Bai tap 11 Chuong 2

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Đại số 11. Đinh Văn Thắng. CHÖÔNG II TỔ HỢP – XÁC SUẤT. A. TỔ HỢP I. Qui tắc đếm 1. Qui taéc coäng: Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện. 2. Qui taéc nhaân: Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện. Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D? ÑS: coù 12 caùch. Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 2.108, chia hết cho 3, có thể được viết bởi các chữ số 0, 1, 2? ÑS: Coù 2.37 – 1 = 4374 – 1 = 4373 (soá) Bài 3: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả: a) gồm 6 chữ số. b) gồm 6 chữ số khác nhau. c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2. ÑS: a) 66 b) 6! c) 3.5! = 360 Bài 4: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về). Hỏi có bao nhiêu trận đấu? ÑS: coù 25.24 = 600 traän Bài 5: Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nó không thay đổi). ÑS: Soá caàn tìm coù daïng: abcba  coù 9.10.10 = 900 (soá) Bài 6: a/ Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi coù maáy caùch choïn laáy 1 boâng hoa? b/ Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau? ÑS: a/ 18. b/ 15. Bài 7: a/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số? b/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số? c/ Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn? Trang 21.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng. d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì gioáng nhau? e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5? ÑS: a/ 3125. b/ 168. c/ 20 d/ 900. e/ 180000. Bài 8: Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các baøi haùt laø nhö nhau? ÑS: 36. Bài 9: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu: a/ Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được? b/ Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng? ÑS: a/ 35. b/ 29. Bài 10: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) biết rằng: a/ x  A, y  A b/ {x, y}  A c/ x  A, y  A vaø x  y  6 . ÑS: a/ 25. b/ 20. c/ 5 caëp. Bài 11: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} trong đó n là số nguyên dương lớn hơn 1. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y), biết rằng: x  A, y  A, x  y .. n(n  1) . 2 Bài 12: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số: a/ Gồm 2 chữ số? b/ Gồm 2 chữ số khác nhau? c/ Số lẻ gồm 2 chữ số? d/ Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau? e/ Gồm 5 chữ số viết không lặp lại? f/ Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5? ÑS: a/ 25. b/ 20. c/ 15 d/ 8. e/ 120. f/ 24. Bài 13: Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số: a/ Khaùc nhau? b/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300? c/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5? d/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn? e/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ? ÑS: a/ 100. b/ 60. c/ 36 d/ 52. e/ 48. Bài 14: a/ Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhoû hôn 400? b/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300 , 500). ÑS: a/ 35. b/ 24. Bài 15: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập một đoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên? Bài 16: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 người đàn ông và 2 người đàn bà ngồi trên một chiếc ghế dài sao cho 2 người cùng phái phải ngồi gần nhau. Bài 17: Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ và 8 viên bi đen xếp thành một dãy sao cho hai viên bi cùng màu không được ở gần nhau. ÑS:. Trang 22.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng. II. Hoán vị 1. Giai thừa: n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = 1 n! = (n–1)!n n! n! = (p+1).(p+2)…n (với n>p) = (n–p+1).(n–p+2)…n(với n>p) p! (n  p)! 2. Hoán vị (không lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n  1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n! 3. Hoán vị lặp: Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, …, ak. Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n1 phần tử a1, n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1, n2, …, nk) của k phần tử. Số các hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1, n2, …, nk) của k phần tử là: n! Pn(n1, n2, …, nk) = n1 ! n2 !...nk ! 4. Hoán vị vòng quanh: Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử. Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: Qn = (n – 1)! Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:  6! 1 (m  1)! m.(m  1)!  A= . .  (m  2)(m  3)  (m  1)(m  4) (m  5)!5! 12.(m  4)!3!  B=. 7!4!  8! 9!     10!  3!5! 2!7! . ÑS:. A = – 4(m–1)m;. Bài 2: Chứng minh rằng: a) Pn – Pn–1 = (n–1)Pn–1 c) 1 . ÑS:. B=. 2 ; 3. C = 20. d). n2 1 1   n! (n  1)! (n  2)!. x ! ( x  1)! 1  ( x  1)! 6. x = 2; x = 3. Baøi 4: Giaûi baát phöông trình:. (n  1)n 5 6 Baøi 5: Giaûi caùc phöông trình: ÑS:. 5! (m  1)! . m(m  1) (m  1)!3!. b) Pn  (n  1)Pn1  (n  2)Pn2  ...  2P2  P1  1. 1 1 1 1    ...   3 1! 2! 3! n!. Baøi 3: Giaûi phöông trình:. C=. (với m  5). (1) .  1  5 (n  1)! n.(n  1)! .   5 n  2  n  1 (n  3)!4! 12(n  3).(n  4)!2! .  n = 4, n = 5, n = 6 Px  Px 1. a) P2.x2 – P3.x = 8. b). ÑS:. b) x = 2; x = 3. a) x = –1; x = 4. Px 1. Trang 23. . 1 6. (1).