐS: -1/2 n. 5n  8n 2n (3n1  5) 3) ĐS: 0 6) ĐS: 1/3 Baøi 3: Tính các giới hạn sau: (Tử ở dạng vô cùng ±vô cùng; Mẫu ở dạng vô cùng + vô cùng ;bậc của tử và mẫu bằng nhau thì ta chia cho số mũ cao nhất của tử hoặc mẫu) k k ; 3 k k n có mũ 3 Chú ý: n có mũ 2 4n2  1  2n  1. lim. n2  4n  1  n ĐS: 2. 1). n2  3  n  4. lim. n2  2  n. 2) lim. 2. 3. n  1 n. ĐS: 0. 4n2  1  2n. lim. n2  4n  1  n ĐS: 2 (2n n  1)( n  3) lim (n  1)(n  2) 5) ĐS: 2 4). 6. n2  4n . lim. 4n2  1. 3n2  1  n 4 2 6) ĐS: -1/( 3  1 ) n  1  n 3) ĐS: 0 Baøi 4: Tính các giới hạn sau: Nếu bài toán có dạng: + Vô cùng – vô cùng không có mẫu (hệ số của n bậc cao nhất giống nhau). + Cả tử và mẫu ở dạng: Vô cùng- vô cùng. (hệ số của bậc cao nhất giống nhau) Thì ta nhân liên hợp có căn bậc 2,3 rồi chia cho lũy thừa có số mũ cao nhất Nếu bài toán ở dạng vô cùng + vô cùng thì kq là vô cùng ta đặt nhân tử chung có mũ cao nhất rồi tính giới hạn. Hoặc hệ số của n bậc cao nhất khác nhau ta chia hoặc đặt nhân tử chung. 2 lim  1  n2  n 4  3n  1  1) lim( n  3n  n) ĐS: +   ĐS: 1 9) 2 lim( n  2 n  n  2013) 2) ĐS: 2012 n2  4n  4n2  1 lim 2 3n2  1  n 3) lim n  n  n ĐS: -1/2 10) ĐS: -1/( 3  1 ) 2 1 4) lim( n  1  n  5) ĐS: 5 lim 2 n2  2  n2  4 ĐS: - 11) lim( n  2013  n  5) 5) ĐS: 5. . . lim  n2  2n  n  1    ĐS: 0 6) lim  n2  n  n2  2    ĐS: 1/2 7). 4 n 2  1  2n  1. lim. n2  4n  1  n ĐS: -1/2. 12) lim. 3. n2  1  n6. n 4  1  n2 ĐS: 0 3   3 13) lim  2n  n  n  1   ĐS: -1 8) Baøi 5: Tính các giới hạn sau: (Giới hạn kẹp giữa hai biểu thức có cùng kết quả) lim 1) lim. 2) Baøi 6:. 2 cos n2 n2  1 ĐS: 0. lim 3). 3sin6 n  5 cos2 (n  1) n2  1. ĐS: 0. 3sin 2 (n3  2)  n2 ( 1)n sin(3n  n 2 ) lim 3n  1 2  3n2 ĐS: 0 4) ĐS: -1/3 Tính các giới hạn sau: (Rút gọn rồi tính giới hạn).

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  1  1 1 lim    ...   (2n  1)(2n  1)  ĐS: 1/2  1.3 3.5 1)  1 1 1  lim    ...   n(n  2)  ĐS: 3/2  1.3 2.4 2).  1 1 1  lim    ...   n(n  1)  ĐS: 1  1.2 2.3 4) 1  2  ...  n lim n2  3n 5) ĐS: 1/2 2 n   1  1 1  1  2  2  ...  2 lim  1  1 ...  1  lim    2 2 2  2  3   n  ĐS: 1/2 1  3  32  ...  3n ĐS: 0 3) 6)  1  1   1   1  2   1  2  ...  1  2  Baøi 7: Cho dãy số (un) với un =  2   3   n  ,với n 2 a) Rút gọn un.ĐS: (n+1)/2n b) Tìm lim un. ĐS: 1/2 1 1 1   n n  1 (n  N*). Baøi 8: a) Chứng minh: n n  1  (n  1) n 1 1 1   ...  n n  1  (n  1) n . b) Rút gọn: un = 1 2  2 1 2 3  3 2 c) Tìm lim un. ĐS : 1 u1 1  1  un1 un  n (n 1) 2 Baøi 9: Cho dãy số (un) được xác định bởi:  . a) Đặt vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 + … + vn theo n. b) Tính un theo n. c) Tìm lim un. ĐS: 2 u1 0; u2 1 2u un1  un , (n 1) Baøi 10:Cho dãy số (un) được xác định bởi:  n 2 1  un  1 a) Chứng minh rằng: un+1 = 2 , n  1. 2 b) Đặt vn = un – 3 . Tính vn theo n. Từ đó tìm lim un. ĐS: 2/3 u1 2012  u u u lim ( 1  2  ....  n )  2 n   u 2012.u n  u n u 2 u3 u n 1 (HSG lạng sơn 2011) Cho dãy số (un) xác định bởi  n 1 ; nN*. Tìm 2. ĐS: - CM được dãy tăng : u n 1  u n 2012u n  0 n 2 - giả sử có giới hạn là a thì : a 2012a  a  a 0  2012 Vô Lý nên limun = . un u n2 (u  u n ) 1 1 1   n 1  (  ) u u u 2012u u 2012 u u n  1 n  1 n n  1 n n n  1 - ta có : 1 1 1 1 S .lim(  ) 2 2012 u 2012 n   u1 n  1 Vậy : . Baøi 11:Cho dãy (xn) xác định như sau:.  