VECTO UNG DUNG VECTO DE GIAI TOAN HINH HOC Phuong phap giai Bai tap co loi giai file word

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ I: ỨNG DỤNG VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC. Phương pháp chung Để giải một bài toán tổng hợp bằng phương pháp vectơ ta thường thực hiện theo các bước sau Bước 1: Chuyển giả thiết và kết luận của bài toán sang ngôn ngữ của vectơ, chuyển bài toán tổng hợp về bài toán vectơ. Bước 2: Sử dụng các kiến thức vectơ để giải quyết bài toán đó. Bước 3: Chuyển kết quả bài toán vectơ sang kết quả bài toán tổng hợp.. Sau đây là một số dạng toán thường gặp I. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH VÀ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG CỐ ĐỊNH. 1. Phương pháp giải.. uuur uuur AB AC  Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta chứng minh hai véc tơ và cùng uuur uuur phương, tức là tồn tại số thực k sao cho: AB = kAC .  Để chứng minh đường thẳng AB đi qua điểm cố định ta đi chứng minh ba điểm A, B, H thẳng hàng với H là một điểm cố định. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt A, B. Chứng minh rằng M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi. uuur uuu r uuu r OM = a OA + b OB b có hai số thực a , có tổng bằng 1 sao cho: . Lời giải. uuuu r uuur uuur uuur uuur uuu r Þ AM = kAB Û AO + OM = k ( AO + OB ) * Nếu A, B, M thẳng hàng uuur uuu r uuu r Þ OM = (1 - k)OA + kOB . Đặt a = 1- k ; b = k Þ a + b = 1 và uuur uuu r uuu r OM = aOA + bOB ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> uuur uuu r uuu r OM = a OA + b OB * Nếu với a + b = 1 Þ b = 1- a uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r Þ OM = aOA + (1- a)OB Þ OM - OB = a(OA - OB ) Þ BM = aBA Suy ra M, A, B thẳng hàng. Ví dụ 2: Cho góc xOy . Các điểm A, B thay đổi lần lượt nằm trên Ox, Oy sao cho. OA + 2OB = 3. Chứng minh rằng trung điểm I của AB thuộc một đường thẳng cố định.. uur r 1 uuu r 1 uuu OI = OA + OB 2 2 Định hướng: Ta có hệ thức vectơ xác định điểm I là (*) uur uuur uuur OI = a OA ' + b OB ' với a + b = 1. Từ ví dụ 1 ta cần xác định hai điểm cố định A', B' sao cho Do đó từ hệ thức (*) ta nghĩ tới việc xác định hai điểm cố định A', B' lần lượt trên Ox, Oy. Ta có. ( *). uur OA uuur OB uuur Û OI = OA ' + OB ' 2OA ' 2OB ' . từ đó ta cần chọn các điểm đó sao cho Đăng. ký mua file word trọn bộ chuyên đề. HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11” Gửi đến số điện thoại. Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD , I là trung điểm. AE 2 = 3 . Chứng minh ba điểm D, E, I của cạnh BC và E là điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn AC thẳng hàng. Định hướng: Để chứng minh D, E, I thẳng hàng ta đi tìm số k sao cho.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> uuur uur uuur uur DE , DI DE = kDI , muốn vậy ta sẽ phân tích các vectơ qua hai vectơ không cùng phương r r r r r uuur uuur a, b AB và AD và sử dụng nhận xét " ma + nb = 0 Û m = n = 0 với là hai vectơ không k= cùng phương " từ đó tìm được. 2 3.. Lời giải (hình 1.35). uur uuur uur uuur 1 uuu r uuur 1 uuur DI = DC + CI = DC + CB = AB - AD 2 2 Ta có (1) uuur 2 uuur AE = AC 3 Mặt khác theo giả thiết ta có suy ra uuur uuu r uuur uuu r 2 uuur DE = DA + AE = DA + AC 3. Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề. Hình 1.35. HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11” Gửi đến số điện thoại uuur æ BC öuur BD ÷ Û ç 2 +3 BI = 5 BH ÷ ç ç BN ÷ è BM ø (theo (1)) uur uuur uur 1 uuur Û 10BI = 5BH Û BI = BH 2 (3) Do các điểm B, H cố định, nên điểm I cố định.(xác định bởi hệ thức (3)) Ví dụ 5: Cho ba dây cung song song tâm của ba tam giác. AA1, BB1,CC 1. của đường tròn (O). Chứng minh rằng trực. ABC 1, BCA1,CAB1 nằm trên một đường thẳng..