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng. Bài 6: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số: a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Không bắt đầu bằng chữ số 1? c) Bắt đầu bằng 23? d) Không bắt đầu bằng 345? ÑS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2! Bài 7: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số: a/ Bắt đầu bởi chữ số 9? b/ Không bắt đầu bởi chữ số 1? c/ Bắt đầu bởi 19? d/ Không bắt đầu bởi 135? ÑS: a/ 24. b/ 96. c/ 6 d/ 118. Bài 8: Với mỗi hoán vị của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta được một số tự nhiên. Tìm tổng tất cả các số tự nhiên có được từ các hoán vị của 7 phần tử trên? ĐS: Với mọi i, j  1,2,3,4,5,6,7 , số các số mà chữ số j ở hàng thứ i là 6!.  Toång taát caû caùc soá laø: (6!1+…+6!7) + (6!1+…+6!7).10 +…+ (6!1+…+6!7).106 = 6! (1+2+…+7).(1+10+…+106) Bài 9: Tìm tổng S của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được tạo thành bởi hoán vị của 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. ÑS: 279999720. Bài 10: Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên: a) Moät caùch tuyø yù? b) Theo từng môn? c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa? ÑS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!) Bài 11: Có 5 học sinh nam là A1, A2, A3, A4, A5 và 3 học sinh nữ B1, B2, B3 được xếp ngồi xung quanh moät baøn troøn. Hoûi coù bao nhieâu caùch saép xeáp neáu: a) Moät caùch tuyø yù? b) A1 khoâng ngoài caïnh B1? c) Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau? ÑS: a) Q8 = 7! b) Q7 = 6! c) Coù 4!5.4.3 caùch saép xeáp Bài 12: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? 8! 7  ÑS: 3! 3! Bài 13: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số naøy baèng 9. ÑS: 18. Bài 14: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? ÑS: 480. Baøi 15: Coù bao nhieâu caùch saép xeáp 5 baïn hoïc sinh A, B, C, D, E ngoài vaøo moät chieác gheá daøi sao cho: a/ Bạn C ngồi chính giữa? b/ Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế? ÑS: a/ 24. b/ 12. Bài 16: Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn của các nước: Mỹ 5 người, Nga 5 người, Anh 4 người, Pháp 6 người, Đức 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau? ÑS: 143327232000. Trang 24.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng. Bài 17: Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a/ Có 5 người trong nhóm muốn ngồi kề nhau? b/ Có 2 người trong nhóm không muốn ngồi kề nhau? ÑS: a/ 86400. b/ 2903040. Bài 18: Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp choã ngoài neáu: a/ Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau? b/ Chỉ có nữ ngồi kề nhau? ÑS: a/ 34560. b/ 120960. Bài 19: Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong đó phải có 5 em định trước đứng kề nhau? ÑS: 4838400. Bài 20: Có 2 đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi được phát cho 10 học sinh khối 11 và 10 hoïc sinh khoái 12. Coù bao nhieâu caùch saép xeáp 20 hoïc sinh treân vaøo 1 phoøng thi coù 5 daõy ghế sao cho hai em ngồi cạnh nhau có đề khác nhau, còn các em ngồi nối đuôi nhau có cùng một đề? ÑS: 26336378880000. Bài 21: Có 3 viên bi đen (khác nhau), 4 viên bi đỏ (khác nhau), 5 viên bi vàng (khác nhau), 6 vieân bi xanh (khaùc nhau). Hoûi coù bao nhieâu caùch saép xeáp caùc vieân bi treân thaønh moät daõy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau? ÑS: 298598400. Bài 22: Trên giá sách có 30 tập sách. Có thể sắp xếp theo bao nhiêu cách khác nhau để có: a/ Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau? b/ Tập 5 và tập 6 không đứng cạnh nhau? ÑS: a/ 2.29!. b/ 28.29!. Bài 23: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một laàn? ÑS: 3360. Bài 24: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần. ÑS: 5880. Bài 25: Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hoûi coù bao nhieâu soá nhö theá neáu: a/ 5 chữ số 1 được xếp kề nhau? b/ Các chữ số được xếp tuỳ ý? ÑS: a/ 120. b/ 3024.. Trang 25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng. III. Chỉnh hợp 1. Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1  k  n) theo một thứ tự nào đóđược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: n! Ank  n(n  1)(n  2)...(n  k  1)  (n  k )!  Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n..  Khi k = n thì Ann = Pn = n! 2. Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: Ank  nk Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: A= C=. 5 A52 A10  P2 7P5 12 11 A49  A49 10 A49. B = P1 A21  P2 A32  P3 A43  P4 A54  P1P2 P3P4. . 10 9 A17  A17 8 A17. P P P P  D =  5  4  3  2  A52  A4 A3 A2 A1   5 5 5 5 C = 1440; D = 42. ÑS: A = 46; B = 2750; Bài 2: Chứng minh rằng: 1 1 1 n 1 a/   ...   , vớ i n  N , n  2. n A2 A2 A2 b/. 2 Ank. . 3 n k k 1 An1  k.An1. c/ Annk2  Annk1  k 2 .Annk. Baøi 3: Giaûi caùc phöông trình sau: a) An3  20n. b) An3  5 An2 = 2(n + 15). ÑS: a) n = 6 Baøi 4: Tìm n  N sao cho: Pn2 a)  210 Ann14 .P3. b) n = 3. ÑS: a) n = 5 Baøi 5: Giaûi caùc phöông trình:. b) n = 4. 9 8 a/ A10 x  Ax  9 Ax .. c/. 2 Ax2.  50 . ÑS: a/ x = 11.. A22x b/ x = 3; 4.. c) n = 6. b) 2( An3  3 An2 ) = Pn+1. 15 a)  (n  2)! (n  1)! ÑS:. a) n = 3; 4; 5. c) 2Pn  6 An2  Pn An2  12 c) n = 2; 3. b/ Px .Ax2  72  6( Ax2  2Px ) d/. Axy11.Px  y Px 1.  72. d/ x = 8, y  7, y  N .. c/ x = 5.. Baøi 6: Giaûi caùc baát phöông trình:. An4 4. c) 3 An2  A22n  42  0.. b). An42 Pn2. . 143 0 4 Pn1. b) 2  n  36 Trang 26.