x1 1  2  x n 1 x n  3x n  1 ( n  N * ) 1 1 1 Sn    ...  x1  2 x 2  2 x n  2 ( n  N * ). Tìm LimS . (HSG lạng sơn 2012) Đặt n Baøi 12:Tổng Dãy là cấp số nhân lùi vô hạn:.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> n. −1 ¿ ¿ 1 1 ¿ a. S = 1 + + +… b. S = 1 + ĐS: a. 2 b.12/11 2 4 1 1 − +. ..+¿ 10 102 Baøi 13: Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:. a. 0,444.... b. 0,2121.... 2. c. 0,32111....ĐS: a.4/9 b.21/99 c.289/900. n. 1+a+a +. . .+ a Baøi 14: L = lim 2 n , với a, b < 1. ĐS: (1-b)/(1-a) n →∞ 1+b+b +. . .+ b. II. Giới hạn của hàm số Giới hạn hữu hạn 1. Giới hạn đặc biệt: lim x x0 x  x0 ; lim c c x  x0 (c: hằng số) 2. Định lí:  lim f ( x ) L  x  x0  lim g( x ) M  a) Nếu  x  x0 lim  f ( x )  g( x ) L  M thì: * x  x0 lim  f ( x )  g( x ) L  M * x  x0 lim  f ( x ).g( x ) L.M x  x0 * f (x) L lim  * x  x0 g( x ) M (nếu M  0) f(x) 0  lim f ( x ) L b) Nếu  x  x0 thì lim. x  x0. f ( x)  L. *L0* lim f ( x ) L x  x0 c) Nếu thì lim f ( x )  L x  x0. 3. Giới hạn một bên: lim f ( x ) L x  x0. lim f ( x )  lim  f ( x ) L. . x  x0 . Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực 1. Giới hạn đặc biệt:  neáu k chaün k lim x k  lim x    neáu k leû x   ; x   lim c c. x  . lim. x 0. c. lim. ;. 1   x ;. xk. x  . lim. x 0. 1  x. 1 1  lim  x 0 x x 0 x 2. Định lí:  lim f ( x ) L 0  x  x0  lim g( x )   a) Nếu  x  x0 thì: * lim.  neáu L. lim g( x )  0  x  x0 lim f ( x )g( x )  g( x )  0 x  x0   neáu L. xlim  x0 f (x) lim 0 x  x0 g( x ) *  lim f ( x ) L 0  x  x0  lim g( x ) 0  b) Nếu  x  x0 thì: f ( x )  neáu L .g( x )  0 lim    neáu L .g( x )  0 x  x0 g( x ). . 0  Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 0 ,  ,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.. x  x0. Một số phương pháp khử dạng vô định: 0 1. Dạng 0 P( x ) a) L = x  x0 Q( x ) với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0)= 0 Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. lim. 0.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> lim. VD:. x 2. x3  8 x2  4. ( x  2)( x 2  2 x  4) x 2  2 x  4 12  lim  3 x 2 x 2 ( x  2)( x  2) x 2 4.  lim. P( x ) b) L = x  x0 Q( x ) với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. lim. 2 4 x2 4 x 2 4 x 1 1  lim  lim  x 0 x 0 x 0 2  4  x x 4 x2 4 x VD: P( x ) lim c) L = x  x0 Q( x ) với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc lim. Giả sử: P(x) =. m u( x )  n. Ta phân tích P(x) = VD:. lim. 3. x 0. v( x ) với. m u( x. 0). n v( x0 ) a. ..  m u( x )  a    a  n v( x )  ..  3 x 1  1 1 1  x  x 1  1  x  lim    x 0  x x x .   1 1 5 1 1 lim      x 0  3 2 3  3 2 6 1  1  x ( x  1)  x  1  1   = P( x )  lim 2. Dạng  : L = x   Q( x ) với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn. – Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. – Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp. 5 3 2  2 2 x  5x  3 x x2 lim  lim 2 x   x 2  6 x  3 x   6 3 1  x x2 VD: a) lim. x  . 2x  3 x2 1  x.  lim. x  . 2.  1. 1 2 x b) 3. Dạng  – : Giới hạn này thường có chứa căn Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu. lim. . 1  x  x   lim. .  1. 3 x 1. 1 x  x   1 x  x .  lim. 1. x   x   1  x  x 1 x  x VD: x   4. Dạng 0.: Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên. x x  2. x 0. 