de thi chon HSG mon toan 12

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THPT TRẦN QUỐC TUẤN TỔ TOÁN. ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG 12 Môn: Toán (Lần 1) – Năm học 2017 – 2018 Thời gian: 180 phút (không kể TG giao đề). Câu 1(4.0 điểm). 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình nghiệm thực phân biệt. 1 3 y= x 4 − mx 3+ (m2 +1) x 2+ x +m 4 2. 2. Chứng minh hàm số. x 3 −3 x 2 − 9 x+ 3 m=0. có ba. có đúng một điểm cực trị với. mọi giá trị của tham số m. Câu 2(5.0 điểm) y= log 1 (16 − x2 )+2. √. 1. Tìm tập xác định của hàm số. 3. ¿ √ x + x − 2 √ y =√ xy − 2 √ x +1 10 ( √3 x +1 − √ y+ 1 )=6 x 2 +7 y − 12 ¿{ ¿ 2. 2. Giải hệ phương trình. Câu 3(3.0 điểm). 1. Cho tam giác ABC có ba cạnh Chứng. AB=c , AC=b , BC=a . Đường cao. AH=h .. 1. minh rằng nếu S Δ ABC= (a+ b −c )(a+ c − b) thì bc=h √b 2+ c2 . 4 2. Một nhóm 6 bạn học sinh cùng học lớp 12 chơi thân nhau (có cả nam và nữ), trong đó có Vinh và Ngọc . Nhóm bạn dự kiến chụp mấy kiểu hình kỷ niệm trước khi chia tay năm cuối cấp. Sắp ngẫu nhiên 6 bạn thành một hàng dọc để chụp hình, tính xác suất để hai bạn Vinh và Ngọc được đứng cạnh nhau? Câu 4(5.0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a. Gọi M là trung điểm của cạnh AD và H là giao điểm của BM với AC. Biết SH vuông góc với mp(ABCD) và góc giữa SB với mp(ABCD) bằng 600. 1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SD theo a. 3. Gọi O là điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp S.ABCD một khoảng R. Tính R theo a. Câu 5(3.0 điểm). Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn 2 ab+a+ b=4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=. 2a 2 b 4 ab + + − a2 −b 2 a+2 b+2 a+b. ……………………………………….. Hết ……………………………………….

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN Câu 1 (4.0đ). ý 1 (2.0đ). 2 (2.0đ). 2 (5.0đ). 1 (2.0đ). 2 (3.0đ). Nội dung đáp án * x −3 x − 9 x+ 3 m=0 ⇔ x − 3 x 2 −9 x=− 3 m (1) 3 2 * Xét hàm y=¿ x −3 x − 9 x . Tính y’, giải pt y’ = 0 …. * BBT: …… 5 * Từ BBT suy ra (1) có ba nghiệm khi −27< −3 m< 5 ⇔ − < m< 9 3 * TXĐ: D = R * y '=x 3 −3 mx 2 +3(m2 +1) x +1 . (1) y '=0 ⇔ g (x)=x3 −3 mx 2+3 (m 2+1) x+1=0 2 x −m ¿ + 3>0 , ∀ x ∈ R * Ta có 2 2 g ' (x )=3 x −6 mx+ 3(m +1)=3 ¿ Suy ra hàm số g(x) đồng biến trên R => pt (1) có đúng 1 nghiệm x 0=a Mặt khác, với hai số x 1 , x 2 : x 1< a< x 2 , ta có: y ' (x 1)<0< y ' (x 2) nên y’ đổi dấu khi x đi qua điểm x = a. * Vậy hàm số đã cho có một cực trị với mọi m. 2 * ĐK: log 1 (16 − x )+ 2≥ 0 3. 2. 3. 