chuyen de casio

A. đặt vấn đề
Máy tính điện tử là một trong những công cụ tích cực trong việc dạy và học toán.
Nhờ có máy tính điện tử mà nhiều vấn đề đợc coi là khó trong dạy học toán ( ví dụ giải
phơng trình bậc hai, phơng trình ba, phơng trình vô tỷ, chuổi số, các định lý số học...) ta
có thể giảng dạy cho học sinh THCS một cách dễ dàng. Các quy trình thao tác trên máy
tính điện tử bỏ túi có thể coi là bớc tập dợt ban đầu để học sinh dần dần làm quen với thuật
toán và lập trình trên máy tính cá nhân. Bộ Giáo Dục và Đào tạo đà tổ chức cho THCS và
THPH các kỳ thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính casio. Phòng Giáo Dục và đào tạo
Cẩm xuyên đà tổ chức các kỳ thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính casio cấp huyện
và tham gia kỳ thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính casio cấp Tĩnh song kết quả còn
khiêm tốn so với các huyện mạnh nh Can Lộc,Hồng lĩnh, TP Hà Tĩnh... Một số bài dự thi
của học sinh kết quả còn thấp, hoặc bài làm thiếu tính chính xác, cách trình bày sời sạc,
ngẫu hứng, các thuật toán trên máy tính cha đợc vận dụng vào bài làm...
Với lý do đó và niềm đam mê toán học trên máy tính và thực trạng qua nhiều năm
giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi, tôi mạnh dạn biên soạn tập tài liệu bồi dỡng HSG giải
toán trên máy tính Casio này lu hành nội bộ. Mục đích của tài liệu ngoài hớng dẫn chi tiết
các thao tác tính toán, Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay mà còn trình bày
ý nghĩa toán học của các bài toán.Vì vậy nhiều kiến thức toán học ngoài chơng trình vẫn
đợc đa vào.Việc trình bày các kiến thức toán học, tính chính xác kết quả trong từng phép
tính đợc đặc biệt chú trọng. Bởi đó là điều cơ bản và cốt lỏi của việc sữ dụng máy tính.
Ngời viêt xin đợc trao đổi cùng bạn đọc qua đề tài: giải toán trên máy tính casio
Đề tài gồm ba phần:
Phần I: Hớng dẫn sử dụng máy tính casio Fx:500 MS và Fx:570 MS
Phần II: Các dạng bài tập: Giải toán trên máy tính Casio
Phần III: Một số đề thi Giải toán trên máy tính Casio ( hệ THCS )

Trong khi biên soạn mặc dù đà rất cố gắng song không thể tránh khỏi những thiếu sót.
Rất mong nhận đợc sự góp ý chân thành của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm
ơn
Cẩm xuyên, ngày 07/10/2010

TrơngNgọcBôn

B. nội dung
Phần I: Hớng dẫn sử dụng máy tính casio Fx:500 MS và Fx:570 MS

A/.máy tính casio Fx:500 MS
I/ Các phím và cách bấm máy sử dụng chung cho cả máy Fx:500 MS và Fx:570 MS :


1) Các loại phím:
+ Phím trắng: Bấm trực tiếp ( vÝ dơ: √ 5

ta Ên

5 = √5 )

√❑

+ PhÝm vµng: BÊm SHIFT + PhÝm vµng (VÝ Dơ: √4 81 , ta bÊm 4 SHIFT √x ❑ 81 =
√4 81 )
+ PhÝm ®á: BÊm ALPHA + PhÝm ®á (vÝ dơ: A, ta bấm ALPHA A
2) Mở tắt máy:
+ Mở máy: Bấm
+ Tắt máy: Bấm

ON
SHIFT + OFF

+ Xoá màn hình khi làm tÝnh :

AC

- BÊm
- BÊm

SHIFT CLR 2 =

- BÊm

SHIFT CLR 3 =

+ Để kiểm tra lỗi ta dùng các phím
di chuyển.

+ Để sữa lỗi: - Dùng phím

- Bấm phím DEL xoá ký tự đang nhấp nháy
- Bấm phím SHIFT + IN S chèn ký tự đánh sót
II/ .máy tính casio Fx:500 MS:
*) Chế độ Mode: Nhằm ấn định ngay từ đầu loại hình tính toán, loại đơn vị đo,dạng số
biểu diễn kết quả, chữ số có nghĩa,sai số làm tròn...phù hợp với già thiết của bài toán
a) Bấm Mode ( 1 lần)
man hinh
+ Bấm Mode 1



COMP SD REG
1
2 3

Làm các phép tính thờng

+ Bấm Mode 2

Làm thống kê một biến

+ Bấm Mode



Làm thống kê hai biến

b) Bấm Mode Mode( 2 lÇn)

⃗
man − hinh

+ BÊm Mode Mode 1 ⃗
man hinh UNKNO S

EQR
1

( giải phơng trình )

( ẩn )

- Bấm tiếp 2 Giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn
- Bấm tiếp 3 Giải hệ phơng trình bËc nhÊt ba Èn

+ BÊm Mode Mode 1

⊳

⃗
man− hinh Degree (bậc)

- Bấm tiếp 2 Giải phơng trình bậc hai mét Èn


- Bấm tiếp 3 Giải phơng trình bậc ba mét Èn
c) BÊm Mode Mode Mode ( 3 lÇn)

⃗
man − hinh

Deg Ded Gra
1 2 3

+ BÊm Mode Mode Mode 1

→

+ Bấm Mode Mode Mode 2

Chọn đơn vị đo góc là rađian

+ Bấm Mode Mode Mode 1

Chọn đơn vị đo góc là độ

Chọn đơn vị đo góc là grad

d) Bấm Mode Mode Mode Mode ( 4 lÇn)

⃗
man − hinh

Fix Sci Norm
1 2
3

 BÊm Mode Mode Mode Mode 1

→

 BÊm Mode Mode Mode Mode 2

→ Cã chän hiƯn sè d¹ng : a.10 ❑n

 BÊm Mode Mode Mode Mode 3

→

Cã chän sè số lẻ thập phân

Có chọn số dạng thờng

e) Bấm Mode Mode Mode Mode Mode( 5 lÇn)
Disp
BÊm tiÕp 1
1

⃗
man− hinh

⃗
man − hinh

ab/c d /c
1
2

+ BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1 1 kết quả dới dạng hổn số
+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1 2 → kÕt qu¶ díi dạng phân số

+ Bấm Mode Mode Mode Mode Mode 1
Dot Comma
1
2

+ BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1

⊳

⊳

⃗

man − hinh

1

→ Chọ dấu cách phân nguyên và phần thập phân là dÊu (.)

+ BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1

⊳

1

→ Chä dấu cách phân nguyên và phần thập phân là dấu (,)

III/. Cách làm một bài thi Giải toán trên máy tính casio"
*Quy định:
1. Yêu cầu các em dự thi chØ dïng m¸y Casio fx 500 MS, Casio fx 570 MS, Casio
fx 500 ES, Casio fx 570 ES để giải.
2. Nếu không qui định gì thêm thì các kết quả trong các đề thi phảiviết đủ 10 chử số
hiện trên màn hình máy tính.


3. Trình bày bài giải theo các bớc sau :
- Sơ lợc lời giải ( lời giải vắn tắt)
- Thay số vào công thức (nếu có)
- Viết quy trình ấn phím
- Kết quả
*Nhận xét : Qua các đề thi tỉnh, khu vực tổ chức các năm gần đây. Chúng ta có thể nhìn
đề thi Giải toán trên máy tính Casio theo các định hớng sau đây :
1. Bài thi học sinh giỏi" Giải toán trên máy tính Casio " phải là một bài thi Học

sinh giỏi toán có sự trợ giúp của máy tính để thử nghiệm tìm ra các quy luật toán học
hoặc tăng tốc độ tính toán.
2. Đằng sau các bài toán Giải trên máy tính Casio ẩn chứa những định lý, thuật
toán, thậm chí cả một lý thuyÕt to¸n häc ( sè häc, d·y tru håi...)
`
3. Phát huy đợc vai trò tích cực của toán học và máy tính trong giải các bài toán
thực tế

Phần II: Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay
I/. Một số dạng toán xác định số (số học):

1/ . Loại 1. Tính chính xác kết quả phép tính :
.Phơng pháp: Dựa vào các tính chất sau:
a1 a2 a3 a 4 . .. a 7 a 8 = a1 a2 a3 a 4 . 10 ❑4 + a5 a6 a 7 a 8
1) Sè
2) TÝnh chÊt cđa phÐp nh©n: ( A + B)( C + D) = AC + AD +BC +
BD
3) Kết hợp tính trên máy và làm trên giấy.
.Mục tiêu: Chia số lớn thành nhữngsố nhỏmà không tràn màn hình khi thực hiện trên
máy
ví dụ1: tính chính xác kết quả của phép tính sau: A = 12578963 x 14375
b) TÝnh chÝnh x¸c A
c) TÝnh chÝnh x¸c cđa sè: B = 1234567892
d) TÝnh chÝnh x¸c cđa sè: C = 10234563
Giải: a) Nếu tính trên máy sẽ tràn màn hình nên ta làm nh sau:
A = 12578963.14375 = (12578.103 + 963).14375
= 12578.103.14375 + 963.14375
* Tính trên máy: 12578.14375 = 180808750 12578.103.14375 = 180808750000
* Tính trên máy: 963.14375 = 13843125
Tõ ®ã ta cã: A = 180808750000

+
13843125
= 180822593125
VËy A = 12578963 x 14375 = 180822593125
b) B =1234567892=(123450000 + 6789)2 = (1234.104)2 + 2.12345.104.6789 + 67892
TÝnh trªn m¸y:
123452 = 152399025; 2x12345x6789 = 167620410 ; 67892 = 46090521
VËy: B = 152399025.108 + 167620410.104 + 46090521
= 15239902500000000
+
1676204100000
46090521
= 15241578750190521
d) C = 10234563 = (1023000 + 456)3= (1023.103 + 456)3
= 10233.109 + 3.10232.106.456 + 3.1023.103.4562 + 4563
Tính trên máy:
10233
= 1070599167;
3.10232.456 = 1431651672
3.1023.4562 = 638155584;
4563
= 94818816
VËy (tÝnh trªn giÊy): C = 1070599167000000000
1431651672000000
+
638155584000
94818816
= 1072031456922402816

Bài tập áp dụng:

Bài 1 : Tính kết quả đúng cđa c¸c tÝch sau:

a) M = 2222255555 x 2222266666
b) N = 20032003 x 20042004
Đáp số: a) M = 4938444443209829630
b) N = 401481484254012

Bài 2: Tính kết quả đúng của các phép tÝnh sau: a) A = 1,123456789 - 5,02122003
b) B = 4,546879231 + 107,3564177895 ; c) C= 52906279178,48 : 565,432
Bµi 3: TÝnh chÝnh x¸c tỉng: S =1.1! +2.2! +3.3! +4.4! +... + 16.16!
* Híng dÉn: Ta cã n.n! = ( n + 1 – 1).n! =(n + 1).n! – n! = (n+1)! n!
* Đáp số:
S = 355687428095999
Bài 4: a) Tính bằng m¸y tÝnh: Q = 1 + 2 ❑2 + 3 ❑❑ + . . . + 10 ❑2 .
2

b) Cã thể dùng kết quả đó để tính tổng : K = 2 ❑2+. 4 2 +62 +. ..+. 202 mµ không
dùng máy tính .hÃy trình bày lời giải ấy.
Đáp số: a) Q = 385; b) K = 1540
 1012  2


3

Bài 5: Tính chính xác của số A =

Nhận xét:

2

10k 2
3
là số nguyên có (k - 1) chữ số 3, tận cùng là số 4


2

 10 k  2 


 3  lµ sè nguyên gồm k chữ số 1, (k - 1) chữ số 5, chữ số cuối cùng là 6

* Ta dễ dàng CM đợc và tính đợc kết quả là: A = 111111111111555555555556

2/. loại

2: Tìm số d của phép chia của số a cho số b

* Phơng pháp:
1/. Đối với số bị chia tối đa có 10 chữ số:
Thì số d của A: B = A - B.