2 lim ( x  2)  lim  0 2 2 x 2 x  4 x 2 VD: x  2. 0. Baøi 1: Tìm các giới hạn sau: + Khi thay x=a vào f(x) thấy mẫu khác 0 thì giới hạn bằng f(a). + Khi thay x=a vào f(x) thấy mẫu bằng 0 tử khác 0 thì giới hạn bằng . 1) lim (x2 + x). ĐS: 12 1  x  x2  x3 x→ 3 lim x 0 x 1 x 3) ĐS: 1 lim x 1 x  1 2) ĐS: ±.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 4). 5). 3x 2  1  x x  1 x 1 ĐS: -3/2   sin  x    4 lim  x x 2 ĐS: 2 /  lim. lim. 6). x  1. lim. x2  2x  3 x 1 ĐS:. lim. x 8  3 x 2. x 1. 8). x 1. 9). 2/2. ĐS: 0. 3. 3x 2  4  3x  2 x 1 10) x  2 ĐS: 0 1 lim x 2 sin 2 ĐS: 0 11) x  0 lim. x 1 4. x  x  3 ĐS:-2/3. x2  x 1 x 1 7) x  2 ĐS: 3 Baøi 2: Tìm các giới hạn sau: (Khi thay x=a vào f(x) thấy tử =0; mẫu =0 ta rút gọn mất nhân tử rồi thay tiếp tới khi mẫu khác 0 là xong) còn nếu mẫu =0 tử khác 0 thì kq là  lim. x2  1 1) x  1 x  1 ĐS: 2 1  lim  2   x  ĐS: -1 2) x→ 0 x  lim. x3 −8 3) x→ 2 . ĐS: 3 x 2 −4 3 x 2 − 4 x +1 4) lim ĐS: 2 x→ 1 x−1 2 2 x − 3 x −2 5) lim ĐS: 5 x−2 x→ 2 x 4  16 lim 3 2 6) x   2 x  2 x ĐS: -8 x3  x2  x 1 lim 2 7) x  1 x  3 x  2 ĐS: 0 x 3 −3 x 2+5 x − 3 8) lim ĐS:1 x→ 1 x 2 −1 1  x  x 2  x3 lim 1 x 9) x  1 ĐS: 2 3 x −5 x 2+3 x +9 10) lim ĐS: 0 x→ 3 x 4 − 8 x 2 −9 x5 1 lim 3 11) x   1 x  1 ĐS: 5/3 lim. Baøi 3: lim. 1). x 2. Tìm các giới hạn sau: (Một căn bậc 2) 4x 1  3 x2  4. lim 12). (1  x )2. x 1. 6. ĐS: 10. 5. 4 x − 5x +x ĐS: 0 x→ 1 x 2 −1 1   2 lim  2   x 1 x  1 x  1  ĐS: -1/2  14) 3   1 lim   x  1  1  x 1  x 3  15) ĐS: -1 13). lim.  x 2  x 4 lim  2   2 x  1 x  5x  4 3(x  3x  2)  ĐS: 0  16) x1992  x  2 lim 1990 17) x  1 x  x  2 ĐS: 1993/1992 lim. 18). xm  1. x n  1 chú ý tổng của CSN ĐS: m/n (1  5 x )(1  9 x )  1 lim x 0 x ĐS: 14 x 1. (1  x )(1  2 x )(1  3 x )  1 x 19) x  0 ĐS: 6 x  x 2  ...  x n  n lim x 1 20) x  1 ĐS: n(n+1)/2 lim. x n  nx  n  1 lim x 1 (x  1) 2 21) ĐS: n(n-1)/2 5). ĐS:1/6. 1 x2  1 lim x 2) x  0 ĐS:0 √ x +5 −3 ĐS: -1/6 3) lim 4−x x→4 √ x − 3 ĐS:-1/54 4) lim x→ 9 9 x − x2. x  5x 5  4 x 6. 6) 7) 8). 2 − √x− 3 ĐS: -1/56 2 x→ 7 x − 49 2 x+7 + x − 4 lim √ 3 ĐS: -4/15 2 x→ 1 x − 4 x +3 x 3 − √ 3 x −2 lim ĐS: 9/4 x→ 1 x2 −1 x 2+ 3+ x 3 −3 x ĐS:1/2 lim √ x−1 x→ 1 lim.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Baøi 4: 1) 2) 3). 4) 5) 6) 7). Tìm các giới hạn sau: (Hai căn Bậc 2) 1+ x − √ 1 − x lim √ ĐS: 1 x x→ 0 x −1 lim √ ĐS:2 x→ 1 √ x +3 −2 x +2− x lim √ ĐS:-3/4 x→ 2 √ 4 x+1 −3 x 2  2 lim x 2 x  7  3 ĐS:3/2 2 x+7 − 3 lim √ ĐS:-4/3 x→ 1 2 − √ x +3 x2 − √ x lim ĐS:3 x→ 1 √ x − 1 3− √ 5+x lim ĐS:-1/3 x →4 1 −√5 − x. 2 x  2  3x  1 x 1 8) x  1 ĐS:-1/4 √ 2 x +3 − √ x+ 2 ĐS:1/6 9) lim 3 x +3 x →− 1 lim. 10). lim. 1). lim. x→ 2 3. 2). Tìm các giới hạn sau: (Một căn Bậc 3) √3 4 x − 2 ĐS :1/3 x −2. lim x 1. 2x  1  1 x 1 ĐS:2/3. x 2 − 1+ √ x −1 √x− 1 ĐS:. 2. ¿. 11) 12). √ x +1 −1 ĐS:-3/4 3 − √ 2 x +9 √ x+ 2− √2 x ĐS:-1/4 lim x→ 2 √ x − 1− √ 3− x. lim. x→ 0. x2 1  1. lim. 13). x 0. x 2  16  4 ĐS:4 x  3  2x. lim. 14). x  3. x 2  3x. ĐS:-2/9 x  9  x  16  7 lim x 15) x  0 ĐS: 7/24 √ x − √ a+ √ x − a 16) lim , với a> 0. ĐS: x→ a √ x 2 − a2 1/ 2a. 17) Baøi 5:. x → 1+¿ √. 5). lim. x→ 1. x−1. √x. 2. 