Chuyên đề : Rút gọn biểu thức

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

Chuyên đề :
Rút gọn biểu thức
NỘI DUNG
*Kiến thức lý thuyết cần chú ý:
1. Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
1. (A+B)2 = A2 +2AB +B2
2. (A – B)2 = A2 –2AB +B2
3. A2 –B2 = (A-B )(A+B)
4. (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3
5. (A-B)3 = A3–3A2B +3AB2 –B3
6. A3+B3= (A + B)(A2 – AB + B2)
7. A3 - B3= (A - B)(A2 + AB + B2)

2. Các công thức biến đổi căn thức:
1. A có nghĩa khi A≥0
2. A2  A
3.
4.

AB 

A. B

A
A

B
B

5. A 2 B  A

( Với A 0 ; B > 0 )
B

6. A B = A 2 B
A B = - A2 B
7.

A
1

B
B

( Với A 0 ; B 0 )

AB

Trịnh Thị Thúy Hạnh

( Với B 0 )
( Với A 0 ; B 0 )
( Với A < 0 ; B 0 )
( Với AB 0 và B 0 )
1

Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

A

A B
B
B
C
C ( A mB )

A  B2
A �B

8.
9.
10.

( Với B > 0 )



C
A� B



(ví i A �0, A �B 2 )

C( A m B )
A B

(ví i A �0, B �0, A �B)

3. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân tích
thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung ở cả tử và mẫu của một
phân thức.
4. Các tính chất cơ bản của một phân thức. Sử dụng các tính chất này ta
có thể nhân với biểu thức liên hợp của tử
( hoặc mẫu) của một phân thức, giản ước cho một số hạng khác 0, đổi dấu
phân thức,... đưa phân thức về dạng rút gọn.

* Các dạng bài tập:
- Rút gọn biểu thức số.
- Rút gọn biểu thức chứa chữ. Sử dụng kết quả rút gọn đế:
+ Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến;
+ Giải phương trình, bất phương trình ( so sánh biểu thức với một số);
+ Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức;
+ Tìm giá trị nguyên của biểu thức ứng với các giá trị nguyên của biến.

* DẠNG1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ:
I.Các ví dụ:
+ Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a/ 20  45  3 18  72 .
b/ ( 28  2 3  7 ) 7  84 .
c/





2

6  5  120 .

�
1 1
3
d/ �

�
2 2
2
�
Trịnh Thị Thúy Hạnh

2

4
5

�1
200 �
:
�
8
�2

Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

Giải:
a/ 20 

45  3 18  72 =

2 2.5 

32.5  3 32.2  6 2.2

= 2 5  3 5 9 2 6 2
=  2  3 5  (9  6) 2 15 2 



b/

28  2 3  7



5.

7  84 = 2 2.7 . 7  2 3. 7  7 . 7  2 2.21.
= 2.7  2 21  7  2 21
= 14  7   2  2  21 21 .

c/





2

6  5  120 = 6  2 30  5 

2 2.30

= 6  5  2 30  2 30 11 .

�
1
d /�
�
2
�

1 3

2 2

1
�
 �
4
�

2

2
3
2

4
5

�1 �
1
200 �
: �
�8 �
2
�
�

2
3

22
2

2

�1
4
10 2.2 �
:
�8

5
�

�
2 8 2�
.8  2 2  12 2  64 2  54 2
�

+ Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a/

A

1
1

5 3
5 3

b/

B

42 3
6 2

c/

C

1
2
2


2 3
6 3 3

Giải:
a/

A

1
1


5 3
5 3

Trịnh Thị Thúy Hạnh





  5  3
3  5  3

5 3 
5

3

Giaovienvietnam.com


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức
5  3  5  3 2 3

 3
53
2



b/

42 3
6 2

B

 3



2



c/

C

2



2

 2 3 1







3 1

3 1





3 1





2

2

3 1



3 1



2



3 1



3 1



1
2


2
2

1
2
2
1
1
2


2 3
6 3 3  2  3  3 
3 3 1



  3  1  2  2  3 
3  3  1  2  3 
2  3  2
2 34


3  3  1  2  3 
3  3  1  2  3 
2. 3  3  1
2 3  3  1
3  3  1 3  3





 1
3  3  1
3
3
3  3  1  3  1


3





 

3 1  2  3

3
3

+ Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau:
a/

2 2

b/
c/



 

3  2  1 2 2





2

2 6 9

2 3  2 3  6
4
2 5



2





4
2 5

Giải:
a/ 2 2  3  2    1  2
BĐVT ta có :
2 2



 