A
B

[ ]

(trong đó

A
B

[ ]

là phần nguyên của A cho

2/. Khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số:
Khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số ta ngắt ra thành hai nhóm. Nhóm đầu 9 chữ số
đầu( kể từ bê trái). tìm đợc số d nh phần 1). Rồi viết tiếp sau số d còn lại tối đa 9 chữ số
rồi tìm số d lần hai. Nếu còn nữa thì làm liên tiếp nh vậy.
*Định lí: Với hai số nguyên bất kỳ a và b, b 0, luôn tồn tại duy nhất một cặp số
nguyên q và r sao cho: a = bq + r vµ 0  r < |b|
* Từ định lí trên cho ta thuật toán lập quy tr×nh Ên phÝm t×m d trong phÐp chia a cho b:
a SHIFT STO A
b SHIFT STO B
ALPHA A

ALPHA B = (

a
b

[])

Χ

ALPHA B - ALPHA B

Χ

a
b

[]

=(Kqu¶: r =...)
VÝ dơ1: a) ViÕt mét quy tr×nh Ên phÝm t×m sè d khi chia 18901969 cho 3041975 TÝnh sè d
b) T×m sè d trong phép chia: 815 cho 2004
Giải:
a) Quy trình ấn phím: 18901969 SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B
ANPHA
SHIFT

 ANPHA

A
A

-

B

=

(6,213716089)



B =
6
(650119)
VËy sè d là: r = 650119
15
b) Ta phân tích: 8 = 88.87 Ta cã: 88 1732(mod2004)
87  968(mod2004)
 815 1732 x 968 (mod2004) 1232(mod2004)
VËy sè d lµ: r = 1232
Bµi tËp áp dụng:

Bài 1: a) Viết quy trình ấn phím để t×m sè d khi chia 3523127 cho 2047.
b) T×m sè d đó.Tìm thơng và số d trong phép chia: 123456789 cho 23456
Bài 2: Tìm số d trong phép chia: a) 987654321 cho 123456789

Đáp số:

r=9


3/.

loại 3: Tìm UCLN BCNN của a và b:
*Phơng pháp:

1.Với các số a và b nhỏ hơn 10 chữ số thì ta dùng tính chất rút gọn phân số
a a, . m a,
=
=
b b, . m b ,

Trong ®ã (a ❑, ; b ) = 1. Khi ®ã UCLN (a;b) = m

2. Với các số a và b lớn hơn 10 chữ số thì ta dùng thuật toán ƠLE:
Tìm UCLN(a;b) víi a

b ta cã tht to¸n sau :
a=b . q❑ +r 1
b=r 1 .q 2 +r 2
r 1=r 2 q 3 +r 3
1

.
. r n −2=r n− 1 q n +r n
r n −1=r n q n+1 +0

Sè d cuối cùng khác 0 là r n chính là UCLN (a;b) hay : r ❑n = UCLN (a;b)
* Chó ý:
VÝ dơ 1:

BCNN(a;b) =

a .b
UCLN ( a; b)

T×m UCLN cđa hai sè: a = 24614205, b = 10719433
Gi¶i:

*C 1: +) Ta cã:

a a, . m a,
=
=
b b, . m b ,

Trong ®ã (a ❑, ; b ) = 1. Khi ®ã UCLN (a;b) = m

+) Quy trình ấm máy:
24614205 SHIFT STO A
ALPHA A : 10719433 = (1155/503) ALPHA A : 1155 = ( 21311)
Vậy UCLN(a;b) = 21311
*C 2:
+)Theo thuật toán Ơle t×m sè d trong phÐp chia sè a cho b ta đợc:
+) quy trình ấm máyliên tục: (Bạn đọc có thể dể dàng làm đợc và kết quả UCLN(a, b)
= 21311)

3. Xác định số ớc số của một số tự nhiên n
*:Định lí : Cho số tự nhiên n, n > 1, giả sử khi phân tích n ra thừa số nguyên tố ta đợc:
n p1e1 p2e2 ... pkek ,

với k, ei là số tự nhiên và pi là các số nguyên tố thoả mÃn:
1 < p1 < p2 <...< pk


Khi đó số ớc số của n đợc tính theo c«ng thøc:
 (n) = (e1 + 1) (e2 + 1)... (ek + 1)
Ví dụ2:

HÃy tìm số các ớc dơng của số A = 6227020800.
Giải:

Phân tích A ra thừa số nguyên tố, ta đợc:
A = 210.35.52.7.11.13
áp dụng định lí trên ta có số các ớc dơng của A là:
(A) = 11.6.3.2.2.2 = 1584
Vậy số các ớc dơng của số A = 6227020800 là: 1584
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm ớc chung lín nhÊt vµ béi chung nhá nhÊt cđa:
a = 75125232 và b = 175429800
Đáp số: UCLN(a, b) =
; BCNN(a, b) =
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên là íc cña:
N = 1890 x 1930 x 1945 x 1954 x 1969 x 1975 x 2004
Đáp số: 46080

4/.

loại 4: Tìm ch÷ sè x cđa sè n =

an a n-1 . .. xa1 a0 m

với m

N

* Phơng pháp: 1) Dựa vào các dấu hiệu chia hết của 2,3,4,5,6,7,8,9,11...
2) Thay x lần lợt từ 0 đến 9 sao cho n m
Ví dụ 1: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1 x 2 y 3 z 4 chia hết
cho 7
*Sơ lợc lời giải:
- Sè lín nhÊt d¹ng 1 x 2 y 3 z 4 chia hÕt cho 7 sÏ lµ: 19293 z 4 .