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng Bài 7: Tìm các số âm trong dãy số x1, x2 , x3 ,... , xn với: xn . An4 4 Pn2. . 143 (n  1, 2, 3, ...) 4.Pn. 63 23 ; n2  2, x2   . 4 8 Bài 8: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thaønh 3 caëp. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn? ÑS: n1  1, x1  . ÑS:. 3 Coù A10 . A63 caùch. Bài 9: Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ – không. Hỏi có thể có được bao nhiêu vectơ? ÑS: A42 = 12 vectô Bài 10: Một lớp học chỉ có các bàn đôi (2 chỗ ngồi). Hỏi lớp này có bao nhiêu học sinh, biết rằng chỉ có thể sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học sinh) ÑS:. An2 = 132  n = 12. Bài 11: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số: a) Các chữ số khác nhau? b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau? ÑS:. a) 9.A94. b) Coù 95 soá. Bài 12: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu: a) Số gồm 5 chữ số khác nhau? b) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau? c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5? ÑS:. a) 6. A64. b) 6.A53  3.5 A53. c) Số gồm 5 chữ số có dạng: abcde.  Neáu a = 5 thì coù A64 soá  Neáu a  5 thì a coù 5 caùch choïn. Soá 5 coù theå ñaët vaøo 1 trong caùc vò trí b, c, d, e  coù 4 cách chọn vị trí cho số 5. 3 vị trí còn lại có thể chọn từ 5 chữ số còn lại  có A53 cách choïn..  Coù A64  4.5. A53 = 1560 soá Bài 13: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9 có thể lập bao nhiêu biển số xe gồm 3 chữ số (trừ số 000)? ÑS:. 3 A10  1 = 999. Bài 14: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số với: a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau? b) Chữ số đầu và cuối khác nhau? c) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau? ÑS:. 4 a) 9. A10 = 9.104 soá. 6 5  A10 b) Coù taát caû: A10 = 9.105 số gồm 6 chữ số  Có 9.105 – 9.104 số. c) Coù 9.10.10.10 = 9000 soá Bài 15: Có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số? Trong đó có bao nhiêu số điện thoại. có 6 chữ số khác nhau?. ÑS: Trang 27. 6 a) A10 = 106. 6 b) A10 = 15120.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng. Bài 16: Một biển số xe gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái A, B, C, …, Z. Các chữ số được lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, 9. Hỏi: a) Có bao nhiêu biển số xe trong đó có ít nhất một chữ cái khác chữ cái O và các chữ số ñoâi moät khaùc nhau? b) Có bao nhiêu biển số xe có hai chữ cái khác nhau và có đúng 2 chữ số lẻ giống nhau? ÑS: a) Số cách chọn 2 chữ cái: 26  26 – 1 = 675 cách Số cách chọn 4 chữ số:. 4 A10 = 5040 caùch.  Soá bieån soá xe: 675  5040 = 3.402.000 soá b)  Chữ cái thứ nhất: có 26 cách chọn. Chữ cái thứ hai: có 25 cách chọn  Caùc caëp soá leû gioáng nhau coù theå laø: (1;1), (3;3), (5;5), (7;7), (9;9)  Coù 5 caùch choïn 1 caëp soá leû. Xeáp moät caëp soá leû vaøo 4 vò trí  coù C42 caùch.  Coù 5. C42 caùch saép xeáp caëp soá leû.  Còn lại 2 vị trí là các chữ số chẵn:. Chữ số chẵn thứ nhất: có 5 cách chọn Chữ số chẵn thứ hai: có 5 cách chọn.  Coù 26  25  5  C42  5  5 = 487500 caùch Bài 17: a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số đó bằng 18? b) Hỏi có bao nhiêu số lẻ thoả mãn điều kiện đó? ÑS: Chuù yù: 18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 8 18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 7 18 = 0 + 1 + 2 + 4 + 5 + 6 a) 3  5  5! b) 192 + 384 + 192 = 768 soá Bài 18: Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thư kyù. Hoûi coù maáy caùch choïn? ÑS: 6840. Bài 19: Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Có bao nhieâu caùch choïn neáu: a/ Caû 11 caàu thuû coù khaû naêng nhö nhau? (keå caû thuû moân). b/ Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá quả số 4. ÑS: a/ 55440. b/ 120. Bài 20: Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. Coù bao nhieâu caùch saép xeáp neáu: a/ Người đó có 6 pho tượng khác nhau? b/ Người đó có 4 pho tượng khác nhau? c/ Người đó có 8 pho tượng khác nhau? ÑS: a/ 6!. b/ 360. c/ 20160. Bài 21: Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và thoả: a/ Soá chaün. b/ Bắt đầu bằng số 24. c/ Bắt đầu bằng số 345. d/ Bắt đầu bằng số 1? Từ đó suy ra các số không bắt đầu bằng số 1? ÑS: a/ 312. b/ 24. c/ 6. d/ 120 ; 480. Bài 22: Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số Trang 28.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng khác nhau đôi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau: a/ n laø soá chaün? b/ Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1?. (ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2) ÑS: a/ 3000. b/ 2280. Bài 23: a/ Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia heát cho 3. b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và số 1. (HVCN Böu chính Vieãn thoâng, 1999) c/ Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4. ÑS: a/ 18. b/ 42000. c/ 13320. Bài 24: a/ Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được tạo thành từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8. b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Tính toång cuûa caùc soá naøy. ÑS: a/ 37332960. b/ 96 ; 259980. Bài 25: a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10 (chữ số hàng vaïn khaùc 0). (ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1) b/ Cho 10 chữ số 0, 1, 2, ..., 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ 10 chữ số đã cho. (ÑH Y khoa Haø Noäi, 1997) ÑS: a/ 3024. b/ 36960. IV. Tổ hợp 1. Tổ hợp (không lặp): Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1  k  n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. n! Số các tổ hợp chập k của n phần tử: Cnk  k !