3. +3+ x − 3 x. 3 1+ x 2 − 1 √ lim. ĐS:1/3. x2 3 x1 lim 3 x 1 4 x  4  2 ĐS:1 6) √5 5 x+ 1− 1 ĐS:1 7) lim x→ 0 x x→ 0. ĐS:2. x ĐS:3 x→ 0 √ 1+ x − 1 x 5+ x 3 +2 4) lim 3 ĐS:24 x →− 1 √ x+1 Baøi 6: Tìm các giới hạn sau: (Hai căn khác bậc) 3 1 x  3 1 x 8 x  11  x  7 lim lim x x 2  3x  2 1) x  0 ĐS :1/6 9) x  2 ĐS:7/54 3 3 2 3 2 x − 1+ x +1 √ √ 1  8x  1  6x 2) lim ĐS:4/3 lim x→ 0 2 x+1 − x +1 √ √ x2 10) x  0 ĐS:2 1 x  1 3 8 x  11  x  7 lim lim x 0 3 1  x  1 2 3) ĐS:3/2 11) x  2 2 x  5 x  2 ĐS:7/162 3 2 1 x  8  x 3 lim 5  x3  x2  7 x 0 x lim 4) ĐS:13/12 3 x2  1 12) x  1 ĐS:-11/24 x +4 − √ x √ 3 5) lim 2 ĐS:-1/18 x +6 − x+ 2 √ √ x → 4 x −5 x +4 13) lim ĐS:-1/24 2 3 x→ 2 x −4 2 x +10+ √ x − 5 √ 6) lim ĐS:-7/72 1  4x . 1  6x  1 x →− 3 x 2 −9 lim x 1  4x  3 1  6x 14) x  0 ĐS:5 lim 3 x 0 x 1  2x. 1 4x  1 7) ĐS:0 lim 3 10 − x − √ x+2 x 15) x  0 ĐS:7/3 8) lim √ ĐS:-1/3 x−2 x→ 2 3). lim. 3.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> (1  n x ) x  1 (1  x) 16) ĐS: 1/n (1  x )(1  3 x )(1  4 x )(1  lim x 1 (1  x) 4 17) lim. 5. x). lim. 19). ĐS:1/120. sin x  x. x. 2. lim. ĐS: 2/. 1  cos 4x 2x 2. x 0. lim. x 0. lim. ĐS:4. sin 2x x  1  1 ĐS:4 1  cos 2x. x 0. lim. 11). x 0. 12). x 0. lim. x2 ĐS: 2 cos x  cos 7x x2 ĐS:12 cos x  cos3x sin 2 x. sin x lim x  0 tan 2x 13) ĐS:1/2. ĐS:2. 1 −cos x . cos 2 x . cos 3 x ĐS:14 1 −cos x x→ 0 x sin2 3 lim x 0 x2 15) ĐS:1/9 sin x . cos x − sin x lim x 16) x→ 0 ĐS:0 sin 2 |1−|1+ sin 3 x|| 17) lim ĐS:3 2 x→ 0 √ 1− cos x 14). x→ 1. 3. 8  x ĐS:-6 √2 x −1+ x 2 −3 x+ 1 ĐS:0 √3 x − 2+ x2 − x +1. 1 − √ cos x ĐS:0 x→ 0 1 −cos √ x 1  cos3x lim 19) x 0 1  cos 5x ĐS:9/25 18). 1 lim 2) x  0 cos x ĐS:1 tan x  s in2x lim x 0 cos x 3) ĐS: 0 tgx lim  x  x 4 4) ĐS:4/3 sin 5x lim 5) x  0 3x ĐS:5/3 sin 5 x . sin 3 x .sin x 6) lim ĐS:1/3 3 x→ 0 45 x 1  cos 2x lim 7) x 0 x sin x ĐS:2. 10). lim. 8 x . sin x ta n x 1 lim Tìm các giới hạn sau: ( x  0 x ; x  0 x =1). lim. 9). x 0 3. x 1  1  x x ĐS:5/6 x. lim. Baøi 7:. 8). 3. x 0. 18). 8). 1). lim. 20). lim. 1  cos2 2x x sin x ĐS:4. lim x 0. sin 2 x  sin x 3sin x 21) . x  0 ĐS:1 lim. sin 2x  tan 3x x 22) x  0 ĐS:5 lim. 1  sin x  cos 2 x sin x 23) x  0 ĐS: -1 lim. tan x  sin x x3 24) ĐS:1/2 cos 4x  cos3x.cos5x lim x  0 x2 25) ĐS: 18  cos( cos x) 2 x sin 2 lim 2 26) x  0 ĐS: BĐ góc phụ chéo sin 3x lim π x  1  2 cos x 3 lim x 0. 27). ĐS: 4. 3. Đặt ẩn phụ. 2. lim x®2. 28). 4- x px cos 4. ĐS:16/. cos πx+1 1−x x→ 1. 29). lim. 30). lim tan2 x . tan. lim. 31) 32) 33) 34). x→. π 4. ĐS:0. ( π4 − x). ĐS: 1/2. 1− tgx π ĐS: -2 π x → sin( x − ) 4 4 3 lim ( x +2 ) sin ĐS:3 x x→∞ x +3 −2 x lim √ ĐS:-7/4 tan( x −1) x→ 1 lim (1+ cos 2 x ) tgx lim. x→. π 2. ĐS:0.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> sin. 35). lim x→. 1− 2 sin x. π 6. x→. 37). 1. ĐS:1/ 3. 49). 2 cos2 x −1 ĐS:-1/2. π 4. 1 lim ĐS:0 π cos x − tan x x→. 50). sin(x −1) lim 2 ĐS:-1/2 x→ 1 x − 4 x +3 π sin − x 4 ĐS:1 lim π 1 − √ 2 sin x x→. 51). (. 39). 4. x→. π 6. sin x − cos x 1− tgx π x→ lim. 41). 4. 1 − tgx lim π 1 − cot gx x→. 42). ĐS:. lim ( x sin. . 2 2. ĐS: -1. x→∞. π ) x. ĐS: . x 3+ 8 ĐS:12 x →− 2 tan( x +2)  1 3  lim   x x  0  sin x sin 3x  45) ĐS: 0 1 −sin 2 x − cos 2x 22) lim ĐS:-1 x→ 0 1+sin 2 x −cos 2 x lim. 44). tan(a  x).tan(a  x)  tan 2 a . x 0 x2 ĐS:t. 47). lim x 0. (a  x)sin(a  x)  a sin a x ĐS:. (a+1)sina. x® 0. 