Lần lợt thay z = { 9 ; 8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2 ; 1; 0 } ta đợc số lớn nhất d¹ng 1 x 2 y 3 z 4 chia hÕt cho
7 là: 1929354 ,thơng là 275622
- Số nhỏ nhất dạng 1 x 2 y 3 z 4 chia hÕt cho 7 sẽ là: 10203 z 4 .
Lần lợt thay z = { 9 ; 8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2 ; 1; 0 } ta đợc số nhỏ nhất dạng 1 x 2 y 3 z 4 chia hÕt cho
7 lµ: 1020334 , thơng là 145762

Ví dụ 2: Tìm tất cả các số n d¹ng:

N 1235679 x 4 y chia hÕt cho 24.


*Sơ lợc lời giải:
Vì N 24 N 3 ; N  8  (37 + x + y)  3 ; x4 y  8.
 y chØ cã thĨ lµ 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.
Dùng máy tính, thử các giá trị x thoả m·n: (x + y + 1)  3 vµ x4 y  8, ta cã:
N1 = 1235679048 ; N2 = 1235679840
Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng: 1x 2 y3z 4 chia hÕt cho 13.
Sè 2: T×m sè lín nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên cã d¹ng 1 x 2 y 3 z 4 chia hết cho
25
Số 3: Tìm chữ số a biết rằng 46928381 a 6506 chia hết cho 2009
Số 4: Tìm chữ số x biÕt r»ng 469 x 838196506 chia hÕt cho 2009

* loại 4: Tìm chữ số tận cùng của số n =

an a n-1 . .. xa1 a0

với n

N

. Phơng pháp: (Vận dụng các tính chất sau)
1) Những số có chữ số tận cùng là: 0;1;5;6 khi nâng lên bất kỳ luỹ thừa nào cũng có chữ
số tận cùng là: 0;1;5;6
2) Những số cố chữ số tận cùng là: 2;4;6 khi nâng luỹ thừa bậc 4 dều có chữ số tận
cùng là: 6
3) Những số cố chữ số tận cùng là: 3;7;9 khi nâng luỹ thừa bậc 4 dều có chữ số tận
cùng là: 1
4) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (và chỉ những số
ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (có đuôi bất biến).
5) Một tÝch cã mét thõa sè cã ch÷ sè tËn cïng là 0 thì tích đó có chữ số tận cùng là: 0
6) Một tích có một thừa số có chữ số tận cùng là 5 và nhân với số lẻ thì tích đó có chữ
số tận cùng là: 5
7) Số chính phơng chỉ chứa các số tận cùng là: 0;1;4;5;6;9
8) Tìm 2 chữ số tận của một số cùng thì ta tìm số d khi chia số đó cho 10 (hoặc bội của
10 bé hơn 100)
9) Tìm 3 chữ số tËn cđa mét sè cïng th× ta t×m sè d khi chia số đó cho 100 (hoặc bội của
100 bé hơn 1000)
10)
Thử trên máy lần lợt các số thoả mÃn điều kiện bài toán thì ta chọn
10 Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (và chỉ những số
ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (có đuôi bất biến).
12) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (và chỉ những
số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (có đuôi bất biến).
13) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (và chỉ những
số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (có đuôi bÊt biÕn).


9

14

Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của số: a) 9 9 và b) 14 14
*Sơ lợc lời giải::
a) Ta thấy 9 9 là số lẻ nên 9 9 = 2.k + 1 ⇒ 9 ❑9 = 9 ❑2. k+1 nên tận cùng là số
9
b) ta thấy 14 14 chẳn nên 14 14 =2.k 14 14 =14 2. k =196 k nên chữ số
tận cùng là số: 6
9

14

Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận cùng của số: 14 14

14

*Sơ lợc lời giải:
Ta có: 7 4 - 1 = 2400 ⇒ 7 ❑4 .k - 1  100 ⇒ 7 ❑14 - 1  100 ⇒ 7 ❑14 có 2
chữ số là : 01
Mặt khác : 14 14 = 2 ❑14 .7 ❑14
Nhng: 2 ❑14 : 20 d 4 (v× : 2 ❑12 - 1 = { (2 ❑4 ) ❑3 - 1 } : (2 ❑4 - 1) =15; ⇒ 4.
(2 ❑12 - 1 ): 20 )
Vµ : 7 ❑14 : 20 d 9 ( v× :7 ❑4 .k - 1 : 100 ⇒ 7 ❑12 -1 : 100 ⇒ 7 ❑12 : 20 d 1 ⇒
7 ❑14 : 20 d 9 )
VËy : 14 ❑14 : 20 d 4.9 = 36 ⇒ 14 ❑14 : 20 d 10 ⇒ 14 ❑14 cã 2 ch÷ sè tËn cùng
là:16
14

14

Ví dụ 3: Tìm Các số x ; y sao cho xxxxx : yyyy có thơng là 16 d r.
Còn xxxx : yyy có thơng là 16 d r -2000
*Sơ lợc lời giải:
Theo bài ra ta có: xxxxx = 16. yyyy + r
( 1)
xxxx = 16 . yyy + r - 2000
(2)
LÊy ( 1 ) trõ ( 2 ) ta ®ỵc :

= 16. y 000 + 2000
⇔ 10.x = 16.y + 2
⇔

x 0000

5.x = 8.y + 1 ⇒ y = 5 x −1 ( v× x; y
8

Z; 0

x;y

9)

⇒

x = 5: y = 3
Ví dụ 4: Tìm các số khi bình phơng sẽ có tận cùng là ba chữ số 4. Có hay không các số khi
bình phơng có tận cùng là bốn chữ số 4 ?

*Sơ lợc lời giải:
Chữ số cuối cùng của x2 là 4 thì chữ số cuối cùng của x là 2 hoặc 8. Tính trên máy bình phơng của số:

2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92,
8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98

ta chỉ có các số:12, 62, 38, 88.
khi bình phơng lên có tận cùng là hai chữ số 4. Tính trên máy bình phơng của các số:
12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912;
62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962;
38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938


88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988
ta đợc: 462, 962, 38, 538 khi bình phơng có tận cùng là 444.
* Tơng tự cách làm trên, ta có kết luận: không có số N nào để N 2 kết thúc bởi bốn chữ
số tận cùng là : 4444.
Bài tập áp dụng:

Bài 5: Tìm tất cả các số có 6 chữ số thoà mÃn:
1) Số tạo thành bởi ba chữ số cuối lớn hơn số tạo thành bởi ba chữ số đầu 1 đơn vị
2) Là số chính phơng.
Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên x thoả m·n: 10000 < x < 15000 vµ khi chia x cho 393
cũng nh 655 đều có số d là 210.
Bài 7: Tìm các chữ số x, y, z để 579xyz chia hết cho 5, 7 và 9.
Bài 8: Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất có tính chất sau:
1) Viết dới dạng thập phân a có tận cùng là số 6.
2) Nếu bỏ chữ số 6 cuối cùng và đặt chữ số 6 lên trớc các chữ số còn lại sẽ đợc một số
gấp 4 lần chữ số ban đầu.
Bài 9: Tìm số tự nhiên n sao cho:

a) 2n + 7 chia hÕt cho n + 1
b) n + 2 chia hết cho 7 - n
Bài 10: Tìm số tự nhiên n nhá nhÊt sao cho n3 lµ mét sè cã 3 chữ số đầu và 4 chữ số cuối
đều là số 1.
Bài 11: a) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất mà n2 bắt đầu bởi số 19 và kết thúc bằng số 89
b) Tìm số tự nhiên n sao cho: n 2 = 2525xxxxxx89 (trong đó xxxxxx là 6 số có thể
khác nhau).
Bài 12: Với giá trị tự nhiên nào của n thì:
1,01n - 1 < (n - 1) và 1,01n > n.
Bài 13:
( x1 x2 )

Tìm tất cả các số tự nhiên: x 1 ; x 2 ; ... ; x ❑8 Sao cho

x 1 x 2 . .. x 8

4



Đáp số Hớng dẫn lời giải:
Bài 1: Đáp số: - Số lớn nhất là 129304; - Số nhỏ nhất là 1020344
Số 2: Đáp số: - Số lớn nhÊt lµ 2939475; - Sè nhá nhÊt lµ: 1030425
Sè 3: Đáp số: a =
Số 4: Đáp số: x =
Bài 5: *Sơ lợc lời giải:: Gọi số cần tìm là: n a1a2 a3a4 a5a6 .
- Đặt x a1a2 a3 . Khi Êy a4 a5a6 x  1 vµ n = 1000x + x + 1 = 1001x + 1 = y2

=

hay (y - 1)(y + 1) = 7.11.13x.
VËy hai trong ba số nguyên tố 7, 11, 13 phải là ớc của một trong hai thừa số của vế
trái và số còn lại phải là ớc của thừa số còn lại của vế trái.
Dùng máy tính, xét các khả năng đi ®Õn ®¸p sè:
n = 183184 ; 328329 ; 528529 ; 715716.
Bài 6: *Sơ lợc lời giải:
Từ giả thiết, ta có: x = 393.q1 + 210  x -210 chia hÕt cho 393
x = 655.q2 + 210  x -210 chia hÕt cho 655
 x -210 chia hÕt cho BCNN (393 ; 655) = 1965
 x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2,...) hay x = 1965k + 210
- Tõ gi¶ thiÕt 10000 < x < 15000  10000 < 1965k + 210 < 15000
hay 9790 < 1965k < 14790 5 k < 8.
Tính trên máy:
Với k = 5, ta cã: x = 1965.5 + 210 = 10035
Víi k = 6, ta cã: x = 1965.6 + 210 = 12000
Víi k = 7, ta cã: x = 1965.7 + 210 = 13965
Vậy các số phải tìm là: 10035, 12000, 13965
Bài 7:
*Sơ lợc lời giải: Vì các số 5, 7, 9 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta phải tìm các chữ số
x, y, z sao cho 579xyz chia hÕt cho 5.7.9 = 315.
Ta cã 579xyz = 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz
 30 + xyz chia hÕt cho 315. V× 30  30 + xyz < 1029 nên (Dùng máy tính tìm các
bội của 315 trong kho¶ng (30 ; 1029):
- NÕu 30 + xyz = 315 th× xyz = 315 - 30 = 285
- NÕu 30 + xyz = 630 th× xyz = 630 - 30 = 600
- NÕu 30 + xyz = 945 th× xyz = 945 - 30 = 915
VËy ta cã đáp số sau:

x

2
6
9

y
8
0
1

Bài 8: *Sơ lợc lời giải:
- Giả sử số cần tìm có n + 1 chữ số.

z
5
0
5


- Từ điều kiện 1) số đó dạng: a1a2 ...an 6
- Tõ ®iỊu kiƯn 2), ta cã: 6a1a2 ...an = 4. a1a2 ...an 6

(*)

- Đặt a a1a2 ...an , thì: a1a2 ...an 6 = 10a + 6
6a1a2 ...an

= 6.10n + a

- Khi đó (*) trở thành:
6.10n + a = 4.(10a + 6) 2.(10n - 4) = 13a (**)