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Lời giải Gọi. H 1, H 2, H 3 lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC 1, BCA1,CAB1. Ta có:. và. uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuuu r uuu r uuur uuur OH 1 = OA + OB + OC 1 OH 2 = OB + OC + OA1 ,. uuuu r uuur uuu r uuur OH 3 = OC + OA + OB1. Suy ra. uuuuu r uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuur H 1H 2 = OH 2 - OH 1 = OC - OC 1 + OA1 - OA = C 1C + AA1. uuuuu r uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuur H 1H 3 = OH 3 - OH 1 = OC - OC 1 + OB1 - OB = C 1C + BB1 Vì các dây cung. Nên ba vectơ. AA1, BB1,CC 1 song song với nhau. uuur uuur uuur AA1, BB1,CC 1. Do đó hai vectơ. uuuuu r H 1H 2. và. có cùng phương. uuuuu r H 1H 3. cùng phương hay ba điểm. H 1, H 2, H 3 thẳng hàng.. 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.101: Cho tam giác ABC và các điểm M là trung điểm AB, N thuộc cạnh AC sao cho. Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề. HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11” Gửi đến số điện thoại. định.. uuur uuur uuur uuur MP = aMA + bMB + cMC Bài 1.105: Cho hai điểm M,P là hai điểm di động thỏa mãn . Chứng minh rằng MP đi qua điểm cố định..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài 1.106. Cho hình bình hành ABCD . Gọi E là điểm đối xứng của D qua điểm A, F là điểm đối xứng của tâm O của hình bình hành qua điểm C và K là trung điểm của đoạn OB. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng và K là trung điểm của EF.. A B C A .B ,C Bài 1.107: Cho hai tam giác ABC và 1 1 1 ; 2 2 2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCA1, CAB1, ABC 1 . Gọi G,G1,G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC , A1B1C 1 , A2B2C 2 .. Chứng minh rằng. G,G1,G2 thẳng hàng và tính. GG1 GG2. .. Bài 1.108. Cho tam giác ABC .Các điểm M, N, P lần lượt nằm trên đường thẳng BC, CA, AB sao. uuur uuur uuur uuu r uuu r uuu r MB = a MC , NC = b NA , PA = g PB cho . Tìm điều kiện của , ,  để M, N, P thẳng hàng. Bài 1.109: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O. Chứng minh rằng trung điểm hai đường chéo AC, BD và tâm O thẳng hàng. Bài 1.110: Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O thỏa mãn AB = CD = EF . Về phía ngoài lục giác dựng các tam giác cân tại M, N, P, Q, R, S. Gọi rằng ba điểm. O, O1, O2. O1, O2. AMB, BNC , CPD, DQE , ERF , FSA. lần lượt là trọng tâm tam giác MPR và NQS . Chứng minh. thẳng hàng.. uuuu r 2 uuur MN = - MP Û 3 Bài 1.101: Ta chứng minh M, N, P thẳng hàng. uuur 1 uuur 1 uuur AO = AB + AC 9 4 Bài 1.102: Ta có: uuur uuur uuur AE = (1 - x)AB + xAC uuur uuur Û AE = kAO A, E, O thẳng hàng. đồng dạng và.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> uuur uuur k uuur k uuur 36 9 Û (1 - x)AB + xAC = AB + AC Û k = ; x = 9 4 13 13 x= Vậy. 9 13 là giá trị cần tìm.. uur uur uur uur r I A = 2 IB Û IA 2 IB = 0. Bài 1.103: uur uur r uur uur uu r 3J A + 2J C = 0 Û 3IA + 2I C = 5I J .. uur uur uur uu r suu uu r 2 ( IA + IB + IC ) = 5 IJ Û 6 IG = 5 IJ Û I, J, G thẳng hàng. Suy ra Bài 1.104: a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra. uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuu r uuu r uuur uuur uuur MN = MA + MB + MC Û MN = GA + GB + GC + 3MG = 3MG Suy ra M , N , G thẳng hàng hay MN đi qua điểm cố định G.. uuur 1 uuur uuuu r 1 uuur uuur uuur Þ MP = MA + MN = 2MA + MB + MC 2 2 b) P là trung điểm AM. (. ). (. ). uur uur uur r 2 J A + J B + J C = 0 Gọi I là trung điểm BC, J là trung điểm AI suy ra uuur. uuur. Do đó MP = 2MJ suy ra MP đi qua điểm cố định J.. uur uur uur r aIA + bIB + cIC = 0 ABC Bài 1.105: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác suy ra Do đó. uuur uuur uuur uuur uuur uuu r MP = aMA + bMB + cMC Û MP = ( a + b + c ) MI. Vậy MP đi qua điểm cố định I.. uuu r 5 uuur 3 uuur uuur 5 uuur 3 uuur EF = AD + AB EK = AD + AB 2 2 4 4 Bài 1.106: Ta có: , uuu r uuur Þ EF = 2EK . Vì vậy K là trung điểm EF uuuu r uuur uuur uuuu r ABC , A1B1C 1 G , G 3 GG = GA + GB + GC 1 1 1 1 1 Bài 1.107: Vì là trọng tâm tam giác suy ra.