1 + cos x tan 2 x ĐS:. 2 /8. 1  sin2 x  cos x. x 0. 2. ĐS:1 ĐS:2/ 2. 3 x - 1 + 2 x +1 1- cos x 53) x®0 ĐS:4 2 x lim x®0 1 + x sin x cos x ĐS:4/3 54) 1 + sin 2 x - 1- sin 2 x lim x 55) x®0 ĐS:2. 59). cos x - 3 cos x x ®0 sin 2 x ĐS:-1/12 2 2sin x  sin x  1 lim x  0 2sin 2 x  3sin x 1 ĐS:-1 1  cos x.cos 2x.cos3x lim x 0 x2 ĐS:7 1  cos x.cos 2x.cos3x...cos nx lim x 0 x2 ĐS:n(n+1)(2n+1)/12. 60).   cos x  cos    2  lim x  0 sin  tan x . 61). lim x 0. 56) 57) 58). L lim. 46) an4a-1. 2-. lim. lim. 4. 43). x 0. 3. 2 sin x −1 4 cos 2 x −3 ĐS:-1/2. lim. 40). 3x  4  2  x ĐS:0. x 0. sin 2 x px lim ( 1 - x) tan x®1 2 52). ). 2x  1  sin x. 2 x  1  3 x2  1 sin x ĐS:1. lim. lim. 2. 38). lim. 48) (ĐHGTVT-98):. √ 2 sin x − 1. lim. 36). ( π6 − x ). lim. ĐS:0. 1  sin x  1  sin x tan x ĐS:1. 1  cot 3 x 3 x  2  cot x  cot x 4 lim. ĐS:-3/4 1  cos x cos 2x cos3x lim x 0 1  cos 2x 63) ĐS:3/2 62). 3. Baøi 8: Tìm các giới hạn sau: (giống giới hạn dãy số chia cho mũ cao nhất, nhân liên hợp,Đặt nhân tử, dấu giá trị tuyệt đối) lim 2x 3  x 1) x    (3x3 5x2 + 7) ĐS: - lim 2 7) x   x  2 ĐS:+  lim (2 x 3  3x ) 2) x   ĐS:+  2x  1 lim 3 lim (2 x  3 x ) 8) x   x  1 ĐS:2 3) x   ĐS:±  4 5 4) 5). lim. x  . lim. x  . 2x 4  3x  12 .ĐS:+ . x  3x  4 2. 9). 3x  2x 5x 4  x  4 ĐS:+. lim. ĐS:± . x3  5 lim 2 6) x   x  1 ĐS:+ . lim. x  . 10). x  1. 2. . x 1 3x  5x 2 ĐS:-1/5.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 3x(2x 2  1). lim. 11) 12). x    (5x . 1)(x 2  2x) ĐS:6/5. x x 1. lim. x   x 2. 14). x  . lim. 15). x  . 16). x  .  x  1 ĐS:0. x4  x 1  2x ĐS:+ . lim. 17) 18). ĐS:-2 2 x  3x  2 x 3x  1 ĐS:1/3 2. x  x  2  3x  1 2. 4x  1  1  x. lim  x  5 . x  . lim. 19). 29) 30). x  10. x  . x  . ĐS:4; -2/3. x x 3  1 ĐS:1. 2x 2  7x  12 3 | x |  17 ĐS: 2 / 3. 20). lim. x 4 x  4 ĐS:-. x  . x2 1 2 x 2  x  1 ĐS:1/2. lim. x  . lim. 31). x  . lim. 32). x  . lim. 33). x  . lim. 34). x  . lim. 4. x  . x 3  2 x 2  x ĐS: +. lim. x  x2  x. lim. x 1. x4  1. 1   1  2 lim  x  2 x  4  ĐS:-  28) x  2 . 4x 2 1 lim 13) x   3x  1 ĐS:-2/3; 2/3 lim. 27). lim. 35). x  . 2x2  x 1 x  2 ĐS:-;+  2x2 1 x 3  3 x 2  2 ĐS:0 x2  2x  3  4 x 1 4x2 1  2  x. ĐS:-1;5. 4x2  2x 1  2  x 9 x 2  3x  2 x. ĐS:3;1/5. (2 x  1) x 2  3 x  5x 2. ĐS:2/5. x 2  2 x  3x 4 x 2  1  x  2 ĐS:4. x 2  5x  2 lim 21) x →+∞ ĐS:-  1 −2 x 36) x    2 x  1 ĐS:+  x+2 2 2 x + x −10 22) xlim ĐS:-1;1 lim 2 →∞ 37) ĐS:0 √ x +2 x →+∞ 9 −3 x 3 3 3 x  2x2  x x 4 − x 3 +11 lim lim 38) x →+∞ ĐS:+  2x  2 2 x −7 23) x    ĐS:1 2 3+x ¿ 2 x +2 x 23) lim 2 ĐS: ± ¿ x →− 2 x + 4 x +4 4 − x ¿2 2x  1   2 lim  . 3 − x ¿2 ¿ lim x  1 (x  1)2 2x  3  39) ĐS:1   ĐS:-  x→∞ 24) (2− x)¿ 5 1+ x ¿2 ¿ lim 2 x  1 (x  1)(x  3x  2) (1− x)¿ 25) ĐS:-  ¿ 1 1  3 2  x + 2¿ lim  x x 2   . ĐS:-  26) x  0  ¿ 40) ĐS:1 6 x + 4 x 2+ x −2 lim ¿ x →− ∞ Baøi 9: Tìm các giới hạn sau: (giống giới hạn dãy số chia cho mũ cao nhất, nhân liên hợp) lim x 2  1  x lim  x 2  x  x  x   5) ĐS:0  ĐS:1/2 1) x    2 lim ( x  2 x  4  x ) lim ( x 2  x  x) 6) x   ĐS:+ ;-1 2) x    ĐS:+  lim ( x  2  x  2 ) x   2 7) ĐS:0 lim ( x  3 x  2  x) 3) x   ĐS:-3/2 lim ( x 2  4x  3  x 2  3x  2) 2 x lim ( x  3x  2  x) 8)   ĐS:1/2;-1/2 4) x   ĐS:+  lim. √2 x 4 + x 2 −1. . .