(n  k )!.  Qui ước: Cn0 = 1 Tính chaát:. Cn0  Cnn  1 Cnk  Cnnk. Cnk  Cnk11  Cnk1 n  k  1 k 1 Cnk  Cn k. 2. Tổ hợp lặp: Cho tập A = a1; a2 ;...; an  và số tự nhiên k bất kì. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A. Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:. Cnk  Cnkk 1  Cnmk11. 3. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:.  Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức: Trang 29. Ank  k !Cnk.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng.  Chỉnh hợp: có thứ tự. Tổ hợp: không có thứ tự.  Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, là tổ hợp.  Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k  n): + Không thứ tự, không hoàn lại:. Cnk. + Có thứ tự, không hoàn lại:. Ank. + Có thứ tự, có hoàn lại:. Ank. Dạng 1: Tính giá trị biểu thức tổ hợp Baøi 1: Tính: A =. 23 C25. 13  C15. 7  3C10. ÑS: A = – 165, Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau: S = Cnn .C2nn .C3nn Q=. Cn1. 2. ÑS:. Cn2 Cn1. S=. B= B=4 P=.  ...  k. Cnk. Cnk 1. (3n)!.  ...  n. 1  C74  C73  C84. 5 6 6 1  C10  C10  C11. Pn2. Ank .Pnk. . (n !). P2. 8 9 10 C15  2C15  C15 10 C17. Cnn. Cnn1. P = (n+1)(n+2) + 1. 3. . A32. Q=. n(n  1) 2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức tổ hợp Bài 1: Chứng minh các hệ thức sau: n a) Cnk .Cnpkk  Cnp .C pk (k  p  n) b) Cnr  Cnr 11 r Bài 2: Chứng minh các hệ thức sau: a) Cnm1  Cnm1  2Cnm  Cnm21 ĐS: Sử dụng tính chất:. b) Cnk  3Cnk 1  3Cnk 2  Cnk 3  Cnk3 (3  k  n). Cnk 1  Cnk  Cnk1. Bài 3: Chứng minh các hệ thức sau: a) Cnk  4Cnk 1  6Cnk 2  4Cnk 3  Cnk 4  Cn4k (4  k  n) b) Cnp1 . n  1 p1 C p n. c) k (k  1)Cnk  n(n  1)Cnk22 ( 2 < k < n). Bài 4: Chứng minh các hệ thức sau: a) Cr0 .Cqp  Cr1.Cqp1  ...  Crp .Cq0  Crpq. b) (Cn0 )2  (Cn1 )2  ...  (Cnn )2  C2nn. c) C20p  C22p  C24p  ...  C22pp  C21 p  C23p  ...  C22pp1  c2 p1 d) 1  Cn1  Cn2  Cn3  ...  (1) p Cnp  (1) p Cnp1. ĐS: a) Sử dụng khai triển: (1+x)r.(1+x)q = (1+x)r+q. So sánh hệ số của xp ở 2 vế. b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n c) Sử dụng (x+y)2p và (x–y)2p d) Sử dụng Cnr  Cnr 11  Cnr 1 , với r lẻ thì nhân 2 vế với –1. Dạng 3 : Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp. Trang 30.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng Bài 1: Chứng minh rằng:. 1. .C2nn . 22 n 1. 1. ( n  N, n  1). 2n  1 (2n)!. 1.3.5...(2n  1) 2.4.6...(2n) 22 n 22n.n! n! 1.3.5...(2n  1) 1 Vậy ta phải chứng minh:  2.4.6...(2n) 2n  1 HD: Biến đổi vế trái:. .C2nn . . 2k  1 ( 2k  1)2 ( 2k  1)2 2k  1    2k 2k  1 4k 2 4k 2  1 Cho k lần lượt từ 1, 2, …, n. Rồi nhân các BĐT vế theo vế, ta được đpcm.. Ta coù:. Bài 2: Chứng minh rằng: C2nnk .C2nnk  (C2nn )2. (với k, n  N, 0  k  n). HD:  Ñaët uk = C2nnk .C2nnk (k = 0;1;…;n) Ta chứng minh: uk > uk+1 (*) Thaät vaäy, (*)  C2nnk .C2nnk  C2nnk 1.C2nnk 1  n + 2nk > 0 Điều này luôn luôn đúng  đpcm. Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức tổ hợp. Cnk 1  Cnk. Bài 1: a) Chứng minh:. b) Chứng minh: Cnk 1  Cnk. với n = 2m, k  m. Từ đó suy ra Cnm là lớn nhất.. với n = 2m + 1, k  m.. Từ đó suy ra Cnm ; Cnm1 là lớn nhất. HD: a) Theo tính chaát: Với k  m  2k  n . Cnk. Cnk n 1 n  k  1 k 1  .Cn   1 k k Cnk 1. n 1  1  1  Cnk  Cnk 1 k. Vì Cnk  Cnnk nên Cnk lớn nhất. b) Tương tự Bài 2: Cho n > 2, p  [1; n]. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Cnp . HD: Vì Cnp  Cnn p neân ta chi caàn xeùt 1  p  Ta coù: Cnp  Cnp1  Vaäy. Cnp. Cnp1. . n 2. n  p 1 n 1 >1  p< p 2. Cnp nhỏ nhất khi p = 1 hoặc p = n – 1, ứng với Cn1  Cnn1 = n. Cnp lớn nhất khi p =. n 1 n (nếu n lẻ) hoặc p = (neáu n chaün) 2 2. Bài 3: Với giá trị nào của p thì Cnp lớn nhất. HD: Ta coù:. Cmp. Cmp1.  Cmp  Cmp1 . . m  p 1 m 1   1 . Tæ soá naøy giaûm khi p taêng. p p. m  p 1  1 , do đó: p. p. m 1 2. Trang 31.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng. 1 2 1 Để Cmp  Cmp1 ta phải có: p  k + , vì p, k  N nên chọn p = k 2  Neáu m leû: m = 2k + 1  p  k + 1, ta seõ coù:.  Neáu m chaün: m = 2k  p  k +. Cmp. Cmp1.  1 khi p = k + 1  Cmp  C2kk11 . (2k  1)! (k  1)! k !. * Áp dụng bài toán này ta có thể giải nhiều bài toán khác. Ví dụ: Có 25 học sinh. Muốn lập thành những nhóm gồm p học sinh. Tìm giá trị của p để được số cách chia nhóm là lớn nhất? Tìm số cách chia nhóm đó. p * Vì coù 25 hoïc sinh, choïn p em neân soá nhoùm coù theå laäp laø C25 . p Theo trên, ta có m = 25 (lẻ) với k = 12 do đó C25 lớn nhất khi p = k + 1 = 13. 13 Vậy p = 13, khi đó: số nhóm tối đa có thể lập: C25 = 5200300.. Dạng 5 : Giải phương trình, bất phương trình có chứa tổ hợp Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau: a). An4. An31  Cnn4. . 24 23. b). 1 C4x. . 1 C5x. . 1. c) Cxx 1  Cxx 2  Cxx 3  ...  Cxx 10  1023. C6x. ÑS: a) n = 5 b) x = 2 Baøi 2: Giaûi caùc phöông trình sau:. c) x = 10. x 4 2 x 10 a) C10  x  C10 x. b) x 2  C4x .x  C32 .C31  0. d) C8xx3  5 Ax36. e) C1x  6Cx2  6Cx3  9 x 2  14 x. ÑS: a) x = 14 b) x = 3 Baøi 3: Giaûi caùc baát phöông trình: a). Cnn13 An41. . 1 14 P3. b). c) x = 10. Pn5. (n  k )!. c) Ax22  Cxx 2  101. d) x = 17. e) x = 7. c) Cn41  Cn31 .  60 Ank32. 