Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (625.2 KB, 27 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ 8 - NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỈ VÀ HÀM LÔGARIT 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Nguyên hàm vô tỉ: Với 1 thì:. x 1 u 1 x .dx 1 C ; u .u '.dx 1 C . m. Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển, nhân chia lượng liên hợp, mũ phân số. n. a m a n ,…. Các dạng tích phân vô tỉ: b. . dx : nhân hợp liên hiệp (trục căn ở mẫu) px q px r. b. xk dx : trục căn ở tử xk. a. a b. dx. x m x n : Đặt t . xm . xn. a. b. a. px x m 2. dx : Đặt u x 2 m. b. . k 2 x 2 dx : Đặt x k sin t hoặc k cos t. a. b. a. 1 x m 2. :Đặt t x x 2 m. b. . x 2 mdx : Đặt u x 2 m , dv dx. a. b. x a. R x, b. a. dx px 2 qx r. : Đặt t . 1 x . . k 2 x 2 dx : Đặt x k sin t hoặc k cos t. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(2)</span> . R x,. k 2 x 2 dx : Đặt x k tan t hoặc k cot t. R x,. x 2 k 2 dx : Đặt x . b. a. . b. a. k k hoặc sin t cos t. x x n R x ; dx : Đặt t n a x x b. R x, x x dx : Đặt x sin b. 2. t. a. . R x, b. px 2 qx r dx : Đặt. a. px2 qx r t x p hoặc. px 2 qx r t x r. Nguyên hàm mũ và lôgarit:. e dx e x. x. e .u ' dx e. c. u. u. c. au a .u '.dx ln a c a 0, a 1. ax a dx ln a c. u. x. Các dạng tích phân từng phần: b. P x .e. x. dx : Đặt u P x , dv e x dx. a. b. x. . .ln xdx : Đặt u ln x, dv x .dx. a. b. e. x. .sin xdx : Đặt u e x , dv sin xdx. a b. e. x. .cos xdx : Đặt u e x , dv cos xdx. a. 2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 8.1: Tính a). . . x 3 x dx. b). x. 3. . x 4 x 1 dx. Hướng dẫn giải. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1 1 2 2 3 4 x 3 x dx x 2 x 3 dx x 3 x 3 C 3 4 . a). . . b). x. 3. 3 1 5 6 11 4 7 4 3 x 4 x 1 dx x 6 x 4 2 x 2 dx x 6 x 4 x 2 C 11 7 3 . . Bài toán 8.2: Tính a). . x x x dx x2. 1 1 3 dx x x. . b) . Hướng dẫn giải 3 1 x x x 2 a) dx x 2 dx 2 x C 2 x x x 1 1 1 3 1 b) 3 dx x 3 dx 2 x 3 x 2 C 2 x x x . Bài toán 8.3: Tính a) I . . dx x3 x4. b) J . . dx , a 0, b c ax b ax c Hướng dẫn giải. 1 7. a) I . b) J . . 1 1 1 2 x 4 2 dx x 3 7 . 3 3 2 2 x 4 2 C x 3 21 . 1 bc . . . x 3 x 4 dx . . . ax b ax c dx. 2 a b c . . ax b . Bài toán 8.4: Tính a) E . . 3. . ax c . 3. x 4 x 4 2dx. C b) F . . 3. xdx x2. Hướng dẫn giải. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2 1 1 1 x 2 dx x 2 2 dx x3 C x 3 x . a) E . x. b) F . 2 1 5 2 x22 3 3 2 x 2 3 dx 3 3 x 2 3 C dx x 2 x 2 3 x2 5 . 2. Bài toán 8.5: Tính: a) A . 2 x 3. x 3dx. b) B . 1 1 x dx. Hướng dẫn giải a) Đổi biến: Đặt t . x 3 x t 2 3 dx 2t.dt. A 2 2t 2 3 dt 2 2t 4 3t 2 dt 2. 3 4 2 t 5 2t 3 C x 3 2 2 x 1 C 5 5. b) Đặt t 1 x x 1 t dx 2 1 t dt 2. Q 2. t 1 1 dt 2 1 dt t t. 2 t ln t C 2 Bài toán 8.6: Tính: a). . . . . x ln 1 x C. dx. x 1 x. . 