3. ⇔ − 4< x ≤− √ 7 ⇔ ¿ 2 16 − x > 0 √7 ≤ x<4 ¿ 16 − x 2 ≤ 9 ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿ * Vậy TXĐ: D=¿ ∪¿ ¿ 2 √ x + x − 2 √ y =√ xy − 2 √ x +1(1) Xét hệ: 10 ( √ 3 x +1 − √ y+ 1 )=6 x 2 +7 y − 12(2) ¿{ ¿ * ĐK: x ≥ 0 , y ≥ 0 * (1)⇔ ( √ x +2 ) ( √ x+1 − √ y )=0 ⇔ y=x +1 * Thay vào (2) được: 10 ( √ 3 x +1 − √ x+2 ) =6 x 2+7 x −5 10( 2 x − 1) ⇔ =(2 x −1)(3 x+ 5) √ 3 x +1+ √ x+ 2 10 ⇔ (2 x −1) − 3 x −5=0 √3 x +1+ √ x +2 ⇔ 2 x −1=0(3) ¿ 10 − 3 x −5=0( 4) √3 x +1+ √ x +2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ * (3) => x = 1/2 => y = 3/2.. (. ). Điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5. 0.5 0.5 1.0 0.5. 0.25 0.5 0.25. 1.0 0.5. 0.5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 10 <5 √ 3 x+1+ √ x +2 => (4) vô nghiệm. Vậy hệ có một nghiệm (1/2; 3/2) * Gọi p là nửa chu vi của tam giác ABC. Ta có 1 S Δ ABC=√ p ( p − a)( p −b)( p −c )= ( a+b − c)(a+c − b) 4 2 a+c − b ¿ a+b − c ¿ 2 ¿ 1 1 ⇔ (a+b +c)(b+c −a)(a+c − b)(a+ b −c )= ¿ 16 16 2 2 2 => Tam giác ABC vuông tại A ⇔ . .. . ⇔ b + c =a * AH là đường cao của tam giác vuông ABC 1 1 1 = 2 + 2 hay bc=h √b 2+ c2 nên ta có: 2 h b c * Gọi biến cố A: “ … Vinh và Ngọc đứng cạnh nhau” * Số khả năng có thể là P6=6 !=720 * Số khả năng thuận lợi cho A là 5 ! .2 !=240 240 1 = Vậy P A = 720 3 * Nhận xét: Với. 3 (3.0đ). 1 (1.5đ). 2 (1.5đ). 4 (5.0đ). 1 (1.5đ). x ≥ 0 ⇒ √ 3 x+1+ √ x +2>2⇒. ❑. * Chứng tỏ được SBH=60 2 2a √ 5 2 a 15 ⇒ SH= √ * BH= BM= 3 3 3 3 2 a √ 15 * V S . ABCD=. ..= 9. 0.5. 0.5. 0.5 0.5 0.5 0.5. 0. 0.5 S. 0.5 0.5. K. 2 (2.0đ). 3 (1.5đ). 5. M. A. * Dựng DN // BM. Dựng HI DN, HK SI. * BM // (SDN) nên d (BM , SD)=d ( H ,(SDN)) B Chứng minh được HK ⊥(SDN)⇒ HK=d ( H ,(SDN)) 2a a √ 35 * Tính được HI= , từ đó tính được HK= . 7 √5 a √ 35 Vậy d (BM , SD)= 7. H. D. I. * Gọi E là giao điểm của AC và BD. Dựng Et qua E và Et ⊥(ABCD ) . Mặt phẳng trung trực của cạnh SC cắt Et tại O. Vì ABCD S là hình vuông nên O cách đều A, B, C, D. Và vì OS = OC nên O cách đều 5 đỉnh của hình chóp S.ABCD. * Dễ thấy OA = R chính là bán kính F đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC. O SA . SC. AC M A * S ΔSAC= 4R H 2 a √7 a 23 2 a2 √E30 , SC= √ , AC=2 a √ 2 * SA= và B S ΔSAC = . TừC 3 3 3 a 2415 R= √ đây tính được . 90 * 2 ab+a+ b=4. ⇒a+ b=4 −2 ab ≥ 2 √ ab ⇒ ab ≤1 ⇒a+ b ≥2. 0.5. C. 0.5 0.5 0.5. 0.5. D. 0.5. 0.5 1.0.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> (3.0đ). 4 −t 2 2 a+b ¿ −2 ab 4 8 2 ¿=.. .= + − t −t +2=f (t) 3 t * P=¿ 4 ab+ 4(a+b)+4 4 ab + −¿ ab+2(a+ b)+ 4 a+ b 8 * f ' (t )=− 2 −2 t − 1< 0 , ∀ t ≥ 2 => f(t) nghịch biến trên ( 2; +∞ ) t 4 Nên f (t)≤ f (2)= , ∀ t ≥2 3 MaxP=4 /3 * Vậy khi a = b = 1. ………………………………….. Hết ……………………………………….. * Đặt. t=a+ b ,t ≥2 , ⇒ ab=. 1.0 0.5. 0.5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>