5 2 A 0 4 n 2. k  n b)  (n  5)(n  4)(n  k  1)  0. ÑS: a) ñk: n  3, n2 + n – 42 > 0  n  6.  Xét với n  4: bpt vô nghiệm  Xét n  {0,1,2,3} ta được các nghiệm là: (0;0), (1;0), (1;1), (2;2), (3,3) c) ñk: n  5, n2 – 9n – 22 < 0  n = 6; 7; 8; 9; 10 Baøi 4: Giaûi caùc phöông trình vaø baát phöông trình: a/ Cxx12  2Cx31  7( x  1) c/. Ax5. C xx25.  336.. e/ Cn41  Cn31 . b/ Ax3  Cxx 2  14 x. d/. 5 2 A  0. 4 n 2. g/ 2Cx21  3 Ax2  30. ÑS: a/ x = 5. e/ 5  n  10, n  N .. f/. 2x C28. 2 x 4 C24 Cnn13  An41. . 225 . 52. 1 . 14 P3. 1 2 6 A2 x  Ax2  Cx3  10. 2 x b/ x = 5. c/ x = 8. d/ x = 7. f/ x  6, n  N . g/ x = 2. h/ x = 3, x = 4. h/. Trang 32.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng Baøi 5: Giaûi caùc heä phöông trình:  Ax y x  y a)  P  Cy  126 b) Cxy1 : Cxy 1 : Cxy 1  6 : 5 : 2 x 1  P  720  x 1 x  5 x  8 ÑS: a)  b)  y  7 y  3 Baøi 6: Giaûi caùc phöông trình vaø heä baát phöông trình:  x x 1 Cy : Cy 2  2 A y  5C y  90  x 3 a/  xy b/  y 1 x x 5 Ax  2Cx  80 C : A   y y 24. ÑS:. a/ x = 5, y = 2.. b/ x = 4, y = 8.. C y  C y 1  0 c)  x y x y 1 4Cx  5Cx  0  x  17 c)  y  8 3 1  c/ lg(3Cx )  lg Cx  1  x  3y  6. c/ 3  x  6; x, y Z  .. k k 1 k 2 , C14 , C14 Bài 7: Tìm số tự nhiên k sao cho C14 laäp thaønh moät caáp soá coäng.. ÑS: k = 4; 8. Dạng 6: Tìm số tổ hợp trong các bài toán số học Bài 1: Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 bài tập. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi? ÑS:.  Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập:. C42 .C61  36.  Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập:. C41 .C62  60. Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi. Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu: a) Goàm 4 hoïc sinh tuyø yù. b) Có 1 nam và 3 nữ. c) Có 2 nam và 2 nữ. d) Coù ít nhaát 1 nam. e) Có ít nhất 1 nam và 1 nữ. 4 ÑS: a) C40. 1 3 .C15 b) C25. 2 2 .C15 c) C25. 1 3 2 2 3 1 4 .C15  C25 .C15  C25 .C15  C25 d) C25. 4 4 4  C25  C15 e) C40. Baøi 3: Cho 5 ñieåm trong maët phaúng vaø khoâng coù 3 ñieåm naøo thaúng haøng. Hoûi coù bao nhieâu vectơ tạo thành từ 5 điểm ấy? Có bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ 5 điểm ấy? ÑS: 20 ; 10. Bài 4: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hoûi coù bao nhieâu caùch laøm nhö vaäy? ÑS: 1200. Bài 5: Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó, có bao nhiêu cách lấy được: a/ 4 vieân bi cuøng maøu? b/ 2 vieân bi traéng, 2 vieân bi xanh? ÑS: a/ 20. b/ 150. Bài 6: Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 uûy vieân. Hoûi coù maáy caùch choïn? ÑS: 4651200. Bài 7: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như Trang 33.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng. đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó: a/ Có đúng 1 bông hồng đỏ? b/ Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ? ÑS: a/ 112 b/ 150. Bài 8: Từ 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8 chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, chữ số khác có mặt đúng 1 lần. ÑS: 544320. (HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999) Bài 9: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiêu số: a/ Chẵn gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một và chữ số đứng đầu là chữ số 2? b/ Gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một sao cho 5 chữ số đó có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ? ÑS: a/ 360. b/ 2448. (ÑH Caàn Thô, 2001) Bài 10: a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 0), trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có chữ số 1). b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. ÑS: a/ 33600 b/ 11340. (ÑH QG, Tp.HCM, 2001) Bài 11: Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 như sau: Trong mỗi số được viết có một chữ số xuất hiện hai lần còn các chữ số còn lại xuất hiện một lần. Hỏi có bao nhieâu soá nhö vaäy? ÑS: 1800. (ÑH Sö phaïm Vinh, 1998) Bài 12: Từ một tập thể 14 người gồm 6 năm và 8 nữ trong đó có An và Bình, người ta muốn chọn một tổ công tác gồm có 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau: a/ Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ? b/ Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ? ÑS: a/ 2974. b/ 15048. (ÑH Kinh teá, Tp.HCM, 2001) Bài 13: Một đoàn tàu có 3 toa chở khác. Toa I, II, III. Trên sân ga có 4 khách chuẩn bị đi tàu. Bieát moãi toa coù ít nhaát 4 choã troáng. Hoûi: a/ Coù bao nhieâu caùch saép xeáp cho 4 vò khaùch leân 3 toa. b/ Coù bao nhieâu caùch saép xeáp cho 4 vò khaùch leân taøu coù 1 toa coù 3 trong 4 vò khaùch noùi treân. ÑS: a/ 99. b/ 24. (ÑH Luaät Haø Noäi, 1999) Baøi 14: Trong soá 16 hoïc sinh coù 3 hoïc sinh gioûi, 5 khaù, 8 trung bình. Coù bao nhieâu caùch chia số học sinh đó thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi toå coù ít nhaát hai hoïc sinh khaù. ÑS: 3780. (HVKT Quân sự, 2001). Trang 34.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng Dạng 7: Tìm số tổ hợp trong các bài toán hình học. Bài 1: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đôi một, nhưng không có 3 đường nào đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm? Có bao nhiêu tam giác được tạo thành? n(n  1) ÑS:  Soá giao ñieåm: Cn2  2 n(n  1)(n  2)  Soá tam giaùc: Cn3  6 Bài 2: Cho 10 điểm trong không gian, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua từng cặp điểm? b) Có bao nhiêu vectơ nối từng cặp điểm? c) Coù bao nhieâu tam giaùc coù ñænh laø 3 trong 10 ñieåm treân? d) Nếu trong 10 điểm trên không có 4 điểm nào đồng phẳng, thì có bao nhiêu tứ diện được tạo thành? 2 ÑS: a) C10. 2 b) A10. 3 c) C10. 4 d) C10. Baøi 3: Cho ña giaùc loài coù n caïnh (n  4) a) Tìm n để đa giác có số đường chéo bằng số cạnh? b) Giả sử 3 đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh thì không đồng qui. Hãy tính số giao điểm (không phải là đỉnh) của các đường chéo ấy? ÑS: a) Cn2  n  n  n = 5 b) Giao điểm của 2 đường chéo của 1 đa giác lồi (không phải là đỉnh) chính là giao điểm của 2 đường chéo một tứ giác mà 4 đỉnh của nó là 4 đỉnh của đa giác. Vậy số giao điểm phải tìm bằng số tứ giác với 4 đỉnh thuộc n đỉnh của đa giác: Cn4 Baøi 4: Cho moät ña giaùc loài coù n-caïnh (n , b  3) . a/ Tìm số đường chéo của đa giác. Hãy chỉ ra 1 đa giác có số cạnh bằng số đường chéo? b/ Có bao nhiêu tam giác có đỉnh trùng với đỉnh của đa giác? c/ Có bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo? n(n  3) (n  2)(n  1)n n(n  1)(n  2)(n  3) ÑS: a/ c/ . ; n  5. b/ . 2 24 6 Baøi 5: Tìm soá giao ñieåm toái ña cuûa: a/ 10 đường thẳng phân biệt? b/ 10 đường tròn phân biệt? c/ 10 đường thẳng và 10 đường tròn trên? ÑS: a/ 45. b/ 90. c/ 335. Bài 6: Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2). Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, trên (d2) lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn treân (d1) vaø (d2). ÑS: 5950. (ÑH SP Quy Nhôn, 1997) Bài 7: Cho mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có ba đỉnh được lấy từ các đỉnh của H. a/ Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh cuûa H? b/ Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh là cạnh của H? Có bao nhiêu tam giác không coù caïnh naøo laø caïnh cuûa H? ÑS: a/ 1140; 20. b/ 320 ; 80. (HVNH, 2000, khoái D) Trang 35.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng. Bài 8: Có 10 điểm A, B, C, ... trên mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. a/ Nối chúng lại ta được bao nhiêu đường thẳng? Trong đó có bao nhiêu đường không đi qua A hay B? b/ Có bao nhiêu tam giác đỉnh bởi các điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Bao nhiêu tam giác chứa cạnh AB? ÑS: a/ 45; 28. b/ 120 ; 36 ; 8. Bài 9: Có p điểm trong mặt phẳng trong đó có q điểm thẳng hàng, số còn lại không có 3 điểm nào thẳng hàng. Nối p điểm đó lại với nhau. Hỏi: a/ Có bao nhiêu đường thẳng? b/ Chuùng taïo ra bao nhieâu tam giaùc? 1 1 ÑS: a/ p( p  1)  q(q  1)  2; . b/ p( p  1)( p  2)  q(q  1)(q  2) . 2 6 Bài 10: Cho p điểm trong không gian trong đó có q điểm đồng phẳng, số còn lại không có 4 điểm nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong p điểm đó. Hỏi: a/ Coù bao nhieâu maët phaúng khaùc nhau? b/ Chúng tạo ra bao nhiêu tứ diện? ÑS: a/ C 3p  Cq3  1.. b/ C p4  Cq4 .. Bài 11: Cho p điểm trong đó có q điểm cùng nằm trên 1 đường tròn, ngoài ra không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu: a/ Đường tròn, mỗi đường đi qua ba điểm? b/ Tứ diện với các đỉnh thuộc p điểm đó? ÑS: a/ C 3p  Cq3  1.. b/ C p4  Cq4 .. V. Nhị thức Newton. 1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nN và với mọi cặp số a, b ta có:. (a  b)n . n.  Cnk ank bk. k 0. 2. Tính chaát: 1) Soá caùc soá haïng cuûa khai trieån baèng n + 1 2) Toång caùc soá muõ cuûa a vaø b trong moãi soá haïng baèng n 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk ank bk ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau:. Cnk  Cnnk 5) Cn0  Cnn  1 , Cnk 1  Cnk  Cnk1 * Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0 x n  Cn1 x n1  ...  Cnn. . Cn0  Cn1  ...  Cnn  2n. (x–1)n = Cn0 x n  Cn1 x n1  ...  (1)n Cnn. . Cn0  Cn1  ...  (1)n Cnn  0. Trang 36.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng Dạng 1: Xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton Bài 1: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức: 10.  1  a)  x   x4   ÑS: a) 45. 12.  1  c)  x 3   x2   d) 15.  1  b)  x 2   x4   b) 495 c) –10. 5.  1 d)  x 2   x . 6. Baøi 2: a/ Tìm heä soá cuûa x12 y13 trong khai trieån (2 x  3y)25 . b/ Tìm các số hạng giữa của khai triển ( x 3  xy)15 . 13 . ÑS: a) 313.212.C25. b) T8  6435x31.y7 , T9  6435x 29 .y8 .. Bài 3: Trong khai triển (x + y + z)n, tìm số hạng chứa xk.ym (k,m <n) ĐS: Trước hết tìm tất cả số hạng chứa xk. n. Ta coù: (x + y + z)n =  x   y  z   ...  Cnk x k  y  z . nk.  .... maø (y + z)n–k = ...  Cnmk y m znk m  ...  số hạng chứa xkym là: Cnk .Cnmk x k y m znk m Bài 4: Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng đa thức:. P( x)  (1  x)9  (1  x)10  ...  (1  x)14 ta sẽ được đa thức: P( x )  a0  a1x  a2 x 2  ...  a14 x14 . Hãy xác định hệ số a9? ÑS: a9  3003. Bài 5: Cho đa thức P( x )  (1  x )  2(1  x)2  3(1  x)3  ...  20(1  x)20 được viết dưới dạng: P( x )  a0  a1x  a2 x 2  ...  a20 x 20 . Tìm heä soá a15? ÑS: a15  400995. Baøi 6: Khai trieån P( x )  ( x  2)80  a0  a1x  a2 x 2  ...  a80 x 80 . Tìm heä soá a78? ÑS: a78  12640. Baøi 7: Khai trieån P( x )  (3  x )50  a0  a1x  a2 x 2  ...  a50 x 50 . b/ Tính toång S  a0  a1  a2  ...  a50 .. a/ Tính heä soá a46?. b/ S  450.. ÑS: a/ a46 = 18654300. Bài 8: a) Tìm số hạng không chứa căn thức trong khai triển của nhị thức: n. . 3. 3 2. . 5.  1  b) Tìm số mũ n của biểu thức  b   . Biết tỉ số giữa các hệ số của số hạng thứ 5 và 3 12   thứ 3 trong khai triển của nhị thức đó là 7:2. Tìm số hạng thứ 6?. ÑS: a) C52 .3.2  60 b) n = 9  T6 =. C95.  