Chuyen de Hinh hoc 9 danh cho HSG

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề: tứ giác nội tiếp I) C¸c kiÕn thøc cÇn nhí 1) Kh¸i niÖm: B A. C. O. D. Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn đợc gọi là tứ giác nội tiếp đờng tròn (Gọi tắt là tứ giác nột tiếp) 2) §Þnh lÝ - Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 -Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 thì tứ giác đó nội tiếp đờng tròn. 3) DÊu hiÖu nhËn biÕt (c¸c c¸ch chøng minh) tø gi¸c néi tiÕp - Tứ giác có tổng số do hai góc đối diện bằng 1800. - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. - Tứ giác có bón đỉnh cách đều một điểm(mà ta có thể xác định đợc). Điểm đó là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác. - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới mét gãc . II) Bµi tËp Bµi tËp 1 Cho  ABC vuông ở A. Trên AC lấy diểm M và vẽ đờng tròn đờng kính MC. Kẻ BM cắt đờng tròn tại D. Đờng thẳng DA cắt Đờng tròn tại S. Chứng minh rằng: a) Tø gi¸c ABCD néi tiÕp. · · = ACD b) ABD · c) CA lµ ph©n gi¸c cña SCB Bµi tËp 2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC và BD c¾t nhau t¹i E. VÏ EF vu«ng gãc víi AD. Chøng minh: a) Tø gi¸c ABEF, tø gi¸c DCEF néi tiÕp . b) CA lµ ph©n gi¸c cña BCF. c) Gäi M lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh tø gi¸c BCMF néi tiÕp Bµi tËp 3 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD . Hai đờng chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại ®iÓm thø hai lµ M . Giao ®iÓm cña BD vµ CF lµ N . Chøng minh :.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp . b b) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BFM . c) BE . DN = EN . BD Bµi tËp 4 Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E . Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thø hai F , G . Chøng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD . b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng tròn . c) AC song song víi FG . d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy . Bµi tËp 5 0 Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A 90 ; AB > AC) vµ mét ®iÓm M n»m trªn ®o¹n AC (M kh«ng trïng víi A vµ C). Gäi N vµ D lÇn lît lµ giao ®iÓm thø hai cña BC vµ MB với đơng tròn đờng kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đờng tròn đờng kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh: a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đờng tròn. b. CM lµ ph©n gi¸c cña gãc BCS . TA TC  c. TD TB .. Bµi tËp 6 Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài đờng tròn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN với đờng tròn (M, N là các tiếp điểm) và một cát tuyến bất kì cắt đờng tròn t¹i P, Q. Gäi L lµ trung ®iÓm cña PQ. a/ Chứng minh 5 điểm: O; L; M; A; N cùng thuộc một đờng tròn.. ·. b/ Chøng minh LA lµ ph©n gi¸c cña MLN c/ Gäi I lµ giao ®iÓm cña MN vµ LA. Chøng minh MA2 = AI.AL d/ Gäi K lµ giao ®iÓm cña ML víi (O). Chøng minh r»ng KN // AQ. e/ Chøng minh  KLN c©n.. Bµi tËp 7 Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H) 1. Chứng minh góc ABE bằng góc EAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH. 2. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp. 3. Xác định vị trí điểm H để AB= R . Bµi tËp 8 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P. Chøng minh r»ng:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1. C¸c tø gi¸c AEHF, néi tiÕp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF Bµi tËp 9 Cho ABC không cân, đờng cao AH, nội tiếp trong đờng tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đờng kính AD của đờng tròn (O) và M, N thứ tự là trung ®iÓm cña BC, AB. Chøng minh: a) Bốn điểm A,B, H, E cùng nằm trên đờng tròn tâm N và HE// CD. b) M là tâm đờng tròn ngoại tiếp HEF. Bµi tËp 10 Cho đờng tròn tâm O và điểm A ở bên ngoài đờng tròn. Vẽ ccs tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đờng tròn ( B và C là các tiếp điểm). Gọi Hlà trung điểm cña DE. a) CMR: A,B, H, O, C cùng thuộc một đờng tròn. Xác định tâm của đờng trßn nµy. b) Chøng minh: HA lµ tia ph©n gi¸c BHC . c) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BC vµ DE. Chøng minh: AB2 = AI.AH d) BH c¾t (O) t¹i K. Chøng minh: AE // CK. . Bµi tËp 11 Từ một điểm S ở ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD của đờng tròn đó. a) Gäi E lµ trung ®iÓm cña d©y CD. Chøng minh 5 ®iÓm S,A,E,O,B cïng thuéc một đờng tròn b) NÕu SA = AO th× SAOB lµ h×nh g×? t¹i sao? AB.CD AC.BD BC.DA  2 c) Chømg minh r»ng: Bµi tËp 12 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đờng tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B và E). 1. Chứng minh AC. AE không đổi. 2. Chøng minh  ABD =  DFB. 3. Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Bµi tËp 13 Trên đờng thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d kÎ hai tia Ax, By cïng vu«ng gãc víi dt. Trªn tia Ax lÊy I. Tia vu«ng gãc víi CI tại C cắt By tại K. Đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P. 1) Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp đợc đờng tròn . 2) Chøng minh AI.BK = AC.CB 3) Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vu«ng ABKI lín nhÊt. Bµi tËp 14 Cho ABC vuông tại A. Kẻ đờng cao AH, vẽ đờng tròn đờng kính AH, đờng tròn nµy c¾t AB t¹i E, c¾t AC t¹i F. a) Chøng minh AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt. b) Chøng minh:BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp . c) Chøng minh: AB.AE = AC.AF.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> d) Gäi M lµ lµ giao ®iÓm cña CE vµ BF. H·y so s¸nh diÖn tÝch cña tø gi¸c AEMF vµ diÖn tÝch cña tam gi¸c BMC. Bµi tËp 15 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 1 3. Chøng minh ED = 2 BC.. 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Bµi tËp 16 Từ điểm M ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB. Trên cung nhỏ AB lấy 1 điểm C. Vẽ CD  AB; CE  MA; CF  MB. Gọi I là giao điểm của AC và DE; K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AECD; BFCD nội tiếp được. b) CD2 = CE.CF c) IK  CD Bµi tËp 17 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O). M là điểm di động trên cung nhỏ BC. Trªn ®o¹n th¼ng MA lÊy ®iÓm D sao cho MD = MC. a) Chứng minh DMC đều. b) Chøng minh MB + MC = MA. c) Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp đợc. d) Khi M Di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đờng cố định nào ? Bµi tËp 18 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC  MB, BD  MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB. 1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp. 2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn . 3. Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi. 5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng. 6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d. Bµi tËp 19 Cho 3 điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự. Vẽ đờng tròn (O) bất kỳ đi qua B và C (BC không là đờng kính của (O)). Kẻ từ các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E; F lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC; K lµ trung ®iÓm cña EF, giao ®iÓm cña FI víi (O) lµ D. Chøng minh: 1. AE2 = AB.AC 2. Tø gi¸c AEOF 3. Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đờng tròn. 4. ED song song víi Ac. 5. Khi (O) thay đổi tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đờng thẳng cố định. Bµi tËp 20.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 0 µ Cho ABC có các góc đều nhọn và A = 45 . Vẽ đờng cao BD và CE của ABC. Gäi H lµ gia ®iÓm cña BD vµ CE. a) Chøng minh tø gi¸c ADHE néi tiÕp.. DE b) TÝnh tØ sè BC. c) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh OA  DE Bµi tËp 21 Cho tam giác nhọn PBC. Gọi A là chân đờng cao kẻ từ P xuống cạnh BC. Đờng tròn đờng kính BC cắt PB, PC lần lợt ở M và N. Nối N với A cắt đờng tròn đờng kÝnh BC ë ®iÓm thø hai E a/ Chứng minh rằng: 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đờng tròn. Hãy xác định tâm và bán kính đờng tròn ấy. b/ Chøng minh: EM vu«ng gãc víi BC c/ Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh rằng AM.AF = AN.AE Bµi tËp 22 0 Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A 90 ); trªn ®o¹n AC lÊy ®iÓm D (D kh«ng trïng víi các điểm A và C). Đờng tròn đờng kính DC cắt BC tại các điểm thứ hai E; đờng thẳng BD cắt đờng tròn đờng kính DC tại điểm F (F không trùng với D). Chứng minh: a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC. b. Tứ giác ABCF nội tiếp đờng tròn. c. AC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc EAF. Bµi tËp 23 Cho hình thang cân ABCD (AB>CD; AB//CD) nội tiếp trong đờng tròn (O). Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của hai đờng chÐo AC vµ BD a/ Chøng minh: Tø gi¸c AEDI néi tiÕp b/ Chøng minh AB//EI c/ §êng th¼ng EI c¾t c¹nh bªn AD vµ BC cña h×nh thang t¬ng øng ë R vµ S. Chøng minh: * I lµ trung ®iÓm cña RS 1 1 2   * AB CD RS Bµi tËp 24 Cho đờng tròn (O; R) có hai đờng kính AOB và COD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA, nối CE cắt đờng tròn tại F. Qua F dựng tiếp tuyến Fx với ®]êng trßn, qua E dùng Ey vu«ng gãc víi OA. Gäi I lµ giao ®iÓm cña Fx vµ Ey a/ Chứng minh I; E; O; F cùng nằm trên một đờng tròn. b/ Tø gi¸c CEIO lµ h×nh g×? v× sao? c/ Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào? Bµi tËp 25 Cho nửa đờng tròn đờng kính BC bán kính R và điểm A trên nửa đờng tròn (A kh¸c B vµ C). Tõ A h¹ AH vu«ng gãc víi BC. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa điểm A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, nửa đờng tròn đờng kính HC c¾t AC t¹i F. a. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh g×? T¹i sao? b. Chøng minh BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> c. Hãy xác định vị trí của điểm A sao cho tứ giác AFHE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R. Bµi tËp 26 Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đờng tròn (O) thay đổi đi qua hai điểm M, N. Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PT’ với đờng tròn (O) a) Chứng minh: PT2 = PM.PN. Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua M, N thì T, T’ thuộc một đờng tròn cố định. b) Gäi giao ®iÓm cña TT’ víi PO, PM lµ I vµ J. K lµ trung ®iÓm cña MN. Chøng minh: C¸c tø gi¸c OKTP, OKIJ néi tiÕp. c) Chứng minh rằng: Khi đờng tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N thì TT’ luôn đi qua điểm cố định. d) Cho MN = NP = a. Tìm vị trí của tâm O để góc  TPT’ = 600. Bµi tËp 27 Cho ABC vuông ở A. Trên AC lấy điểm M (M≠A và C). Vẽ đờng tròn đờng kính MC. Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đờng tròn. Nối BM kéo dài cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là D. Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại điểm thø hai S. Chøng minh: a) Tø gi¸c ABTM néi tiÕp. · b) Khi M chuyển động trên AC thì ADM có số đo không đổi. c) AB//ST.. Bµi tËp 28 Cho hai đờng tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A, B. Đờng vuông góc với AB kẻ qua B cắt (O) và (O') lần lợt tại các điểm C, D. Lấy M trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O). Gọi giao điểm thứ hai của đờng thẳng MB với đờng tròn (O') là N và giao điểm của hai đờng thẳng CM, DN là P. a. Tam gi¸c AMN lµ tam gi¸c g×, t¹i sao? b. Chứng minh ACPD nội tiếp đợc đờng tròn. c. Gọi giao điểm thứ hai của AP với đờng tròn (O') là Q, chứng minh rằng BQ // CP. Bµi tËp 29 Cho  ABC vuông tại A (AB < AC). H bất kỳ nằm giữa A và C. Đường tròn (O) đường kính HC cắt BC tại I. BH cắt (O) tại D. a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp. b) AB cắt CD tại M. Chứng minh 3 điểm H; I; M thẳng hàng  c) AD cắt (O) tại K. Chứng minh CA là tia phân giác của KCB. Bµi tËp 30 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I, gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN sao cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B. Nèi Ac c¾t MN t¹i E. 1. Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp . 2. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM. 3. Chøng minh AM2 = AE.AC. 4. Chøng minh AE. AC - AI.IB = AI2 . 5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt. Bµi tËp 31.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB, dây AC. Gọi E là điểm chính giữa cung AC bán kính OE cắt AC tại H, vẽ CK song song với BE cắt AE tại K. a) Chứng minh tứ giác CHEK nội tiếp. b) Chứng minh KH  AB c) Cho BC = R. Tính PK. Bµi tËp 32 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iÓm cña IK. 1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn. 2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Bµi tËp 33 Cho điểm A bên ngoài đờng tròn (O ; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đờng tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE. a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một đờng tròn. . b) Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña BHC . 2 c) DE c¾t BC t¹i I. Chøng minh : AB AI.AH . d) Cho AB=R 3 vµ. OH=. R 2 . TÝnh HI theo R.. Bµi tËp 34 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K. a) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB. c) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n. d) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi. e) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn. Bµi tËp 35 Cho hai đường tròn (O1), (O2) có bán kính bằng nhau và cắt nhau ở A và B. Vẽ cát tuyến qua B không vuông góc với AB, nó cắt hai đường tròn ở E và F. (E  (O 1); F  (O2)). 1. Chứng minh AE = AF. 2. Vẽ cát tuyến CBD vuông góc với AB ( C (O 1); D  (O2)). Gọi P là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng: a. Các tứ giác AEPF và ACPD nội tiếp được đường tròn. b. Gọi I là trung điểm của EF chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng. 3. Khi EF quay quanh B thì I và P di chuyển trên đường nào? Bµi tËp 36 Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn c¹nh BC, CD lÇn lît lÊy ®iÓm E, F sao cho  EAF 450 . BiÕt BD c¾t AE, AF theo thø tù t¹i G, H. Chøng minh:. a) ADFG, GHFE lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> b) CGH vµ tø gi¸c GHFE cã diÖn tÝch b»ng nhau Bµi tËp 37 Cho đờng tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đờng tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đờng kính BA; trên tia đói của tia AB lấy điểm S, nối S víi C c¾t (O) t¹i M; MD c¾t AB t¹i K; MB c¾t AC t¹i H. a. Chứng minh: BMD = BAC , từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp. b. Chøng minh: HK // CD. c. Chøng minh: OK.OS = R2. Bµi tËp 38 Cho đờng tròn (O), một đờng kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao 2 cho AI = 3 AO. KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I. Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc. cung lín MN, sao cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B. Nèi AC c¾t MN t¹i E. a. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đợc trong một đờng tròn. b. Chứng minh AME đồng dạng với ACM và AM2 = AE.AC. c. Chøng minh AE.AC  AI.IB = AI2. d. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt. Bµi tËp 39 Cho ba điểm A, B, C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng d vuông góc với AC tại A. Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì. Tia CM cắt đờng thẳng d tại D; Tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N; Tia DB cắt đờng tròn tại điểm thứ hai P. a) Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp đợc. b) Chøng minh: TÝch CM. CD kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm M. c) Tø gi¸c APND lµ h×nh g×? T¹i sao? d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAB chạy trên một đờng tròn cố định. Bµi tËp 40 Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài đờng tròn. Các tiếp tuyến với đờng tròn kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn ở B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn (M khác B và C). Gọi H; K; I lần lợt là chân các đờng vuông góc kẻ từ M xuống BC; CA; AB. a/ Chøng minh: Tø gi¸c MHBI, MHCK néi tiÕp.. · · H. = MK b/ Chøng minh: MHI 2 c/ Chøng minh: MH = MI.MK. Bµi tËp 41 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R. Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A. M và Q là hai điểm trên (d) sao cho M≠A, M≠Q, Q≠A. Các đờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P. Chứng minh: 1. Tích BN.BM không đổi. 2. Tø gi¸c MNPQ néi tiÕp. 3. Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R Bµi tËp 42 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn tâm O và P là trung điểm của cung AB kh«ng chøa C vµ D. Hai d©y PC vµ PD lÇn lît c¾t d©y AB t¹i E vµ F. C¸c d©y AD vµ PC kÐo dµi c¾t nhau t¹i I, c¸c d©y BC vµ PD kÐo dµi c¾t nhau t¹i K. Chøng minh r»ng: a. Gãc CID b»ng gãc CKD..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> b. Tứ giác CDFE nội tiếp đợc một dờng tròn. c. IK // AB. Bµi tËp 43 Trên đờng tròn (O; R) đờng kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai ®iÓm M, E kh¸c hai ®iÓm A, B). AM c¾t BE t¹i C; AE c¾t BM t¹i D. a. Chøng minh MCED lµ mét tø gi¸c néi tiÕp vµ CD vu«ng gãc víi AB. b. Gäi H lµ giao ®iÓm cña CD vµ AB. Chøng minh BE.BC = BH.BA. c. Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đờng tròn (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đờng thẳng CD. 0 0 d. Cho biÕt BAM 45 vµ BAE 30 . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC theo R. Bµi tËp 44 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Một cát tuyến MN quay xung quanh trung điểm H cña OB. Giäi I lµ trung ®iÓm cña MN. Tõ A kÎ Ax vu«ng gãc víi MN t¹i K. Gäi C lµ giao ®iÓm cña Ax víi tia BI. a/ Chøng minh r»ng: BN// MC b/ Chøng minh r»ng: Tø gi¸c OIKC lµ h×nh ch÷ nhËt c/ Tiếp tuyến Bt với đờng tròn (O) cắt tia AM ở E, cắt tia Ax ở F. Gọi D là giao ®iÓm thø hai cña tia Ax víi (O). Chøng minh r»ng: tø gi¸c DMEF néi tiÕp Bµi tËp 45 Cho  ABC cân (AB = AC) và góc A nhỏ hơn 60 0; trên tia đối của tia AC lấy ®iÓm D sao cho AD = AC. a) Tam gi¸c BCD lµ tam gi¸c g×? t¹i sao? b) Kéo dài đờng cao CH của  ABC cắt BD tại E. Vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với CD tại F. Qua C vẽ tiếp tuyến CG của đờng tròn này. Chứng minh: Bốn điểm B, E, C, G thuộc một đờng tròn. c) Các đờng thẳng AB và CG cắt nhau tại M, tứ giác AFGM là hình g×? T¹i sao? d) Chøng minh:  MBG c©n. Bµi tËp 46 Cho đờng tròn (O) bán kính R, đờng thẳng d không qua O và cắt đờng tròn tại hai điểm A, B . Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài đờng tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đờng tròn (M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đờng thẳng OH c¾t tia CN t¹i K. a. Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đờng tròn. b. Chøng minh KN.KC = KH.KO. c. Đoạn thẳng CO cắt đờng tròn (O) tại I, chứng minh I cách đều CM, CN vµ MN. d. Một đờng thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lợt tại E và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhá nhÊt. Bµi tËp 47 Cho BC là dây cung cố định của đờng tròn (O; R) (0 < BC < 2R). A là một điểm di động trên cung lớn BC sao cho  ABC nhọn. Các đờng cao AD; BE; CF cắt nhau t¹i H (D  BC; E CA; F  AB) 4. Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp. Từ đó suy ra AE.AC = AF.AB 5. Gäi A' lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh r»ng: AH = 2OA'.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 6. Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A. Đặt S là diện tích  ABC, 2p lµ chu vi  DEF. Chøng minh: a. d // EF b. S = p.R Bµi tËp 48 Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD và đáy nhỏ BC nội tiếp trong đờng tròn tâm O; AB và CD kéo dài cắt nhau tại I. Các tiếp tuyến của đờng tròn tâm O tại B và D c¾t nhau t¹i ®iÓm K. a. Chøng minh c¸c tø gi¸c OBID vµ OBKD lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp. b. Chøng minh IK song song víi BC. c. Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện gì để tứ giác AIKD là hình b×nh hµnh. Bµi tËp 49 Cho đờng tròn (O;R) và một điểm A nằm trên đờng tròn. Một góc xAy = 900 quay quanh A và luôn thoả mãn Ax, Ay cắt đờng tròn (O). Gọi các giao điểm thứ hai của Ax, Ay với (O) tơng ứng là B, C. Đờng tròn đờng kính AO cắt AB, AC tại các điểm thứ hai tơng ứng là M, N. Tia OM cắt đờng tròn tại P. Gọi H là trực tâm tam giác AOP. Chøng minh r»ng a) AMON lµ h×nh ch÷ nhËt b) MN//BC c) Tø gi¸c PHOB néi tiÕp d) Xác định vị trí của góc xAy sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất. Bµi tËp 50 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. điểm I nằm giữa A và O (I khác A và O). Kẻ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I. Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN (C kh¸c M, N kh¸c B). Nèi AC c¾t MN t¹i E. Chøng minh: a) Tø gi¸c IECB néi tiÕp. b) AM2 = AE.AC c) AE.AC – AI.IB = AI2 Bµi tËp 51 Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C, D thuộc nửa đờng tròn sao cho cung AC nhỏ hơn 900 và góc COD = 900. Gọi M là một điểm trên nửa đờng trßn sao cho C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung AM. C¸c d©y AM, BM c¾t OC, OD lÇn lît t¹i E, F a) Tø gi¸c OEMF lµ h×nh g×? T¹i sao? b) Chøng minh: D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung MB. c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờngtròn tại M và cắt các tia OC, OD lần lợt tại I, K. Chứng minh các tứ giác OBKM và OAIM nội tiếp đợc. d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S. Hãy xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M, O, B, K, S cùng thuộc một đờng tròn. Bµi tËp 52 Cho đờng tròn (O) và hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) sao cho đờng thẳng AB không đi qua tâm O. Trên tia đối của tia AB lấy điểm lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đờng tròn (O) (E, F là các tiếp điểm). Gọi H lµ trung ®iÓm cña d©y cung AB. C¸c ®iÓm K vµ I theo thø tù lµ giao ®iÓm cña ® êng thẳng EF với các đờng thẳng OM và OH. a) Chứng minh 5 điểm M, O, H, E, F cùng nằm trên một đờng tròn. b) Chøng minh: OH.OI = OK. OM c) Chứng minh: IA, IB là các tiếp tuyến của đờng tròn (O) Bµi tËp 53.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Cho đờng tròn (O) đờng kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB. Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB. CD cắt đờng tròn đờng kính BC tại I. 1. Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp . 2. Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. 3. Chøng minh BI // AD. 4. Chøng minh I, B, E th¼ng hµng. 5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính BC. Bµi tËp 54 Cho đờng tròn (0) và một điểm A nằm ngoài đờng tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đờng tròn (B, C, M, N thuộc đờng tròn và AM < AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đờng thẳng CE với đờng tròn. a) Chứng minh: Bốn điểm A, 0, E, C cùng thuộc một đờng tròn. b) Chøng minh: gãc AOC b»ng gãc BIC c) Chøng minh: BI // MN d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất. Bµi tËp 55 Cho đờng tròn (O) có tâm O, đờng kính AB. Trên tiếp tuyến của đờng tròn O tại A lÊy ®iÓm M (M kh«ng trïng víi A). Tõ M kÎ c¸t tuyÕn MCD (C n»m gi÷a M vµ D; tia MC nằm giữa tia MA và tia MO) và tiếp tuyến thứ hai MI (I là tiếp điểm) với đờng tròn (O). Đờng thẳng BC và BD cắt đờng thẳng OM lần lợt tai E và F. Chứng minh: a. Bốn điểm A, M, I và O nằm trên một đờng tròn. b. IAB AMO . c. O lµ trung ®iÓm cña FE Bµi tËp 56 Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA. Trên nửa mặt ph¼ng bê AB cã chøa M kÎ tia Ax,By vu«ng gãc víi AB .§êng th¼ng qua M vu«ng gãc víi MC c¾t Ax, By t¹i P vµ Q .AM c¾t CP t¹i E, BM c¾t CQ t¹i F. a/ Chøng minh : Tø gi¸c APMC, EMFC néi tiÕp b/ Chøng minh : EF//AB c/ Tìm vị trí của điểm C để tứ giác AEFC là hình bình hành Bµi tËp 57 Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng xy ngoài đờng tròn. Đờng thẳng đi qua O vuông góc với xy tại H cắt đờng tròn (O) tại A và B. M là điểm trên (O), đờng thẳng AM cắt xy tại E, đờng thẳng BM cắt xy tại F, tiếp tuyến tại M cắt xy tại I, đờng thẳng AF c¾t (O) t¹i K. Nèi E víi K. a) Chøng minh: IM = IF b) Chứng minh: 4 điểm E, M, K, F cùng thuộc một đờng tròn. c) Chøng minh: IK lµ tiÕp tuyÕn cña (O). d) Tìm tập hợp tâm đờng tròn ngoại tiếp  AMH khi M di động trên (O) Bµi tËp 58 Cho đờng tròn (O; R) có đờng kính AB; điểm I nằm giữa hai điểm A và O. Kẻ đờng thẳng vuông góc với AB tại I, đờng thẳng này cắt đờng tròn (O; R) tại M và N. Gọi S là giao điểm BM và AN. Qua S kẻ đờng thẳng song song với MN, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng AB và AM lần lợt ở K và H. Hãy chứng minh: 1) Tø gi¸c SKAM lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ HS.HK=HA.HM. 2) KM là tiếp tuyến của đờng tròn (O; R) 3) Ba ®iÓm H; N; B th¼ng hµng Bµi tËp 59.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Cho đờng tròn (0; R), một dây CD có trung điểm M. Trên tia đối của tia DC lấy điểm S, qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đờng tròn. Đờng thẳng AB cắt các đờng th¼ng SO ; OM t¹i P vµ Q. a) Chøng minh tø gi¸c SPMQ, tø gi¸c ABOM néi tiÕp. b) Chøng minh SA2 = SD. SC. c) Chøng minh OM. OQ kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm S. d) Khi BC // SA. Chøng minh tam gi¸c ABC c©n t¹i A e) Xác định vị điểm S trên tia đối của tia DC để C, O, B thẳng hàng và BC // SA. Bµi tËp 60 Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M là một điểm chính giữa cung AB. K thuộc cung BM ( K kh¸c M vµ B ). AK c¾t MO t¹i I. a) Chứng minh : Tứ giác OIKB nội tiếp đợc trong một đờng tròn. b) Gäi H lµ h×nh chiÕu cña M lªn AK. Chøng minh : Tø gi¸c AMHO néi tiÕp . c) Tam gi¸c HMK lµ tam gi¸c g× ? d) Chøng minh : OH lµ ph©n gi¸c cña gãc MOK. e) Xác định vị trí của điểm K để chu vi tam giác OPK lớn nhất (P là hình chiếu cña K lªn AB) Bµi tËp 61 Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (0). Tia phân giác trong của góc B, góc C cắt đờng tròn này thứ tự tại D và E, hai tia phân giác này cắt nhau tại F. Gäi I, K theo thø tù lµ giao ®iÓm cña d©y DE víi c¸c c¹nh AB, AC. a) Chøng minh: c¸c tam gi¸c EBF, DAF c©n. b) Chøng minh tø gi¸c DKFC néi tiÕp vµ FK // AB c) Tø gi¸c AIFK lµ h×nh g× ? T¹i sao ? d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEFD là hình thoi đồng thời cã diÖn tÝch gÊp 3 lÇn diÖn tÝch tø gi¸c AIFK. Bµi tËp 62 Cho đờng tròn (O), một đờng kính AB cố định, trên đoạn OA lấy điểm I sao cho 2 .OA AI = 3 . KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I. Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung. lín MN ( C kh«ng trïng víi M, N, B). Nèi AC c¾t MN t¹i E. a) Chøng minh : Tø gi¸c IECB néi tiÕp. b) Chứng minh : Các tam giác AME, ACM đồng dạng và AM2 = AE . AC c) Chøng minh : AE .AC - AI .IB = AI2. d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt. Bµi tËp 63 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O;R)(AB < CD). Gọi P là điểm chính giữa cña cung nhá AB ; DP c¾t AB t¹i E vµ c¾t CB t¹i K ; CP c¾t AB t¹i F vµ c¾t DA t¹i I. a) Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp đợc b) Chøng minh: IK // AB. c) Chứng minh: Tứ giác CDFE nội tiếp đợc d) Chøng minh: AP2 = PE .PD = PF . PC e) Chứng minh : AP là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AED. f) Gọi R1 , R2 là các bán kính đờng tròn ngoại tiếp các tam giác AED và BED.Chøng minh: R1 + R2 = Bµi tËp 54. 4R 2  PA 2.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài cạnh là a. E là điểm đi chuyển trên đoạn CD (E khác D), đờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC tại F, đờng thẳng vuông góc với AE tại A cắt đờng thẳng CD tại K. 1) Chứng minh ABF = ADK từ đó suy ra AFK vuông cân . 2) Gọi I là trung điểm của FK, Chứng minh I là tâm đờng tròn đi qua A , C, F , K. 3) Tính số đo góc AIF, suy ra 4 điểm A, B, F, I cùng nằm trên một đờng trßn . Bµi tËp 65 Cho gãc vu«ng xOy , trªn Ox, Oy lÇn lît lÊy hai ®iÓm A vµ B sao cho OA = OB . M là một điểm bất kỳ trên AB. Dựng đờng tròn tâm O1 đi qua M và tiếp xúc với Ox tại A, đờng tròn tâm O2 đi qua M và tiếp xúc với Oy tại B , (O1) cắt (O2) tại ®iÓm thø hai N . 1) Chøng minh tø gi¸c OANB lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ ON lµ ph©n gi¸c cña gãc ANB . 2) Chứng minh M nằm trên một cung tròn cố định khi M thay đổi . 3) Xác định vị trí của M để khoảng cách O1O2 là ngắn nhất . Bµi tËp 66 Cho điểm A bên ngoài đường tròn (O ; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE. a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn. . b) Chứng minh HA là tia phân giác của BHC . 2 c) DE cắt BC tại I. Chứng minh : AB AI.AH . Bµi tËp 67 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . Đờng phân giác trong của góc A , B cắt đờng tròn tâm O tại D và E , gọi giao điểm hai đờng phân giác là I , đờng thẳng DE cắt CA, CB lần lợt tại M , N . 1) Chøng minh tam gi¸c AIE vµ tam gi¸c BID lµ tam gi¸c c©n . 2) Chøng minh tø gi¸c AEMI lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ MI // BC . 3) Tø gi¸c CMIN lµ h×nh g× ? Bµi tËp 68 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC taïi D. a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC. b) Chứng minh AE.AB = AF.AC. c) Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC và K là trung điểm OK của BC. Tính tỉ số BC khi tứ giác BHOC nội tiếp.. d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm vaø HC > HE. Tinh HC. Bµi tËp 69 Cho (O) đờng kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA t¹i C. Gäi K lµ ®iÓm tuú ý trªn cung nhá BM, H lµ giao ®iÓm cña AK vµ MM . a) CMR: BCHK lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) TÝnh AH.AK theo R..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Xác định vị trí của điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó Bµi tËp 70 Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B . Một đờng thẳng đi qua A cắt đờng tròn (O1) , (O2) lần lợt tại C,D , gọi I , J là trung điểm của AC và AD . 1) Chøng minh tø gi¸c O1IJO2 lµ h×nh thang vu«ng . 2) Gäi M lµ giao diÓm cña CO1 vµ DO2 . Chøng minh O1 , O2 , M , B n»m trên một đờng tròn 3) E là trung điểm của IJ , đờng thẳng CD quay quanh A . Tìm tập hợp ®iÓm E. 4) Xác định vị trí của dây CD để dây CD có độ dài lớn nhất . Bµi tËp 71 Cho tam giác ABC , góc B và góc C nhọn . Các đờng tròn đờng kính AB , AC cắt nhau tại D . Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn đờng kính AB , AC lần lợt t¹i E vµ F . 1) Chøng minh B , C , D th¼ng hµng . 2) Chứng minh B, C , E , F nằm trên một đờng tròn . 3) Xác định vị trí của đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn nhất . Bµi tËp 72 Cho đờng tròn tâm O và cát tuyến CAB ( C ở ngoài đờng tròn ) . Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB tại I , CM cắt đờng tròn tại E , EN cắt đờng thẳng AB tại F 1) Chøng minh tø gi¸c MEFI lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB . 3) Chøng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB Bµi tËp 73 Cho  ABC cã 3 gãc nhän AC > BC néi tiÕp (O) . VÏ c¸c tiÕp tuyÕn víi (O) t¹i A vµ B, c¸c tiÕp tuyÕn nµy c¾t nhau t¹i M . Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña O trªn MC. CMR a/ MAOH lµ tø gi¸c néi tiÕp b/ Tia HM lµ ph©n gi¸c cña gãc AHB c/ Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB cắt MA, MB lần lợt tại E, F. Nối EH c¾t AC t¹i P, HF c¾t BC t¹i Q. Chøng minh r»ng QP // EF. Bµi tËp 74 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B . §êng trßn đờng kính BD cắt BC tại E . Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn tại các ®iÓm thø hai F , G . Chøng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD . b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng tròn . c) AC song song víi FG . d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy . Bµi tËp 75 Cho đờng tròn tâm O. Từ một điểm P ở ngoài đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C là tiếp điểm) với đờng tròn (O). a. Chứng minh PAOC là tứ giác nội tiếp đờng tròn. b. Tia AO cắt đờng tròn (O) tại B; đờng thẳng qua P song song với AB cắt BC t¹i D. Tø gi¸c AODP lµ h×nh g×? c. Gäi I lµ giao ®iÓm cña OC vµ PD; J lµ giao ®iÓm cña PC vµ DO; K lµ trung ®iÓm cña AD. Chøng tá r»ng c¸c ®iÓm I, J, K th¼ng hµng. Bµi tËp 76.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . M là một điểm trên cung AC ( không chøa B ) kÎ MH vu«ng gãc víi AC ; MK vu«ng gãc víi BC . 1) Chøng minh tø gi¸c MHKC lµ tø gi¸c néi tiÕp .   HMK 2) Chøng minh AMB 3) Chứng minh  AMB đồng dạng với  HMK .. Bµi tËp 77 Cho nửa đường tròn đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn. Gọi C là điểm trên nửa đường tròn sao cho cung AC bằng cung CB. Trên cung CB lấy điểm D khác C và B. Các tia AC, AD cắt Bx lần lượt tại E và F. a, Chứng minh ABE vuông cân b, Chứng minh  ABF   BDF c, Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp d, Chứng minh AC.AE = AD.AF Bµi tËp 78 Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đờng tròn đờng kính AD, tâm O. Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu vuông góc của E xuèng AD vµ I lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh r»ng: a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc; b) E là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH; c) Năm điểm B, C, I, O, H nằm trên một đờng tròn Bµi tËp 79 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD . Hai đờng chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đờng thẳng CF cắt đờng trßn t¹i ®iÓm thø hai lµ M . Giao ®iÓm cña BD vµ CF lµ N. Chøng minh : a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp . b) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BFM . c) BE . DN = EN . BD Bµi tËp 80 0 Cho tam giác cân ABC (AB = AC; B  45 ), một đờng tròn (O) tiếp xúc với AB vµ AC lÇn lît t¹i B vµ C. Trªn cung nhá BC lÊy mét ®iÓm M (M kh«ng trïng víi B và C) rồi hạ các đờng vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tơng ứng BC, CA, AB. a. Chỉ ra cách dựng đờng tròn (O). b. Chøng minh tø gi¸c BIMK néi tiÕp. c. Gäi P lµ giao ®iÓm cña MB vµ IK; Q lµ giao ®iÓm cña MC vµ IH. Chøng minh PQ  MI . Bµi tËp 81 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn tâm O, bán kính R. Hạ các đờng cao AD, BE của tam giác. Các tia AD, BE lần lợt cắt (O) tại các điểm thứ hai lµ M, N. Chøng minh r»ng: 1. Bốn điểm A,E,D,B nằm trên một đờng tròn. Tìm tâm I của đờng tròn đó. 2. MN// DE 3. Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB. Chứng minh rằng độ dài bán kính đờng tròn ngoại tiếp CDE không đổi. Bµi tËp 82.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Cho điểm A ở ngoài đờng tròn tâm O . Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đờng trßn (B , C lµ tiÕp ®iÓm ) . M lµ ®iÓm bÊt kú trªn cung nhá BC ( M  B ; M  C ) . Gọi D , E , F tơng ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đờng thẳng AB , AC , BC ; H lµ giao ®iÓm cña MB vµ DF ; K lµ giao ®iÓm cña MC vµ EF . 1) Chøng minh : a) MECF lµ tø gi¸c néi tiÕp . b) MF vu«ng gãc víi HK . 2) Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để tích MD . ME lớn nhất . Bµi tËp 83 Cho  ABC vuông cân tại A. AD là trung tuyến thuộc cạnh BC. Lấy M bất kì thuộc đoạn AD (M không trùng A, D). Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, AC. H là hình chiếu vuông góc của I trên đoạn DK a/Tứ giác AIMK là hình gì? b/ A, I, M, H, K thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó. c/ B, M, H thẳng hàng. Bµi tËp 84 Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn). Hai đờng cao AD và BF gặp nhau tại H a/ Chứng minh tứ giác DHFC nội tiếp đợc đờng tròn. Xác định tâm của đờng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c b/ Gọi CK là đờng cao còn lại của tam giác ABC; KD cắt đờng tròn ngoại tiếp tø gi¸c DHCF t¹i E. Chøng minh r»ng gãcEFH = gãc KBH c/ Gi¶ sö CH = AB. TÝnh sè ®o cña gãc ACB Bµi tËp 85 Cho tứ giác ABCD (AB // CD) nội tiếp trong đờng tròn (O). Tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại D của đờng tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chøng minh: 1 CAB  AOD 2 a. .. b. Tø gi¸c AEDO néi tiÕp. c. EI // AB. Bµi tËp 86 Cho đường tròn tâm O đường kính AC. Trên AC lấy điểm B , vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC. Gọi M là trung điểm của AB. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn tâm O tại D và E. Nối DC cắt đường tròn tâm O’ tại I. Chứng minh: a/ AD // BI. b/ BE // AD; I, B, E thẳng hàng. c/ MD = MI. d/ DM2 = AM.MC. e/ Tứ giác DMBI nội tiếp. Bµi tËp 87 Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. Trªn AC lÊy mét ®iÓm D, dùng CE vu«ng gãc víi BD. a. Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đờng tròn. b. Chøng minh AD.CD = ED.BD. c. Từ D kẻ DK vuông góc với BC. Chứng minh rằng AB, DK, EC đồng quy t¹i mét ®iÓm vµ DKE ABE ..

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Bµi tËp 88 Từ một điểm A ở ngoài đờng tròn(O), ta kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn M  B; M C.  . Tõ (O) (B, C lµ c¸c tiÕp ®iÓm). M lµ mét ®iÓm trªn cung nhá BC,  M hạ các đờng vuông góc MI, MH, MK tơng ứng xuống BC, AC, AB. Gọi P là giao cña MB vµ IK; Q lµ giao cña MC vµ IH. a. Chứng minh các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc đờng tròn. b. Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc KMH. c. Chøng minh PQ // BC Bµi tËp 89 Cho đờng tròn tâm O, bán kính R và hai đờng kính vuông góc AB và CD. Trên AO 1 lÊy ®iÓm E mµ OE = 3 AO, CE c¾t (O) ë M.. a. TÝnh CE theo R. b. Chứng minh tứ giác MEOD nội tiếp đựơc. Xác định tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác. c. Chứng minh hai tam giác CEO và CDM đồng dạng. Tính độ dài đờng cao MH cña tam gi¸c CDM.. Bµi tËp 90 Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung với hai đờng trßn (O1) vµ (O2) vÒ phÝa nöa mÆt ph¼ng bê O1O2 chøa ®iÓm B, cã tiÕp ®iÓm thø tù là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đờng tròn (O1), (O2) thứ tự tại C, D. Đờng thẳng CE và đờng thẳng DF cắt nhau tại I. a. Chøng minh IA vu«ng gãc víi CD. b. Chóng minh tø gi¸c IEBF lµ tø gi¸c néi tiÕp. c. Chứng minh đờng thẳng AB đi qua trung điểm của EF Bµi tËp 91 Cho đường tròn tâm O và cát tuyến CAB (C ở ngoài đường tròn). Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB tại I, CM cắt đường tròn tại E, EN cắt đường thẳng AB tại F. 4) Chứng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp. 5) Chứng minh góc CAE bằng góc MEB. 6) Chứng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB Bµi tËp 92 Cho tam giác ABC vuông ở A và có AB > AC, đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, vẽ nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F. a. Chøng minh tø gi¸c AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt. b. Chøng minh AE.AB = AF.AC c. Chøng minh BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. Bµi tËp 93 Cho đờng tròn (O) đờng kính BC. Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O và B), vẽ đờng tròn (O') đờng kính AC. Đờng tròn đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) tại D và E. Gọi F là giao điểm thứ hai của CD với đờng tròn (O'), K là giao điểm thứ hai của CE với đờng tròn (O'). Chøng minh: a. Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. b. AF // BD. c. Ba ®iÓm E, A, F th¼ng hµng. d. Bốn điểm M, F, C và E cùng thuộc một đờng tròn. e. Ba đờng thẳng CM, DK, EF đồng quy.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Bµi tËp 94 Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Đờng tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) tại điểm M; đờng tiếp tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O') tại N. Đờng tròn tâm I ngo¹i tiÕp tam gi¸c MAN c¾t AB kÐo dµi t¹i P. a. Chøng minh r»ng tø gi¸c OAO'I lµ h×nh b×nh hµnh. b. Chứng minh rằng bốn điểm O, B, I, O' nằm trên một đờng tròn. c. Chøng minh r»ng: BP = BA. Bµi tËp 95 Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đờng tròn (O) (M, N là tiếp điểm). Đờng thẳng đi qua điểm P cắt đờng tròn (O) tại hai điểm E và F. §êng th¼ng qua O song song víi PM c¾t PN t¹i Q. Gäi H lµ trung ®iÓm cña ®o¹n EF. Chøng minh r»ng: a. Tứ giác PMON nội tiếp đờng tròn. b. Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên một đờng tròn. c. Tam gi¸c PQO c©n. d. PM2 = PE.PF. e. PHM PHN ..

<span class='text_page_counter'>(19)</span>