Chuyên đề : Rút gọn biểu thức toán lớp 9

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn

Giaovienvietnam.com

Chuyên đề :
Rút gọn biểu thức
A. NỘI DUNG
*Kiến thức lý thuyết cần chú ý:
1. Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
1. (A+B)2 = A2 +2AB +B2
2. (A – B)2 = A2 –2AB +B2
3. A2 –B2 = (A-B )(A+B)
4. (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3
5. (A-B)3 = A3–3A2B +3AB2 –B3
6. A3+B3= (A + B)(A2 – AB + B2)
7. A3 - B3= (A - B)(A2 + AB + B2)
2.Các công thức biến đổi căn thức:
1. A có nghĩa khi A≥0
2. A2 = A
AB =

3.
4.

A
=
B

A. B

A

( Với A ≥ 0 ; B > 0 )

B

5. A 2 B = A

B

6. A B = A 2 B
A B = - A2 B
7.
8.
9.
10.

A
1
=
B
B
A

AB

A B
B
B
C
C ( A mB )

=
A − B2
A±B
=

C
A± B

( Với A ≥ 0 ; B ≥ 0 )

=

C( A m B )
A− B

( Với B ≥ 0 )
( Với A ≥ 0 ; B ≥ 0 )
( Với A < 0 ; B ≥ 0 )
( Với AB ≥ 0 và B ≠ 0 )
( Với B > 0 )
(ví i A ≥ 0, A ≠ B 2 )
(ví i A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B )

3. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân tích
thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung ở cả tử và mẫu của một
phân thức.
1


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn

Giaovienvietnam.com

4. Các tính chất cơ bản của một phân thức. Sử dụng các tính chất này ta
có thể nhân với biểu thức liên hợp của tử
( hoặc mẫu) của một phân thức, giản ước cho một số hạng khác 0, đổi dấu
phân thức,... đưa phân thức về dạng rút gọn.

* Các dạng bài tập:
- Rút gọn biểu thức số.
- Rút gọn biểu thức chứa chữ. Sử dụng kết quả rút gọn đế:
+ Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến;
+ Giải phương trình, bất phương trình ( so sánh biểu thức với một số);
+ Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức;
+ Tìm giá trị nguyên của biểu thức ứng với các giá trị nguyên của biến.

* DẠNG1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ:
I.Các ví dụ:
+ Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a/ 20 − 45 + 3 18 + 72 .
b/ ( 28 − 2 3 + 7 ) 7 + 84 .

(

c/

)

2

6 + 5 − 120 .

1
d/ 
2


1
3
−
2
2

2+

4
5

 1
200 ÷
÷: 8


Giải:
a/ 20 − 45 + 3 18 + 72 =

2 2.5 − 32.5 + 3 32.2 + 6 2.2

= 2 5 −3 5 +9 2 +6 2

(

b/

28 − 2 3 + 7

)

= ( 2 − 3) 5 + (9 + 6) 2 = 15 2 − 5 .

7 + 84 = 2 2.7 . 7 − 2 3. 7 + 7 . 7 + 2 2.21.
= 2.7 − 2 21 + 7 + 2 21

c/

(

)

= 14 + 7 + ( 2 − 2 ) 21 = 21 .
2

6 + 5 − 120 = 6 + 2 30 + 5 − 2 2.30
= 6 + 5 + 2 30 − 2 30 = 11 .

2


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn

Giaovienvietnam.com

+

1
d / 
2

1 3
−
2 2

1
= 
4

 1 1 2
 1
3
4
2
200 ÷
:
=
−
2
+
10
.2


÷
÷ 8  2 22
÷: 8
2
5




2 + 8 2 ÷.8 = 2 2 − 12 2 + 64 2 = 54 2


2+

2−

3
2

4
5

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a/

A=

1
1

−
5+ 3
5− 3

b/

B=

4−2 3
6− 2

c/

C=

1
2
2
+
−
2+ 3
6 3+ 3

Giải:
a/

A=

1
1

−
=
5+ 3
5− 3

(

(

5+

5 − 3 − 5 − 3 −2 3
=
=− 3
5−3
2

=

b/

4−2 3
6− 2

B=

=

=

c/

) ( 5 + 3)
3) ( 5 − 3)

5− 3 −

C=

=

( 3)
2

2

(

2

− 2 3 +1

(

3 −1

)

3 −1

)

3 −1

=

2

=

(

(
2

3 −1

)