3  2  1 2 2



2



2

8

2



2

2 6 9

 2 6  2 6  4 2  1  4 2  8  2 6  9  VP

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
b/

2 3  2 3  6

Trịnh Thị Thúy Hạnh

4

Giaovienvietnam.com


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

BĐVT ta có :
2

2 3  2 3 
3 1  3 1



2



2 3  2 3
2



42 3  42 3

2





2

3 1 
2

3  1  3 1 2 3

 6  VP
2
2



Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
c/



4
2 5



2





4
2 5



2

8

BĐVT ta có :
4

 2  5
2




2 5

2



4



 2  5
2

2 5



2



22

 2  5

2

52



22

 2  5
2  5  2  2  5  2
2

52
 5  2  5  2
2

2

2 5 42 5 4
 8  VP
54

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
+ Ví dụ 4: So sánh ( khơng dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
a/ 2  3 và 10
b/ 2003  2005 và 2 2004
c/ 5 3 và 3 5
Giải:
a/ 2  3 và 10
2
Ta có:  2  3   2  3  2 6  5  2 6  5  24
Và  10   10  5  5  5  25
Vì 24 < 25 => 24 < 25 => 5  24  5 
2
Hay  2  3   
2

b/

2003  2005

Ta có:



và

10



2

� 2  3  10

2 2004

2003  2005

Trịnh Thị Thúy Hạnh

25



2

 2003  2005  2 2003.2005

5

Giaovienvietnam.com





3 1

2


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

 2004  1  2004  1

 4008  2

Và

2

2004



2

 4008  2 20042  1

 4.2004  2.2004  2 2004 2

20042  1  20042  20042  1  20042

Vì

 4008  2 20042  1  4008  2 20042




2003  2005

 2
2

2004

c/ 5 3 và 3 5
Ta có: 5 3  52.3  75
Và 3 5  32.5  45
Vì 75 > 45 => 75  45 



2

 2003  2005  2 2004

75 

45  5 3  3 5

*MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TOÁN 1
Nhận xét biểu thức trong căn. Phán đốn phân tích nhanh để đưa ra hướng
làm cho loại toán:
+ Vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lý và thành thạo.
+ Phân tích các biểu thức số, tìm cách để đưa về các số có căn bậc hai
2
đúng A  A
hoặc đưa về hằng đẳng thức
+ Luôn chú ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích
+ triệt để sử dụng các phép biến đổi căn thức như: Nhân chia hai căn thức
bậc hai, đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức,
trục căn thức ở mẫu…

II. Bài tập:
1. Thực hiện phép tính:
a/  12  75  27  : 15 ;
b/ 252  700  1008  448 ;
c/  2 8  3 5  7 2   72  5 20  2

2

.

2. Rút gọn các biểu thức sau:
Trịnh Thị Thúy Hạnh

6

Giaovienvietnam.com


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

a/

2  3 1 3

;
2
2

b/

3 2 2  6 4 2;

c/

2 3 � 2 3
2
2 3
:�


� 2
2

6
2 3
�

�
�
.
�
�

3.So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
a/ 3  5 và 2 2  6 ;
b/
c/

7 1
4 1
và
;
2 21
9 5
14  13 và 2 3  11 .

4.Cho

A  11  96

và

B

2 2
1 2  3

Khơng dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, hãy so sánh A và B.
5. Chứng minh các đẳng thức sau:
2
a/  2  2   5 2    3 2  5   20 2  33 ;
b/
c/

8  2 10  2 5  8  2 10  2 5  2  10 ;
1
1
1

 ... 
9
1 2
2 3
99  100

*DẠNG2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ
I. Các ví dụ:
� 1

1

�

a 1


* Ví dụ 1: Cho biểu thức M  �
với a >0 và a �1
�:
a  1 �a  2 a  1
�a  a
a/ Rút gọn biểu thức M.
b/ So sánh giá trị của M với 1.
Giải: Đkxđ: a >0 và a �1

Trịnh Thị Thúy Hạnh

7

Giaovienvietnam.com


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

1 � a  1 
� 1

�:
a  1 �a  2 a  1
�a  a

a/ M  �



1 a
a




.



a1



a1

a 1

a1

b/ Ta có M 

2

a



1



a a1

1  a  a  1 

a  a  1 a  1
2

1

1 

a

1



a1

:

a 1





a1

2

a1
a

, vì a > 0 => a  0 =>

1
a

 0 nên 1 

1
a

1

Vậy M < 1.
* Ví dụ 2: Cho biểu thức

 2


x  1  2  2  x


1

P 

x

x

1


x 2

2 x  x 

x 3

a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b/ Rút gọn biểu thức P.
c/ Tính giá trị của P với x 3  2 2 .
Giải:



a/ Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi : 




x 0
x  1 0
2

x 0

x 1

2 0

x 0
 x 1
 x 1


 
  x 2
 x 2
 x 3

 x 3
b/ Đkxđ : x 1; x 2; x 3
1


P 






x



x 1


x

x 3



x 1

x  x 1
x 1





x  x 1





2 



 