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> uuuu r uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur Û 3GG1 = GA +GB +GC + AA1 + BB1 +CC 1 uuuu r uuur uuur uuur Û 3GG1 = AA1 + BB1 +CC 1 uuuu r uuur uuur uuuu r ABC , A2B2C 2 G , G 3 GG = GA + GB + GC 2 là trọng tâm tam giác 1 1 1 1 Tương tự suy ra uuuu r uuur uuuu r uuuu r Û 3GG2 = AA2 + BB2 +CC 2 uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuuur uuuur AA + BB + CC = AA + BB + CC + A A 2 2 2 1 1 1 1 2 + B1B 2 +C 1C 2 Mặt khác Mà. A2.B2,C 2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCA1, CAB1, ABC 1. Suy ra. uuuu r uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 3 A1A2 + B1B2 +C 1C 2 = 3 A1B + AC 1 + B1C + B1A +C 1A +C 1B. (. ). (. ). uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uur uuur uuu r = 3( A1A + AB + A1A + AC + B1B + BC + B1B + BA +C 1C +CA +C 1C +CB ) uuur uuur uuur = 6( AA1 + BB1 +CC 1 ) uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuur AA2 + BB2 +CC 2 = 3 AA1 + BB1 +CC 1. (. ). uuuu r uuur uuur uuur Þ GG2 = AA1 + BB1 +CC 1 uuuu r uuuu r GG = 3 GG 2 1 Vậy. uuur MB = Bài 1.108: Ta có:. r a uuur uuu 1 uuur BC ; BP = AB 1- a g- 1. uuur uuur uuur BC = (1 - a)MC ;CN = uuuu r MN = Ta có:. uuur MP = (-. b uuur AC ; 1- b. 1 uuur 1 b uuur AB + ( + )AC 1- a 1- a 1- b Và. a 1 uuur a uuur )AB + AC 1- a 1- g 1- a. Để M, N, P thẳng hàng thì ta phải có. Do đó.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> -. a 1 a 1- a 1- g 1- a = Û abg = 1 1 1 b + 1- a 1- a 1- b .. Bài 1.109: Gọi P, Q, R, S lần lượt là các tiếp điểm của các đoạn thẳng AB,BC,CD,DA đối với đường tròn tâm O. Đặt. SA = AP = a, BP = BQ = b, CQ = CR = c, DR = DS = d. .. Áp dụng định lý con nhím cho tứ giác ABCD ta có:. uuu r uuur uuu r uur r a + b OP + b + c OQ + c + d OR + d + a OS = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) r u u u r r æ b uuu ö æ ö a c uuu b uuur ÷ Û ( a + b) ç OA + OB ÷ OB + OC ÷ ÷+ ( b + c ) ç ç ç ÷ ÷ ç çb + c èa + b a +b ø è b+c ø u u u r u u u r u u u r u u u r æd ö æ ö c a d +( c + d ) ç OC + OD ÷ OD + OA ÷ ÷+ ( d + a ) ç ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç d +a ècu+ ø uuu ø uu rd uuur c + d r uuu r èd +ra. (. ). (. ). Û ( b + d ) OA + OC + ( a + c ) OB + OD = 0 uuur uuur r Û ( b + d ) OM + ( a + c ) ON = 0. Suy ra O, M, N thẳng hàng (đpcm) Bài 1.110: Gọi. M 1, N 1, P1,Q1, R1, S1. AB, BC ,CD, DE , EF , FA. . Suy ra. lần lượt là hình chiếu của. M 1, N 1, P1,Q1, R1, S1. M , N , P ,Q, R, S. lên. lần lượt là trung điểm của. AB, BC ,CD, DE , EF , FA. uuuuu r uuuur uuur uuu r uuur uuur uuur = MM 1 + M 1A + AS1 + S1S + Ta có MS + RQ + PN. (. ). uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuuur + RR1 + R1E + EQ1 + Q1Q + PP1 + P1C + CN 1 + N 1N. (. ) (. uuuuu r uuur uuur = 2 MM 1 + PP1 + RR1. (. ). ). ( Vì theo định lí con nhím thì. uuuuu r uuur uuur uuuur uuur uuu r r MM 1 + PP1 + RR1 + N 1N + Q1Q + S1S = 0. Mặt khác AB = CD = EF suy ra. MM 1 RR1 PP1 1 = = = OM 1 OR1 OP1 k. ).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Do đó. uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r MS + RQ + PN = k OM + OP + OR. (. ). uur uuur uuur uuur uuu r uuu r Û OS + OQ + ON = ( k + 1) OM + OP + OR uuuu r uuuu r Û OO2 = ( k + 1) OO1. (. Hay ba điểm. O, O1, O2. ). thẳng hàng.. II. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY. 1. Phương pháp giải.. uuur uuu r AB = kCD  Để chứng minh đường thẳng AB song song với CD ta đi chứng minh và điểm A không thuộc đường thẳng CD.  Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta có thể chứng minh theo hai hướng sau: + Chứng minh mỗi đường thẳng cùng đi qua một điểm cố định. + Chứng minh một đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho ngũ giác ABCDE . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn MP và NQ. Chứng minh rằng IJ song song với AE Lời giải (hình 1.36). uu r uur uur uuu r uuur uur uuur 2 IJ = IQ + IN = IM + MQ + IP + PN Ta có uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur = MQ + PN = AE + BD + DB 2 2 1 uuur = AE 2. (. Suy ra IJ song song với AE. ). Hình 1.36.