b. 4.  1 . 3 2  b. 5.  126    3 b b2 . Trang 37.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng.  a Bài 9: Trong khai triển của nhị thức:  3   b  thừa giống nhau? ÑS: Ta coù: Tk+1 =. . k C21 . 3 . . a   b . 21k.  .  . 21. b   , tìm các số hạng chứa a, b với luỹ 3  a. k. 21k k k 21k   b  k = C21.a 3 6 .b 2 6  3  a 5. 5. 21  k k k 21  k 9 .a 2 .b 2   k = 9. Vaäy soá haïng caàn tìm laø: T10 = C21    3 6 2 6 15.  1 Bài 10: a/ Tìm số hạng thứ 6 của khai triển  x   . x  12.  3 3 2 2  b/ Tìm số hạng chứa a trong khai triển  a  a .  64 3  7. 10.  1 3   x . c/ Tìm số hạng giữa của khai triển  5  x  12. 1  d/ Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức:   x  . x  16.  1 e/ Tìm hạng tử độc lập với x trong khai triển  3 x   . x  5 . ÑS: a/ T6  C15. b/ 924a7 .230.. 15 30 15 .x .y . c/ T16  C30. d/ 495. e/ 1820. Bài 11: Số hạng nào chứa x với số mũ tự nhiên trong khai triển sau: 4. 10. a/ ( x  x ) .. 13.  1  . b/  x  3  x . 2 6 7 10 10 x, C10 x , C10 x . ÑS: a/ C10. 0 13 3 9 6 5 9 x , C13 x , C13 x , C13 x. b/ C13. Baøi 12: a/ Tìm soá haïng cuûa khai trieån ( 3  3 2)9 laø moät soá nguyeân. b/ Tìm số hạng hữu tỉ của khai triển ( 3  15)6 . c/ Xác định các số hạng hữu tỉ của khai triển ( 5 3  3 7)36 . d/ Có bao nhiêu hạng tử nguyên của khai triển ( 3  4 5)124 . ÑS: a/ T4  4536, T10  8. c/ T7 , T22 , T37 .. b/ T1  27, T3  2005, T5  10125, T7  3375. d/ 32 soá haïng.  a Bài 13: a/ Tìm số hạng thứ ba của khai triển  13 a   a 1 . n.  3 2  neáu Cn : Cn  4 :1.  T3  4T5  n b/ Trong khai triển (1  x ) theo lũy thừa tăng của x, cho biết :  40 . Tìm n vaø x? T4  3 T6 1 13 ÑS: a/ n  14, T3  91 a51 . b/ n  6, x   . 2 Trang 38.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng n.  1  Bài 14: a/ Xác định hệ số thứ nhất, thứ hai, thứ ba trong khai triển  x 3   . x2   b/ Cho bieát toång cuûa 3 heä soá treân laø 11. Tìm heä soá cuûa x2. n(n  1) ÑS: a/ Cn0  1, Cn1  n, Cn2  . b/ n  4, C42  6. 2 n.  1  Bài 15: a/ Trong khai triển  a a   cho biết hiệu số giữa hệ số của hạng tử thứ ba và a4   thứ hai là 44. Tìm n. n.  1 b/ Cho biết trong khai triển  x 2   , tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, x  thứ ba là 46. Tìm hạng tử khôn g chứa x. n.  2 c/ Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển  x 2   là 97. Tìm  3 4 hạng tử của khai triển chứa x . ÑS: a/ n = 11 b/ n = 9 ; 84. c/ n = 8; 1120x4.. Dạng 2 : Áp dụng khai triển nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp Baøi 1: Tính caùc toång sau: a/ S1  Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn .. b/ S2  Cn0  Cn2  Cn4  .... c/ S3  Cn1  Cn3  Cn5  .... d/ S4  Cn0  2Cn1  22 Cn2  ...  2k Cnk  ...  2n Cnn .. e/ S5  Cn0  22 C n2  24 Cn4  ... 3n  (1)n . 2 Bài 2: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển thị thức (x2 + 1)n bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax12 trong khai triển đó. ÑS: a = 210. (HV haønh chính QG, 2000) Baøi 3: Tính toång sau:. ÑS: a/ 2n.. b/ 2n-1.. c/ 2n-1.. d/ 3n.. e/. 6 7 8 9 10 11  C11  C11  C11  C11  C11 . a/ S1  C11. (ÑHQG Haø Noäi, 97, Khoái D). 0 1 2 16  315 C16  314 C16  ...  C16 . b/ S2  316 C16. (ÑHBK Haø Noäi, 98). ÑS: a/ 1024. b/ 216. Bài 4: Chứng minh các hệ thức sau:. a/ C20n  C22n  C24n  ...  C22nn  C21n  C23n  C25n  ...  C22nn1 Tổng hệ số chẵn bằng tổng hệ số lẻ có đúng không? b/ 1  10.C21n  102.C22n  103.C23n  ...  102n1C22nn1  102n  81n. c/ C20n  C22n 32  C24n 34  ...  C22nn 32n  22n1.(22n  1) (ÑH Haøng Haûi, 2001) Trang 39.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng. Bài 5: Dùng đẳng thức (1  x)m .(1  x)n  (1  x)mn , chứng minh rằng: 1 2 k 2 a/ Cm0 .Cnk  Cm .Cnk 1  Cm .Cn  ...  Cmm .Cnk m  Cmk n , m  k  n.. (Hệ thức Van der mon de (Van đec mon)). b/ (Cn0 )2  (Cn1 )2  (Cn2 )2  ...  (Cnn )2  C2nn . c/ Cn0 .Cnk  Cn1 .Cnk 1  Cn2 .Cnk 2  ...  Cnnk .Cnn . (2n)! (n  k )!(n  k )!. Bài 6: Tính giá trị các biểu thức: A = 22n C20n  22n2 C22n  ...  20 C22nn 2n. ÑS : Ta coù : (2x+1) = Maët khaùc, (2x–1)2n =. 2n. . C2kn .. k 0 2n C2kn . k 0. . . 2x . 2x . B = 22n1C21n  22n3 C23n  ...  21C22nn1 2 nk. 2 nk. . . Thay x = 1 ta được A + B = 32n = 9n k. .  1 . Thay x = 1 ta được A – B = 1. . . 1 n 1 n 9 1 , B = 9 1 2 2 Bài 7: Chứng minh các đẳng thức sau: Từ đó suy ra: A =. a) Cn0  6Cn1  62 Cn2  ...  6n Cnn  7n. 0 1 17  41.316.C17  ...  417 C17  717 b) 317 C17. ÑS: a) Khai trieån (1+x)n = Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnn x n ; thay x = 6. b) Khai trieån (3x+4)17; thay x = 1 Dạng 3: Toán chia hết Neáu a chia cho b coù soá dö laø r thì a = bq + r neân an = (bq + r)n = bnqn + nbn–1qn–1r + … + nbqrn–1 + rn Do đó an và rn có cùng số dư khi chia cho b. Tức là: an  rn(mod b) Vaäy neáu a r (mod b) thì an  rn (mod b) Ví dụ 1: Chứng minh rằng với n  Z+, ta có: a) 4n + 15n – 1 9 b) 16n – 15n – 1 225 HD: a) Ta coù 4n = (3+1)n = 3n + n.3n–1 + … + 3n + 1  3n + 1 (mod 9) (vì 3k 9 , k  2) 4n + 15n – 1  3n + 1 + 15n – 1 (mod 9) = 18n (mod 9) Vaäy 4n + 15n – 1 9 n(n  1) 2 .15 + … + n.15n–1 + 15n b) 16n = (1 + 15)n = 1 + n.15 + 2  1 + 15n (mod 152) Do đó: 16n – 15n – 1  1 + 15n – 15n – 1  0 (mod 225) Vaäy 16n – 15n – 1 225 Ví dụ 2: Chứng minh rằng với n  Z+, ta có: 26n+1 + 36n+1 + 56n + 1 7 HD: 26n+1 + 36n+1 + 56n+1 + 1 = 2(26)n + 3(36)n + (56)n + 1 = 2.64n + 3.729n + 15625n + 1 = 2[(7.9 + 1)n – 1] + 3[(7.104 + 1)n – 1] + [(7.2232 + 1)n – 1] + 7 Do đó với mọi số tự nhiên p và q thì: (7p+1)q – 1 = [(7p+1)–1].