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 9). 1. lim x →+∞. . lim. 10). x  . 11). x  . 12). √x. 2. ĐS:2. + x+ 1− x. 2x 2  1  x. . x  . 19). ĐS:-1/2; +.  ĐS:-1. Tính các giới hạn. x 2  2x  4 - x 2  2x  4 . lim lim x  . f(x) và. xét về sự tồn tại của giới hạn 14). 18). x 2 1  x  1. 13) Cho f(x) =. lim (3x  2 . x  . lim  2 x  1  15) x   . x  . lim. x . f(x), từ đó nhận. f(x).ĐS :-2 ;2. 9x  12x  3). ĐS:- ;0. 23). 2. 4 x  4 x  3   ĐS:0. lim ( x  3x  2  x  2). x  . ĐS:+ . Baøi 10: Tìm các giới hạn sau: +¿ x→1 a. lim √ x −1 .b. ¿. e.. lim x →1. −. lim ( x  3 x  2  x  1). lim x →5. −. x  . lim. x →+∞. 2. ( √ x + 2 x −2 √ x. 2. ĐS:1/2;+ . + x+ x ) ĐS:0. 3 lim  x 2  1  x 3  1   ĐS:0 20) x      lim  x  x  x  x  x     ĐS:1/2 21). 22). 2. 2. 16). ĐS:-1/2. 2.  ĐS:+ . lim x( x 2  5  x ) lim. 17). lim ( x 2  3x  2  x  2). x  . lim.  3 2 x  1  3 2x 1. lim.  3 3x3  1 . x   x  . x2  2. ĐS:0. . ĐS:- . 24). lim √ x . ( √ x +3 − √ x − 1 ) ĐS:2 x →+∞. 25). lim ( √ x 3 +6 x 2 − x ) ĐS:2. 26). 3. x→∞. 3. x→∞. +¿. ( √ 5− x+ 2 x ) c.. 3. lim ( √ x 3 + x 2+ 1− √ x 3 − x 2+1 ) ĐS:2/3. x→1 lim ¿. x . x −1. d.. lim x →1. −. x . x −1. √1 − x + x −1. √ x2 − x 3. ĐS:a. 0 b. 10 c.+. d. -. e. 0. ¿ 3 x −6∨ ¿ Baøi 11:Tìm các giới hạn sau nếu có a. b. x −2 . ¿ ¿ ¿ 3 x −6∨ ¿ ¿ 3 x −6∨ ¿ c. lim x −2 . x −2 . x→ 2 ¿ ¿ ĐS: a. 3 b. -3 c.Ko xđ Baøi 12:Tìm các giới hạn sau: (Để ý đến dấu các biểu thức tử và mẫu khi tính giới hạn này) 3x  1 x  15 lim lim 8) x  2 2 ĐS:5/2 1) x  2 x  2 ĐS:-  x 1 x  15 lim lim 9) x  1 x  1 ĐS:1 2) x  2 x  2 ĐS:+  x 1 1  3x  2 x 2 lim  lim 10) x  1 x  1 ĐS:-1 x 3 3) x  3 ĐS:-  x2 x3 lim x2  4  lim 2x 11) x  0 ĐS:1/2 4) x  2 x  2 ĐS:+  2x lim 2 x lim x  0  4x 2  x 3 2 12) ĐS:-1;1 5) x  2 2 x  5 x  2 ĐS:1/3 2 x  3x  3 2 x lim lim x  2 ĐS:-  13) x  2 2 6) x  2 2 x  5 x  2 ĐS:-1/3 x 2  3x  3 lim x2  2x lim x  2 ĐS:+  14) x  2 7) x  2 3 x  1 ĐS:0 x 3 lim 15) x  4 x  4 ĐS:- ;+ x→2 lim. +¿. lim −. x→2.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 16). lim. x  2. x 2  3x  3 x 2  x  2 ĐS:+ . 19). x 2  3x  3 lim 2 17) x   2 x  x  2 ĐS:-  lim.  1 x  lim  x  x  x  0  ĐS:0;0 lim. 20). 3. x  3x  2. x  1. x2 x 2 x 1 ĐS:+. 2  18) x  1 x  5x  4 ĐS: 3 /3 Baøi 13:Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra: (Giới hạn một bên tiến tới 1 số)  9  x2  f ( x )   x  3 khi x  3 taïi x 3 1  x khi x 3 1) ĐS:-6;-2; ko xđ. 2).  x2  2 x  3  f ( x)   8  x 4  x  16  x  2. khi x  2 khi x  2. taïi x 2 ĐS:-1/6; 32; K xđ. 2. 3).  x  3x  2 khi x  1  2 x  1 f ( x )  taïi x 1  x khi x 1  2 ĐS:-1/2; -1/2; -1/2.  