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Ví dụ 2: Cho tam giác ABC.Các điểm M, N, P thuộc các đường thẳng BC, CA, AB thỏa mãn. uuur uuur uuur uuu r uuu r uuu r r a + b + g ¹ 0 , bMB + gMC = gNC + aNA = aPA + bPB = 0 thì AM, BN, CP đồng uuu r uuu r uuur r quy tại O, với O là điểm được xác định bởi aOA + bOB + gOC = 0 Lời giải. uuur uuur r uuur uuu r uuur uuur r bMB + gMC = 0 Û b MO + OB + g MO + OC = 0 Ta có. (. ). (. ). uuu r uuu r uuur uuur uuu r Û aOA + bOB + gOC + ( b + g ) MO = aOA uuur uuu r Û ( b + g ) MO = aOA Suy ra M, O, A thẳng hàng hay AM đi qua điểm cố định O Tương tự ta có BN, CP đi qua O Vậy ba đường thẳng AM, BN, CP đồng quy Ví dụ 3: Cho sáu điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi D là một tam giác có ba đỉnh lấy trong sáu điểm đó và D ' là tam giác có ba đỉnh còn lại. Chứng minh rằng với các cách chọn D khác nhau các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác D và D ' đồng quy. Định hướng. Giả sử sáu điểm đó là A, B, C, D, E, F. Ta cần chứng minh tồn tại một điểm H cố định sao cho với các cách chọn D khác nhau thì H thuộc các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác D và D ' . Nếu D là tam giác ABC thì D ' là tam giác DEF. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF.. uuuu r uuur ' GG ' HG = kHG H thuộc đường thẳng khi có số thực k sao cho r uuur uuur 1 uuu k uuur uuur uuur (HA + HB + HC ) = (HD + HE + HF ) 3 3 r 1 uuur 1 uuur k uuur k uuur k uuur r 1 uuu Û HA + HB + HC - HD - HE - HF = 0 3 3 3 3 3 3 Û. Vì vai trò của các điểm A, B, C, D, E, F trong bài toán bình đẳng nên chọn k sao cho. -. k 1 uuu r uuur uuur uuur uuur uuur r = Û k =- 1 HA + HB + HC + HD + HE + HF = 0 3 3 khi đó. Lời giải.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Gọi H là trọng tâm sáu điểm A, B, C, D, E, F khi đó. uuu r uuur uuur uuur uuur uuur r HA + HB + HC + HD + HE + HF = 0 ( * ) Giả sử. G, G '. lần lượt là trọng tâm của hai tam giác. ABC , DEF. suy ra. uuu r uuu r uuur r uuuur uuuur uuuur r GA + GB + GC = 0, G 'D + G ' E + G ' F = 0 Suy ra. ( *). uuur uuu r uuu r uuur uuuur uuuur uuuur uuuur Û 3HG + GA + GB + GC = 3HG ' + G 'D + G 'E + G 'F. uuur uuuur Û HG = HG ' Do đó GG' đi qua điểm cố định H do đó các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác D và D ' đồng quy. 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.111: Cho tứ giác ABCD , gọi K, L lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và tam giác BCD. Chứng minh rằng hai đường thẳng KL và AD song song với nhau Bài 1.112: Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lần lượt lấy các điểm. A1B BC CA = 1 = 1 = k ( k > 0) AC B1A C 1B 1 A2, B2,C 2. sao cho. . Trên các cạnh. A2B1 BC CA 1 = 2 1= 2 1 = A2C 1 B2A1 C 2B1 k. B1C 1,C 1AB1, A1B1. A1, B1,C 1. sao cho. lần lượt lấy các điểm. . Chứng minh rằng tam giác. A2B2C 2 có các cạnh. tương ứng song song với các cạnh của tam giác ABC . Bài 1.113: Trên đường tròn cho năm điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Qua trọng tâm của ba trong năm điểm đó kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm còn lại. Chứng minh rằng mười đường thẳng nhận được cắt nhau tại một điểm. Bài 1.114. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Kẻ MM', NN', PP', QQ' lần lượt vuông góc với CD, DA, AB, BC. Chứng tỏ rằng bốn đường thẳng MM', NN', PP', QQ' đồng quy tại một điểm. Nhận xét về điểm đồng quy và hai điểm I, O (I là giao điểm của MP và NQ)..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Bài 1.115: Cho năm điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi D là một tam giác có ba đỉnh lấy trong năm điểm đó, hai điểm còn lại xác định một đoạn thẳng q . Chứng minh rằng với các cách chọn D khác nhau các đường thẳng nối trọng tâm tam giác D và trung điểm đoạn thẳng q luôn đi qua một điểm cố định. Bài 1.116: Cho tam giác ABC . Ba đường thẳng x, y, z lần lượt đi qua A, B, C và chúng chia đôi chu vi tam giác ABC . Chứng minh rằng x, y, z đồng quy . Bài 1.117: Cho tam giác ABC, các đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tương ứng tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại M, N, P.Chứng