CONG PHA TOAN 2 CHUONG 3 QUAN HE VUONG GOC

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Đây là trích 1 phần tài liệu gần 1000 trang của cuốn “Công Phá Toán Tập 2” Quý Thầy Cô mua trọn bộ File Word “Công Phá Toán Tập 2” 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107 Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 của ĐH Sư Phạm TPHCM.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> CHỦ ĐỀ 8: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN A. LÝ THUYẾT  a Cho các véc tơ tùy ý , b, c và k , l   .. 1. Cộng véc tơ:. .  . . . . . Lấy điểm O tùy ý trong không gian, vẽ OA a, AB b, thì OB a  b . . . Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm M , N , K bất kỳ thì MN MK  KN     a  b  a  (  b ) 2. Trừ véc tơ:    Quy tắc ba điểm: MN KN  KM .   . Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: AC  AB  AD . . . . . Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. ABC D ta có AC   AB  AD  AA . 3. Tích véc tơ: . . Tích của véc tơ a với một số thực k là một véc tơ. Kí hiệu là k .a . +) Cùng hướng với a nếu k  0 . . +) Ngược hướng với a nếu k  0 . +).   k .a  k . a. . . . . Hệ quả: Nếu I là trung điểm của A, B, O tùy ý thì OA  OB 2OI . 4. Tích vô hướng của hai véc tơ.     a.b  a . b .cos a, b.  .. +) Định nghĩa: . . . +) Hệ quả: a  b  a.b 0 . +). 2    2 a a.a  a. .. +) Với ba điểm A, B, C ta có. AB. AC . AB 2  AC 2  BC 2 2 ..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> . . . +) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ a, b . Gọi a là hình chiếu vuông góc của a trên đường     . . thẳng chứa b thì: a.b a.b ..  a 5. Định nghĩa: Ba véc tơ , b, c gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trên một. mặt phẳng. 6. Các định lý: . . . . . a) Cho a, b không cùng phương: a, b, c đồng phẳng  m, n   : c ma  nb ( với m, n xác định duy nhất). . . b) Nếu ba véc tơ a, b, c không đồng phẳng thì mọi véc tơ x đều được biểu diễn dưới dạng:.     x ma  nb  kc với m, n, k xác định duy nhất.. B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN. Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh AB và G là trộng tâm cảu tam giác BCD . .          AB  b , AC  c , AD  d MG Đặt . Phân tích véc tơ theo d , b, c . .  1  1  1 MG  b  c  d 6 3 3 . A.    1 1 1 MG  b  c  d 6 3 3 C. .. .  1  1  1 MG  b  c  d 6 3 3 . B.    1 1 1 MG  b  c  d 6 3 3 . D.. Lời giải Đáp án A.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> . 1      1 1   1   1 MG  MB  MC  MD  . AB  MA  AC  MA  AD 3 3 2 3 3 2  1  1 1 1  2  1   1 1  AB  MA  AC  AD  AB  .  AB   AC  AD 6 3 3 3 6 3  2 3  3       1 1 1 1 1 1  AB  AC  AD  b  c  d 6 3 3 6 3 3 Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD , M và N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AB và CD . Mệnh đề nào. . . .  . . sau đây sai?. . . 1  MN  AD  BC 2 B. .     D. MC  MD  4MN 0 .. .   A. AC  BD  AD  BC .      C. AC  BD  AD  BC  4 NM .. . . Lời giải: Đáp án D. .        