1 x  1 khi x  0  3 f ( x)   1  x  1 taïi x 0 3  khi x  0  2 4) ĐS:3/2;3/2;3/2 Baøi 14: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:  x3  1  f ( x )   x  1 khi x  1 taïi x 1  mx  2 khi x 1 1) ĐS:m=1 x  m khi x  0  2 f ( x )  x  100 x  3 taïi x 0 khi x 0  x 3 2) ĐS:m=1  x  3m khi x   1 f ( x )  2 taïi x  1 x  x  m  3 khi x  1  3) ĐS: m=2. 4)EMBED Equation.DSMT4.  1 3  khi x  1  f ( x )  x  1 x 3  1 taïi x 1 m 2 x 2  3mx  3 khi x 1  ĐS:m=1;m=2. III. Hàm số liên tục 1. Hàm số liên tục tại một điểm: lim f ( x )  f ( x0 ). x  x0. y = f(x) liên tục tại x0   Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước: B1: Tính f(x0). lim f ( x ) lim  f ( x ) lim f ( x ) x  x0  x  x0 B2: Tính (trong nhiều trường hợp ta cần tính , x  x0 ).

<span class='text_page_counter'>(14)</span> lim f ( x ) B3: So sánh x  x0 với f(x0) và rút ra kết luận. 2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. 3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên khoảng lim f ( x )  f (a), lim f ( x )  f (b) x a. (a; b) và. x b. 4.  Hàm số đa thức liên tục trên R.  Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. 5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:  Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0. f ( x)  Hàm số y = g( x ) liên tục tại x0 nếu g(x0)  0. 6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = 0. Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c (a; b). Mở rộng: min f ( x ) max f ( x )  a;b  Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = ,M =  a;b  Khi đó với mọi T  (m; M) luôn tồn tại ít nhất một số c  (a; b) sao cho f(c) = T. Baøi 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: ¿  x 3 2  khi x  1 x −3 x +4 khi x <1 f ( x )  x  1 taïi x  1 6) f(x) = 2x − 3 khi x ≥ 1 tại xo = 1ĐS:K Lt   1 khi x 1 1) ĐS: LT ¿{ ¿  x 3  2 khi x 1  f (x)   x  1 taïi x 1  4  x2 1  khi x  2  khi x 1 x  2    4 2) ĐS:Lt 1  2x khix  2 ¿  7) f(x) = tại xo = 2 ĐS:K Lt x3 − x − 6 3  khi x ≠2 x2 − x − 2  x  2 khi x 0 3) f(x) = 11 tại xo = 2 ĐS: Lt  khi x=2  x  1  1 khi x  0 3 3 ¿{ 8) f(x) =  1  x  1 tại xo = 0 ĐS: Lt ¿  x 5 1  2x  3 khi x  5  khi x 2  f ( x )  2 x  1  3 taïi x 5  2 x 2 ( x  5)  3 khi x  5 1 khi x 2  9) ĐS:Lt  4) f(x) = tại xo = 2 ĐS:Lt 1  cos x khi x 0  2  7 x  5x 2  x 3 f ( x)   taïi x 0  x  1 khi x  0 khi x  2  10) ĐS:K Lt f ( x )   x 2  3x  2 taïi x 2 1  x 1 khi x 2  khi x  1  5) ĐS:Lt f ( x )  2  x  1 taïi x 1  2 x khi x 1  11) ĐS:Lt Baøi 2:. Tìm m, n,a để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: 3. 1).  x  x2  2x  2  f ( x )  x 1 3 x  m. khi x 1 taïi x 1 khi x 1. ĐS:m=0. x 3 +2 x −3 x2 − 1 2) f(x) = a ĐS:a=5/2. ¿ khi x ≠1 khi x=1 ¿{ ¿. tại x0 = 1.