[(7p+1)q–1+ … + (7p+1) + 1] nên biểu thức đã cho luôn chia hết cho 7. Trang 40.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng. B. XAÙC SUAÁT I. Bieán coá vaø xaùc suaát 1. Bieán coá  Không gian mẫu : là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.  Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A  .  Bieán coá khoâng:   Bieán coá chaéc chaén:   Biến cố đối của A: A   \ A  Hợp hai biến cố: A  B  Giao hai biến cố: A  B (hoặc A.B)  Hai bieán coá xung khaéc: A  B =   Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến coá kia. 2. Xaùc suaát n( A )  Xaùc suaát cuûa bieán coá: P(A) = n( )  0  P(A)  1; P() = 1; P() = 0  Qui taéc coäng: Neáu A  B =  thì P(A  B) = P(A) + P(B) Mở rộng: A, B bất kì: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A.B)  P( A ) = 1 – P(A)  Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B) Bài 1: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố: a) Toång hai maët xuaát hieän baèng 8. b) Tích hai maët xuaát hieän laø soá leû. c) Tích hai maët xuaát hieän laø soá chaün. 5 1 3 ÑS: a) n() = 36. n(A) = 5  P(A) = b) c) 36 4 4 Bài 2: Một lớp học có 25 học sinh, trong đó có 15 em học khá môn Toán, 16 em học khá môn Vaên. a) Tính xác suất để chọn được 2 em học khá cả 2 môn. b) Tính xác suất để chọn được 3 em học khá môn Toán nhưng không khá môn Văn. ÑS: a) n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) = 15 +15 – 25 = 17  P(AB). C72. 25. b). C83. 25. Bài 3: Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố: a) Toång hai maët xuaát hieän baèng 7. b) Caùc maët xuaát hieän coù soá chaám baèng nhau. 1 1 ÑS: a) b) 6 6 Bài 4: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy tiếp một viên nữa. Tính xác suất của biến cố lần thứ hai được một viên bi xanh. 5 ÑS: 8 Trang 41.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng. Bài 5: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh. 1 ÑS: 2 Bài 6: Hai người đi săn độc lập với nhau và cùng bắn một con thú. Xác suất bắn trúng của 3 1 người thứ nhất là , của người thứ hai là . Tính xác suất để con thú bị bắn trúng. 5 2 4 ÑS: 5 Bài 7: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến coá sau: a) Lần thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm. b) Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm. c) Ít nhaát moät laàn xuaát hieän maët 6 chaám. d) Khoâng laàn naøo xuaát hieän maët 6 chaám. 1 1 11 25 ÑS: a) b) c) d) 6 6 36 36 Bài 8: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố: a) Cả 4 đồng xu đều ngửa. b) Có đúng 3 đồng xu lật ngửa. c) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa. 1 1 11 ÑS: a) b) c) 16 4 16 Bài 9: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.Tính xác suất để lấy được: a) ít nhaát 2 boùng toát b) ít nhaát 1 boùng toát. Bài 10: Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 6 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Văn và 4 học sinh giỏi cả 2 môn. GVCN chọn ra 2 em. Tính xác suất để 2 em đó là học sinh giỏi. Bài 11: Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra có ít nhất một quả màu đen. Bài 12: Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. GVCN chọn ra 2 em đi thi văn nghệ. Tính xác suất để 2 em đó khác phái. Bài 13: Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác suất để : a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi b) Coù ít nhaát 1 hoïc sinh gioûi c) Khoâng coù hoïc sinh trung bình. Bài 14: Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số trên. Lấy ngẫu nhiên 1 số thuộc X. Tính xác suất để: a) Số đó là số lẻ. b) Số đó chia hết cho 5 c) Số đó chia hết cho 9.. II. Biến ngẫu nhiên rời rạc Trang 42.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Đại số 11. Đinh Văn Thắng. 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc  X = {x1, x2, …,xn}  P(X=xk) = pk p1 + p2 + … + pn = 1 2. Kì voïng (giaù trò trung bình).   = E(X) =. n.  xi pi i 1. 3. Phương sai và độ lệch chuẩn.  V(X) =. n.  ( xi   )2 pi = i 1. n.  xi2 pi   2.  (X) = V ( X ). i 1. Bài 1: Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền. Mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn của người thứ nhất là 0,8. Tính xác suất làm bàn của người thứ hai, biết rằng xác suất để cả hai người cùng làm bàn là 0,56 và xác suất để bị thủng lưới ít nhất một lần là 0,94. Bài 2: Một cặp vợ chồng có 3 người con. Gọi X là số lần sinh con trai. Lập bảng phân phối xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân X. Bài 3: Một hộp đựng 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Gọi X là số lần lấy được bi đỏ. Lập bảng phân phối của biến ngẫu nhiên X. Baøi 4: Cho baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân X: X 1 2 3 P 0,3 0,5 0,2 Tìm kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X. Bài 5: Một hộp đựng 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên. Gọi X là số bi đỏ lấy ra. Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X. Bài 6: Hai xạ thủ độc lập cùng bắn vào 1 bia. Mỗi người bắn 1 viên đạn. Xác suất để xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia là 0,7. Xác suất để xạ thủ thứ hai bắn trúng bia là 0,8. Gọi X là số đạn bắn trúng bia. Tính kỳ vọng, phương sai của X.. Trang 43.

<span class='text_page_counter'>(24)</span>