3 −1

(

2

)

3 −1

)

3 −1

=

1
2
=
2
2

1
2
2
1
1
2
+
−
=
+
−
2+ 3
6 3+ 3 2+ 3
3
3 3 +1

(

3

(

) (

) ( 3 + 1) − 2 ( 2 + 3 )
3 ( 3 + 1) ( 2 + 3 )

3 +1 + 2 + 3

3

)


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn

=

=

3

2 3+4

(

2. 3
3

(

)(

3 +1 2 + 3

(

)

3 −1

)(

3 +1

)

)

3

2 3

=

3 −1

2

=

(

(

Giaovienvietnam.com

(

3+2

)(

)

3 +1 2 + 3

) = 3(

3 −1

3 ( 3 − 1)

)

) = 3−

3 −1
3

3

3

= 1−

3
3

+ Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau:
a/

2 2

b/

(

) (

3 − 2 + 1+ 2 2

2

−2 6 =9

2+ 3 + 2− 3 = 6

c/

(

4
2− 5

)

2

−

(

4
2+ 5

Giải:
a/ 2 2 ( 3 − 2 ) + ( 1 + 2
BĐVT ta có :
2 2

)

(

) (

3 − 2 + 1+ 2 2

)

2

)

2

=8

2

)

2

−2 6 =9

− 2 6 = 2 6 − 4 2 + 1 + 4 2 + 8 − 2 6 = 9 = VP

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
b/ 2 + 3 + 2 −
BĐVT ta có :

3= 6

2+ 3 + 2− 3 =
=

3 +1 + 3 −1

2

2

(

2+ 3 + 2− 3
2

)=

4+2 3 + 4−2 3
=
2

3 +1 + 3 −1 2 3
=
= 6 = VP
2
2

=

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
c/

(

4
2− 5

)

2

−

(

4
2+ 5

)

2

=8

BĐVT ta có :
4

( 2 − 5)

2

−

4

( 2 + 5)

2

=

22

( 2 − 5)

2

−

22

( 2 + 5)
4

2

(

)

2

3 +1 +
2

(

)

3 −1

2


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn
2

=
=

2− 5

2

−

2+ 5

=

Giaovienvietnam.com

2
2
2
−

=
5 −2
5+2

(

) ( 5 − 2)
( 5 + 2) ( 5 − 2)
5+2 −2

2 5 +4−2 5 +4
= 8 = VP
5−4

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
+ Ví dụ 4: So sánh ( khơng dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
a/ 2 + 3 và 10
b/ 2003 + 2005 và 2 2004
c/ 5 3 và 3 5
Giải:
a/ 2 + 3 và 10
2
Ta có: ( 2 + 3 ) = 2 + 3 + 2 6 = 5 + 2 6 = 5 + 24
Và ( 10 ) = 10 = 5 + 5 = 5 + 25
Vì 24 < 25 => 24 < 25 => 5 + 24 < 5 +
2
Hay ( 2 + 3 ) < (
2

b/

2003 + 2005

Ta có:

(

và

(2

2003 + 2005

2004

)

2

10

)

2

⇒ 2 + 3 < 10

2 2004

)

2

= 2003 + 2005 + 2 2003.2005

( 2004 − 1) ( 2004 + 1)

= 4008 + 2

Và

25

= 4008 + 2 2004 2 − 1

= 4.2004 = 2.2004 + 2 20042

20042 − 1 < 20042 => 20042 − 1 < 2004 2

Vì

=> 4008 + 2 20042 − 1 < 4008 + 2 20042
=>

(

2003 + 2005

) <(2
2

2004

c/ 5 3 và 3 5
Ta có: 5 3 = 52.3 = 75
Và 3 5 = 32.5 = 45
Vì 75 > 45 => 75 > 45 =>

)

2

=> 2003 + 2005 < 2 2004

75 >

45 => 5 3 > 3 5

*MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TOÁN 1
5


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn

Giaovienvietnam.com

Nhận xét biểu thức trong căn. Phán đốn phân tích nhanh để đưa ra hướng
làm cho loại toán:
+ Vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lý và thành thạo.
+ Phân tích các biểu thức số, tìm cách để đưa về các số có căn bậc hai

2
đúng A = A
hoặc đưa về hằng đẳng thức
+ Luôn chú ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích
+ triệt để sử dụng các phép biến đổi căn thức như: Nhân chia hai căn thức
bậc hai, đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức,
trục căn thức ở mẫu…

II. Bài tập:
1. Thực hiện phép tính:
a/ ( 12 + 75 + 27 ) : 15 ;
b/ 252 − 700 + 1008 − 448 ;
c/ ( 2 8 + 3 5 − 7 2 ) ( 72 − 5 20 − 2

2

).