AC  BD  AD  DC  BC  CD  AD  BC A.Đúng vì: .         AC  BD  AM  MN  ND  BM  MN  NC B. Đúng vì:       2MN  AM  BM  ND  NC 2MN            AC  BD  AD  BC 2 AN  2 BN 2 AN  BN  2 NA  NB  4 NM. . C.Đúng vì: Vậy D sai.  .  .  . .  . . . . . . Ví dụ 3. Cho tứ diện đều ABCD có tam giác BCD đều, AD  AC . Giá tri của. .   cos AB, CD. . ..  là:.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1 A. 2 .. B. 0 .. . C.. 1 2.. 3 D. 2 .. Lời giải: Đáp án B. Gọi N là trung điểm của CD . Tam giác đều BCD nên BN  CD . Tam giác ACD cân tại A nên AN  CD ta có:           AB.CD AB.CD  AN  NB .CD  AN .CD  NB.CD 0  cos AB , CD    0 AB . CD. . . . . ..  . cos  BC , DA  Ví dụ 4. Cho tứ diện đều ABCD có AB CD a; BC  AD b; CA BD c . Giá trị của là:. a2  c2 2 A. b .. b2  c 2 2 B. a .. c2  a2 2 C. b .. a 2  b2 2 D. c .. Lời giải Chọn A.          BC.DA BC DC  CA CB.CD  CB.CA. . . 1 1 CB 2  CD2  BD2    CB 2  CA2  AB 2   2 2 1 1   AB2  CD2  BD2  CA2    2a2  2c2  a2  c 2 2 2 2 2   a c a 2  c2 cos BC , DA     2 . b BC . DA . . . Vậy.  a  cho tứ giác ABCD và một điểm S tùy ý. Mệnh đề Ví dụ 5. Trong mặt phẳng nào sau đây đúng?     A. AC  BD  AB  CD .     B. SA  SC SB  CD (Với S là điểm tùy ý).     C. Nếu tồn tại điểm S mà SA  SC SB  SD thì ABCD là hình bình hành..

<span class='text_page_counter'>(6)</span>      D. OA  OB  OC  OD 0 khi và chỉ khi O là giao điểm của AC và BD . Lời giải Đáp án C. . . . . . . . . . A. Sai vì AC  BD  AB  CD  AC  AB  DC  DB 0  B C (Vô lí) B. Sai vì: Gọi O và O ' theo thứ tự là trung điểm của AC và BD . Ta có.          SA  SC 2SO và SB  SD 2 SO '  SO SO '  O O ' điều này không đúng nếu ABCD không phải là hình bình hành.. C. Đúng – Chứng minh tương tự như ý B.. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M là trung điểm của AA ' , O là tâm của hình bình hành ABCD . Cặp ba vecto nào sau đây đồng phẳng?      MO , AB B ' C A. và . B. MO, AB và A ' D ' .      MO , DC ' MO , A ' D B ' C C. và . D. và B ' C ' .. Ví dụ 6.. Lời giải Đáp án A. MO //  CDA ' B ' ; AB / / A ' B '  AB //  CDA ' B '  , B ' C ' nằm trong mặt     CDA ' B ' nên các vecto MO, AB, BC dồng phẳng vì có giá song song hay phẳng  CDA ' B ' Cách 1: Ta có. nằm trên mặt phẳng. . .. 1     1 1  1 1 MO   A ' B '  B ' C  A ' B '  B ' C '  AB  B ' C A'C 2 2 2 2 Cách 2: Ta có .    Vậy các vecto MO, AB, BC đồng phẳng.. . . . . Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD. M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD . Bộ ba vecto nào dưới đây đồng phẳng?       BC , BD , AD . A. B. AC ; AD; MN .   BC ; AD ; MN . C. D. AC ; DC ; MA. Lời giải Đáp án C.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> .    AD  AM  MN  ND     BC BM  MN  NC       1 1  AD  BC 2 MN  MN  AD  BC 2 2    Vậy ba vecto BC ; AD; MN . đồng phẳng. Cho tứ diện ABCD. M là điểm trên đoạn AB và MB 2MA . N là điểm      CD CN  kCD trên đường thẳng mà . Nếu MN , AD, BC đồng phẳng thì giá trị của k là:. Ví dụ 8.. A.. k. 2 3.. B.. k. 3 2.. C.. k. 4 3.. D.. k. 1 2.. Lời giải Đáp án A.    song Qua M vẽ mặt phẳng song với AD và BC ..    