De thi HSG Toan

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD&ĐT KỲ ANH. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2014- 2015. Môn: Toán- Lớp 7 Thời gian: 120 phút (Không kể giao đề) Câu I.(4 điểm) 1. Tìm x, biết: a). |x − 35|− 23 =|− 5,2+ 25|. b) ❑❑ ( x − 1991 )x+1991 − ( x −1991 ) x+2015=0 (x là số tự nhiên) ( x 2 −1 )( x −52 ) ( x 2 − 8 ) ( x 2 − 15 ) <0 2. Tìm số nguyên x sao cho Câu II.(4 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= |x +2015|+3 − x Câu III.(4 điểm) Một vật chuyển động trên một đường tròn. Ở một nửa đường tròn đầu chuyển động với vận tốc 5m/s; một phần tư đường tròn tiếp theo chuyển động với vận tốc 4m/s; một phần tư đường tròn còn lại chuyển động với vận tốc 3m/s. Thời gian chuyển động trên cả đường tròn là 59s. Tính độ dài đường tròn đó. Câu IV.(4 điểm) Cho tam giác ABC có góc BAC bằng 40 0 , trên cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E sao cho BD= CE. Gọi M là trung điểm của DE; trên tia đối của tia MB lấy điểm P sao cho MP= MB. Tính số đo góc PCE. Câu V.(4 điểm) Cho tam giác nhọn (tam giác có ba góc trong đều nhọn) ABC, có góc BAC bằng 45 0 . Vẽ đường cao AH của tam giác ABC; lấy điểm D sao cho AB là đường trung trực của HD 1. Tính số đo của góc BDA 2. Vẽ CK vuông góc với BD (K thuộc BD). Chứng minh AD=DK. ❑. Họ và tên thí sinh…………………………………Số báo danh………. SƠ LƯỢC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> NĂM HỌC 2014- 2015 (HSG) Câu I.(4 điểm) 1.(2 điểm) a.(1đ) Tính được. |x − 35|=4 157. (0,5đ). 1 13 Tính được x= 5 15 ; x=- 3 15 b.(1đ). (0,5đ). ( x − 1991 )x+1991 [ 1 − ( x − 1991 )24 ]=0 Hoặc x- 1991= 0 ⇔ x= 1991 Hoặc ( x − 1991 )24 =1 ⇔ hoặc x- 1991= 1 ⇔ x= 1992 Hoặc x- 1991= -1 ⇔ x= 1990. (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ). 2.(2 điểm) Xét tích ( x 2 −1 )( x 2 −5 ) ( x 2 − 8 ) ( x 2 − 15 ) <0 khi chỉ có một thừa số (nhân tử) nhỏ hơn 0, hoặc chỉ có một thừa số lớn hơn 0 (0,5đ) 2 2 2 2 Nhận thấy x −15< x −8< x −5< x − 1. Nên để tích nhỏ hơn 0, xét 2 trường hợp: (0,5đ) * x 2 −15< 0 (các thừa số còn lại > 0). Khi đó 8< x 2<15 ⇔ x=± 3 (vì x nguyên) (0,5đ) * x 2 −1>0 (các thừa số còn lại nhỏ hơn 0). Khi đó 1< x 2<5 ⇔ x=±2 (vì x nguyên) (0,5đ) Các giá trị nguyên của x cần tìm là ±3 ; ± 2 Câu II.(4 điểm) *Xét x −2015 . Khi đó x+2015 0 ⇒ P= x+2015+3- x= 2018 (1đ) *Xét x <- 2015. Khi đó x+ 2015<0 ⇒ P=-x-2015+3-x= - 2x- 2012. (1đ) Vì x < -2015 nên – 2x> 4030 ⇒ -2x-2012> 2018. Nghĩa là nếu x<-2015 thì P>2018. (1đ) Vậy GTNN của P là 2018, đạt được khi x -2015 (1đ) Câu III.