2
2

x

 x  3
x 1



x 2

2 x  x 



2




2


x  1  2  2  x

x 1 2





x



x 2
2



x 



 x  x  1  x  3 x  1  2  2 x  x  2


.
 x  1  2
x 2 x
 x   x  1

Trịnh Thị Thúy Hạnh



8



Giaovienvietnam.com


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức












x  x  1  x  3 x  1  2   2  x
.

 x 2 x
x  x 1
x 3




 x  x 1

  1 

x 1

2.



x

x







2 .  1
x





2

x

x

2

c/ Thay x 3  2 2  2  1 vào biểu thức P 
P

2







21



21

2

2



2

21

21

2



2 1
21

2

x
x



, ta có:

1
21

 2 1

* Nhận xét về phương pháp giải:
Theo thứ tự thực hiện các phép tính ta phải làm các phép tính từ trong dấu ngoặc
trước. Đối với nhân tử thứ hai ta đã quy đồng mẫu, còn nhân tử thứ nhất thì khơng.
Tại sao vậy? Bởi vì nếu quy đờng mẫu thì tính tốn rất phức tạp. Ta đã trục căn thức ở
mỗi mẫu, được kết quả rất nhanh chóng.
* Ví dụ 3: Cho biểu thức
2x

x  1 3  11x
A


với x  3
x  3 3  x x2  9
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm x để A < 2.
c/ Tìm x nguyên để A nguyên.
Giải:
a/ Đkxđ: x  3
A

2x
x  1 3  11 x
2x
x 1
3  11 x

 2



x  3 3  x x  9 x  3 x  3  x  3 x  3

2 x x  3   x  1 x  3   3  11 x  2 x 2  6 x  x 2  3 x  x  3  3  11 x


 x  3 x  3
 x  3 x  3



3x 2  9 x
3 x  x  3
3x


 x  3 x  3  x  3 x  3 x  3

Trịnh Thị Thúy Hạnh

9

Giaovienvietnam.com


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

3x
, A < 2 tức là
x 3
3x
3x
3x  2 x  3
2
 20
0
x 3
x 3
x 3

3x  2 x  6
x 6

0
 0(*)
x 3
x 3
b/ Ta có A 

x6 0
Dễ thấy x + 6 > x – 3 vì vậy Bất phương trình (*) có nghiệm khi 
x 30

  6 x 3
Vậy với  6  x  3 thì A < 2.
3x
9
9
3 
 
   x  3  U (9)
c/ Ta có A 
x 3
x 3
x 3
Mà U (9)  1;3;9 nên ta có:
 x – 3 = - 1 <= > x = 2 ( tm đkxđ )
 x – 3 = 1 < => x = 4 ( tm đkxđ )
 x – 3 = - 3 <= > x = 0 ( tm đkxđ )
 x – 3 = 3 < = > x = 6 ( tm đkxđ )

 x – 3 = - 9 <=> x = - 6 ( tm đkxđ )
 x – 3 = 9 <= > x = 12 ( tm đkxđ )
Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 thì A nhận giá trị ngun.
* Ví dụ 4: Cho biểu thức
 2x 1
  1  x3
x
.
B 

  1 x 
3
x

x

1
 x 1



x



với x 0 và x 1

a/ Rút gọn B;
b/ Tìm x để B = 3.
Giải: Đkxđ : x 0 và x 1

 2x 1
  1  x3
x

.


a/ B  3

 x  1 x  x 1  1  x

Trịnh Thị Thúy Hạnh


x



10

Giaovienvietnam.com


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

  x  1 x  x  1 
 

x 1
2x 1  x  x


 x  1. x  x  1 .1  2 x  x 
x  x 1

 
 . x  1  x  1




x1 
.
x  1 . x  x 1 

2x 1 

x


x


2

x  1 . x  x 1

b/ Ta có B  x  1 và B = 3, tức là
Vậy với x = 16 thì B = 3.

x 4  x 16 ( t/m đkxđ)

x  1 3 

* Ví dụ 5: Cho biểu thức
3
3
 1
1 
2
1 1 x  y x  x y  y

A 

.
  :
với x > 0 , y > 0
y  x  y x y 
 x
x 3 y  xy 3
a/ Rút gọn A;
b/ Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Giải: Đkxđ : x > 0 , y > 0

 1
1 
2
1 1

A



.

 :

a/
y  x  y x y 
 x

 x y
2
x  y 

.