Đẳng thức (**) chứng tỏ vế trái chia hết cho 13.
Vì (2 ; 13) = 1 nªn: 10n - 4 chia hÕt cho 13.
Bài toán quy về: Tìm số tự nhiên n nhá nhÊt ®Ĩ (10n - 4) chia hÕt cho 13, khi đó tìm ra
số a và số cần tìm có dạng: 10a + 6.
Thử lần lợt trên máy các giá trị n = 1; 2;... thì (10n - 4) lần lợt là:
6, 96, 996, 9996, 99996,... và số đầu tiên chia hết cho 13 là: 99996.
Khi đó a = 15384 Số cần tìm là: 153846.
Bài 9: *Sơ lợc lời giải::
a) Lập công thức (2n + 7) : (n + 1) trên máy và thử lần lợt n = 0, 1, 2,...
và n = 4 thì 2n + 7 chia hết cho n + 1.

ta đợc n = 0

Chứng minh víi mäi n  5, ta ®Ịu cã 2n + 7 kh«ng chia hÕt cho n + 1, thËt vËy:
(2n + 7)  (n + 1)  [(2n + 7) - 2(n + 1)]  (n + 1)  5  (n + 1)  n  5.
VËy sè n cần tìm là 0 hoặc 4.
b) Tơng tự ta có: n = 4 hoặc n = 6.
Bài 10: *Sơ lợc lời giải::
Nhận xét: 1) Để n3 có tận cùng là 11 thì n có tận cùng là số 1. Thử trên máy các số:11, 21,
31,...81, 91 đợc duy nhất số 71 khi luü thõa bËc ba cã tËn cïng lµ 11.
2) Để n3 có tận cùng là 111 thì n có phải tận cùng là số 471.
(Thử trên máy với các số: 171, 271, 371,...871, 971 )
3) Để n3 có tận cùng là 1111 thì n phải có tận cùng là số 8471.
(Thử trên máy với các số: 1471, 2471, 3471,...8471, 9471 )
- Giả sử m là số chữ số đứng giữa các số 111 và 1111:
+ Nếu m = 3k, k Z+, th×:
111 x 103k+4 < n3 = 111...1111 < 112 x 103k+4
(

111000...00

 111 ...

 1111  112 000...00

   0000
   0000
3k

4

m 3k

3k

4

)




3

1110.10 k 1  3 n 3  3 111...1111 3 1120.10 k 1

Tính trên máy:
10,35398805 x 10k+1 < n < 10,3849882 x 10k+1
Do ®ã, víi k  1. Cho k = 1 ta đợc n bắt đầu bằng sè 103, nghÜa lµ:
n = 103...8471
 Sè nhá nhÊt trong các số đó là: n = 1038471

+ Nếu m = 3k + 1 vµ m = 3k + 2, ta đợc các số này đều vợt quá số 1038471
Kết luận: Số nhỏ nhất thoà mÃn yêu cầu bài toán là: n = 1038471 khi đó:
(tính kết hợp trên máy và trên giấy): n3 = 1119909991289361111
Bài 11: *Sơ lợc lời giải::
a) Trớc hết ta tìm số n2 có tận cùng là 89:
- Vì n2 có tận cùng là 9 nên n chỉ có thể có tận cùng là 3 hoặc 7.
- Thử trên máy các số: 13, 23,..., 93 ; 17, 27,..., 97 ta tìm đợc:
để n2 có tận cùng là 89 thì n phải có 2 số tận cùng là một trong các số sau:
17, 33, 67, 83 (*)
* Bây giờ ta tìm số n2 bắt đầu bởi số 19:
- Để n2 bắt đầu bởi số 19 thì nó phải cã d¹ng:
k
k
19 x 10k  n2 < 20 x 10k  19.10 n  20.10
+ NÕu k = 2m th× ta cã (1), trë thµnh:

(1)

19.10 m n  20.10 m

 4,3588989.10m  n < 4,472135955.10m (2)
Trong (2) ta cho m = 0, 1, 2,... (tính trên máy):
ta đợc n có thĨ lµ: 44, 436, 437, 438, 439, ... , 447
+ Nếu k = 2m thì ta có (1), trở thành:
190.10m n  200.10m

 13,78404875.10m  n < 14,14213562.10m (3)
Trong (3) ta cho m = 0, 1, 2,... (tính trên máy):
ta đợc n có thể là: 14, 138, 139, ... , 141
1379, 1380, 1381, ... , 1414

Tóm lại để n bắt đầu bởi số 19 thì n có thể là:
14, 44, 138, 139, ..., 141, 436, 437, ... , 447, 1379, 1380, ... , 1414 (**)
Tõ (*) vµ (**) ta nhËn thấy trong các số trên chỉ có số 1383 thoả mÃn bài toán.
b) Ta có:
2525 x 108 x2 < 2526 x 108
 50,24937811 x 104  x < 50,25932749 x 104


VËy : 502493 < x < 502593
Sè x tËn cïng phải là: 17, 33, 67, 83 (theo câu a), do đó các số thoả mÃn là:
502517, 502533, 502567, 502583.
Bài 12:*Sơ lợc lời giải:
Ta có:
1,01512 163,133... < 512
1,011024 26612,56.. > 1024
Vậy: 512 < n < 1024
Thu hẹp khoảng cách chứa n bằng phơng pháp chia đôi:
5211024
2

768

1, 01 2083, 603... 768
- Chia đôi đoạn [512 ; 1024], ta có: 1, 01
VËy l¹i cã: 512 < n < 768
Sau mét số bớc chia đôi nh thế đi đến: 650 < n < 652
Cuèi cïng ta cã:
1,01651 = 650,45... < 651
1,01652 = 656,95.. > 652

n = 652
* Quy trình trên MT Casio fx: 500 MS
(Tht to¸n: XÐt hiƯu 1,01A - A , gán cho A các giá trị tự nhiên: 0, 1, 2,...
dừng lại khi hiệu trên chuyển từ (-) sang (+))
- Gán cho ô nhớ A giá trị tự nhiên đầu tiên:
0 SHIFT STO A
- Lập công thức tính hiệu 1,01A - A và gán giá trị ô nhớ bởi số tự nhiên kế tiếp:
1,01



ANPHA

A

:

ANPHA

A

-

ANPHA

ANPHA

=

A

ANPHA

A

+ 1

- Lặp lại công thức trên:
= ... =
Bài toán kết thúc khi chuyển từ n = 651 sang n = 652.

