De thi HSG lop 7

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7. HUYỆN THẠCH THÀNH. MÔN: TOÁN. ĐỀ CHÍNH THỨC. NĂM HỌC: 2016 – 2017. (Đề thi gồm 01 trang). Ngày thi: 03/04/2017 Thời gian: 120 phút không tính thời gian ghi đề. Câu 1: (4,5 điểm). 1. Tính giá trị các biểu thức sau:  3 4  7  4 7  7   :   :  a) A =  7 11  11  7 11  11 212.35  46.92 2 6 4 5 b) B = (2 .3)  8 .3 5x 2  3y 2 x y  2 2 2. Cho 3 5 . Tính giá trị biểu thức: C = 10x  3y Câu 2: (4,5 điểm) 1. Tìm các số x, y, z, biết: x y y z  ;  a) 2 3 5 7 và x + y + z = 92 b) (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = 0 2. Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x – y = 6 Câu 3: (3,0 điểm) 1. Tìm đa thức A biết: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 2. Cho hàm số y = f(x) = ax + 2 có đồ thị đi qua điểm A(a – 1; a2 + a). a) Tìm a b) Với a vừa tìm được, tìm giá trị của x thỏa mãn: f(2x – 1) = f(1 – 2x) Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao điểm BE và CD. Chứng minh rằng: a) BE = CD b) BDE là tam giác cân 0   c) EIC 60 và IA là tia phân giác của DIE. Câu 5: (2,0 điểm) 1. Tìm số hữu tỉ x, sao cho tổng của số đó với nghịch đảo của nó có giá trị là một số nguyên. 2. Cho các số a, b, c không âm thỏa mãn: a + 3c = 2016; a + 2b = 2017. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a + b + c..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN Câu 1: 1.  3 4  7  4 7  7   3 4  11   4 7  11   :   :  .   .   7 11 11 7 11 11 7 11 7 7 11  7        a) A = = 11    3 4    4 7   11    3  4   4 7   11 11            ( 1)  1  .0 0      7   11 11   = 7 7 A = 7   7 11   7 11   = 7   7 212.35  46.92 212.35  (2 2 ) 6 .(32 ) 2 212.35  212.34 212.34 (3  1)  12 6 12 5 2 6 4 5 12 6 3 4 5 2 .3  2 .3 = 212.35 (3  1) b) B = (2 .3)  8 .3 = 2 .3  (2 ) .3 212.34.2 1  12 5 B = 2 .3 .4 6  x 3k x y    y 5k . Khi đó: 2. Đặt 3 5 = k 5x 2  3y 2 5(3k) 2  3(5k) 2 45k 2  75k 2 120k 2   2 2 2 2 90k 2  75k 2 15k 2 = 8 C = 10x  3y = 10(3k)  3(5k) Câu 2: 1. y x y x  2  3 10 15 x y z      10 15 21  y z y z 15 21 a) Ta có:  5 7 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và x + y + z = 92, ta được: x y z x yz 92    2 10 15 21 = 10  15  21 46 x 10 2  y   2  15 z  21 2 .  x 20   y 30 z 42 . b ) Ta có: (x – 1)2016  0 (2y – 1)2016  0.  x  y. |x + 2y – z|2017  0  x, y, z  (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017  0  x, y, z  x – 1 2016 0  2016  0  2y – 1  2017 0  x  2y – z 2016 2016 2017  Mà (x – 1) + (2y – 1) + |x + 2y – z| = 0 nên dấu "=" xảy ra.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>   x 1  1   y  2  1  1  2. – z 0  2  .  x 1  1  y  2  z  2 . 2. Ta có: xy + 3x – y = 6  x(y + 3) – (y + 3) = 6 – 3  (x – 1)(y + 3) = 3 = 1.3 = 3.1 = (– 1)(– 3) = (– 3)(– 1) Ta có bảng sau: x–1 1 3 –1 y+3 3 1 –3 x 2 4 0 y 0 –2 –6 Vậy: (x; y) = (2; 0) = (4; – 2) = (0; 6) = (– 2; – 4). –3 –1 –2 –4. Câu 3: 1. Ta có: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 A = x2 – 7xy + 8y2 + (3xy – 4y2) A = x2 – 4xy + 4y2 2. a) Vì đồ thị hàm số y = f(x) = ax + 2 đi qua điểm A(a – 1; a2 + a) nên: a2 + a = a(a – 1) + 2  a2 + a = a2 – a + 2  2a = 2  a = 1 b) Với a = 1 thì y = f(x) = x + 2 1 Ta có: f(2x – 1) = f(1 – 2x)  (2x – 1) + 2 = (1 – 2x) + 2  4x = 2  x = 2 Câu 4: GT.   ABC, A = 900,  ABD và  ACE đều. I = BE  CD a) BE = CD KL. b) BDE là tam giác cân 0   c) EIC 60 và IA là tia phân giác của DIE   1  900 600  900 1500  DAC A    DAC BAE  0 0 0 0   BAE A 2  90 60  90 150 a) Ta có: . Xét DAC và BAE có: DA = BA (GT)   DAC BAE (CM trên) AC = AE (GT)  DAC = BAE (c – g – c)  BE = CD (Hai cạnh tương ứng) 0     b) Ta có: A 3  A1  BAC  A 2 360.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  3  600  900  600 3600  A  3 1500  A  3 DAC   A = = 1500 Xét DAE và BAE có: DA = BA (GT)  3 DAC  A = (CM trên) AE: Cạnh chung  DAE = BAE (c – g – c)  DE = BE (Hai cạnh tương ứng)  BDE là tam giác cân tại E   c) Ta có: DAC = BAE (CM câu a)  E1 = C1 (Hai góc tương ứng) 0    Lại có: I1  E 2  ICE 180 (Tổng 3 góc trong ICE) 0       I1  (AEC  E1 )  (C1  C 2 ) 180.  1 C  1  600 1800  I1  600  E 1 C   I1  1200 1800 (Vì E = 1)  I1 600   Vì DAE = BAE (Cm câu b)  E1 = E 2 (Hai góc tương ứng)  EA là tia phân giác của  DEI (1).  DAC BAE    Vì  DAE BAE  DAC = DAE  D1 = D 2 (Hai góc tương ứng)  DA là tia  phân giác của EDC (2) Từ (1) và (2)  A là giao điểm của 2 tia phân giác trong DIE  IA là đường phân giác thứ  ba trong DIE hay IA là tia phân giác của DIE. Câu 5: m 1. Gọi x = n (m, n  Z, n  0, (m, n) = 1). Khi đó: 1 m n m2  n 2    mn (1) x+ x n m Để. x. 1 x nguyên thì m2 + n2  mn  m 2 + n2  m . n2  m (Vì m2  m). . n m. Mà (m, n) = 1 nên m = 1 hoặc m = – 1.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> *) Với m = 1: Từ (1), ta có:. x. 1 12  n 2 1  n 2 1 x  x = 1.n x nguyên thì 1 + n2  n  1  n hay n =  1 n . Để. *) Với m = – 1:. Từ (1), ta có:. x. (  1) 2  n 2 1  n 2 1 1  x  n . Để x = ( 1).n x nguyên thì 1 + n2 (– n)  1  (– n) hay n. = 1 m 1 1 1 1     Khi đó x = n 1  1 1  1 hay x =  1 2. Ta có: a + 3c = 2016 (1) và a + 2b = 2017 (2) Từ (1)  a = 2016 – 3c 1  3c Lấy (2) – (1) ta được: 2b – 3c = 1  b = 2 . Khi đó: 1  3c P = a + b + c = (2016 – 3c) + 2 + c =. 1   6c  3c  2c 1 c  2016   2016    2 2 2 2 . Vì a, b, c . 1 c 1 1 2016  2016 2016 2 2  2 , MaxP = 2  c=0 không âm nên P =.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>