2. Rút gọn các biểu thức sau:
a/

2 − 3 1− 3
+
;
2
2

b/

3+ 2 2 + 6− 4 2;

c/

2+ 3  2+ 3
2
2+ 3
:
−
+

2
2
6
2 3



÷.
÷


3.So sánh ( khơng dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
a/ 3 + 5 và 2 2 + 6 ;
b/
c/

7 1
4 1
và
;

2 21
9 5
14 − 13 và 2 3 − 11 .

4.Cho

A = 11 + 96

và

B=

2 2
1+ 2 − 3

Không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, hãy so sánh A và B.
5. Chứng minh các đẳng thức sau:
2
a/ ( 2 − 2 ) ( −5 2 ) − ( 3 2 − 5 ) = 20 2 − 33 ;
b/

8 + 2 10 + 2 5 + 8 − 2 10 + 2 5 = 2 + 10 ;

6


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn

c/

Giaovienvietnam.com

1
1
1
+
+ ... +
=9
1+ 2
2+ 3
99 + 100

*DẠNG2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ
I. Các ví dụ:


1

a +1



1

+
* Ví dụ 1: Cho biểu thức M = 
với a >0 và a ≠ 1
÷:
a −1  a − 2 a +1
a− a

a/ Rút gọn biểu thức M.
b/ So sánh giá trị của M với 1.
Giải: Đkxđ: a >0 và a ≠ 1

1
1 
a +1 = (
+
:
÷
a − 1 a − 2 a + 1
 a− a


a/ M = 

=

1+ a
a

(

)

a −1

b/ Ta có M =

(

.

)

a −1

a −1
a

)

a a −1
2

=

=1 −

1
a

1

+

(1 + a )( a − 1) =
a ( a − 1)( a + 1)

2

a +1

(

1

, vì a > 0 => a > 0 =>

a −1

1
a

> 0 nên 1 −


1
x − 3  2
x+ 2

P = 
−
 
−
x − 1 − 2  2 − x
2 x − x 
 x − x−1
a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b/ Rút gọn biểu thức P.
c/ Tính giá trị của P với x = 3 − 2 2 .

Giải:

>0
≥1

x ≥1

⇔x ≠ 2
≠2
x ≠ 3

≠3
7

)

a −1

2

a

* Ví dụ 2: Cho biểu thức

x
x

⇔
x


x

(

a +1

a −1

Vậy M < 1.




a/ Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi : 




):

x >0
x −1 ≥ 0
2 − x ≠0
x −1 − 2 ≠ 0

1
a

<1

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn

Giaovienvietnam.com

b/ Đkxđ : x ≥ 1; x ≠ 2; x ≠ 3

P =




=


1
x − x −1

(

(


2

−


x −1 − 2  2 − x

x + x −1

x − x −1

)(

x+ 2

2x − x 


x −3

−

)

x + x −1

(

( x − 3) (

−

) (

x −1 − 2

)

)


2
−

x −1 + 2  2 − x

x −1 + 2

)(

)

 x + x − 1 ( x − 3) x − 1 + 2  2 x − x − 2
=
−
.
x
−
(
x
−
1
)
(
x
−
1

)
−
2
x 2− x



(

)

(

(

)

 x + x − 1 ( x − 3) x − 1 + 2  − 2 − x
.
= 
−
 x 2− x
x −3
 x − x +1


=

(

) − x1 = (

x + x −1 − x −1 − 2 .

c/ Thay x = 3 − 2 2 =
P=

2−

(

(

)

2 −1

)

2 −1

2

(

)

(

)

x − 2 .( − 1)
x

=

2 −1

2 −1

=

)

)

=

2− x
x

2

2−

(

)

2 − 1 vào biểu thức P =

2

x



2− x 

x+ 2

2 − 2 +1
2 −1

2− x
, ta có:
x

=

1
2 −1

= 2 +1

* Nhận xét về phương pháp giải:
Theo thứ tự thực hiện các phép tính ta phải làm các phép tính từ trong dấu ngoặc
trước. Đối với nhân tử thứ hai ta đã quy đồng mẫu, còn nhân tử thứ nhất thì khơng.
Tại sao vậy? Bởi vì nếu quy đờng mẫu thì tính tốn rất phức tạp. Ta đã trục căn thức ở
mỗi mẫu, được kết quả rất nhanh chóng.