cắt. tại. AC tại P , BD tại Q và CD N . Ta có MP //PN //AD .    Các vecto MN , AD, BC có giá song song hay nằm trong mặt phẳng nên đồng phẳng..  .  2 2 CN  CD k 3 3. Ta có . Vậy Ví dụ 9. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . M là điểm trên cạnh AD sao cho   1 AM  AD. N là điểm trên đường thẳng BD1 . P là điểm trên đường thẳng 2. CC1 sao cho M , N , P thẳng hàng..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> . MN  NP. Tính. .. 1 A. 3 .. 2 B. 3 .. 1 C. 2 .. 3 D. 4 .. Lời giải Đáp án B.  Đặt.      AB a, AD b, AA1 c. và.     BN  xBD1 ; CP  yCC1  yc. .. STUDYTIP   Ta biểu thi hai vecto MN , NP theo các  a vecto , b, c. Ba điểm M , N , P thẳng hàng nên. . .  MN  .NP  1. ..    MN MA  AB  BN Ta có:      1   1  b  a  xBD1  b  a  x BA  BC  BB1 3 3        1 1   b  a  x  a  b  c  1  x  a   x   b  xc  2  3 3 . . . . . Ta lại có:. .            NP NB  BC  CP  xBD  b  yc  x b  a  c  b  yc  1     NP  xa   1  x  b   y  x  c  3 . . . Thay (2), (3) vào (1) ta được:. 1  x  x   1  x    1  x   3 2 3 3   ,x  ,y   x   y  x  3 5 2. . Giải hệ ta được  MN 2   NP 3. Vậy. ..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Ví dụ 10. 111Equation Chapter 1 Section 1Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CB, AD và G là trọng tâm tam giác BCD,  là góc giữa 2 vectơ  NP . Khi đó cos  có giá trị là: 2 A. 2. 2 B. 3. 2 C. 6. . MG và. 1 D. 2. Đáp án: C Lời giải:     b; AD c; Đặt AB a; AC           1 1  AG  (a  b  c)  MG  AG  AM  (  a  2b  2c ) 3 6     1  PN  AN  AP  ( a  b  c) 2 Không mất tính tổng quát, giả sử độ dài các cạnh của tứ diện đều bằng 1        1 0  a  b  c 1 a.b b.c c.a 1.1.c os60  2 và    MG.PN  cos cos( MG , PN )    (*)  MG . PN       1    MG.PN  ( a  2b  2c)(a   b  c)  12  Ta có:        2 2 2 1 1  ( a  ab  ac  2ab  2b  2bc  2ac  2bc  2c )  12 12         1 1 1 2 MG  ( a  2b  2c) 2  ; PN  ( a  b  c) 2  6 2 2 2. Thay vào (*) ta được 1 1 2  cos  12   . (*) 6 1 2 3 2 . 2 2. C.Bài tập rèn luyện kỹ năng Câu 1:. ABCD. A1 B1C1 D1 Cho là hình hộp, với K là trung điểm CC 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:     1     AK  AB  AD  AA1 AK  AB  BC  AA1 2 A. B..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> . C.. .   1  1 AK  AB  AD  AA1 2 2 D.. .   AK  AB  AD  AA1. Hướng dẫn giải .        1  1 AK  AC  CK ( AB  AD)  AA1  AB  AD  AA1 2 2. Có. B. A. C. D. K. A1. B1. C1. D1. Chọn A. Câu 2:. ABCD. A1 B1C1 D1 M CD1  C1 D Cho hình hộp với . Khi đó:  1     1  1 1 1 AM  AB  AD  AA1 AM  AB  AD  AA1 2 2 2 2 2 A. B. .    1 AM  AB  AD  AA1 2 C.. .  1  1 AM  AB  AD  AA1 2 2 D.. Hướng dẫn giải ( hính vẽ câu 1)         1  1 1 AM  AD  DM  AD  DC1  AD  ( DC  DD1 )  AD  AB  AA1 2 2 2 Ta có: Chọn B. Câu 3:. Cho hình hộp A. 1800.       ( D1 A1 , C C1 )  (C1 B, DD1 )  ( DC1 , A1 B). ABCD. A1 B1C1 D1. . Khi đó: tổng 3 góc B. 2900 C.3600 Hướng dẫn giải. B. A. C. D. A1. D1. K. C1. B1. D. 315. 