Bất đẳng thức cauchy Schwarz (Cosi)

Giaovienvietnam.com

Bất đẳng thức cauchy Schwarz (Cosi)
∀a, b, c
Bài 1: Chứng minh rằng (a 2 + b 2 )(b 2 + c 2 )(c 2 + a 2 ) ≥ 8a 2 b 2 c 2
---------------------------------------------------------------------∀a, b ≥ 0
Bài 2: Chứng minh rằng ( a + b ) 8 ≥ 64ab( a + b) 2
---------------------------------------------------------------------∀a, b ≥ 0
Bài 3: Chứng minh rằng (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab
---------------------------------------------------------------------Bài 4: Chứng minh rằng 3a 3 + 6b 3 ≥ 9ab 2 ∀a, b ≥ 0
---------------------------------------------------------------------Bài 5: Chứng minh rằng (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab ∀a, b ≥ 0
---------------------------------------------------------------------1 1
4
Bài 6: Chứng minh rằng + ≥
a b a+b
---------------------------------------------------------------------Bài 7: Chứng minh rằng a + b + c ≥ ab + bc + ca ∀a, b, c ≥ 0
---------------------------------------------------------------------Bài 8: Chứng minh rằng a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ abc (a + b + c ) ∀a, b, c
---------------------------------------------------------------------Bài 9: Chứng minh rằng (a + 1)(b + 1)(a + c )(b + c) ≥ 16abc ∀a, b, c ≥ 0
---------------------------------------------------------------------1 2
1 1 1
2
2
Bài 10: Chứng minh rằng a + b + c ≤  a b + b c + c a + + +  ∀a, b, c > 0
2
a b c
---------------------------------------------------------------------a4 b4 c4
Bài 11: Chứng minh rằng
+
+
≥ 3abc ∀a, b, c > 0
b

c
a
---------------------------------------------------------------------a 1  b 1  c 1  9
∀a, b, c > 0
Bài 12: Chứng minh rằng a +  + b +  + c +  ≥
 2 bc   2 ca   2 ab  2
---------------------------------------------------------------------∀a, b, c > 0
Bài 13: Chứng minh rằng
a 3 + b 3 + c 3 ≥ a 2b + b 2 c + c 2 a
3
3
3
2
Hướng dẫn: a + a + b ≥ 3a b . Tương tự rồi cộng từng vế
---------------------------------------------------------------------∀a, b, c > 0
a 3 b 3 + b 3 c 3 + c 3 a 3 ≥ abc ab 2 + bc 2 + ca 2
Bài 14: Chứng minh rằng
---------------------------------------------------------------------a3 b3 c3 a 2 b2 c 2
∀a, b, c > 0
Bài 15: Chứng minh rằng
+
+
≥
+
+
b 3 c 3 a 3 bc ac ab
---------------------------------------------------------------------a5 b5 c5
Bài 16: Chứng minh rằng
+
+

≥ a 3 + b 3 + c 3 ∀a, b, c > 0
b2 c2 a2
---------------------------------------------------------------------a4
b4
c4
Bài 17: Chứng minh rằng
+
+
≥ a + b + c ∀a, b, c > 0
b 2 c c 2 a a 2b
---------------------------------------------------------------------a5
b5
c5
∀a, b, c > 0
Bài 18: Chứng minh rằng
+
+
≥ a2 + b2 + c2
2
2
2
bc
ca
ab

(

)

Giaovienvietnam.com
---------------------------------------------------------------------a4
b4
c4
ab 2 + bc 2 + ca 2
∀a, b, c > 0
Bài 19: Chứng minh rằng
+
+
≥
a+b b+c c+a
2
---------------------------------------------------------------------a6
b6
c6
Bài 20: Chứng minh rằng
+ 2 + 2 ≥ a 2 b + b 2 c + c 2 a ∀a, b, c > 0
2
b c c a a b
----------------------------------------------------------------------


Giaovienvietnam.com
HƯỚNG DẪN
Bài 1: Chứng minh rằng (a 2 + b 2 )(b 2 + c 2 )(c 2 + a 2 ) ≥ 8a 2 b 2 c 2
Hướng dẫn: a 2 + b 2 ≥ 2 a 2 b 2 = 2 ab ;

∀a, b, c

b 2 + c 2 ≥ 2 b 2 c 2 = 2 bc ;

c 2 + a 2 ≥ 2 c 2 a 2 = 2 ca

---------------------------------------------------------------------∀a, b ≥ 0
Bài 2: Chứng minh rằng ( a + b ) 8 ≥ 64ab( a + b) 2

[

] = [(a + b) + 2 ab ]

4

≥ 2 (a + b)(2 ab )  = 64ab( a + b) 2


---------------------------------------------------------------------∀a, b ≥ 0
Bài 3: Chứng minh rằng (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab
Hướng dẫn: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 33 a.b 3 a.b.ab = 9ab
---------------------------------------------------------------------Bài 4: Chứng minh rằng 3a 3 + 6b 3 ≥ 9ab 2 ∀a, b ≥ 0
Hướng dẫn: ( a + b ) 8 = ( a + b ) 2

4

4

Hướng dẫn: 3a 3 + 6b 3 = 3a 3 + 3b 3 + 3b 3 ≥ 33 3a 3 3b 3 3c 3 = 9ab 2
---------------------------------------------------------------------Bài 5: Chứng minh rằng (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab ∀a, b ≥ 0
Hướng dẫn: Cô si cho từng ngoặc rồi nhân từng vế
---------------------------------------------------------------------1 1
4