minh AM, BN, CP cùng đi qua một điểm, xác định điểm đó. Bài 1.118 : Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. uuu r uuu r uuur uuu r r GA + GB + GC + GD = 0 a) Gọi G là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng b) Gọi. A1, B1,C 1, D1. các đường thẳng. lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC. Chứng minh rằng. AA1, BB1, CC 1, DD1 đồng quy tại điểm G.. Bài 1.119: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là một điểm tùy ý. Gọi. A1, B1,C 1 lần lượt là các. điểm đối xứng với M qua các trung điểm I, J, K của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng a) Các đường thẳng. AA1, BB1,CC 1 đồng quy tại trung điểm O của mỗi đường. MO 3 = 2. b) M, G, O thẳng hàng và MG Bài 1.120: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác. ABC với các cạnh BC , CA, AB . Gọi Da là đường thẳng đi qua trung điểm PN và vuông góc với BC, Db là đường thẳng đi qua trung điểm PM và vuông góc với AC, D c là đường thẳng đi qua trung điểm MN và vuông góc với AB. Chứng minh rằng Da , Db và D c đồng quy.. Bài 1.121: Cho hai hình bình hành ABCD và AB 'C ' D ' sắp xếp sao cho B' thuộc cạnh AB, D' thuộc cạnh AD. Chứng minh rằng các đường thẳng DB ', CC ', BD ' đồng quy. uuu r uuur uuur r uuu r uuu r uuu r r K A + K B + K C = 0 LB + LC + LD = 0 Bài 1.111: Ta có và.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Trừ vế với vế ta được. uuu r uuu r uuu r r K A - LD + 2KL = 0 Û. Bài 1.112:. (. uuu r uur uuu r uuu r r uuu r uuu r r K L + LA - LD + 2K L = 0 Û DA + 3K L = 0. ). uuuur k2 - k + 1 uuur A2C 2 = AC 2 k + 1 ( ). Tương tự ta có. Suy ra KL//AD. 2 A Ï AC nên A2C 2 / / AC , vì k - k + 1 > 0 và 2. B2C 2 / / BC và A2B2 / / AB. Bài 1.113: Giả sử năm điểm đó là A1, A2, A3 , A4 , A5, A6 nằm trên đường tròn (O). Ta cần chứng minh tồn tại điểm H thuộc mười đường thẳng đó. Gọi G là trọng tâm của tam giác A1A2A3 ; P là trung điểm của đoạn thẳng A4A5 .Vì OP ^ A4A5 (do. OA4 = OA5 ) nên điểm H thuộc đường thẳng đi qua G và vuông góc với đường thẳng A4A5 khi có số uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuu r OG = OA1 + OA2 + OA3 3 thực k sao cho HG = kOP . Mà (vì G là trọng tâm của tam giác. (. ). uuu r 1 uuur uuur OP = OA4 + OA5 A1A2A3 ). 2 (vì P là trung điểm của đoạn thẳng A4A5 ) uuur uuu r uuur uuur uuu r Do đó HG = kOP Û OG - OH = kOP. (. ). uuur 1 uuur uuur uuur k uuur uuur OA1 + OA2 + OA3 - OH = OA4 + OA5 2 Hay 3. (. ). (. ). uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur k uuur k uuur Û OH = OA1 + OA2 + OA3 - OA4 - OA5 3 3 3 2 2 Vì các điểm A1, A2, A3, A4 , A5 , A6 trong bài toán có vai trò bình đẳng nên chọn k sao cho. -. k 1 2 = Û k =2 3 3. uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur OH = OA1 + OA2 + OA3 + OA4 + OA5 3 Khi đó. (. ). uuur 5 uuur OH = OG { A1, A2, A3, A4, A5 } ). 3 Hay (G là trọng tâm của hệ điểm Bài 1.114: Ta cần chứng minh tồn tại điểm H thuộc đường thẳng MM', NN', PP', QQ'..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> uuuu r. uuu r. Vì OP ^ CD (do OC = OD) nên điểm H thuộc đường thẳng MM' khi có số thực k sao cho HM = kOP . Mà M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD nên. uuuu r r uuur uuu r r 1 uuu 1 uuur uuu HM = HA + HB ; OP = OC + OD 2 2. (. ). (. ). r uuur r 1 uuu k uuur uuu uuuu r uuu r HA + HB = OC + OD 2 Do đó HM = kOP Hay 2 uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r Û HO + OA + HO + OB = k OC + OD Û 2OH = OA + OB - kOC - kOD. (. ). (. (. ). ). Vì các điểm. A, B, C, D trong bài toán có vai trò bình đẳng nên chọn k = - 1. uuur uuu r uuu r uuur uuu r 2 OH = OA + OB + OC + OD Khi đó uuur uur uuur uur Hay 2OH = 4OI (Dễ thấy I là trọng tâm của tứ giác ABCD) Û OH = 2OI Vậy H là điểm đối xứng của O qua I. Bài 1.115: Gọi A, B, C là ba đỉnh của tam giác D và DE là đoạn thẳng q . Gọi G là trọng tâm tam giác D. uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r OA + OB + OC + OD + OE = 3 OG + 2 IM và M là trung điểm của DE thì với điểm O tùy ý ta có Do đó GM luôn đi qua điểm cố định O là trọng tâm hệ điểm A, B, C, D, E. Bài 1.116: Hướng dẫn : Đặt. BC = a, CA = b, AB = c. Giả sử đường thẳng x đi qua A cắt BC tại M khi đó ta có. AB + BM = AC + MC Û c + BM = b + MC Þ c + 2BM = b + ( BM + MC ). BM = Suy ra. Do đó :. a +b- c a - b+c , CM = 2 2. uuur uuur r a + c b MB + a + b c MC = 0 ( ) ( ). Tương tự ta có :.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> uuur. ( a + b - c ) NC. uuu r uuu r uuu r r + ( b + c - a ) NA = ( b + c - a ) PA + ( a + c - b) PB = 0 Do đó x, y, z đồng uur uur uur r b + c a IA + a + c b IB + a + b c IC = 0 ( ) ( ) ( ). quy tại I được xác định bới. Bài 1.117: Giả sử đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc BC tại M. Gọi B’,C’ là tiếp điểm của cạnh AB,AC với đường tròn bàng tiếp góc A Khi đó AB ' = AC ' Û AB + BB ' = AC + CC ' Û c + BM = c + CM Đến đây tương tự bài 1.116.. uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r GA + GB + GC + GD = 2 GM + MA + MB + 2 GP + PC + PD = Bài 1.118: a) Ta có:. uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r r = 2(GM + GP ) + (MA + MB ) + (PC + PD) = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Þ AA = 4AG 1 3AA1 = AB + AC + AD 4AG = AB + AC + AD 3 b) ; uuur uuur Þ AA1; AG. cùng phương hay AA1 đi qua G. Tương tự ta có BB1 đi qua G; CC1 đi qua G; DD1 đi qua G Vậy ta có AA1, BB1, CC 1, DD1 đồng quy tại G Bài 1.119: a) Gọi O là trung điểm CC1. uuur uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuur uuur uuur AA1 = AM + MA1 = AM + MB + MC = AC + MB uuur uuur uuuu r uuur uuur 2AO = AC + AC 1 = AC + MB. uuur uuur Þ AA = 2 AO AC BM 1 1 (vì hình bình hành) hay O là trung. điểm AA1 Tương tự ta có. uuur uuur BB1 = 2BO. hay O là trung điểm BB1. Vậy AA1, BB1, CC 1 đồng quy tại trung điểm O của mỗi đường. uuur uuur uuur uuur 3 MG = MA + MB + MC b) Ta có: uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur 2MO = MA + MA1 = MA + MB + MC Þ 2MO = 3MG.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> MO 3 = Þ M, G, O thẳng hàng và MG 2 uuu r ur uur ur uur ur I M = e1, I N = e2, I P = e3 Bài 1.120: Đặt Gọi X, Y, Z lần lượt là trung điểm của NP, PM, MN.. uur ur ur ur 2 I O là điểm được xác định O = e1 + e2 + e3. uuur uur uur 1 ur ur ur 1 ur ur 1 ur OX = OI + IX = e1 + e2 + e3 + e2 + e3 = - e1 2 2 2 Suy ra. (. ). (. ). Suy ra OX ^ BC , tương tự ta có OY ^ AC , OZ ^ AB Suy ra D a , Db và D c đồng quy tại O.. AB ¢ AD ¢ = m, = n(0 < m, n < 1) AD Bài 1.121: Đặt AB . Gọi I là giao điểm BD' và DB' r uuuu r uuuu r uuur uuur uuur uuuu uuur uuur ¢ ¢ ¢ AC = AB + AD ; AC = AB + AD = mAB + nAD Ta có uuu r n uuur BA BD 1- n uuur u u u r u u u u r u u u u r uuur AD ¢ n n- 1 = n Þ D ¢A = D ¢D Þ BD ¢= = BB ¢+ nBD n AD n- 1 1- m 1n- 1 u u u r u u u r u u r u u r r 1- n n(m - 1) Þ IB ¢+ nID = 0 Þ IB ¢= ID 1- m 1- n uuuu r n(m - 1) uuur uuur uuur ¢+ AB AD m(n - 1)AB + n(m - 1)AD uur n 1 Þ AI = = n(m - 1) mn - 1 1+ n- 1 Do đó uur uuur uur IC = AC - AI =. uuur uuur 1 (m - 1)AB + (n - 1)AD mn - 1 ;. (. uuur uuur uuuu r uuur uuur C¢ C = AC - AC ¢= (1- m)AB + (1- n)AD. Suy ra. uur IC =. r 1 uuuu C 'C mn - 1. Suy ra I, C', C thẳng hàng Þ đpcm. ).

<span class='text_page_counter'>(17)</span> III. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỈ SỐ ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG. 1. Phương pháp. Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng phương và sử dụng các kết quả sau: Cho. r r a, b. là hai vectơ không cùng phương khi đó. r r r r m, n x = ma + nb x  Với mọi vectơ luôn tồn tại duy nhất các số thực sao cho r r r  ma + nb = 0 Û m = n = 0 r r r ur r r r ur c = ma + nb, c ' = m'a + n 'b, m '.n ' ¹ 0 c, c '  Nếu. và. là hai vectơ cùng phương thì. m n = m' n ' 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho. 1 3 AM = AB, AN = AC 3 4 . Gọi O là giao điểm của CM và BN. ON OM Tính tỉ số OB và OC Lời giải (hình 1.37). uuur uuur uuur uuur Giả sử ON = nBN ; OM = mCM uuur uuuu r uuur uuuu r uuur AO = AM + MO = AM m CM Ta có. Hình 1.37. uuur uuur uuuu r uuuu r uuur = 1(1 - m)AB + mAC = AM - m(AM - AC ) 3 ; uuur uuur uuur uuur uuur AO = AN + NO = AN nBN Và. uuur uuur uuur uuur uuur 3 = AN - n(AN - AB ) = (1- n)AC + nAB 4 uuur uuur uuur AO AB AC Vì chỉ có một cách biểu diễn duy nhất qua và suy ra.