* Ví dụ 3: Cho biểu thức
2x
x + 1 3 − 11x
A=
−
−
với x ≠ ±3
x + 3 3 − x x2 − 9
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm x để A < 2.
c/ Tìm x nguyên để A nguyên.
Giải:
a/ Đkxđ: x ≠ ±3

8


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn

A=

Giaovienvietnam.com

2x
x + 1 3 − 11x
2x
x +1
3 − 11x
−
− 2

=
+
−
x + 3 3 − x x − 9 x + 3 x − 3 ( x + 3)( x − 3)

2 x( x − 3) + ( x + 1)( x + 3) − ( 3 − 11x ) 2 x 2 − 6 x + x 2 + 3 x + x + 3 − 3 + 11x
=
=
( x + 3)( x − 3)
( x + 3)( x − 3)
3x 2 + 9 x
3 x ( x + 3)
3x
=
=
=
( x + 3)( x − 3) ( x + 3)( x − 3) x − 3

3x
, A < 2 tức là
x −3
3x
3x
3 x − 2( x − 3)
<2 ⇔
−2 < 0 ⇔
<0
x −3
x −3
x −3

3x − 2 x + 6
x +6
⇔
<0 ⇔
< 0(*)
x −3
x −3
b/ Ta có A =

x + 6 > 0
Dễ thấy x + 6 > x – 3 vì vậy Bất phương trình (*) có nghiệm khi 
x − 3 < 0

⇔−6 < x < 3

Vậy với −6 < x < 3 thì A < 2.
3x
9
9
= 3+
∈Ζ ⇔
∈ Ζ ⇔ x − 3 ∈U (9)
c/ Ta có A =
x −3
x −3
x −3
Mà U (9) = {±1;±3;±9} nên ta có:
• x – 3 = - 1 <= > x = 2 ( tm đkxđ )
• x – 3 = 1 < => x = 4 ( tm đkxđ )
• x – 3 = - 3 <= > x = 0 ( tm đkxđ )

• x – 3 = 3 < = > x = 6 ( tm đkxđ )
• x – 3 = - 9 <=> x = - 6 ( tm đkxđ )
• x – 3 = 9 <= > x = 12 ( tm đkxđ )
Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 thì A nhận giá trị nguyên.
* Ví dụ 4: Cho biểu thức

 2x + 1
 1 + x3
x

.
B = 
−
−
x
  1+ x
3

x
+
x
+
1
x
−
1




với x ≥ 0 và x ≠ 1

a/ Rút gọn B;
b/ Tìm x để B = 3.
Giải: Đkxđ : x ≥ 0 và x ≠ 1

9


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn

Giaovienvietnam.com


 2x + 1
  1 + x3
x




B
=
−
.
−
x
a/
 3




 x − 1 x + x + 1  1+ x


2x + 1 − x x −1  x + 1 x − x + 1
=
.
− x
x −1 . x + x +1 
x +1


(

=
=

(
(

(

)(

2x + 1 − x + x

)(

) (

)(
)
) .(1 − 2 x + x )

)

x −1 . x + x +1

)(

x + x +1

)(

)

2

. x −1 =

x −1 . x + x +1

x −1

b/ Ta có B = x − 1 và B = 3, tức là x − 1 = 3 ⇔ x = 4 ⇔ x = 16 ( t/m đkxđ)
Vậy với x = 16 thì B = 3.
* Ví dụ 5: Cho biểu thức
3
3
 1

1 
2
1 1 x + y x + x y + y

A= 
+
.
+ + :
với x > 0 , y > 0
y  x + y x y 
 x
x 3 y + xy 3
a/ Rút gọn A;
b/ Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Giải: Đkxđ : x > 0 , y > 0
 1
1 
2
1

A
=
+
.
+ +

a/
y  x + y x
 x

1
:
y 

 x+ y
2
x + y 
=
.
+
:


xy
xy
x
+
y



 2
x + y 

=
+
:
 xy

xy




(
=

x+ y
xy

b/ Ta có 


)

2

(

x+

A=

x+
xy

xy

y

x+

=

y

xy

≥

2

x+ y

)

.