2. b). . 1 x 9 2. dx. Hướng dẫn giải a) Đặt t 1 x x t 2 1 dx 2t.dt. . 1 x t 2 dt 1 dx 2 2 2 1 2 dt x t 1 t 1 . 1 1 2 dt dt 2t ln t 1 ln t 1 C t 1 t 1 2 1 x ln. 1 x 1 C 1 x 1. b) Đặt t 1 x x t 2 1 dx 2t.dt. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(5)</span> . 1 x t 2 dt 1 dx 2 2 2 1 2 dt x t 1 t 1 . 1 1 2 dt dt 2t ln t 1 ln t 1 C t 1 t 1 . 2 1 x ln. 1 x 1 C 1 x 1. . dx x2 9 x. b) Đặt t x x 2 9 dt 1 . . . dx x2 9. . dx x 9 2. . dt t. dt ln t C ln x x 2 9 C t 7/3. Bài toán 8.7: Tính: a) K . 0. x 1 dx 3 3x 1. 3. b) L . 2. dx x 1 x 1. Hướng dẫn giải. t3 1 dx t 2 dt a) Đặt t 3x 1 x 3 3. Khi x 0 thì t 1, x 2. 1 K t 4 2t dt 31 3. 1 b) L 22. . 7 thì t 2 . 3 2. t5 t3 46 15 3 1 15 2. 3 3 1 7 3 3 2 2 x 1 x 1 dx x 1 2 x 1 2 3 3 1. . a /2. a. Bài toán 8.8: Tính: a) A . . a x dx 2. 2. b) B . 0. 0. dx a2 x2. Hướng dẫn giải a) Đặt x a sin t với . 2. t . 2. thì dx a cos t. Khi x 0 thì t 0, x a thì t . 2. .. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(6)</span> /2. Aa. 2. . /2. cos t .cos tdt a. . 2. 0. a2 cos tdt 2. /2. 1 cos 2t dt. 2. 0. 0. /2. a 2 sin 2t a2 t 2 2 0 4 b) Đặt x a sin t với . 2. B. 0. a cos tdt a cos t. thì dx a cos tdt. 2. a thì t . 6 2. Khi x 0 thì t 0; x /6. . t . /6. . dt 6 0. b. Bài toán 8.9: Tính: a) C . b. dx. . x b. 0. . b) D . 2. x 2 b .dx. 0. Hướng dẫn giải. . dx x2 b x. a) Đặt t x x 2 b dt 1 . . b 2b. . C. b. dt ln t t. b 2b b. . b. b) D . . . ln 1 2. x 2 bdx x x 2 b. 0. b. b 2. . x2 b b. 0. x b. b 2 b nên D 2 2. 2. b. 0. 0. b. . 0. x2 x b 2. dx b 2 D b 0. x2 b 2. 0. dx . x2 b. dt t. dx. 1 x b 2. . dx. b 2 1 ln 1 2 2 2. 1 x2 dx x4. . . b. 1. Bài toán 8.10: Tính: a) K . . b. dx. 2. b) L . 1/2. x. 2. . 1 dx. x x4 1. Hướng dẫn giải. 1 t. a) Đặt x dx . 1 dt t2. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(7)</span> 1/2. K t 1 t 2 dt 1. 1 15 5 2 2 2 1 t 1 d 1 t 3 8 2 2 . 1/2. 1 2 1 1 x 2 dx dx 2 x 1 1/2 1 x2 2 x 2 x x . 1. 2. b) L . 1 2. . 1/2. 2. 2 1 1 13 3 ln x x 2 ln x x 13 3 1/2. 1. 1. . Bài toán 8.11: Tính: a) A x. 2. 0. 1 x dx b) B x5 1 x 2 dx 2. 0. Hướng dẫn giải. t dx cot dt 2 2. a) Đặt x sin t . Khi x 0 thì t 0, x 1 thì t /2. A. 0. 1 4. /2. 0. 1 sin t cos tdt 4 2. 2. 2. /2. sin. 2. 2tdt. 0. /2. 1 cos 4t 1 sin 4t t 2 8 4 0 16. b) Đặt t 1 x 2 x 2 1 t 2 xdx tdt Khi x 0 thì t 1, x 1 thì t 0 . 0. B 1 t 1. . 2 2. 1. t7 2 1 8 .t t dt t 2t 1 t dt t 5 t 3 3 0 105 7 5 0 1. 4. 2. 2. Bài toán 8.12: Tính: 1. a) I . 0. x 2 dx x2 x 1. a/ 3. b) J . 0. xdx a2 x2 . a. 2. x2 . 3. Hướng dẫn giải L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(8)</span> 2. 1 3 x x 1 x , x 2 x 1 ' 2 x 1 2 4 2. a) Ta có. 2 1 3 Đặt x A x B x 1 C 2 4 2. Đồng nhất thì được A 1, B 2, C . 1 nên 2. 2 1 1 3 2x 1 1 1 I x 2 3 2 4 0 1 3 2 1 3 2 x x 2 4 2 4 . dx . 1. 2x 1 2 1 1 x x 1 ln x x 2 x 1 8 2 0 4 . 3 3 1 1 2 ln 1 4 8 3 a/ 3. b) J . xdx. . a2 x2 . 1 a2 x2. 0. xdx. Đặt t 1 a 2 x 2 dt 2 a 1. J. . a 1. . dt 2 t t. 2 a 1 a 1. 2. a2 x2. . 4096. Bài toán 8.13: Tính: a) K . . 128. 2a 1 a 1. xdx 3. xdx t 1 dt. x2 4 x. 6. b) L . 4. dx x2 5x 6. Hướng dẫn giải a) Đặt x t12 thì dt 12t11dt Khi x 128 thì t 2, x 4096 thì t 2 . 2 9 4 t14 t4 K 12 5 dt 12 t t 5 dt t 1 t 1 2 2 2. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(9)</span> t10 t 5 1 12 ln t 5 1 10 5 5 b) Đặt t . 2. 2. 464 4 2 1 31 12 ln 5 5 4 2 1 . x 2 x 3. 1 1 x 2 x 3 dt dx 2 x 2 2 x 3 . 1 1 dt dx 2 x 2 2 x 3 6. 2dt ln t t 2 1. x 2 x 3 . 4. :. . x 2 x 3. 2 3. dx. L. dx. 2 3. ln. 2 1. 2dt t. 2 3 2 1. Bài toán 8.14: Tính: 1. x 1. a) A . 1/2. dx. b) B . x 2x 2 2. 0. x 0. dx. 2. 1 x 2 2. Hướng dẫn giải a) Đặt t 1/2. A 1. 1 1 dt x 1 dx 2 x 1 t t. dt t 1 2. . Đặt u t t 2 1 . 1 5 /2 Do đó A . . 1 2. dt t 1 2. . . du u. 2 1 2 du 1 5 /2 ln u 1 2 ln u 1 5. b) Đặt t . x2 2 x2 . 3/2. 3/2. dt 1 D 2 3t 1 2 3 2 1 t 3 1 ln 2 3 t 3 1 . 2t 2 2dx dt 2 1 t x2 2 x2 2. . 1 1 dt 3 1 t 3 1 . . 1. t 2. 3/2. 2. . 2 3. . 6. 5 3 12 3 ln. . 23 7 2. Bài toán 8.15: Tính: L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(10)</span> 1. a) I n . 1. 1. 1 x n. n. 0. 1 x. n. . b) J n x n . 1 xdx. dx. 0. Hướng dẫn giải 1. a) I n . 1 xn xn. 1 x n. 0. . n. 1. 1 xn. dx 0. 1. 1 1 xd n 1 xn 0 0 n 1 xn. x. 1 n. 1 xn. 1. dx 0. xn. 1 x n. n. 1 xn. dx. 1 xn dx n n n 0 1 x . 1 x. 1. 1. 1 xn xn 1 n dx dx n n n n 2 0 1 x n n 1 x n 2 0 1 x . 1 x b) u x n , dv 1 xdx Khi đó du nx n1dx, v . 2 Jn x 3 0. . 1 x. . 3. 1. 2 3. 1 x . 3. 1. 2n n1 x x 1 1 xdx 3 0 0. 2n 2n J n1 J n1 J n J n 3 2n 3. 2n 2 n 1 2 2n1.n! Vậy J n . ... J 0 2n 3 2n 1 5 3.5... 2n 3 x. Bài toán 8.16: Tìm hàm số f và số thực a 0 thỏa mãn điều kiện:. a. f t dt 6 2 x với mọi x 0 . t2. Hướng dẫn giải Gọi F t là một nguyên hàm của hàm số. f t t2. Theo định nghĩa tích phân, ta có với mọi x 0. F x F a 6 2 x Cho x a ta được a 9 và F x F 0 6 2 x. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(11)</span> nên F ' x . f x 1 1 2 f x x3 x x x. Bài toán 8.17: Tính: a). 2. x. 3. . x 2. dx. b). . 5x 1 5 x 3x. dx. Hướng dẫn giải a). 2. x. 3. . x 2. 4x 6x 9x dx 4 2.6 9 dx 2 C ln 4 ln 6 ln 9 x. x. x. x. 5 x x 5x 1 5 x 5 1 3x 3 5 x b) dx x 3 dx C 3 5 ln 3 3x 3 ln 3 Bài toán 8.18: Tính: a). e. sin x. cos xdx. b). e. x. 1 dx e x. Hướng dẫn giải a). e. sin x. cos xdx esin x d sin x esin x C 1 t. b) Đặt t e x thì dt e x dx dx dt. 1 1 1 1 1 1 dx dt dt e x e x t t t 1 t 2 1 2 t 1 t 1 dt 1 1 ex 1 ln t 1 ln t 1 C ln x C . 