ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ I Môn: Toán 9 ĐỀ 2

Giaovienvietnam.com
ĐỀ THI HỌC KÌ 1 MƠN TỐN LỚP 9
NĂM HỌC: 2019 – 2020
ĐỀ 11
Thời gian làm bài: 90 phút.
Họ và tên:……………………………….

Bài 1. (2 điểm) Cho A =

Ngày tháng 12 năm 2019

15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−
với x ≥ 0 , x ≠ 1.
x + 2 x − 3 1− x
x +3

a) Rút gọn A.
b) Tìm GTLN của A.
c) Tìm x để A =
d) CMR: A ≤

1
2

2
3

Bài 2. (1,5 điểm) Cho đường thẳng y = – 3 x + 3 m (d)

(Với m là tham số, m > 0)

a) Tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng (d) theo m.
b) Tìm các giá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng (d)

bằng 3.
Bài 3. (2 điểm) Cho hai đường thẳng (d1): y = x + m và (d2): y = 1 – 2x

(m ≥ 0)

Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của (d1) với (d2), (d1) với trục hoành Ox và (d2) với trục
hoành Ox.
a) Tìm toạ độ của các điểm A, B, C.
b) Tìm các giá trị của tham số m để tam giác ABC có diện tích bằng 2009.
c) Tìm các giá trị của tham số m để diện tích của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường trịn tâm O bán kính 3cm. Từ một điểm A cách O là 5cm
vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm).
a) Chứng minh AO vng góc với BC;
b) Kẻ đường kính BD. Chứng minh rằng DC song song với OA;
c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
d) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với BD, đường thẳng này cắt tia DC tại E.
Đường thẳng AE và OC cắt nhau ở I; đường thẳng OE và AC cắt nhau ở G.
Chứng minh IG là trung trực của đoạn thẳng OA.


Giaovienvietnam.com
Bài 5. (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của A =

x
y

+

y
x

− x−

y với x, y > 0

ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC KÌ I ĐỀ 11 TỐN 9
15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−
Bài 1. (2 điểm) Cho A =
với x ≥ 0 , x ≠ 1.
x + 2 x − 3 1− x
x +3
− 5x + 7 x − 2
( x − 1)(2 − 5 x )
2−5 x
=
a) A =
=
( x − 1)( x + 3) ( x − 1)( x + 3)
x +3
− 5 x − 15 + 17
2−5 x
= −5 +
=

x +3
x +3
2
Vậy GTLN A = khi x = 0
3

b) A =

c) x =

17
x +3

≤ −5 +

17 2
=
3 3

1
121

d) Xét hiệu:

−17 x
2
2−5 x
≤ 0 ⇒ đpcm
– =
3

3( x + 3)
x +3

Bài 2. (1,5 điểm)
a) Kẻ OH ⊥ (d) (với H ∈ (d)).
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) với
các trục toạ độ Oy và Ox.
Ta có: Tam giác vng AOB có OA = 3 m và OB = m
Áp dụng định lí Pi ta go cho tam giác vuông AOB ta được:
AB2 = OA2 + OB2 = ( 3 m)2 + m2 = 4m2
⇒ AB = 4m 2 = 2m (Vì m > 0)
Mặt khác: Áp dụng hệ thức về đường cao và 3 cạnh của
tam giác vng ta có:
b.c
OA.OB
3m.m
3
a.h = b.c ⇒ h =
hay OH =
=
=
m
a
AB
2m
2
b) Để khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng (d) bằng 3 thì OH = 3
⇔

3

m=3 ⇔
2

3m = 6 ⇔ m =

6
=2 3
3

Vậy với m = 2 3 thì khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng (d) bằng 3.
1
2

Bài 3. (2 điểm) Dể thấy B( ; 0) và C(-m; 0)
Giả sử A(x0; y0)
Thay x = x0 và y = y0 vào (d1) ta được: y0 = x0 + m (1)
Thay x = x0 và y = y0 vào (d3) ta được: y0 = 1 – 2x0 (2)
Từ (1) và (2) ta được: x0 + m = 1 – 2x0
⇔ 3x0 = 1– m ⇔ x0 =

1− m
3


Thay x0 =

Giaovienvietnam.com

1− m
1 + 2m

vào (2) ta được y0 =
3
3

1 − m 1 + 2m
;
)
3
3
2
1
1
1 1 + 2m
1
1 + 2m )
b) Ta có: S∆ABC = y0.(m + ) = .
..(m + ) = (
2
2
2
3
2
12
2
1 + 2m )
Để S∆ABC = 2009 thì (
= 2009 ⇔ (1 + 2m)2 = 24108
12

14 41 − 1

m =
1 + 2m = 14 41
(TMDK )
2
⇔ (1 + 2m)2 = (14 41 )2 ⇔ 
⇔ 

−14 41 − 1 ( Loai )
1 + 2m = −14 41
m =

2
14 41 − 1
Vậy với m =
thì tam giác ABC có diện tích bằng 2009
2
1
c) Vì m ≥ 0 ⇒ 1 + 2m ≥ 1 ⇒ (1 + 2m)2 ≥ 1 ⇒ S∆ABC ≥
. Dấu “=” xảy ra khi m = 0
12
1
Vậy với m = 0 thì S∆ABC đạt giá trị nhỏ nhất. Và giá trị nhỏ nhất đó là .
12
⇒ A(

Bài 4. (3,5 điểm) Vẽ hình đúng ý a)
a) Ta có OB = OC = R = 2(cm)
AB = AC (Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒ AO là đường trung trực của BC hay OA ⊥ BC
1

BD (= R)
2
⇒ Tam giác BDC vuông tại C ⇒ DC ⊥ BC tại C

b) Xét ∆BDC có OB = OD = OD =

Vậy DC // OA (Vì cùng vng góc với BC)
c) Xét ∆ABO vng có BO ⊥ AB (tính chất tiếp tuyến)
⇒ AB = OA2 − OB 2 = 52 − 32 = 4cm
Gọi H là giao điểm của AO và BC. Vì A là trung trực của BC nên HB = HC =

BC
2

Tam giác ABO vuông tại B có đường cao BH ⇒ HB.OA = OB.AB (Hệ thức lượng)
Tính được HB = 2,4cm; BC = 4,8cm. Lại có AB2 = OA.AH ⇒ AH = 3,2cm
Vậy chu vi tam giác ABC là AB + AC + BC = 4 + 4 + 4,8 = 12,8 (cm)
Diện tích tam giác ABC là:

BC.OA 3, 2.4,8
=
= 7, 68(cm 2 )
2
2

d) Chứng minh được hai tam giác ABO và tam giác EOD bằng nhau (g.c.g) ⇒ AB = EO
Chứng minh được Tứ giác ABOE là hình chữ nhật ⇒ OE ⊥ AI
Chứng minh được tam giác AOI cân ở I
Sử dụng tính chất 3 đường cao của tam giác chỉ ra được IG là đường cao đồng thời là
trung trực của đoạn thẳng OA.

Bài 5. (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của A =

x
y

+

y
x

− x−

y với x, y > 0


Giaovienvietnam.com
Ta có: A =
A=

x
y

+

y
x

− x− y =

( x − y ).( x − y )

xy

=

x x+y y−x y−y x
xy

( x − y ) 2 .( x + y )
xy

≥0

=

x( x − y ) − y ( x − y )
xy

∀x, y > 0

⇒ Amin = 0 ⇔ x − y = 0 ⇔ x = y. Vậy: Amin = 0 ⇔ x = y > 0.