Tic phan

<span class='text_page_counter'>(1)</span> tÝch ph©n cña c¸c hµm v« tû Môc tiªu cña môc nµy lµ ®−a ra c¸ch gi¶i cho mét sè d¹ng cña tÝnh tÝch tæng qu¸t Zb. m. r. R(x, x n , ..., x s )dx. I= a. trong đó R(u, v, ..., w) là hàm phân thức hữu tỷ các biến số u, v, ..., w và m, n, ..., r, s là các số nguyªn d−¬ng. Cách giải tổng quát nhất cho tích phân này là đặt x = xk trong đó k là bội số chung nhỏ nhất của tất cả các mẫu số trong các số mũ. Lúc đó chúng ta đ−a tích phân đã cho về dạng tích ph©n c¸c hµm h÷u tû. Mét c¸ch gi¶i t−¬ng tù cho tÝch ph©n m r #  Zβ "  ax + b n ax + b s , ..., I = R x, dx cx + d cx + d α. 7.1.1 Bµi tËp mÉu: Z2 √ √ (a). I = x( x − 1 + 3 x − 1)dx. √ Z4 √ 4 x− 8x √ (b). J = dx x( 4 x + 1) 1. 1. √ 14−3 3 13. Z. √ Z4 √ 3 x− 6x √ dx (d). J = x( 6 x + 1). dx. (c). I =. p 3 (x − 1)(x + 1)2. 0. 1. a. Bµi gi¶i: + Đặt x − 1 = t6 đổi cận x = 1 =⇒ t = 0; x = 2 =⇒ t = 1. + Vi ph©n dx = 6t5 dt. + Do vËy Z1. 6. 3. 2. Z1. 5. (t − 1)(t + t )6t dt = 6. I=. (t14 + t13 + t8 + t7 )dt. 0. 0. 1 15 1 1 1 =6 t + t14 + t9 + t8 15 14 9 8 943 = 420 b. Bµi gi¶i: + Đặt x = t8 đổi cận x = 1 =⇒ t = 1; x = 4 =⇒ t =. √ 4. . 1 0. 2.. + Vi ph©n dx = 8t7 dt. + Biến đổi. √ √ 4 t2 − t x− 8x 8t − 8 2tdt dt √ dx = 8t7 dt = 2 dt = 4 2 −8 2 4 8 2 t (t + 1) t +1 t +1 t +1 x( x + 1). Do vËy. √ 4. Z J =4 1. √ 4. 2. 2tdt −8 2 t +1. Z. 2.   dt 2 = 4 ln(1 + t ) t2 + 1. 1. 1. √ 4 1. 2. − 8 u|uπ0 4.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> √ √ π π Chó ý r»ng u0 ∈ (− ; ) ë trªn lµ gi¸ trÞ mµ tan u0 = 4 2 chóng ta cßn kÝ hiÖu u0 = arctan 4 2, 2 2 ë ®©y arctan lµ ký hiÖu hµm ng−îc cña hµm sè tan. c. Bµi gi¶i: t3 + 1 6t2 dt x+1 = t3 ⇐⇒ x = 3 do vËy dx = − 3 . + §Æt 2 x−1 t −1 (t − 1) √ √ 3 14 − 3 3 =⇒ t = − . + §æi cËn x = 0 =⇒ t = −1; x = 13 3 + Biến đổi r. dx p 3. (x − 1)(x +. 1)2. =. 3. 6t3 x + 1 dx 3 (t3 − 1)2 . =− dt = − 3 dt 3 2t x−1 x+1 t −1 t3 − 1. + Sö dông kü thuËt tÝch ph©n h÷u tû ta ®−îc 1 3 (2t + 1) 3 1 t+2 1 2 2 = − = − − t3 − 1 t − 1 t2 + t + 1 t − 1 t2 + t + 1 t2 + t + 1. Do vËy. √. √. 3 Z3. √ 14−3 3 13. Z. p 3 0. =. 1 1 dt − t−1 2. 3 Z3. 3 2t + 1 dt dt − t2 + t + 1 2 t2 + t + 1 (x − 1)(x + 1)2 0 0 0 √   3 1 3 3 = ln |t − 1| − ln |t2 + t + 1| − J0 2 2 0 dx. J=. √. 