(4 điểm) Gọi x, y, z lần lượt là thời gian chuyển động trên ¼ đường tròn (tính bằng giây) tương ứng với vận tốc 5m/s, 4m/s, 3m/s. (1 đ) Vì quảng đường không đổi thì vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian, nên ta có: 5x= 4y= 3z. ⇒. x y z = = 1 1 1 . Đồng thời x+ x+ y+ z= 59 5 4 3. (1 đ). Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: x y z x+ x + y + z 59 = = = = =60 1 1 1 1 1 1 1 59 + + + 5 4 3 5 5 4 3 60 1 ⇒ x=60 . =12 5. Độ dài đường tròn là 5.12.4= 240(m). (1 đ) (1 đ). Câu IV.(4 điểm) Xét hai tam giác PME và BMD có:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> D. MP= MB (gt); ∠ PME=∠ BMD (đ đ); ME= MD (gt) ⇒ Δ PME=Δ BMD (c.g.c) (1đ) ⇒ ∠MPE =∠MBD (1) và PE=BD (2). Từ (2) ⇒ PE=CE ⇒ ΔPEC cân tại E ⇒ ∠ECP =∠ EPC⇒ ∠AEP=2∠ PCE (góc ngoài của tamgiác)(3). (1đ) Đồng thời từ (1) ⇒ PE // AB ⇒ ∠BAC=∠ AEP (slt). Kết hợp với (3) ta có ∠ BAC=2 ∠PCE (1đ) mà góc BAC bằng 40 0 suy ra góc PCE bằng 200 (1đ). M E A. C P. Câu V.(4 điểm) A. E. 1. Xét hai tam giác ADB và AHB bằng nhau(c.c.c) ⇒ ∠BDA =∠BHA . Mà góc BHA bằng 900 (suy ra từ gt) nên ∠ BDA=900 (1,5 đ) 0 2. Vẽ AE CK ⇒∠ DAE=90 . Từ đó suy ra ∠ HAC=∠ EAC. D B. H. C. K. ⇒ Δ HAC=ΔEAC. (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ AE=AH=AD (1) Chỉ ra AE=DK Từ đó kết luận AD=DK. (1,5đ) (0,5đ) (0,5đ).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> PHÒNG GD&ĐT KỲ ANH. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2014- 2015. Môn: Toán- Lớp 6 Thời gian: 120 phút (Không kể giao đề) Câu I.(6 điểm) 1. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho ( 4 x +1 ) ( y − 4 )=18 2. Tìm x, biết: ( x − 1 )+ ( x −2 ) + ( x −3 ) +. ..+ ( x −91 ) =179179 Câu II.(4 điểm) 1. Tìm các chữ số a; b biết 19a5 + 20b5 chia hết cho 9 và a- b= 3 2. Xét các số gồm 6 chữ số phân biệt mà các chữ số thuộc tập hợp { 1,2,3,4,5,6 } Hỏi trong các số được thiết lập có số nào chia hết cho 11 hay không ? Câu III.(4 điểm) Có một bồn xăng chứa đủ xăng cho chỉ xe thứ nhất chạy trong 72 giờ, hoặc chỉ xe thứ hai chạy trong 108 giờ, hoặc chỉ xe thứ ba chạy trong 144 giờ. Hỏi sau khi cấp một lượng xăng cho xe thứ nhất chạy trong 4 giờ, xe thứ hai chạy trong 6 giờ, xe thứ ba chạy trong 16 giờ thì số xăng còn lại trong bồn đủ cấp cho cả ba xe cùng chạy trong bao lâu? Câu IV.(2 điểm) Cho A= 22015 +32015 ; B= 22016 +32016 Tìm ƯCLN của A và B Câu V.(4 điểm) 1. Trên đường thẳng a, lấy theo thứ tự ba điểm A, B, C. Lấy điểm M nằm giữa hai điểm B 3. và C sao cho MB= 4 .MC. Chứng minh rằng AM=. 3 . AC+ 4 . AB 7. 2. Cho góc AOB bằng 1350 , C là một điểm nằm trong góc AOB, biết góc BOC bằng 900 . Vẽ OD là tia đối của tia OC. Tính góc AOD.. Họ và tên thí sinh……………………………………Số báo danh………….

<span class='text_page_counter'>(5)</span> SƠ LƯỢC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6 NĂM HỌC 2014- 2015 (HSG) Câu I.(6 điểm) 1.(3 điểm) x là số tự nhiên nên 4x + 1 là số tự nhiên ⇒ vế trái là tích hai số tự nhiên. 18 = 1.18= 2.9= 3.6 (1 đ) 4x+ 1 là số lẻ, nên hoặc 4x+ 1= 1 và y- 4= 18. Khi đó x= 0; y= 22 (0,5 đ) Hoặc 4x+ 1= 9 và y- 4= 2. Khi đó x= 2; y= 6 (0,5 đ) Hoặc 4x+ 1= 3 và y- 4= 6. Khi đó x= ½; y= 10 (không thỏa mãn với x, y tự nhiên) (0,5đ) (x; y) cần tìm là: (0; 22); (2; 6) (0,5 đ) 2.(3 điểm) (x- 1)+ (x-2)+ (x-3)+… + (x-91)= 179179 ⇔ (x+ x+ x+…+ x)- (1+ 2+ 3+ …+ 91)= 179179 (1đ) ⇔ 91x- 91.46= 179179 (0,5đ) ⇔ 91(x- 46)= 179179 (0,5đ) ⇔ x- 46= 1969 (0,5đ) ⇔ x= 2015 (0,5đ) Câu II.(4 điểm) 1.(3 điểm) A= 19a5 + 20b5 = 1905+ 10a+ 2005+ 10b= 434.9+ 9(a+ b)+ (4+ a+ b) ⋮ A 9 ⇔ (4+ a+ b) ⋮ 9 (1) (1đ) Do 0 a+ b 18 ⇒ 4  4+ a+ b 22. Nên có (1) khi hoặc 4+ a+b= 9, hoặc 4+ a+ b= 18, tức là khi a+ b= 5 hoặc a+ b= 14 (1đ) Kết hợp với điều kiện a- b= 3. Giải ra tìm được a=4; b= 1 (1đ) 2.(1 điểm) Xét hiệu của tổng 2 bộ 3 chữ số trong tập hợp 6 chữ số đã cho: (a+ b+ c)- (d+ e+ f) 96+ 5+ 4)- (1+ 2+ 3)= 9 (0,25đ) Do đó giả sử có một số nào đó trong các số được thiết lập chia hết cho 11 thì phải tồn tại tổng hai bộ 3 số phân biệt trong các số từ 1 đến 6 có hiệu bằng 0. Hay a+ b+ c= d+ e+ f (2) (0,25đ) Xét tổng 1+ 2+ 3 +4+ 5+ 6= 21 ⇒ có (2) khi mỗi bộ 3 số có tổng là 10,5 (không thỏa mãn) (0,25đ) Vậy không có số nào trong các số được thiết lập chia hết cho 11 (0,25đ) Câu III.(4 điểm) Tính lượng xăng tiêu thụ trong mỗi giờ: Xe thứ nhất: 1/72 (bồn); (0,5đ) Xe thứ hai: 1/108 (bồn) (0,5đ) Xe thứ ba: 1/144 (bồn) (0,5đ) Cả 3 xe: 1/72 + 1/108 + 1/144 = 13/132 (bồn) (0,5đ) Lượng xăng cấp cho xe thứ nhất chạy trong 4 giờ, xe thứ hai chạy trong 6 giờ, xe thứ ba chạy trong 16 giờ là: 4/72 +6/108 + 16/144 = 2/9 (bồn) (0,75đ) Lượng xăng còn lại trong bồn: 1- 2/9= 7/9 (bồn) (0,75đ) Lượng xăng còn lại đủ cấp cho cả 3 xe cùng chạy trong thời gian: 35. 7/9: 13/132 = 308/39 (giờ)= 7 39 Câu IV.(2 điểm). giờ. (0,5đ).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Đặt d= (A, B) suy ra d\A và d\B ⇒ d\B- 2A và d\3A- B 2015 2015 ⇒ d\( 32015 , 22015 ) (1 đ) Hay d\ 3 và d\ 2 Mà (3, 2)= 1 ⇒ ( 32015 , 22015 )= 1 (0,5đ) Ta có d\ 1 ⇒ d= 1 ⇒ (A, B)= 1 (0,5đ) Câu V.(4 điểm) 1). Trên đường thẳng a, lấy theo thứ tự 1.(2 điểm) HD: ba điểm A, B, C. Lấy điểm M nằm giữa M nằm giữa B và C nên M nằm giữa A 3 ⇒ AC= AM+ MC hai điểm B và C sao cho MB= 4 và C 3.AC= 3.AM+ 3.MC (1) (0,5đ) .MC. Chứng minh rằng: AM= B nằm giữa Avà C, M nằm giữa B và C 3 . AC+ 4 . AB nên B nằm giữa A và M 7. 3. a A. B. M. C. 4.AB= 4.AM- 4.MB = 4.AM- 4. 4 .MC = 4.AM- 3.MC (vì MB =3/4MC) (2) (0,5đ) Cộng từng vế (1) và (2) ta có 3.AC+ 4.AB= 7.AM (0,5đ) Suy ra AM=. 3 . AC+ 4 . AB 7. (đpcm) (0,5đ). 2). Cho góc AOB bằng 1350 , C là một điểm nằm trong góc AOB, biết góc BOC bằng 900 . Vẽ OD là tia đối của tia OC. Tính góc AOD 2).(2 điểm) HD: A C Tính góc AOC bằng 1350 −900 =45 0 (1đ) OD là tia đối của tia OC nên góc COD là góc bẹt, có số đo 1800 (0,5đ) 0 0 0 (0,5đ) ∠ AOD=180 − 45 =135 O B. D. PHÒNG GD ĐT KỲ ANH.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> PHÒNG GD&ĐT KỲ ANH. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2014- 2015. Môn: Toán- Lớp 8 Thời gian: 120 phút (Không kể giao đề) Bài 1:a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4 a) x  4 b) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 5 b) Tìm số tự nhiên n để M = n  n  2 là một số chính phương. 