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> ìï ïï ï í ïï ïï î. ìï ïï m = 2 ï 3 í ïï 1 ïï n = î 9.. 1 (1- m) = n 3 Û 3 (1- n) = m 4. ON 1 OM 2 = = 9 và OC 3. Vậy OB Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD . M thuộc đường chéo AC sao cho AM = kAC . Trên các cạnh AB, BC lấy các điểm P, Q sao cho MP / / BC , MQ / / AB . Gọi N là giao điểm của AQ và CP.. AN CN AQ Tính tỉ số và CP theo k . Lời giải (hình 1.38). uuur uuur uuur uuu r AN = xAQ , CN = yCP Đặt , ta có: uuur uuu r uuur uuu r uuur DN = DA + AN = DA + xAQ uuu r uuur uuur = DA + x(AB + BQ ) uuu r uuur BQ uuur = DA + xDC + x BC BC. Hình 1.38. uuu r uuur r BQ uuu = DA + xDC - x DA BC MQ / / AB Þ Vì. BQ AM uuur uuu r uuur = =k BC AC nên DN = (1- kx)DA + xDC (1). uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r DN = DC + CN = DC + yCP = DC + y ( CB + BP ) Mặt khác uuur uuu r r BP uuu = DC + yDA + y BA BA MP / / BC Þ Vì. BP CM CA - AM = = = 1- k BA CA CA nên.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur DN = DC + yDA - y(1 - k)DC = yDA + (1 + ky - y)DC ïìï y = 1- kx Þ í ïï x = 1 + ky - y î Từ (1) và (2) ta suy ra:. (2). ìï k ïï x = ï k2 - k + 1 í ïï 1- k ïï y = 2 k - k + 1. ïî. AN k CN 1- k = 2 = 2 k - k + 1 và CP k - k +1 Do đó AQ Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AB và AC lấy các điểm B’ và C’ . Gọi. AB AC AM + =2 AM ' . M' là giao điểm của B'C' và AM. Chứng minh: AB ' AC ' Lời giải (hình 1.39). uuur uuuu r uuur uuuur uuuu r uuuur AB = xAB ' ; AC = yAC ' ; AM = zAM ' Đặt uuuuur uuuuu r M ' Î B ' C ' Þ $ k : B ' M ' = kB ' C ' Vì. uuuur uuuu r uuuur uuuu r Û (AM ' - AB ') = k(AC ' - AB ') uuuur uuuu r uuuur Þ AM ' = (1 - k)AB ' + kAC ' Û. Hình 1.39. r 1 - k uuur k uuur 1 uuuu AM = AB + AC z x y. 11 uuur uuur 1- k uuur k uuur (AB + AC ) = AB + AC z2 x y 1 1- k k 1 Û = = = Þ x + y = 2z 2z x y x +y Û. AB AC AM + =2 AM ' đpcm. Hay AB ' AC ' 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.122. Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC ta lấy các điểm M, N sao cho.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> AM 2 BN 1 = ; = MB 5 NC 3 . Gọi I là giao điểm của AN và CM AI CI Tính tỉ số AN và IM Bài 1.123: Cho tam giác ABC và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB cắt các đoạn thẳng AM, AC và BC lần lượt tại D, E và F. Một điểm G nằm trên cạnh AB sao cho FG song song AC.. ED Tính GB Bài 1.124: Cho D ABC có AB = 3, AC = 4 . Phân giác trong AD của góc BAC cắt trung. AD tuyến BM tại I. Tính AI Bài 1.125: Cho tam giác ABC , trên cạnh AC lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho:. AM = 3MC , NC = 2NB , gọi O là giao điểm của AN và BM. Tính diện tích D ABC biết diện tích D OBN bằng 1. Bài 1.126: Cho hình bình hành ABCD . Gọi M, N lần lượt là nằm trên cạnh AB, CD sao cho. AB = 3AM , CD = 2CN. BI , G là trọng tâm tam giác MNB và AG cắt BC tại I. Tính BC. Bài 1.127: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua trung điểm M của AB. CN dựng đường thẳng MO cắt CD tại N. Biết OA = 1,OB = 2, OC = 3, OD = 4 , tính ND ..

<span class='text_page_counter'>(21)</span> S = 3SAMC . Một Bài 1.128. Cho tam giác ABC . M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho ABC đường thẳng cắt các cạnh. AB , AM , AC. lần lượt tại. B ', M ',C '. phân biệt. Chứng minh rằng. AB AC AM +2 =3 AB ' AC ' AM ' Bài 1.129: Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB và CD cắt nhau tại M. Qua trung điểm S. AM 2 AK = 2 CK của BD kẻ SM cắt AC tại K. Chứng minh rằng CM uur uuur uur uuur AI = xAN ; CI = yCM Bài 1.122: Đặt uur uuur uuur uuur x uuur AI = x(AB + BN ) = xAB + BC 4 Ta có: uuur x uuur uuur r x uuur 3x uuur x uuur 21x uuuu = xAB + (AC - AB ) = AB + AC = AM + AC 4 4 4 8 4 21 x 8 AI 8 x + = 1Þ x = Þ = 4 23 AN 23 . Vì M, I, C thẳng hàng nên ta có: 8 IC 21 = 2. Tương tự: IM r uuur b uuu r uur r uur r uuu r r CM = CE = kCA = ka 2 Bài 1.123: Ta đặt: CA = a;CB = b .Khi đó . Vì E nằm ngoài đoạn thẳng uuu r uur r uuu r uuu r r 0 < k < 1 CE = kCA = ka CF = kCB = kb AC nên có số k sao cho , với . Khi đó Điểm D nằm trên AM và EF nên có hai số x và y sao cho:. uuu r uur uuur uuu r uuu r CD = xCA + (1 - x)CM = yCE + (1 - y)CF r 1- x r r r xa + b = kya + k(1 - y)b 2 Hay.