Bài 13:*Sơ lợc lời giải:
Ta có: 10.000.000


x6 x8

57

Ta ghi lên mà hình
Dùng phím





x 1 x 2 . .. x 8

= ( x1 x2 )

❑4

99999999

99

( 57 )4 =10556001

không thoả mÃn ở vị trí x 6 ; x 8

để sửa và thử các số từ 57; 58; ...;98; 99. ta đợc 3 số : 65; 86; 91

VËy ta cã 3 bé sè x ❑1 ; x ❑2 ; ... ; x ❑8
54700816 ; 91 ❑4 = 68574961

lµ : 65 ❑4 = 17850625 ; 86 ❑4 =


II. ®a thøc:

* KiÕn thøc bỉ rung:
1) Cho ®a thøc P (x) bËc n: P (x) = an . xn + an-1 . xn-1 + ... + a1. x +a0 (*)
Trong ®ã: an ; an-1 ; ...a1; a0  /R ; an  0
Khi đã: an; an-1; an-2; an-3;... ; a1; a0 gi các h s
N u x0 mà P(x0) = 0 thì x0 là nghim ca P(x)
2) Khi chia ®a thøc P (x) cho (x -  ) lu«n tồn tại một đa thức thơng Q(x) và số d r.
Hay ta lu«n cã: P(x) = Q(x). (x -  ) + r
* Chú ý: (Định lý Bezout)
1) N u x =  lµ nghiệm của P(x)  P(x)  (x - )
2) Nu x0 là nghim nguyên ca P(x) thì x0 c ca a0
3) N u tng các hệ số bằng 0 th× P(x) = 0 cã nghiệm lµ x = 1 ( Hay P(x) ( x - 1) )

4) Nếu tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì P(x) = 0 cã
nghiƯm lµ x = -1 (Hay P(x) ( x + 1) )
* Sơ đồ Horner: (đối với đa thức một biÕn)
Khi chia ®a thøc P(x) cho ( x -  ) thơng là: bn. xn-1 + bn-1. xn-2 + ... + b2 . x + b1vµ cã sè d lµ:
r . Khi đó ta có sơ đồ nh sau:



an
an-1
an-2
an-3
......
a1
bn
bn-1
bn-2
bn-3
.......
b1
Trong ó: bn = an
bn-1 =  . bn + an-1
bn-2 =  . bn-1 + an-2
..........................
b1 =  . bn-1 + a1
b0 =  . b1 + a0.
Khi đã: 1). P (  ) = b0
2). Nếu P (  ) = 0 th× P(x)  (x -  )
3). Nếu P (x)  0 th× P (x) : (x -  ) cã sè dư lµ: r = P (  )
Vµ cã thương lµ: bn. xn-1 + bn-1. xn-2 + ...

1/.Loại 1: Tính giá trị của đa P(x,y,) khi x = x0, y = y0;

a0
r = b0

+ b2 . x + b1

*Phơng pháp:
1). Tính trực tiếp (Thay trực tiếp các giá trị của x, y vào biểu thức rồi tính kết quả.
2). Sử dụng sơ đồ Horner ( chỉ sử dụng khi bài toán yêu cầu tìm thơng và giá trị của đa thức
tại x = ( r = P( ) = b0 )
*Trên máy tính:

1). - Gán giá trị x0 vào biến nhớ M. - Rồi thực hiện quy trình
2). -Tính nhờ vào biến nhớ Ans

5
4
2
Ví dô 1: TÝnh A = 3 x − 23 x +2 3 x − x +1 khi x = 1,8165

Gi¶i:

4 x − x + 3 x +5


*Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans
Bấm phím: 1 . 8165 
( 3 Ans ^ 5  2 Ans ^ 4  3 Ans x 2  Ans  1 )  ( 4 Ans ^ 3  Ans x 2  3 Ans  5 ) 

KÕt qña: 1.498465582
*Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X
Bấm phím: 1 . 8165 SHIFT STO X

( 3 ALPHA X ^ 5  2 ALPHA X ^ 4  3 ALPHA X x 2  ALPHA X  1 )  ( 4 ALPHA X ^ 3  ALPHA

KÕt qđa: 1.498465582
* Chó ý: Trong c¸c kú thi HSG thêng vÉn hay cã dạng toán này. Đặc biệt các cuộc thi cấp
huyện. Khản năng tính toán dẫn đến sai số thờng không nhiều. Nhng biểu thức quá phức tạp
nên tìm cách chia nhỏ bài toán. Tránh tình trạng phép tính vợt quá giới hạn nhớ của máy
tính. Sẽ dẫn đến kết quả sai ( Kết quả đà quy tròn trên máy tính trong quá trình thực hiện, có
trờng hợp kết quả sai hẳn). Do vậy không có điểm trong trờng hợp này.
Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
4
3
2
a. A(x) = x  5x  3x  x  1 khi x = 1,23456
5
4
3
2
b. P(x) 17x  5x  8x  13x  11x  357 khi x = 2,18567

2/.Lo¹i 2: Tìm d trong phép chia đa thức P(x) cho nhi thức ax + b
*Phơng pháp: Khi chia đa thức P (x) cho (ax + b) luôn tồn tại một đa thức thơng Q(x) và
số d r. Hay ta luôn có: P(x) = Q(x). (ax + b) + r


b
P(- a ) = r

b
VËy sè d trong phÐp chia P (x) cho (ax + b) lµ r = P(- a )
x14  x 9  x 5  x 4  x 2  x  723
x  1,624
VÝ dơ 1: T×m số d trong phép chia: P=