:


xy
xy
x

y



 2
x  y 




:
 xy

xy






x y
xy

b/ Ta có 




2



A



x  y x





xy  y  xy x  y



xy x  y







xy  x  y 

x

y



x

y

xy

.

2

y  0 


x

x y 2

x
xy

Trịnh Thị Thúy Hạnh

y



2

xy
xy



xy 0

x  y 2


Do đó

x 3 y  xy 3

y  x  y

x

xy

.



x3  y x  x y  y3

2

16
16

1

11

xy .

( vì xy = 16 )

Giaovienvietnam.com


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

Vậy min A = 1 khi

�
�x  y
� x  y  4.
�
xy  16
�

*MỘT SỐ BƯỚC KHI LÀM DẠNG TỐN 2
(Đây là dạng tốn cơ bản và có tính tổng hợp cao)
Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác
khơng… nếu bài tốn chưa cho)
Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép
biến đổi căn thức)
+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử
chung.
+ Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác
không.
Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để
kết luận.
Bước 4: Làm các câu hỏi phụ theo yêu cầu của bài toán.
+ Tuân thủ nghiêm ngặt các phép biến đổi phương trình, bất phương
trình.
+ Kết hợp chặt chẽ với điều kiện của bài toán để nhận nghiệm, loại

nghiệm và kết luận.

II. Bài tập:
�1
3 �� x 2
1 �
A


:

�
�
�
Bài1: Cho biểu thức
�3 x 2  3x ��27  3x 2 x  3 �
�
�
��
�
1) Rút gọn A
2) Tìm x để A < –1
�x
�x  x x  x �
1 �

�
�
Bµi 2: Cho biÓu thøc A = �
�2 2 x �

� x  1  x 1 �
�
�
�
�
�
a) Rót gän biĨu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A > - 6.

Trịnh Thị Thúy Hạnh

12

Giaovienvietnam.com


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

� x
2
1 ��
10  x �


:
x

2

�

�
�
x 2�
x 2�
�x  4 2  x
��

Bµi 3: Cho biĨu thøc B = �
�

a) Rót gän biĨu thøc B;
b) Tìm giá trị của x để A > 0.
Bài 4: Cho biÓu thøc C =

1
3
1


x 1 x x 1 x  x  1

a) Rót gän biĨu thøc C;
b) T×m giá trị của x để C < 1.
Bài 5: Rút gän biÓu thøc :

Trịnh Thị Thúy Hạnh

13

Giaovienvietnam.com

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

a)

D=
;
b)

x  2  x2  4
x  2  x2  4



x  2  x2  4
x  2  x2  4

� x x �
� x x �
P=�
1

1
�
�
�
�
�
�

�
x

1
x

1
�
�
�
�
;
c)
1
x 1
Q= 2
:
x  x x x x x
;
d)

H=

x 1  2 x  2
x  2 1

Trịnh Thị Thúy Hạnh

14

Giaovienvietnam.com


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

2x  3 x  2
Bài 7: Cho các biểu thức P =
và Q =
x 2

x 3  x  2x  2
x 2

a) Rót gọn biểu thức P và Q;
b) Tìm giá trị của x để P = Q.


Bài 8: Cho các biểu thức B 1 


x 3 x   9 x
x3
:


x  9   x  x  6 2  x

x  2

x  3 

a) Rót gän biĨu thøc B.
b) Tìm x để B > 0 .
c) Với x > 4 ; x 9 , Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B( x + 1).
�3x  9x  3
1
1 � 1


:
Bµi 9: Cho biĨu thøc P =

x x 2

x

1
x

2

x 1
a) Tìm điều kiện ®Ĩ P cã nghÜa, rót gän biĨu thøc P;
1
lµ sè tự nhiên;
P
c) Tính giá trị của P với x = 4 2 3 .

b) Tìm các số tự nhiên x để
Bài 10: Cho biểu thức :

x 2
x 3
x  2 ��
x �
P=�


:
2

��
�
�x  5 x  6 2 x


x

3
x

1



a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm x để

1
5

.
P
2

Bµi 11: Cho A 

2x
5 x 1
x  10


víi x  0. Chøng
x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6

minh rằng giá trị của A không phơ thc vµo biÕn sè x.
Bµi 12: Cho biĨu thøc


a 1


M = 
ab

1

a) Rót gän M.

  a 1
ab  a

 1 : 

ab  1
ab

1
 


ab  a
 1
ab 1


3 1
1 3
a b 4

b) Tính giá trị của M nếu a= 2 3 và b=
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của M nếu

Trnh Th Thỳy Hnh

15

Trng THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

Trịnh Thị Thúy Hạnh

16

Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh