cuc tri

<span class='text_page_counter'>(1)</span>July 15 ,2009. Giải tích 12 Phần II : Cực trị của hàm số. Nhấn space bar hay click chuột để xem các dòng và trang kế tiếp Biên tập PPS : vinhbinhpro.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Phần II Cực trị của hàm số.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.. ĐỊNH NGHĨA CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a ,b) và điểm x0   a ; b  a) Điểm. x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu :.  x   a ; b  \  x0 ; f (x )  f ( x0 )  f (x0 ) gọi là giá trị cực đại của hàm số f.  Điểm M x0 ; f (x0 ) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số f b) Điểm. x0. được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu :.  x   a ; b  \  x0 ; f ( x )  f ( x0 ) . f (x0 ) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.  Điểm M x0 ; f (x0 ) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số f c) Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm ĐIỂM CỰC TRỊ d) Giá trị cực đại , giá trị cực tiểu (thường viết. ycd ; yct ) gọi chung là CỰC TRỊ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> TÓM TẮT LÝ THUYẾT y. y. f (x0 ) Giá trị cực đại. f ( x). f (x0 ). M x0 ; f (x0). x Giá trị cực tiểu. M x0 ; f (x0 ) là điểm cực đại của đồ thị hs. x0. f ( x). là điểm cực tiểu của đồ thị hs. x. x. x. x0 Điểm cực đại của hàm số. Điểm cực đại của đồ thị hàm số. điểm cực tiểu của hàm số. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. x1 x2 điểm cực tiểu của hàm số. điểm cực đại của hàm số.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> TÓM TẮT LÝ THUYẾT 2. ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ Định lý :.  Hàm số f có đạo hàm tại x   f đạt cực trị tại x 0. 0. . f '( x 0 )  0. Kết quả : Tiếp tuyến tại điểm cực trị song song hoặc trùng với trục hoành *Chú ý : Mệnh đề đảo chưa chắc đúng x. x0. y’. 0. y. cực trị. * Trường hợp đặc biệt x0 x y’. ǁ. y. cực trị.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> TÓM TẮT LÝ THUYẾT 3. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ a) DẤU HIỆU I ĐỊNH LÝ: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) chứa điểm xₒ và có đạo hàm trên (a ; xₒ) và (xₒ ; b ). Khi đó : 1. Nếu f’(x) đổi dấu từ DƯƠNG sang ÂM khi x đi qua xₒ thì xₒ là một điểm cực đại của hàm số 2. Nếu f’(x) đổi dấu từ ÂM sang DƯƠNG khi x đi qua xₒ thì xₒ là một điểm cực tiểu của hàm số x y’ y. x0. a. +. 0. -. b. CĐ. ycd  f ( x0 ). Chú ý : Nếu xₒ là một điểm cực trị thì ta nói hàm số đạt cực trị tại điểm xₒ. x y’ y. a. x0. -. 0. b. +. CT. yct  f ( x0 ).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> TÓM TẮT LÝ THUYẾT Qui tắc 1 : (Giải bài toán tìm cực trị của hàm số) Bước 1 : Tìm tập xác định D - tính f’(x) Bước 2 : Giải phương trình f’(x) = 0 tìm tất cả các nghiệmx i (i 1, 2 ,...) Tại các điểm x i (i 1, 2 ,...) đạo hàm của hàm số bằng 0 * trường hợp đặc biệt :. tìm điểm xₒ mà tại đó hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm. Bước 3 : Xét dấu f’(x) - Căn cứ vào dấu hiệu 1 tìm ra tất cả các điểm cực trị Tính tiếp Giá trị cực đại ,giá trị cực tiểu (nếu có ) -Tìm ra điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số 1 3 2 Ví dụ : Tìm cực trị của hàm số : y   x  4 x  15 x 3 B 1:. D R. y '   x 2  8 x  15. x. B2:. y '  0  x  3 hay x  5. y’. B3:. -∞. Điểm cực tiểu : x = 3 , điểm cực đại x = 5 y yCT  y(3) . 1 3 3  4.32  15.3 -18 3. yCD  y (5) . ̶̶. 3 0 CT. +. 5 0. +∞ ̶̶. CĐ. 1 3 50 5  4 .52  15 .5  3 3.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> TÓM TẮT LÝ THUYẾT b) Dấu hiệu II Định lý : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tới cấp 2 tại điểm xₒ.  f '( x 0 )  0 1. Nếu   f ''( x 0 )  0. thì xₒ là điểm cực tiểu.  f '( x 0 )  0 2. Nếu   f ''( x 0 )  0. thì xₒ là điểm cực đại. Qui tắc 2 : (Giải bài toán tìm cực trị của hàm số) Bước 1 : Tính f’(x) Bước 2 : Giải phương trình f’(x) = 0 tìm tất cả các nghiệm x i (i 1, 2 ,...) Bước 3 : Tìm f”(x) - Tính f ''( xi ). Căn cứ vào định lý trên để kết luận ..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Bài tập Cực trị của hàm số. Biên tập pps : vinhbinhpro.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Bài tập Bài tập 1 : Tìm cực trị , nếu có , của hàm số.  x2  3x  6 a) y  x 2. 4x2  2x  1 b) y  2 2x  x  3. Hướng dẫn a) B1 : D  R \   2. y' .  x2  4x.  x  2 x. B3: Xét dấu y’. y’. B 2 : y ' 0   x 2  4 x 0  x 0 hay x  4. 2. -4. -∞. -. 0. y. -2. +. CT. KL: Điểm cực tiểu x = 0 , điểm cực đại x= 2 4   x   3x  6  16  12  6. yCT y( 4)  yCD  y(0) . CT. CT. xCT  2. 006 3 02. .  42. 0. +. 0. -. +∞. CĐ.  u'  xCT    2xCT  3 11  yCT  11 hay yCT   1 v ' x   CT  .  u '( xCD )  y   CD  v '( x ) CD  .

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Bài tập Hướng dẫn câu b). 1  20 x  5  3  B1 : D R \   ;1 y '  2 B2: y '  0   20x  5 0  x  2 4  2   2 x  x  3 B3 : Xét dấu y’ :. x y’. -∞ +. . 3 2. . +. y. Điểm cực đại : x. =. 1 4. 1 4. 0. 1. -. CĐ. (Học sinh tự tính giá trị cực đại ). *Bài tập tương tự : Tìm điểm cực trị của hàm số. 1. y  x 3  2 x 2  2 x  1 x5 x3 2. y   2 5 3 3. y  x ( x  2) 4. y   x 4  2 x 2  1. -. +∞.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Bài tập Bài tập 2 : Tìm cực trị , nếu có , của hàm số. 1. y  x . 2. y  x. 2x  x2. x2  4. Hướng dẫn câu 1). B 1 : D  [0 ; 2 ]. 1 x. y ' 1 . 2x  x. 2. . 2x  x2 1 x 2x  x2. B2 : y ' 0 . 2x  x2  x  1  x 0;2 x 1  x 1 2 2     x0  2   2 2 2  2 x  4 x  1  2 x  x   x  1 . B3: Xét dấu y’ :. x y’. x . 0. 2 2 1 2. +. 2 2 2 2 2  y  1  2 2 2. Đồ thị có điểm cực đại có tọa độ là :. 0 CĐ. 2. -.  2 2  ( y '(1) 1  0  y '  0,  x   0,  2  . 2.  2 2 ;1  2 .  2 .

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Bài tập Hướng dẫn câu 2) B1 : D     ;  2    2 ;   x y’. y' . 2x2  4 x  4 2. 0. -2. -∞. 2. -. +. y. +∞ +. không xác định. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định . Đồ thị không có điểm cực trị Bài tập tương tự : Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số sau (nếu có). 1. y  x. 3  x. 2. y  x. 2. 3. y . 8  x. 4. y . 3. x.  2 x  2. 2. x. 2.  5.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Bài tập Bài tập 3 : Tìm cực trị , nếu có , của hàm số. 1. y sin 2 x . 3 cos x , x   0;  . 2.y  x  2 sin 2 x. Hướng dẫn câu 1). B1 : D  0 ;  . y '  2 sin x cos x  3 sin x sin x 2 cos x  3. B 2: x   0 ;.  s in x  0. . . y '  0  cos x  . y ''  2 c o s 2 x  3 c o s x B3: Dùng qui tắc 2 5 5 1  5  y ''   3 cos  2.    2 cos 6 3 6 2   5   5 ;  yCD  y  Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x  6   6 Hướng dẫn câu 2). B 1: D  R.. B2 :. . 3 5  x  2 6.  3  7   4. 3 1    0 2  2   . y '  1  4 sin x co s x  1  2 sin 2 x    x1 12  k 1 y ' 0  sin 2 x    (k, l  Z ) 2  x  5  l  2 12.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Bài tập B3 : Dùng Qui tắc 2. y ''   4 cos 2 x   y ''  x1    4 cos   2 k     2 3  0  6 . Vậy : x .   k là các điểm cực đại 12. Vậy: x 5  l 12 Bài tập tương tự :.  5  y ''  x 2    4 c o s  l.2   2  6  là các điểm cực tiểu. 3  0. Tìm cực trị của hàm số. 1. y 2 sin x  cos 2 x ; x   0 ;  2. y a sin x  b cos x  x ; x   0 ; 2  3. y sin 2 x  x 4. y sin 2 x  cos 2 x.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Bài tập ( Bài toán tìm cực trị có tham số) x 2  2 ax  2 Bài tập 4 : Định a để hàm số : y  đạt cực tiểu khi x = 2 x a Hướng dẫn. y' . x2  2ax  2a2  2.  x  a. YCBT  y '(2) 0  2 a 2  4 a  2 0 ( a  2). 2.  a 1 (Học sinh cần thử lại vì đây chỉ mới là điều kiện cần). Thử lại : Với a  1 , y '  x y’. x2  2x.  x  1. 2. 0. . +. 0.  0  x  0 hay x  2 1. ̶̶. CĐ. Vậy hàm số đạt cực tiểu khi x = 2 và a. 2. ̶̶. 0. . +. CT. = 1 là giá trị cần tìm.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Bài tập ( Bài toán tìm cực trị có tham số) ax 2 +2 x  b Bài tập 5: Định a và b để đồ thị hàm số : y  x2 1 đại có tọa độ là ( 1 ; 5 )  D R , y ' . có điểm cực.  2x2   a  b x  2. x. 2.  1. 2. * Hàm số đạt cực trị tại xₒ = 1  y '(1) 0  a  b 0  a b * Giá trị cực trị tính theo công thức :. y0 . u '  x0  2ax0  2 a.1  1   a  1 v '  x0  2 x0 1. y0  5  a  1  5  a  4. mà a = b nên b = 4. (theo cách giải trên ( xₒ,yₒ ) chưa phải là điểm cực đại , nên cần phải thử lại)  2x2  2 y'  0  x  1 Thử lại : Với a = b = 4 2 2  x  1 Lập bảng xét dấu y’ , ta được x = 1 chính là điểm cực đại . Vậy nhận a = b = 4

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Bài tập ( Bài toán tìm cực trị có tham số). Bài tập 6 : a) Chứng minh với mọi m , hàm số : y  luôn luôn có cực đại và cực tiểu. x 2  m  m 2  1 x  m 4  1 x m. b) Định m để điểm cực đại của đồ thị hàm số thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ a) D  R \  m , y ' . x 2  2 mx  m 2  1. x. m. 2. y ' 0  x2  2mx  m2  1 0  x m  1 hay x m 1.  x m. 2 2 g ( x )  x  2 mx  m 1 Dấu của y’ phụ thuộc vào tam thức :. g(x) có 2 nghiệm phân biệt nên có dấu đổi hai lần khi x đi qua x = m-1 và x = m+1 Vậy hàm số luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m  m-1 m x b) Ta y’ có : + 0. -. m+1. . 2x. 0 + 2  m m  1   m 3  m  2 0 1. Vậy điểm cực đại là xₒ =m-1 Giá trị cực đại : y0  m 1 x0  0  m  1  0  YCBT    3   m 1 2 y  0 m  1 m  m  2  0 m  m  2  0      0  .

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Bài tập tự rèn luyện x2  2x  m  3 Bài tập 1 : Cho hàm số y  x m a) Định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.. b) Định m để đồ thị hàm số có đúng 1 điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ II của mặt phẳng tọa độ . Đáp số : a) m = - 3 / 2 b) -2 < m < -1 3 2 Bài tập 2 : Định m để đồ thị hàm số : y  x  3 m x  m có hai điểm cực trị thẳng hàng với điểm A ( -1 , 3) Đáp số : m = 1 , m = - 3/2 3 2 Bài tập 3 : Tính giá trị cực trị của hàm số : y  x  2 x  x  1 Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị .. . HẾT PHẦN II. Đáp số :.  11  4 7 , y  4x  1 3.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Biên tâp tập PPS này với hy vọng các bạn học sinh rèn luyện được khả năng tự học và tự mở rộng vấn đề . Chúc các bạn thành công. Phần góp ý và chỉnh sửa xin các bạn comment bên dưới chiếu hình trực tuyến. vinhbinhpro. Đón xem phần 3 : Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>