0. là:.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Ta có:   ( D1 A1 , C C1 ) 900   (C1 B, DD1 ) (C1 B, CC1 ) 1350   ( DC1 , A1 B ) ( DC1 , D1C ) 900        ( D1 A1 , C C1 )  (C1 B, DD1 )  ( DC1 , A1 B) 900  1350  90 0 3150 Chọn D Câu 4:. ABCD. A1 B1C1 D1. Cho hình lập phương Khi đó: là      : A. 3600 B. 3750.        ( AC , DC1 );  ( DA1 , BB1 );  ( AA1 , C1C ) , đặt. C. 3150 Hướng dẫn giải. D. 2750. ( hình câu 3)      ( AC , DC1 ) ( AC , AB1 ) 600    ( DA1 , BB1 ) ( DA1 , A1 A) 1350    ( AA1 , C1C ) ( AA1 , A1 A) 1800.       600  1350  1800 3750 Chọn B. Câu 5:.   Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB=6; AD=4; AB. AD 12 . Tính   ( SC.  SA) 2 . A. 76. B. 28. C. 52 Hướng dẫn giải. D. 40. S. A 6 B. 4. D. 4 7.42 cm C.     2      2 2 ( SC.  SA) 2 . AC ( AB  AD)  AB  AD  2 AB. AD. 62  42  2( 12) 28 Chọn B Câu 6:. Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Ba vectơ đồng phẳng là 3 vec tơ cùng nằm trong một mặt phẳng     a , b , c c  ma  n b , với m, n là các số duy nhất B. Ba vectơ đồng phẳng thì có.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>      d  ma  n b  pc d C. Ba vectơ đồng phẳng khi có với là vec tơ bất kỳ. D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai Hướng dẫn giải -Phương án A: sai vi chỉ cần giá của chúng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng nào đó   a Phương án B: Sai , b phải không cùng phương. Phương án C sai Vậy chọn D Chọn D Câu 7:. Cho hình tứ diện ABCD, trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây sai?  1       OG  (OA  OB  OC ) 4 A. B. GA  GB  GC 0   2   1   AG  ( AB  AC  AD) AG  ( AB  AC  AD ) 3 4 C. D. Hướng dẫn giải. A. M G D. B N C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm củaAB, CD  G là trung điểm của MN  GM  GN 0      GA  GB  GC 0  B đúng             OA  OB  OC  OD OG  GA  OG  GB  OG  GC  OG  GD Ta có:       4OG  (GA  GB  GC  GD ) 4OG  A đúng Khi O trùng A thì D đúng vậy đáp án là C. Chọn C Câu 8:.               Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng xét các vectơ x 2a  b; y  4a  2b; z  3a  2c Chọn mênh đề  đúng trong các mệnh đề sau: A.Hai vec tơ y, z cùng phương   B. Hai vec tơ x, y cùng phương.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>  C.Hai vec tơ x, z cùng phương     D.Hai vec tơ x, y, z đồng phẳng. Hướng dẫn giải    Ta thấy y  2 x nên x, y cùng phương. Chọn B. . Câu 9. :. ABCD. A1 B1C1 D1 Cho hình lập phương , Tìm giá     AB  B1C1  DD1 k AC1 ) A.k=4 B. k=1 C. k=0 Hướng dẫn giải. A1. D1. trị. của. k. thích. hợp. để. D. k=2. B1. C1. B. A. C. D.       AB  B1C1  DD1  AB  BC  CC1  AC1  k 1. Có Chọn B. ABC. A1 B1C1. Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác đẳng thức sau đẳng thức nào đúng..    . . A. a  b  c  d 0.    C. b  c  d 0. . Đặt.     AA1 a; AB b; AC c; BC1 d.    . B. a  b  c d.   . D. a b  c Hướng dẫn giải. trong các.