<span class='text_page_counter'>(15)</span>  1 x  1 x  2 khi x  1 taïi x 1 f ( x )  x khi x  0  2mx  3 khi x 1 x  3) ĐS:m=2  ¿ a  4  x khi x 0 2  3 x +2 x − 1 khi x <1  x  2 5) f(x)= tại xo= 0 ĐS:a=-3 4) f(x) = 2x+a khi x ≥ 1 tại x0 = 1ĐS:a=2 3  3x  2  2 ¿{ khi x  2  ¿ x 2  ax + 1 khi x 2  4 6) f(x)=  tại x0 = 2 ĐS:a=0 Baøi 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: ¿  x2  4  x 2 − 3 x −7 khi x <− 2 khi x  2 f ( x )  x  2 1) f(x) = 1− x khi x ≥− 2 Lt / R  4 khi x  2 ĐS:Lt/ R ¿{ 4) ¿  x2  2 khi x  2   x 2  3 x  4 khi x  2 f ( x )  x  2  f ( x ) 5 khi x 2 2 2 khi x  2 ĐS: Lt / R  2 x  1 5) khi x  2 2) ĐS:K Lt tại x=2  x 2  3x  10  x3  x  2 khi x  2  khi x  1  3  x2  4 f ( x)   x  1   2x  3 khi 2  x 5  4 khi x  1 x  2   3 3) ĐS:Lt/ R  3x  4   6) f(x)= . khi x  5. ĐS:K Lt tại x=5 Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:  x2  x  2  x3  x2  2x  2   khi x 1 f ( x )  x  2 khi x 2 f ( x )  x 1 m 3 x  m khi x 2 ĐS:m=3 khi x 1 ĐS:m=0 1) 3)  2  x 2  x khi x  1 khi x  1 f ( x )  x  2 mx  3 khi x 1 f ( x ) 2 khi x 1  4) ĐS: m=2  mx  1 khi x  1 2) ĐS: m=1 Baøi 5: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: a) x3 – 2x – 7 = 0 ĐS: f(x) liên tục trên R và f(0).f(3)<0 b) x5 + x3 – 1 = 0 ĐS: f(0).f(1)<0 c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 ĐS: f(-1).f(0)<0 d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0 ĐS: f(0).f(5)<0 e) x5 + 9x2 + x + 2 = 0 ĐS: f(-3).f(0)<0 f) cosx – x + 1 = 0 ĐS: f(0).f(3)<0 Baøi 4:. 5 g) x  3x  3 0 ĐS: f(-2).f(0)<0 5 h) x  x  1 0 4. 3. ĐS: f(0).f(1)<0. 2. i) x  x  3x  x  1 0 ĐS: f(-2).f(0)<0 Baøi 6: Chứng minh rằng phương trình 3 2 a) x – 3x + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) ĐS:f(-1)<0; f(0)>0; f(2)<0; f(3)>0 b) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2) ĐS:f(-2)<0; f(0)>0; f (1)<0; f(2)>0 c) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1) ĐS:f(-3)<0; f(-2)>0; f (0)<0; f(1)>0 d) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) ĐS:f(-1)<0; f(0)>0; f (1)<0; f(3)>0 e) 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1) ĐS:f(-3)>0; f(0)<0; f (1)>0 f) x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5) ĐS:f(0)<0; f(1/2)>0; f (1)<0; f(5)>0 5 3 g) x  5 x  4 x  1 0 có 5 nghiệm trên (–2; 3). ĐS:f(-2)<0; f(-3/2)>0; f(0)<0; f(1/2)>0; f (1)<0; f(3)>0 Baøi 7: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 3 1) x  3 x  1 0 ĐS: f(-2)<0; f(0)>0; f (1)<0; f(2)>0 3 2 2) x  6 x  9 x  1 0 ĐS: f(-4)<0; f(-3)>0; f (-1)<0; f(0)>0 3 3) 2 x  6 1  x 3 ĐS: f(-7)<0; f(0)>0; f (1)<0; f(9)>0 Baøi 8: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số: 3 1) m( x  1) ( x  2)  2 x  3 0 ĐS:f(1).f(2)<0 4 2 2) x  mx  2mx  2 0 ĐS:f(0).f(2)<0 3) * a( x  b)( x  c)  b( x  c)( x  a)  c( x  a)( x  b) 0 HD: xét 4 TH: a<b<c<0; a<b<0<c;… 4) x5-mx+m-4=0 HD: sử dụng giới hạn 3 5) mx -5x+2=0 HD: sử dụng giới hạn. f (x) l im  Khi m=0 pt luôn có nghiệm. Khi m ≠0 Đặt f(x)=Vt Khi đó x   m nên luôn cố 2 số a,b để. f(a)/m.f(b)/m<0 nên pt luôn có nghiệm. 2 3 2 6) (1  m )( x  1)  x  x  3 0 ĐS: sử dụng giới hạn 7) cos x  m cos 2 x 0 ĐS:f(/4)f(3/4)<0. 8) m(2 cos x  2) 2sin 5 x  1 ĐS: f(-/4)f(/4)<0 3 9) m(x – 1) (x + 2) + 2x + 3 = 0 ĐS: f(1).f(-2)<0 10) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0 ĐS: f(0).f(1)<0 2 Baøi 9: Cho f(x) = ax + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0 a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2) b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) không thể cùng dấu c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1) Baøi 10:Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm: 1). ax 2  bx  c 0 với 2a + 3b + 6c = 0. 2). ax 2  bx  c 0 với a + 2b + 5c = 0 ĐS: f(0)+f(1/2)=0. 3 2 3) x  ax  bx  c 0 ĐS: dựa vào giới hạn Baøi 11: Cho 3 số a,b,c khác nhau . Chứng minh rằng phương trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 Có 2 nghiệm phân biệt. 4 8 7 ĐS: f(a); f(b); f(c). Giả sử a < b < c. Thì f(a)>0; f(b)< x 3  x 2 3 x  x 12 x  x 12 0; f(c)>0 nên pt luôn có 2 nghiệm.  1  0;  2 Baøi 12:Chứng minh rằng phương trình: ax  bx  c 0 luôn có nghiệm x   3  với a  0 và 2a + 6b + 19c = 0. ĐS: f(0)+2f(1/3)=0 Baøi 13:Cho phương trình x4 – x – 3 = 0. Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo  (1;2) và xo >.

<span class='text_page_counter'>(17)</span>