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> 1- x rr = k(1 - y) Vì hai vectơ a,b không cùng phương nên x = ky và 2 . uuu r r r CD = (2 k 1 ) a + (1 k ) b Suy ra x = 2k - 1, do đó r r uuur uuu r uuu r uuu r = (1 k )( b a ) (1 k ) AB Ta có: ED = CD - CE = uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuur Chú ý rằng vì CF = kCB hay AB + BG = kAB suy ra (1 - k)AB = GB ED =1 Do đó GB uur uuu r r IB AB 3 = = Þ 2IB + 3IM = 0 AM 2 Bài 1.124: Ta có: IM uuur uuuu r uur Þ 2AB + 3AM = 5AI. (1). uuur uuur r uuur uuur uuur DB AB 3 = = Þ 4DB + 3DC = 0 Þ 4AB + 3AC = 7AD DC AC 4 (2) Từ (1) và (2) suy ra. uuur uuuu r uuur uur uuur uur r AD 10 3AC - 6AM = 7AD - 10AI Þ 7AD - 10AI = 0 Þ = AI 7 uuur uuu r uuur BO = xBA + 1 x BN ( ) Bài 1.125: Vì A, O, N thẳng hàng nên: uuur uuuu r uuur AO = yAM + 1 y AB ( ) Tương tự: uuur uuuu r uuur uuur Þ AB = yAM + (x - y + 1)AB + (x - 1)BN uuur. uuuu r. uuur. hay. r. (x - y)AB + yAM + (x - 1)BN = 0. (1). uuur r r uuuu r 3 r uuur 1r uuu r u r uur r AB = a - b; AM = - b; BN = - a 4 3 Đặt CB = a , CA = b , Ta có :.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> r. Thay vào (1) ta có:. r Û ( x - y) a -. ( x - y) ( a -. r r æ 1r ö 3 r b - yb + ( x - y ) ç - a÷ = 0 ÷ ç ÷ ç 4 è 3 ø. ). r x - 1 r 3y r ab ( x - y) b = 3 4. x- 1 ïìï ïï x - y = 3 Û í ïï 3 ï y- x = y 4 Từ đó ta có: ïî x= Với. 1 ïìï ïï x = 10 í ïï 2 ïï y = î 5. uuur r 1 1 uuu 1 uuur BO = BA + (1)BN 10 Þ 10 10. uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur NA BO - BN = BA - BN NO = NA = 10 Þ Þ NO 10 10 hay .. (. Vì. ). SONB = 1 Þ SNAB = 10 Þ SABC = 30. uur uuur BI = k, k > 0 Þ BI = kBC Bài 1.126: Đặt BC uur. uuur. uur. uuur. uuur. uuur. uuur. Ta có AI = AB + BI = AB + kBC = AB + kAD Mặt khác G là trọng tâm tam giác MNB suy ra. uuur uuuu r uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur 3AG = AM + AN + AB = AB + AD + AC + AB 3 2 u u u r u u u r u u u r u u u r 1 1 11uuur uuur = AB + 2AD + AB + AB = AB + AD 3 2 6. (. (. ). ). 11 1 6 uuur uur = Þ k= AG , AI k 11 Vì cùng phương nên 6 uuur uuu r uuu r uuu r OC = 3 OA , OD = 2 OA Bài 1.127: Ta có. uuur uuur uuur k uuu r uuu r uuur uuur ON = kOM Þ ON = OA + OB 2 Vì OM , ON cung phương nên có số thực k sao cho. (. ).

<span class='text_page_counter'>(24)</span> uuur r r 3 uuu 2k uuu CN ON = OA OB = k, k > 0 1+ k k +1 Đặt ND , ta có Suy ra. 6 4k 3 =Û k= k ( 1+ k ) k ( k + 1) 2. uuur 2 uuur SABC = 3SAMC Þ BC = 3MC Þ BM = BC 3 Bài 1.128: Ta có uuuu r uuur uuuur uuur uuuur uuuu r Đặt AB ' = xAB ; AC '=yAC ; AM ' = zAM uuuuur. uuuur. uuuu r. uuuu r. uuur. Ta có B 'M ' = AM ' - AB ' = zAM - xAB. uuur uuur uuur uuur 2z uuur = z AB + BM - xAB = ( z - x ) AB + BC 3 uuur 2z uuur uuur æz öuuur 2z uuur ÷ = ( z - x ) AB + AC - AB = ç - x÷ AB + AC ç ÷ ç 3 3 è3 ø. (. ). (. ). uuuuu r uuuur uuuu r uuur uuur B 'C ' = AC ' - AB ' = yAC - xAB z 2z - x 3 1 2 3 uuuuur uuuuu r = 3 Û = + x y z x y B ' M ' B ' C ' Mặt khác , cùng phương nên AB AC AM +2 =3 AC ' AM ' Hay AB ' AK =x>0 Bài 1.129: (hình 1.56) Đặt CK uuuu r MK = Ta có:. Do:. uuuu r uuur MK , MS. 1 uuur x uuur .MA + .MC 1+ x 1+ x (1). cùng phương nên. uuuu r uuur l uuur uuur MK = l.MS = MB + MD 2. (. Hình 1.56. ).

<span class='text_page_counter'>(25)</span> uuur ìï uuur ïï MB = - a MA MA 2 MA.MB = MC .MD = a > 0 Þ ïí uuur ïï a uuur MD = MC ïï î MC 2 Mặt khác uuuu r MK = Suy ra. al uuur 2MA. MA 2. al 2MC. uuur MC 2. ( 2). ìï 1 al ïï =2 2MA 2 Þ x = MA Þ Þ ïí 1 + x ïï 1 al MC 2 AM 2 AK == ïï 2MC 2 ïî 1 + x CK CM 2 Từ (1) và (2) suy ra:.

<span class='text_page_counter'>(26)</span>