1 a 2  b2  c 2 2 Bài 2: a) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2 3 4 b) Giải phương trình: 21x  18 x  7 x  x 9. Bài 3: Cho hình vuông ABCD trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho góc MAN = 450. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AM, AN với BD. a) Chứng minh Δ AEB đồng dạng với Δ FEM b) Chứng minh NE. AM.. c) Gọi H là giao điểm của NE và MF, AH cắt NM tại P. Chứng minh AM là phân giác của góc BAP. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại B (AB = 2BC). Lấy điểm D thuộc cạnh AC sao cho BC = CD, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD = AE. 2 Chứng minh rằng: AD =AB.AE SƠ LƯỢC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8 Bài 1. (6,5đ) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử (4đ): 4 a) x  4 4 2 2 = x  4x  4  4x 2. 2. = ( x  2  2 x)( x  2  2 x) b) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 2 2 = ( x  7 x  11  1)( x  7 x 11 1)  24 2. 2. = [( x  7 x  11)  1]  24 2. 5. = ( x  7 x  11)  25. 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ. 2. = ( x  1)( x  6)( x  7 x  16) 5 2) Tìm số tự nhiên n để M = n  n  2 là một số chính phương (2,5đ) 4 5 = n  n  2 = n(n  1)  2 2. = n(n  1)(n  1)(n 1)  2 2. 0,5đ 0,5đ 0,5đ. = n(n  1)(n  1)[(n  4)  5]  2 0,5đ = n(n  1)(n  1)(n  2)(n  2) + 5n(n  1)(n  1)  2 0,5đ n ( n  1)( n  1)( n  2)( n  2) 5 n ( n  1)( n  1)  5 và  5 Vậy biểu thức M chia 5 dư 2, do đó M có Mà số tạn cùng là 2 hoặc 7 nên M không là số chính phương. Vậy không có số tự nhiên n nào để M là một số chính phương 0,5đ Bài 2. (6,5đ).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 1 a2  b2  c2 2 1)Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:. Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên: a + b - c > 0. 0,5đ. c c Đặt a = x + 2 ; b = y + 2 ; c c 1 a 2  b 2 ( x  )2  ( y  )2 2 2 2 2 = x + cx + y + cy + 4 c Khi đó ta có 1 2 1 2 c c 2 2 2 2 = x + y +c (x+y) + 2 > 2 vì: x > 0; y > 0; c (x+y) > 0. 0,5đ 1,0đ 1,0đ. 2) Giải phương trình sau x4-7x3+18x2-21x+9=0 (1) xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình (1) chia hai vế của (1) cho x2 ta được x. x2 . 9 3   7  x    18 0 2 x x . 1,0đ. 3 9 t  x 2  2 t 2  6 x x ta được phương trình t2-7t+12=0. Đặt  t=3 hoặc t=4. 0,5đ 1,0đ. 3 3  x 2  3x  3 0  x +) t=3 Vô nghiệm 3 x  4  x 2  4 x  3 0  x +) t=4  x=1 hoặc x=3 x. 0,5đ. 0,5đ Bài 3. (6,0đ)Cho hình vuông ABCD trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho góc MAN = 450. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AM, AN với BD. 1) Chứng minh Δ AEB đồng dạng với Δ FEM 2) Chứng minh NE. AM.. 3) Gọi H là giao điểm của NE và MF, AH cắt NM tại P. Chứng minh AM là phân giác của góc BAP. HD: a) Ta có AE EF  BE EM 1)  AEBFEM ( g.c.g ) 2) AEF DEN ( g.g )  AFDNFE ( g .g )  ANE  ADE 450  NE  AM AEF BEM ( g .g ) . A. B. 2,0đ 1,0đ. E M. 1,0đ. 3) Cmtt như câu 2) ta có :. H.   BFM ABE FME  BAM (2) và MF  AN  H chính là trực tâm của tam giác MAN. 1,0đ  M ENM  FHN EHM  FHENHM  EF   ENM MAP. mà. (3). F P D. N. C. 0,5đ.   PAM Từ (2) và (3). BAM. Hay AM là tia phân giác của góc BAP. 0,5đ Bài 4 (1,0đ)Cho tam giác ABC vuông tại B (AB = 2BC) Lấy điểm D thuộc cạnh AC sao cho 2 BC = CD, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD = AE Chứng minh rằng: AD =AB.AE HD:.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Đặt BC= a, Khi đó theo Pitago: AC = a 5 (1) 2 Nếu đẳng thức AD =AB.AE thỏa mãn  AD = AB = AE (vìAD=AE gt)  E B 0,5đ Nên AC = AD + DC = AB + BC = 3a (2) 2 Từ (1) và (2)  đẳng thức AD =AB.AE không tồn tại 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>