2

y

(

xy ( x + y )

y  ≥ 0 ⇔ x + y − 2


x−

)

x + y x − xy + y + xy

)

⇔
Do đó

)(

x 3 y + xy 3

y ( x + y)

x+

xy

.

(

x3 + y x + x y + y3

xy
xy

=

x+
2

y ≥2

16
16

xy ≥ 0

=1

10

xy .

( vì xy = 16 )

(

x+ y

)


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn

Vậy min A = 1 khi

Giaovienvietnam.com


 x= y
⇔ x = y = 4.

xy
=
16



*MỘT SỐ BƯỚC KHI LÀM DẠNG TỐN 2
(Đây là dạng tốn cơ bản và có tính tổng hợp cao)
Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác
khơng… nếu bài tốn chưa cho)
Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép
biến đổi căn thức)
+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử
chung.
+ Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác
không.
Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để
kết luận.
Bước 4: Làm các câu hỏi phụ theo yêu cầu của bài toán.
+ Tuân thủ nghiêm ngặt các phép biến đổi phương trình, bất phương
trình.
+ Kết hợp chặt chẽ với điều kiện của bài toán để nhận nghiệm, loại
nghiệm và kết luận.

II. Bài tập:

Bài1:

1
3   x2
1 
:
+

÷
÷
Cho biểu thức A =  3 + 2
x − 3x ÷  27 − 3x 2 x + 3 ÷


1) Rút gọn A
2) Tìm x để A < –1

 x
1
−
Bµi 2: Cho biĨu thøc A = 
 2 2 x
a) Rót gọn biểu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A > - 6.



x

2

 x − x x + x 
÷
÷ x + 1 − x − 1 ÷
÷



1

 

10 x

+
+
Bài 3: Cho biểu thức B =
ữữ:  x − 2 +
÷
x
−
4
2
−
x
x
+
2
x +2


 
a) Rót gän biĨu thức B;
b) Tìm giá trị của x để A > 0.
11


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn

Bµi 4: Cho biÓu thøc C =

Giaovienvietnam.com

1
3
1
−
+
x −1 x x +1 x − x +1

a) Rút gọn biểu thức C;
b) Tìm giá trị của x để C < 1.
Bài 5: Rút gọn biểu thøc :
a) D =
;

x + 2 + x2 − 4
x+2− x −4
2

+

x + 2 − x2 − 4
x + 2 + x2 − 4

 x + x  x − x 
b) P = 1 +
÷
÷1 − x − 1 ÷
÷;
x
+
1



c) Q =
d) H =

1
x +1
:
;
x − x x x +x+ x
2

x −1 − 2 x − 2
x − 2 −1

12

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

2x − 3 x − 2
Bài 7: Cho các biểu thức P =
và Q =
x −2

x 3 − x + 2x − 2
x +2

a) Rót gọn biểu thức P và Q;
b) Tìm giá trị của x ®Ĩ P = Q.


x−3 x  

9− x

x −3

x 2

:



Bài 8: Cho các biểu thức B = 1
x − 9   x + x − 6 2 − x
x + 3 


a) Rót gän biĨu thøc B.
b) Tìm x để B > 0 .
c) Với x > 4 ; x ≠ 9 , Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B( x + 1).
 3x + 9x − 3
1
1  1
+
+
Bµi 9: Cho biĨu thøc P =
ữ
ữ: x 1
x
+
x

2
x

1
x
+
2


a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
1
là số tự nhiên;
P
c) Tính giá trị của P với x = 4 2 3 .

b) Tìm các số tự nhiên x để
Bài 10: Cho biÓu thøc :


x +2
x +3
x +2 
x 
P =


:
2

ữ

ữ
ữ
ữ
x

5
x
+
6
2

x
x

3
x
+
1



a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm x để

1
5
.
P
2

Bµi 11: Cho A =

2x
5 x +1
x + 10
+
+
víi x ≥ 0. Chøng
x+3 x +2 x+4 x +3 x+5 x +6

minh rằng giá trị của A không phụ thuộc vào biÕn sè x.
Bµi 12: Cho biĨu thøc


a +1

ab + a

 

a +1

ab + a



+
− 1 : 
−
+ 1
M = 
ab
+
1
ab
−
1
ab
+
1
ab
−
1




Rút gọn M.
a) Tính giá trị của M nếu a=
và b= 3 1
2 3
b)
1+ 3
Tìm giá trị nhỏ nhất cña M nÕu
a+ b =4
c)

13


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

14