2 2 e 1 Bài toán 8.19: Tính: a). 1 tan x . 2. e2 x dx b). x 1 dx. x 1 xe x. Hướng dẫn giải a). 1 tan . 2. e2 x dx 1 tan 2 x 2 tan x e2 x dx. tan x.e2 x dx tan x.e2 x C b) Đặt t 1 xe x thì dt x 1 e x dx. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(12)</span> x 1 dx. t 1 xe x 1 1 dt ln C ln C x 1 xe x t 1 t t 1 xe x. . . Bài toán 8.20: Tính: a) I x3 .e x dx. b) J e. 3 x 9. dx. Hướng dẫn giải. . . a) Đặt u x3 , v ' e x thì J x3 .e x dx e x x3 3 x 2 .e x dx Đặt u x 2 , v ' e x thì. x .e dx x e 2. x. . 2 x. 2 xe x dx 2 xe x I. . Do đó J e x x3 3x 2 6 x 6 C b) Đặt t 3x 9 3x t 2 9 dx . J. 2 tdt 3. 2 t te dt . Đặt u t , v ' et thì tet dt t.et et C 3. nên J . 2 3. . 3x 9e. Bài toán 8.21: Tính: a). 3 x 9. e. ln xdx. 3 x 9. C. b). . x ln xdx Hướng dẫn giải. a) Đặt u ln x, dv dx . Khi đó du . 1 dx, v x . Ta có: x. 1. ln xdx x ln x x. x dx x ln x dx x ln x x C b) Đặt u ln x, v ' . . x ln xdx . 1 2 3 x u ' , v x 2 . Ta có: x 3. 2 32 2 1 2 3 4 3 x ln x x 2 dx x 2 ln x x 2 C 3 3 3 9. Bài toán 8.22: Tính: a). . ln x x. 2. dx b) x ln. x dx 1 x Hướng dẫn giải. a). . ln x x. 2. 1 2 dx ln x d ln x ln 3 x C 3. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(13)</span> x 1 x2 b) Đặt u ln , du xdx . Khi đó du ,v 1 x x 1 x 2. x ln. x x2 x 1 x dx ln dx 1 x 2 1 x 2 1 x. x2 x 1 1 x2 x 1 1 ln 1 dx ln ln 1 x x C 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 2 Bài toán 8.23: Tìm nguyên hàm b) J x 2 cos 2 x dx. a) I x3 ln 2 x dx. . . Hướng dẫn giải. 1 x4 a) Đặt u ln 2 x , dv x dx . Khi đó du dx, v . x 4 3. Ta có: I . x 4 ln 2 x x 4 ln 2 x x 4 x3 dx C 4 4 4 16. b) Đặt u x 2 , dv cos 2 x dx . Khi đó du 2 xdx, v . sin 2 x . 2. x 2 sin 2 x x sin 2 x dx Ta có: J 2 Đặt u x, dv sin 2 x dx . Khi đó du dx, v . x sin 2 x dx . cos 2 x : 2. x cos 2 x cos 2 x x cos 2 x sin 2 x dx C 2 2 2 4. x 2 sin 2 x x cos 2 x sin 2 x C nên J 2 2 4 Bài toán 8.24: Tính: a) I sin ln x dx. . b) J e x cos x 2 x sin x dx. . 2. Hướng dẫn giải a) Đặt u ln x thì x eu nên dx eu du. A sin u.eu du sin ud eu sin u.eu cos u.eu du L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(14)</span> sin u.eu cos u.d eu sin u.eu cos u.eu sin u.eu du Từ đó suy ra A . 1 x sin ln x cos ln x C 2. b) Đặt u e x , dv cos x . Khi đó du 2 xe x dx, v sin x 2. e. x2. 2. .cos xdx e x .sin x 2 xe x .sin xdx 2. 2. nên J e x cos x 2 x sin x e x .sin x C. . 2. 2. 1. x. Bài toán 8.25: Tính: a) K . 2. 1. x 1 e dx. b) L . x. 0. x. 3. 2 e x dx. 0. Hướng dẫn giải a) Đặt u x 2 x 1, dv e x dx . Khi đó du 2 x 1 dx, v e x .. K x x 1 e 21. x. 1 0. 1. 1. 2 x 1 e dx 3e 1 2 x 1 e x dx x. 0. 0. Đặt tiếp u 2 x 1, dv dx thì được K 2 e 1 . b) Đặt u x3 2, dv e x dx . Khi đó du 3x 2 dx, v e x . 1. L e x x3 2 3 x 2e x dx 1. 0. 0. Dùng tích phân từng phần 2 lần nữa thì L 4 . ln 4. Bài toán 8.26: Tính: a) A . . ln 2. dx ex 1. 1. b) B . xe x. 1 x . 2. dx. 0. Hướng dẫn giải a) Đặt u x 2 x 1, dv e x dx . Khi đó du 2 x 1 dx, v e x . 1. 1. 0. 0. K x 2 x 1 e x 2 x 1 e x dx 3e 1 2 x 1 e x dx 1. 0. Đặt tiếp u 2 x 1, dv dx thì được K 2 e 1 . b) Đặt u x3 2, dv e x dx . Khi đó du 3x 2 dx, v e x .. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(15)</span> 1. L e x 2 3 x 2e x dx x. 1. 3. 0. 0. Dùng tích phân từng phần 2 lần nữa thì L 4 . ln 4. Bài toán 8.26: Tính: a) A . dx. . ex 1. ln 2. 1. b) B . xe x. 1 x . 2. dx. 0. Hướng dẫn giải a) Đặt t e x 1 e x t 2 1 dx 3. A. t 1. dt . Đặt t tan u thì B 6 1. 2. 1. b) B . 2tdt t2 1. 1. ex ex dx 0 1 x 0 1 x 2 dx. e x 1 1 e x e ex dx dx 1 . 2 1 x 1 x 1 x 0 0 0 1. . . . . Bài toán 8.27: Tính: a) e cos xdx b) J e 2 x sin 2 xdx x. 0. 0. Hướng dẫn giải a) Đặt u cos x, dv e x , du sin x, v e x . . 0. 0. I cos x.e x e x .sin xdx 1 e sin xd e x 0. 1 e sin x.e . x. . e 0. x. cos xdx 1 e I. 0. Do đó 2 I 1 e I . 1 e . 2. . . . 1 1 1 b) J 1 cos 2 x d 22 x e2 x 1 cos 2 x e2 x .sin 2 xdx 40 4 20 0 Dùng từng phần 2 lần liên tiếp thì J . 1 2 e 1 . 8. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(16)</span> 1 x 1x Bài toán 8.28: Tính a) I 1 x e dx x 0.5 2. 1. b) J . 3x 0 3x 3 x dx. Hướng dẫn giải 2. a) I . e. x. 1 x. 0,5. Đặt u e. 1 x dx x e x dx x 0,5 . x. 2. 1 x. 1. 1 x 1x , dv dx . Khi đó du x e dx, v x x . 1 x 1 x 1x Ta có: x e dx xe x x 0,5 2. Suy ra I xe. x. 1 2 x 0,5. 2. 2. 0,5. e. x. 1 x. dx. 0,5. 3 e2,5 . 2. 3 x b) Xét E x dx thì J E dx 1 3 3 x 0 0 1. 1. 3x 3 x 1 1 5 và J E x dx .ln 3x 3 x ln x 3 3 ln 3 ln 3 3 0 0 1. 1. Do đó: J . 1 1 5 ln . 1 2 ln 3 3 1. Bài toán 8.29: Tính: a) A . . 1. 1 x2 dx 1 2x. 1. . b) B x 2e x sin xdx 0. Hướng dẫn giải 0. a) A . . 1. 1 x2 1 x2 dx 0 1 2x dx 1 2x 1. 0. Đặt x t thì. . 1. 1. Do đó A . 0. 1 x2 2t 1 t 2 2x 1 x2 dx dt dx 1 2x 1 2t 1 2x 0 0 1. 1 2 x. 1 x2. 1 2x. 1. 1. dx 1 x 2 dx 0. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(17)</span> . Đặt x sin t thì A . 4. .. b) Đặt u x 2 sin x, dv e x dx thì 1. B e x sin x e x 2 x sin x x 2 cos x dx x. 1. 2. 0. 0. 1. 1. 0. 0. e sin1 2 xe x sin xdx x 2e x cos xdx Từ đó tính được B e sin1 . 1. sin 2 x b) J x dx 3 1 . dx Bài toán 8.30: Tính a) I x 2 1 e 1 x 1. Hướng dẫn giải a) Đặt x t thì dx dt . Khi x 1 t 1, x 1 t 1 . 1. 1. 1. dx dt et Ta có I x dt 2 t 2 t 2 e 1 x 1 e 1 t 1 e 1 t 1 1 1 1 1. I. ex 1 e x 1 x2 1dx 1. nên 2 I I I . t. 1. dt . Vậy I . 1 2 4. 2. . b) Đặt x t thì dx dt nên: J . . . . . sin 2 t 3x.sin 2 x dt dx x 1 1 3 1 3t. . 1 Do đó 2 J sin xdx 1 cos 2 x dx J 2 2 2. 3. . . 2. . Bài toán 8.31: Tính a) A ln x x dx b) B x5 ln xdx 2. 2. 1. Hướng dẫn giải. . a) A x ln x 2 x. . 3 2. 2x 1 1 dx 3ln 6 2ln 2 2 dx 3ln 3 2 x 1 x 1 2 2. 3. . 3. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(18)</span> b) Đặt u ln x, dv x5dx . Khi đó du . dx 1 , v x6 x 6. 2. 2 5 x 6 ln x x dx 32 7 B ln 2 3 4 6 1 1 6 e. e. . b) D . Bài toán 8.32: Tính a) C x ln xdx 2. x. 2. x 1 ln xdx. 1. 1. Hướng dẫn giải a) Đặt u ln 2 x, dv xdx . Khi đó du . 2ln x 1 dx, v x 2 x 2. e. e e x2 2 e2 C ln x x ln xdx x ln xdx 2 1 2 1 1. dx x2 ,v Đặt u ln x, dv xdx . Khi đó du x 2 e. x2 1 e2 1 2 e2 1 x ln xdx ln x xdx e 1 C 1 2 2 1 2 4 4 1 e. e. . . b) Đặt u ln x, dv x2 x 1 dx thì: e. e x3 x 2 x3 x 2 1 D x ln x x dx 3 2 3 2 x 1 1. . e x2 x e3 e 2 2e3 e2 31 e 1 dx 3 2 3 2 9 4 36 1. e. Bài toán 8.33: Tính: a) I . 1. 1 ln x ln x dx b) J dx x x 1 4. Hướng dẫn giải e. a) I . 1 ln x 1. 4. . b) J 2 ln xd 1. 1 2. e. . . 3 1 2 d 1 ln x 1 ln x 2 2 2 1 2 3 1. . x 2 x .ln x. . 4 1. 4. 2 1. dx x. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(19)</span> 4ln 4 4. . 4. x. 1. 4 ln 4 1 /2. Bài toán 8.34: Tính: a) A . 3. cos x ln sin x dx . . b) B ln 2. /4. x 1 dx x 1. Hướng dẫn giải /2. a) A . /2. ln sin x d sin x sin x.ln sin x . /4. /4. /2. cos xdx. . /4. /2. 2 2 2 2 ln 2 sin x ln 2 4 4 2 /4 3. x 1 2x b) B x ln 2 dx 3ln 3 6ln 2 x 1 2 2 x 1 3. 3. Bài toán 8.35: Tính: a) C . 3 ln x. x 1. 3. b) D . dx 2. 1. . . x ln x x 2 1 x2 1. 0. dx. Hướng dẫn giải. 3 ln x dx 1 a) C 3 ln x d x 1 1 1 x x 1 x 1 2 3. 3. 3. 3 ln 3 3 1 dx 1 27 dx 3 ln 4 2 1x x 1 4 16 1 3. 3. . . x. b) Đặt u ln x x 2 1 , dv . . D x 1.ln x x 1 2. 2. . x2 1 3. thì:. 3. . 0. dx 2ln 3 . 3. 0. Bài toán 8.36: Tính: e. a) I . . 1 2 x ln x 3 dx. 2. b) I . 1 x ln x. 1. x 2ln x. x 1. 3. dx. 1. Hướng dẫn giải e. a) Ta có I . 1. 1 2 x ln x 3 dx e 2 1 x ln x 1 ln x dx 1 x ln x. 1. 1 x ln x. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(20)</span> 1 ln x 1 ln x e 2 dx dx 2 x 1 dx 2 e 1 J 1 x ln x 1 x ln x 1 1 1 e. e. e. e. 1 ln x. 1 x ln x dx. Tính J . 1. Đặt t 1 x ln x dt 1 ln x dx Khi x 1 thì t 1 , khi x e thì t 1 e 1 e. nên J . 1. 2. b) I . dt 1 e ln t 1 ln 1 e nên I 2 e 1 ln 1 e t. x 2ln x. x 1 1. 3. 1 1 2ln x dx dx 2 3 3 x 1 x 1 x 1 1 2. 2. 2. 2. 2. 1 1 1 ln x 7 ln x . 2 dx 2 dx 2 3 3 x 1 1 2 x 1 12 x 1 x 1 1 1 1. 2. Tính J . ln x. x 1 dx 3. 1. Đặt u ln x, dv . dx. x 1 2. J . ln x 2 x 1. 2 1. 3. . Khi đó du . dx 1 1 ,v . x 2 x 12. 2 2 1 dx ln 2 1 1 1 1 dx 2 1 x x 12 18 2 1 x x 1 x 12 . 2. ln 2 1 x 1 ln 2 1 4 1 ln ln 18 2 x 1 x 1 1 18 2 3 6 . . ln 2 1 4 1 ln 18 2 3 12. Suy ra I . 7 4 ln 2 5 ln 2 1 4 1 2 ln ln 12 3 9 72 18 2 3 12 ln 2. Bài toán 8.37: Tính: a) I . 0. x dx x e e x 2. 2 xe x b) I 2 dx x 2x 1 0 1. Hướng dẫn giải L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(21)</span> ln 2. a) Ta có I . 0. x dx x e e x 2. Đặt u x, dv . e. ex x. 1. ln 2. x Ta có: I x e 1 0 ln 2. e. Tính J . 0. 2. ln 2. 0. xe x. e x 1. 2. dx. dx . Khi đó du dx, v . ln 2. 0. dx ln 2 x e 1 3. ln 2. e 0. 1 e 1 x. dx 1. x. dt dx . Đặt e x t thì x ln t dx t 1. x. Khi x 0 t 1; x ln 2 t 2 2 2 dt 1 1 dt ln t 1 ln t 1 1 t t 1 1 t t 1 1 2. 2. J . 5 2ln 2 ln3 nên I ln 2 ln 3 . 3. 2 xe x xe x b) Ta có I dx dx dx 1 dx 2 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 0 0 0 0 1. 1. Tính. 2. 1. 1. xe x. xe x. dx. x 1 dx . Đặt u xe , dv x 1 x. 2. 2. 1. 1. .. 0. Khi đó du x 1 e x .dx; v 1. 1 x 1. xe x 1 dx Ta có: x 1 e x dx 2 x 1 0 0 x 1 0 x 1 1. xe x. 1. 1. 1 e e e e x dx e x dx 1 0 2 0 2 2. Thay vào ta được I . e 2. 2. Bài toán 8.38: Chứng minh F x là nguyên hàm của f x :. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(22)</span> . . 1. a) F x ln x 1 x 2 C; f x . 1 x2. 1 x C; f x cos x 2 4. b) F x ln tan . Hướng dẫn giải a) F ' x b) F ' x . . 1. x. x2 1 x x2 1. 1 x2 1. đpcm.. 1 1 . x x 2cos 2 tan 2 4 2 4. 1 1 1 cos x x x 2cos sin sin x 2 2 4 2 4 . Bài toán 8.39: Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số f x . e2 x. t ln tdt. ex. Hướng dẫn giải Gọi F t là một nguyên hàm của hàm số t ln t trên 0; . f ' x F ' e 2e F ' e e. Ta có: f x F e2 x F e x , suy ra: 2x. 2x. x. x. 4 xe4 x xe2 x xe2 x 4e2 x 1. f ' x 0 x 0 x ln 2 Lập BBT thì f đạt cực tiểu tại x 0 và đạt cực đại tại x ln 2 .. . Bài toán 8.40: Đặt I n x ne x dx, n ¥ * . Tính I theo I n 1 với n 2 . Suy ra I 3 . Hướng dẫn giải. I n x n d ex x n .e x n x n1e x dx x n .e x nI n1 Do đó I 3 x3e x 3I 2 , I 2 x 2e x 2I1 , I1 xe x dx e x x 1 C. . . . nên I 3 e x x3 3x 2 6 x 6 C . L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(23)</span> 1. . Bài toán 8.41: Cho I n x n e x dx . Tính I n theo I n 1 . 0. Hướng dẫn giải 1. In x d e n. x. x .e n. x. 1. 1. n x n1e x dx e nI n1. 0. 0. 0. e. Bài toán 8.42: Cho J n . ln x . e n 1. dx . Chứng minh J n1 J n . n. 1. Hướng dẫn giải. J n x ln x . n e 1. e. n ln x . n 1. e nJ n1. 1. Với 1 x e 0 ln x 1 J n1 J n Do đó J n e nJ n1 e nJ n. n 1 J n e đpcm. Bài toán 8.43: Tính tích phân. x2 1 b) I 2 ln xdx x 1 2. 1. . a) I x 2 x dx 2. 0. Hướng dẫn giải 1. 1. 1. 1/2 1 1 a) I x 2 x dx 2 x 2 d 2 x 2 u1/2 du 20 22 0 2. 2. . . 1 1 1 u1/2 du (đặt u 2 x 2 ) u 3/2 2 2 1 . 21 3 1 3 2. x2 1 1 x2 ln xdx 2. b) I . Đặt t ln x . dx dt , x et , t 1 0, t 2 ln 2 I x. ln 2. t e. t. e t dt. 0. Đặt u t du dt , dv et et , chọn v et et. I t et et 0 ln 2. ln 2. e 0. t. e t dt . 5ln 2 3 2. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(24)</span> Cách khác: Đặt u ln x du . dv . dx x. x2 1 1 1 dx 1 2 dx v x 2 x x x 2. 2. 1 1 dx 5 1 5 1 I x ln x x ln 2 1 2 dx ln 2 x x x x 2 x 2 x 1 1 1 1 2. 2. 5 1 5 3 ln 2 2 ln 2 . 2 2 2 2 . 3. BÀI LUYỆN TẬP Bài toán 8.1: Chứng minh F x là một nguyên hàm của f x : a) F x x ln x x; f x ln x b) F x ln tan. x 1 C; f x 2 sin x Hướng dẫn. a) Dùng định nghĩa và công thức đạo hàm b) Dùng định nghĩa và công thức ln u ' . . Bài tập 8.2: Tính: a) A x 7 3x 2 dx. u' u b) P . . x 3. x2 4. dx. Hướng dẫn a) Đổi biến t 7 3x 2 . Kết quả . 3 1 2 2 7 3 x C 3. 2 3 2 b) Kết quả x 4 3 C 4. Bài tập 8.3: Tính a). . . dx. x 1 x. . 2. b). 2x. xdx 2. 1 3 x2 1. Hướng dẫn a) Đổi biến t 1 x . Kết quả . 2 C 1 x. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(25)</span> b) Kết quả. . . x2 1 1. 2. 1 ln C 2 2 x2 1 1. Bài tập 8.4: Tính a) I . . b) I . 1 x dx 2. . 1 2 x x2 1 2 x2 1 x x2 1. dx. Hướng dẫn a) Dùng nguyên hàm từng phần Kết quả. . . 1 ln x 1 x 2 x 1 x 2 C 2. . 1 b) Kết quả x x 2 1 2 1. Bài tập 8.5: Tính: a) I . 0. x 1 2. . x 2 1 2ln x x 2 1 1 C 3. x3dx. b) J . 4 x2. 0. x5 2 x3 x2 1. dx. Hướng dẫn a) Đổi biến t 4 x 2 . Kết quả b) Kết quả. 16 3 3 3. 26 5 1. Bài tập 8.6: Tính: a) C . 1. dx 0 1 x x 1. b) D . x 0. x3dx x2 1. Hướng dẫn a) Trục căn thức ở mẫu. Kết quả b) Kết quả D . . . 1 3 2 ln 1 2 3. . 2 2 1 15. Bài tập 8.7: Tính a). x e dx 4 x. 12 x dx b) x 16 9 x Hướng dẫn. a) Dùng tích phân từng phần 4 lần liên tiếp. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(26)</span> . . Kết quả x 4 4 x3 12 x 2 24 x 24 e x C. 1 4 x 3x b) Kết quả .ln x C 2 ln 4 ln 3 4 3x Bài tập 8.8: Tính: a). ln sin x 2 cos2 x dx b) ln x 1 x dx. . . Hướng dẫn a) Dùng tích phân từng phần. Kết quả tan x.ln sin x x C. . . b) Kết quả x ln x 1 x 2 1 x 2 C. 1 x Bài tập 8.9: Tính a) I x ln dx 1 x. e. b) J . ln x dx x2 1. . Hướng dẫn a) Dùng tích phân từng phần. 1 2 1 x 1 1 x 1 x ln ln xC 2 1 x 4 1 x 2. Kết quả. 2 e. b) Kết quả 1 . Bài tập 8.10: Tính: /2. a) I . e. sin x. /2. cos x cos xdx. b) J . 0. e. 3x. sin 5 xdx. 0. Hướng dẫn a) Tách 2 tích phân và dùng đổi biến, tích phân từng phần. Kết quả e . b) Kết quả. 3.e. 4 3 2. 1. 5. 34 1. . . Bài tập 8.11: Tính: a) I ln x 1 dx 1. 2. e. b) J . ln x . 2. dx. 1. Hướng dẫn L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(27)</span> a) Dùng tích phân từng phần. Kết quả ln 2 2 . 2. b) Kết quả e 2 Bài tập 8.12: Tính: 1. a) I . x 1 e. x. e. . x. b) J . dx. 1. 0. 1 2 ln xdx 1 3ln x . Hướng dẫn a) Dùng tích phân từng phần. Kết quả 2 . 3 e. b) Tách 2 tích phân và dùng đổi biến, tích phân từng phần. Kết quả. 62 . 27. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....
<span class='text_page_counter'>(28)</span>