Bài 6: Chứng minh rằng + ≥
a b a+b
Hướng dẫn: Cô si cho VT và mẫu thức ở VP
---------------------------------------------------------------------Bài 7: Chứng minh rằng a + b + c ≥ ab + bc + ca ∀a, b, c ≥ 0
Hướng dẫn: a + b ≥ 2 ab ; b + c ≥ 2 bc ; c + a ≥ 2 ca rồi cộng từng vế
---------------------------------------------------------------------Bài 8: Chứng minh rằng a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ abc (a + b + c ) ∀a, b, c
Hướng dẫn: a 2 b 2 + b 2 c 2 ≥ 2ab 2 c; b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ 2abc 2 ; c 2 a 2 + a 2 b 2 ≥ 2a 2 bc Cộng từng vế
---------------------------------------------------------------------Bài 9: Chứng minh rằng (a + 1)(b + 1)(a + c )(b + c) ≥ 16abc ∀a, b, c ≥ 0
Hướng dẫn: Cô si cho từng ngoặc rồi nhân từng vế
---------------------------------------------------------------------1 2
1 1 1
2
2
Bài 10: Chứng minh rằng a + b + c ≤  a b + b c + c a + + +  ∀a, b, c > 0
2
a b c
1
1
1
2
2
2
Hướng dẫn: a b + ≤ 2a ; b c + ≤ 2b ; c a + ≤ 2c rồi cộng từng vế
b
c
a
---------------------------------------------------------------------a4 b4 c4
Bài 11: Chứng minh rằng
+
+

≥ 3abc ∀a, b, c > 0
b
c
a
Hướng dẫn: Áp dụng Cô si với vế trái
---------------------------------------------------------------------a 1  b 1  c 1  9
∀a, b, c > 0
Bài 12: Chứng minh rằng a +  + b +  + c +  ≥
 2 bc   2 ca   2 ab  2

a2 a b2 b c2 c  a2
c
b   b2
c
a   c2 a
b  9
 +  +
 +  +
≥
+ + + + + =  +
+
+
+
Hướng dẫn: VT =
2 bc 2 ca 2 ab  2 2ab 2ca   2 2ab 2bc   2 2bc 2ca  2
---------------------------------------------------------------------∀a, b, c > 0
Bài 13: Chứng minh rằng
a 3 + b 3 + c 3 ≥ a 2b + b 2 c + c 2 a

Giaovienvietnam.com
Hướng dẫn: a + a + b ≥ 3a b . Tương tự rồi cộng từng vế
---------------------------------------------------------------------∀a, b, c > 0
a 3 b 3 + b 3 c 3 + c 3 a 3 ≥ abc ab 2 + bc 2 + ca 2
Bài 14: Chứng minh rằng
1
1
1
1
1
1
Hướng dẫn: Chia hai vế cho a 3 b 3 c 3 > 0 , có: 3 + 3 + 3 ≥ 2 + 2 + 2 , tương tự bài 13
a
b
b
a b b c c a
---------------------------------------------------------------------a3 b3 c3 a 2 b2 c 2
∀a, b, c > 0
Bài 15: Chứng minh rằng
+
+
≥
+
+
b 3 c 3 a 3 bc ac ab
a3 a3 b3
a2
Hướng dẫn: 3 + 3 + 3 ≥ 3
Tương tự rồi cộng từng vế
bc

b
b
c
---------------------------------------------------------------------a5 b5 c5
Bài 16: Chứng minh rằng
+ 2 + 2 ≥ a 3 + b 3 + c 3 ∀a, b, c > 0
2
b
c
a
5
a
Hướng dẫn: 2 + b 2 a ≥ 2a 3 , Tương tự rồi cộng từng vế. Sử dụng thêm kết quả bài 13
b
---------------------------------------------------------------------a4
b4
c4
Bài 17: Chứng minh rằng
+
+
≥ a + b + c ∀a, b, c > 0
b 2 c c 2 a a 2b
a4
Hướng dẫn: 2 + b + b + c ≥ 4a Tương tự rồi cộng từng vế
b c
---------------------------------------------------------------------a5
b5
c5
∀a, b, c > 0
Bài 18: Chứng minh rằng

+ 2 + 2 ≥ a2 + b2 + c2
2
bc
ca
ab
a5
Hướng dẫn: 2 + c 2 + ba ≥ 3a 2 Tương tự rồi cộng từng vế. Sử dụng thêm a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
bc
---------------------------------------------------------------------a4
b4
c4
ab 2 + bc 2 + ca 2
∀a, b, c > 0
Bài 19: Chứng minh rằng
+
+
≥
a+b b+c c+a
2
a4
Hướng dẫn:
+ (a + b)a 2 ≥ 4a 3 Tương tự rồi cộng từng vế. Sử dụng thêm a 3 + b 3 + c 3 ≥ ab 2 + bc 2 + ca 2
a+b
---------------------------------------------------------------------a6
b6
c6
Bài 20: Chứng minh rằng
+
+
≥ a 2 b + b 2 c + c 2 a ∀a, b, c > 0

2
2
2
b c c a a b
6
a
Hướng dẫn: 2 + b 2 c ≥ 2a 3 Tương tự rồi cộng từng vế. Sử dụng thêm a 3 + b 3 + c 3 ≥ ab 2 + bc 2 + ca 2
b c
---------------------------------------------------------------------3

3

3

2

(

)