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> C. A B1 B. 1. B. C1 A1 B1.                b  c  d  AB  AC  BC CB  BC 0 Ta có: Chọn C Câu 11: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai? A.Nếu giá của ba vectơ cắt nhau từng đôi một thì 3 vectơ đồng phẳng   a B.Nếu ba vectơ , b, c có một vec tơ 0 thì ba vectơ đồng phẳng  a C.Nếu giá của ba vectơ , b, c cùng song song với một mật phẳng thì ba vec tơ đó đồng phẳng  a D.Nếu trong ba vectơ , b, c có ha vec tơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng Hướng dẫn giải. Chọn A. ABCD. A1 B1C1 D1 Câu 12: Cho là hình hộp, trong các khẳng định     sau  khẳng   định sai: A. AC1  A1C 2 AC B. AC1  CA1  2CC1 0       AC1  A1C  AA1 CA1  AC CC1 C. D. Hướng dẫn giải.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> A. D. B. C A1. D1. . B1. C1.        AC1  A1C AA1 AC1 AA1  AC1  A1C C1 A1. Ta có: Chọn C Câu 13: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:. .     AB  BC  CD  DA 0 A.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu   B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB CD     C. Cho hình chóp S.ABCD, nếu có SB  SD SA  SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành    D.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB  AC  AD Hướng dẫn giải. Chọn C ' ' ' ' ' ' Câu 14: Cho hình hộp ABCD. A B C D Gọi I, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ABB A và BCC ' B ' . Khẳng định nào sau đây là sai? A.Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng  1 1 IK  AC  A' C ' 2 2 B.    C.Bà vec tơ BD, IK , B ' C ' không đồng phẳng. .   BD  2 IK 2 BC D.. Hướng dẫn giải Chọn C Câu 15: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BD lần lượt lấy M, Nsao cho AM=3MD; BN=3NC. Gọi P,Q lần lượt   là trung điểm của AD, BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A.Các vec tơ BD, AC , MN không đồng phẳng    B. Các vec tơ MN , DC , PQ đồng phẳng   C. Các vec tơ AB, DC , PQ đồng phẳng   D. Các vec tơ AC , DC , MN đồng phẳng.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Hướng dẫn giải. A. P M E. B. D. F Q. N. C. Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE=3EC, lấy F trên BD sao cho BF=3FD 1   NE / / AB, NE  3 AB  NE / / MF , NE / / MF  1  MF / / AB, MF  AB  3     NEMF là hình bình hành và 3 vec tơ BA, DC , MN có giá song song hoặc nằm trên mặt    phẳng (MFNE)  BA, DC , MN đồng phẳng     BD, AC , MN không đồng phẳng. Chon A Câu 16. Cho tứ diện ABCD có các cạnh đầu bằng A. Hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:   a2 3      AB. AC  2 A. AD  CD  BC  DA 0 B..  .  . C. AC. AD  AC.CD.  . D. AD.CD 0 Hướng dẫn giải. ( sử dụng hình câu 7) Phương án A:            AD  CD  BC  DA ( AD  DA)  ( BC  CD) 0  BD 0  A sai 2   a AB. AC a.a.c os600 =  B 2 Phương án B: sai         2 Phương án B AC. AD  AC.CD  AC ( AD  DC ) 0  AC 0  C sai Chọn D.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> ABCD. A1 B1C1 D1 Câu 17: Cho hình lập phương . Gọi M là trung điểm của AD.Chọn khẳng định đúng:     1     C1 M C1C  C1 D 1  C1 B1 2 A. B1 M  B1 B  B1 A 1  B1C1 B.    1 1     C1 M C1C  C1 D 1  C1 B1 BB  B A  B1C 1 2 B1 D 1 1 1 2 2 C. D. Hướng dẫn giải. A. a. B a. M D. C A1. C1. D1. Ta có Chọn B. B1.        1 C1 M C1 D1  D1 D  DM C1 D1  C1C  C1 B1 2.     GA  GB  GC 0 ( G là trọng tâm của tứ diện). Gọi O là Câu 18: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?.   GA  2OG A.   C. GA 3OG.   GA  4OG B.   D. GA 2OG A. N G B. M. O. H. D. C. Hướng dẫn giải Gọi M, N là trung điểm của BC, AD  G là trung điểm MN. Gọi H là hình chiếu của N lên MD  NH là đường trung bình của AOD và OG là đường trung bình của MNH.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 1 1 1 1 1  OG  NH  . AO  OG  NH  . AO 2 2 2 2 4   hay GA 3OG Chọn C Câu 19: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, Nlaafn lượt là trung điểm của AD, BC. Trong ccs khẳng định sau, khẳng định nào   sai?  AB , DC , MN đồng phẳng A.Các vec tơ    B. Các vec tơ MN , AB, AC không đồng phẳng    C. Các vec tơ AN , CM , MN đồng phẳng    D. Các vec tơ AC , BD, MN đồng phẳng Hướng dẫn giải A. M P B. D. Q N C. Gọi P, Q lần lượt  làtrung điểm AC, BD  Ba vec tơ AB, DC , MN có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (MNPQ) nên 3 véc tơ  A đúng này đồng phẳng  AB, AC , MN không đồng phẳng  B đúng Ba vec tơ   Ba vec tơ AN , CM , MN có giá không thể song song với mặt phẳng nào  C sai Chọn C ' ' ' ' Câu 20: Cho hình lập phương ABCD. A B C D , có cạnh A.Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:.   2 A. AD '.CC '  a.   2 B. AD '. AB ' a  AC a 3.  . C. AB '.CD ' 0. A. D. Hướng dẫn giải. a. B a. D. C A'. D'. B'. C'.

<span class='text_page_counter'>(19)</span>       AD '.CC '  AD '.AA '  AD ' . AA ' cos450 a 2. Xết phương án A có: Chọn A Câu 21: Trong không gian cho hai tia Ax, By chéo nhau sao cho AB vuông góc với cả hai tia đó. Các điểm M, N lần lượt thay đổi trên Ax, By sao cho độ dài đoạn MN luôn bằng giá trị c không đổi (c  AB). Gọi  là góc giữa Ax, By. Giá trị lơn nhất của AM, BN c 2  AB 2 c 2  AB 2 A. 2(1  cos ) B. 2(1  cos ). c 2  AB 2 C. 2(1  cos ). c 2  AB 2 D. 2(1  cos ) Hướng dẫn giải. x M A. B N. Ta có:.    2  c 2 MN 2 MN ( MA  AB  BN )2.  AB 2  2 AM .BN .(1  cos ).  AM .BN . . c 2  AB 2 2(1  cos ). c 2  AB 2 Vậy biểu thức AM.BN đạt giá trị lớn nhất bằng 2(1  cos ). Chọn A    AM 2  AB 2  BN 2  2 AM .BN  AM 2  AB 2  BN 2  2 AM .BN .c os. Góc giữa hai đường thẳng. Hai đường thẳng vuông góc 1. Định nghĩa:.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b là góc nhỏ nhất trong bốn góc mà a và b cắt nhau tạo nên. Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b . Chú ý: góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn ( hoặc vuông ). 