3 Z3. + Tính J0 theo cách tính của hàm hữu tỷ đã biết. d. Bµi gi¶i: Gi¶i t−¬ng tù bµi b. 7.1.2 Bµi tËp tù gi¶i: Z−1 √ √ (a). I = x2 ( 1 − x + 3 1 − x)dx −2 Z4. (c). I =. Z4 (b). J = 0. √ 3. dx √ 2x + 1 + 2x + 1. Z4 √ 3. √ x−2 x−1 √ dx 3 x+2. (d). J =. 0. 1. 2. √ x+26x √ dx x( 6 x + 1).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 7.2. PhÐp thÕ Euler trong tÝch ph©n cã chøa l−îng • Nếu a > 0 thì đổi biến √. √. ax2 + bx + c:. √ ax2 + bx + c = t + x a ⇐⇒ x =. t2 − c √ b − 2t a. • Nếu c > 0 thì đổi biến √. ax2 + bx + c = tx +. √. √ 2t c − b c ⇐⇒ x = a − t2. • NÕu ax2 + bx + c = 0 ⇐⇒ a(x − α)(x − β) = 0 nghÜa lµ biÓu thøc d−íi dÊu c¨n cã hai nghiệm phân biệt thì đổi biến √. ax2 + bx + c = t(x − α) ⇐⇒ x =. aβ − t2 α a − t2. để ý rằng chỉ có ba khả năng trên cho một tam thức bậc hai nằm d−ới dấu. √. chúng ta đã hữu tỷ hoá các tích phân có chứa các biểu thức vô tỷ dạng trên. 7.2.1. Bµi tËp mÉu: (a). I =. Z1 √. x2 + x + 1dx. (b). J =. Z1 √. x2 − x + 1dx. 0. 0. a. Bµi gi¶i: √ t2 − 1 + §Æt x2 + x + 1 = t + x ⇐⇒ x2 + x + 1 = t2 + 2tx + x2 ⇐⇒ x = 1 − 2t 2 2 √ −t + t − 1 t − 1 = . do vËy x2 + x + 1 = t + 1 − 2t 1 − 2t −2t2 + 2t − 2 + Vi ph©n dx = dt. (1 − 2t)2 √ + §æi cËn x = 0 =⇒ t = 1; x = 1 =⇒ t = 3 − 1. + Tõ ®©y ta cã. √. Z3−1. I = −2 1. (t2 − t + 1)2 dt = 2 (2t − 1)3 √. Z1. (t2 − t + 1)2 dt (2t − 1)3. 3−1. + Ta sö dông ký thuËt cña tÝch ph©n hµm h÷u tû nh− sau 2 2 (t2 − t + 1)2 1 [4t2 − 4t + 4] 1 [(2t − 1)2 + 3] = = (2t − 1)3 16 (2t − 1)3 16 (2t − 1)3 1 3 1 9 1 = (2t − 1) + + 16 8 2t − 1 16 (2t − 1)3 + V× vËy Z1 Z1 Z1 1 3 1 9 1 I= (2t − 1)dt + dt + dt 8√ 4√ 2t − 1 8√ (2t − 1)3 3−1 3−1  3−1 1 1 3 9 1 2 = (2t − 1) + ln |2t − 1| − 32 8 32 (2t − 1)2 √3−1 √ √ 3 1 3 3 = 3 − + ln(2 + 3) − ln 3. 4 4 8 16 3. , v× vËy.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> b. Bµi gi¶i: √ 1 − t2 + §Æt x2 − x + 1 = t + x ⇐⇒ x2 − x + 1 = t2 + 2tx + x2 ⇐⇒ x = 2t + 1 2 2 √ t + t + 1 1 − t = . do vËy x2 − x + 1 = t + 2t + 1 2t + 1 −2t2 − 2t − 2 + Vi ph©n dx = dt. (2t + 1)2 + §æi cËn x = 0 =⇒ t = 1; x = 1 =⇒ t = 0. + Tõ ®©y ta cã Z0 I = −2. (t2 + t + 1)2 dt = 2 (2t + 1)3. 1. Z1. (t2 + t + 1)2 dt (2t + 1)3. 0. + Ta sö dông ký thuËt cña tÝch ph©n hµm h÷u tû nh− sau 2 2 (t2 + t + 1)2 1 [4t2 + 4t + 4] 1 [(2t + 1)2 + 3] = = (2t + 1)3 16 (2t + 1)3 16 (2t + 1)3 3 1 9 1 1 + = (2t + 1) + 16 8 2t + 1 16 (2t + 1)3 + V× vËy Z1 Z1 Z1 3 1 1 1 9 (2t + 1)dt + J= dt + dt 8 4 2t + 1 8 (2t + 1)3 0 0 0 1 3 9 1 1 2 (2t + 1) + ln |2t + 1| − = 32 8 32 (2t + 1)2 0 1 3 = + ln 3. 2 8 7.2.2. Bµi tËp mÉu: Z2 (a). I =. Z2. dx √ x2 + x + 1. (b). J =. 1. √. dx x2 − x + 1. 1. a. Bµi gi¶i: √ 2t − 1 + §Æt x2 + x + 1 = tx + 1 ⇐⇒ x2 + x + 1 = t2 x2 + 2tx + 1 ⇐⇒ x = 1 − t2 2 2 √ 2t − t t −t+1 do vËy x2 + x + 1 = 1 + = . 2 1−t 1 − t2 2(t2 − t + 1) dt. + Vi ph©n dx = (1 − t2 )2 √ √ 7−1 + §æi cËn x = 1 =⇒ t = 3 − 1; x = 2 =⇒ t = . 2 + BiÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n   dx 2dt 1 1 2(t2 − t + 1) 1 − t2 √ . = = dt = + dt (1 − t2 )2 t2 − t + 1 1 − t2 1+t 1−t x2 + x + 1 + V× vËy. √ 7−1 2. Z. I= √. . 1 1 + 1+t 1−t.  dt. 3−1. = [ln |1 + t| − ln |1 − t|]. √ 7−1 2. √. 3−1. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> √ √ √ 7+1 3 √ − ln √ = ln(2 7 + 5) − ln(3 + 2 3). = ln 3− 7 2− 3 b. Bµi gi¶i: √ 2t + 1 + §Æt x2 − x + 1 = tx + 1 ⇐⇒ x2 − x + 1 = t2 x2 + 2tx + 1 ⇐⇒ x = 1 − t2 2 2 √ 2t + t t +t+1 = . do vËy x2 − x + 1 = 1 + 2 1−t 1 − t2 2(t2 + t + 1) + Vi ph©n dx = dt. (1 − t2 )2 √ 3−1 + §æi cËn x = 1 =⇒ t = 0; x = 2 =⇒ t = . 2 + BiÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n   1 2dt 1 dx 2(t2 + t + 1) 1 − t2 √ . dt = = + dt = (1 − t2 )2 t2 + t + 1 1 − t2 1+t 1−t x2 − x + 1 √. + V× vËy. √ 3−1 2. Z. . I=. 1 1 + 1+t 1−t.  dt. 0. √. = [ln |1 + t| − ln |1 − t|] √ 3+2 3 = ln . 3 7.2.3. Bµi tËp tù gi¶i: Z1. 0. Z1. √. (x + 1) x2 + x + 1dx. (a). I =. (b). J =. 0. 0. Z1. Z1. (c). I =. √ (x2 + 1) x2 + x + 1dx. (d). J =. 0. 0. Z1. Z1. (e). I =. (g). I =. 3−1 2. (x + 1)dx √ x2 + x + 1. (f ). J =. 0. 0. Z1 √. Z1 x2 − 5x + 6dx. (h). J =. 0. 0. Z1. Z1. (i). I =. (x + 1)dx √ 4 − x2. (j). J =. 0. 0. http:/ kinhhoa.violet.vn 5. √ (x + 1) x2 − x + 1dx √ (x2 + 1) x2 − x + 1dx (x + 1)dx √ x2 − x + 1 √. (x + 1)dx x2 − 5x + 6. x2 dx √ 4 − x2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>