2. Phương pháp Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác.   u v Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu và lần lượt là hai vecto chỉ phương ( hoặc vecto pháp tuyến ) của hai đường thẳng a và b thì góc  của hai đường thẳng này được xác định bởi công thức  u.v  cos   cos u, v    . u.v.  . Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , C D . Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP . 0. A. 45 . Đáp án A.. 0 B. 30 .. 0 C. 60 .. 0 D. 90. Lời giải Phương pháp 1: Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a và. MN //AC nên:.  , AP  AC,  MN    AP  . Ta tính góc PAC  .. Vì ADP vuông tại D nên 2. a 5 a AP  AD2  DP 2  a 2     2 .  2 AAP vuông tại A nên 2. a 5 3a AP  AA  AP  a     2  2  . 2. 2. 2. CC P vuông tại C  nên. CP  CC 2  C P 2  a 2 . a2 a 5  . 4 2. Ta có AC là đường chéo của hình vuông ABCD nên AC  a 2 Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACP ta có:.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>  CP 2  AC 2  AP 2  2 AC. AP.cos CAP 1   cos CAP  2   cos CAP 45  90 Nên. Phương pháp 2: Ta có.  45  AC; AP  CAP. hay.  AP 45  MN;  . Chọn A..    MN . AP  cos MN , AP           * MN . AP  MN . AP .cos MN , AP MN . AP. .        MN . AP  MB  BN. . . . . . . AA  AD  DP Ta có:            MB. AA  MB. AD  MB.DP  BN . AA  BN . AD  BN .DP a a a 3a 2 0  0  .  0  .a  0   1 2 2 2 4 .  a 2 3a 3 2a 2 MN . AP  .   2 2 2 4. 3a 2   1 cos MN , AP  4 2   MN , AP  450. 3 2a 2 1 ,  2     4 Thay vào ta được:. . . Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có AB CD 2a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm BC , AD . Biết rằng MN a 3. Tính góc của AB và CD . 0. A. 45 .. 0 B. 30 .. 0 C. 60 .. Đáp án C. Lời giải. Gọi I là trung điểm của AC . Ta có IM IN a .. 0 D. 90 ..

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Áp dụng định lý cosin cho IMN ta có: IM 2  IN 2  MN 2 a 2  a 2  3a 2 1   cos MIN     MIN 1200 2.IM .IN 2.a.a 2 . Vì. IM / / AB, IN / / CD  AB, CD  IM , IN  1800  1200 60 0. .. Ví dụ 3: Cho lăng trụ ABCABC  có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , AC a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên.  ABC . là trung điểm của cạnh BC . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA , BC  . mặt phẳng. Lời giải Chọn D Phương pháp 1: Gọi H là trung điểm của BC ,  là góc giữa AA và BC  . Ta có AA / / BB và BC  / / BC nên góc giữa.  , BC  AA, BC  BB . ..  Ta tính góc BBH 2 2 2 2 ABC vuông tại A nên ta có: BC  AB  AC  a  3a 2a .. 1 AH  BC a  AH  AA2  AH 2  4a 2  a 2 a 3 2 .. Vì. AH   ABC . nên ABH vuông tại A. BH  AH 2  AB2  a 2  3a 2 2a .  BH  cos B. BB 2  BH 2  BH 2 4a 2  a 2  4a 2 1   2 BB.BH 2.2a.a 4 Chọn A. Phương pháp 2: Ta có         AH  HA .BC AA.BC  AH .BC  HA.BC AH .BC cos   cos AA; BC        2a.2a 4a 2 4a 2 AA . BC . . . . . 1     1 1 AB  AC AC  AB AC 2  AB 2    3a2  a2  1 2 2 2     4a 2 4a 2 4a 2 4.. . . . Ví dụ 5. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD . Gọi M là trung điểm CD . Tính cosin góc của AC và BM . 3 3 3 2 A. 4 . B. 6 . C. 2 . D. 2 ..

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1. Gọi N là trung điểm AD ta có: MN //AC. .  ; BM  AC; BM   MN  . Ta. a 3 BM BN  BMN 2 tính góc . Ta có: (trung tuyến tam giác đều). MN . AC a  2 2.. Áp dụng định lý cosin cho BMN , ta được: BM 2  MN 2  BN 2 MN 3  cos BMN    0 2 BM .MN 2 BM 6 . 3 cos  AC; BM  . 6 Vậy. . .      AC. CM  CB AC.BM cos   cos AC , BM     a 3 AC . BM a. 2 Cách 2.. .   AC.CM  AC.CB . a2 3 2. . . . a2 a2 a 0 0 a2   a. cos120  a.a.cos120 4 2 3 2    24  2 2 6 a 3 a 3 a 3 2 2 2 .. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1. Định nghĩa. Nếu đường thẳng. a   P.  P  bằng 900 . thì góc giữa đường thẳng a và.  P  thì góc giữa đường thẳng a và Nếu đường thẳng a không vuông góc với  P  là góc giữa a và hình chiếu a của a trên  P  . a. P. a'. 2. Phương pháp tính.. SA   ABCD  Ví dụ 1: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,  SAB  ,  là góc giữa AC và  SBC  . Giá và SA a 6 . Gọi  là góc giữa SC và trị tan   sin  bằng?.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> 1 7 7 . A.. 1  19 7 . B.. C.. 7  21 7 .. 1  20 7 D. .. Hướng dẫn giải Chọn C..  SAB  ta xác định hình chiếu của SC lên mặt Để xác định góc giữa SC và  SAB  . Ta có: S là hình chiếu của S trên  SAB  , B là hình chiếu của phẳng  BC  AB  C trên  SAB  vì  BC  SA ..  SAB    SC ,  SAB   B SC  . Vậy SB là hình chiếu của SC trên a 1  SC  BC   tan  tan B  2 2 SB 7. SA  AB SBC vuông tại B. BC   SAB  Kẻ AH  SB tại H mà nên AH  BC .  AH   SBC   HC  SBC  là hình chiếu vuông góc của AC trên   AC ,  SBC    ACH  . 1 1 1 a 6  2  AH  2 2 AS AB 7 . SAB vuông nên AH AH 21  sin  sin ACH   ACH vuông tại H AC 7 .. Vậy. tan   sin  . 7  21 7 ..

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Cho hình chóp đều S . ABCD , đáy có cạnh bằng a và có. Ví dụ 2:. tâm O . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , BC . Biết góc giữa MN và.  ABCD  bằng  arcsin A..  arcsin C.. 60 . Tính góc giữa MN và  SAO  .. 1 2 5..  arcsin B.. 3 2 5..  arcsin D.. 1 5.. 1 4 5.. Lời giải Chọn A.. Gọi P là trung điểm của AO  MP là đường trung bình của SAO  MP / / SO   MP   ABCD   Góc giữa MN và  ABCD  bằng góc MNP 60 . Áp dụng định lý cosin cho PNC ta có: 2. a2  3 a 3 1  NP CN  CP  2CN .CP.cos 45    a 2   2. . a 2. 4 4 2 4 2  2. 2. 2. 2. a 2 9a 3 2a 2 11a 2 3a 2 5a 2 +     4 8 8 4 8 4 2 Trong tam giác vuông MNP ta có : . PN 5 15 15  .a PM  NP.tan 60 a  SO 2MP  .a cos 60 2 và 8 2 . Gọi H là trung điểm CO  NH / / BD  NH  AC . MN , SAC NMH NH  SO  NH   SAC     Mà do đó  . MN . 1 a 2 MN  5a HN  OB  2 (tính trên) 2 4 , Ta có : NH 1 sin NMH   MN 2 5 . Nên nếu gọi  là góc giữa MN và Vậy trong MHN ta có : 1  1   arcsin sin   0      SAO  thì: 2. 2 5  2 5 hay.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Đây là trích 1 phần tài liệu gần 1000 trang của cuốn “Công Phá Toán Tập 2” Quý Thầy Cô mua trọn bộ File Word “Công Phá Toán Tập 2” 200k thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107 Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 của ĐH Sư Phạm TPHCM.

<span class='text_page_counter'>(27)</span>