Đặt

Giải:
14
9
5
4
2
Q(x) = x x  x  x  x  x  723

x14  x 9  x 5  x 4  x 2  x  723
x  1,624
Khi ®ã sè d trong phép chia: P=
là Q(1,624)

*Qui trình bấm máy (fx-500MS vµ fx-570 MS)
1 . 624 SHIFT STO X

ALPHA X ^ 14  ALPHA X ^ 9  ALPHA X ^ 5  ALPHA X ^ 4  ALPHA X ^ 2 ALPHA X 72

Kết quả: r = 85,92136979
Bài tập áp dụng:

Bài 1:
Bài 2:

x 5 6,723x3 1,857x2  6,458x  4,319
x  2,318
T×m sè d trong phÐp chia
P x  x 4  5x 4  4x 2  3x  50

Cho

.


a) Tìm phần d r1, r2 khi chia P(x) cho x 2 và x-3.
b) Tìm BCNN(r1,r2)?

3/.Loại 3: xác định tham sè m ®Ĩ ®a thøc P(x)+m chia hÕt cho nhi thức
a.x+ b
*Phơng pháp: Khi chia đa thức P (x) + m cho (ax + b) luôn tồn tại một đa thức thơng
Q(x) và số d r. Hay ta luôn cã: P(x) = Q(x). (ax + b) +m + r
§Ĩ P (x) + m chia hÕt cho (ax + b) th×: m +r = 0  m =- r
b
 m =- P(- a )

Ví dụ 1: Tìm a để đa thøc A(x) = x  7x  2x  13x a chia hết cho x+6.
Giải: *Sơ lợc lời giải:
4

3
2
Đặt P(x) = x  7x  2x  13x
Khi ®ã ta cã: A(x) = P(x) + a
Mµ d khi chia P(x) cho x+6 là: r = P(-6)
Vậy để A(x) x+6 th× r + a = 0  a = - r = - P(-6)
*Qui trình bấm máy fx-500MS
4

( )

3

2

6 SHIFT STO X

( ) ( ALPHA X ^  ALPHA X x 3  ALPHA X x 2 
) 
4 7
2
13 ALPHA X

KÕt qu¶: a = -222
VÝ dơ 2: Cho P(x) = 3x + 17x 625. Tìm m để P(x) + m chia hÕt cho x + 3 ?
Gi¶i: *Sơ lợc lời giải:
Ta có: d khi chia P(x) cho x + 3 là: r = P(-3) để P(x) + m2 chia hÕt cho x + 3
3

2

3
 3   3 3  17   3  625
  3   3  17   3   625


 => m = 
Th×: m =- P(-3) = -

2

*Qui trình bấm máy fx-500MS:

( ) ( 3 ( (  ) 3 ) x3  17 ( (  ) 3 )  625 ) 

KÕt qu¶: m = 27,51363298

4/. Loại 4: Tìm thơng và số d khi chia đa thức cho đơn thức:
*Phơng pháp: Sử dụng sơ ®å Horner
an
an-1
an-2
an-3
...... a1 a0

bn
bn-1
bn-2
bn-3
....... b1 r = b0

Trong đã: bn = an
bn-1 =  . bn + an-1
bn-2 =  . bn-1 + an-2
..........................
b1 =  . bn-1 + a1
b0 =  . b1 + a0.
Khi đã: 1). P (  ) = b0
2). Nếu P (  ) = 0 th× P(x)  (x -  )


3). Nếu P (x)  0 th× P (x) : (x -  ) cã sè dư lµ: r = P (  )
Vµ cã thương lµ: bn. xn-1 + bn-1. xn-2 + ...
+ b 2 . x + b1
Chøng minh:
Ta xÐt ®a thø bËc ba: P(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 chia cho x - 
Ta cã: a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = (b3x2 + b2x + b1)(x-  ) + r
= b3x3 + (b2-b3  )x2 + (b1-b2  )x + (r - b1 )
Từ đó ta có công thứ truy hồi Horner:
b 3 = a3
b2= b3  + a2
b1= b2  + a1
b0 = r = b1  + a3.
VÝ dô 1: Tìm thơng và số d trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x + 5.
Gi¶i
Ta cã:  = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = 1.
*Qui trình bấm máy fx-500MS:
( ) 5 SHIFT STO M
1  ALPHA M  0  (-5)
 ALPHA M  2 (23)
 ALPHA M  ( ) 3 (-118)

 ALPHA M  0 (590)
 ALPHA M  0 (-2950)
 ALPHA M  1 (14751)
 ALPHA M  ( ) 1 (-73756)

VËy: x7-2x5-3x4+x -1 = (x + 5)(x6 -5x5 + 23x4 -118x3 + 590x2-2590x + 14751) - 73756.

5/. Loại 5: Phân tích đa thức theo bậc của một đơn thức
*Phơng pháp: Sử dụng sơ đồ Horner cho n lần
áp dụng n-1 lần sử dụng sơ đồ Horner ta phân tích đợc đa thức P(x) bậc n theo x-  :
P(x)=r0+r1(x-  )+r2(x-  )2+…+rn(x-  )n.
VÝ dô 1: Ph©n tÝch P(x) = x4 – 3x3 + x – 2 theo bËc cđa x – 3.
Gi¶i:
Thùc hiƯn phÐp chia P(x)=q1(x)(x- )+r0 theo theo sơ đồ Horner ta đợc
tục tìm các qk(x) và rk-1 ta đợc bảng sau:
1 -3 0 1 -2 x4-3x2+x-2
VËy x4 – 3x3 + x
3 1 0 0 1 1 q1(x)=x3+1, r0 = 1
+ 27(x-3)2 + 9(x3 1 3 9 28
q2(x)=x3+3x+1, r1 =
28
3 1 6 27
q3(x)=x+6, r0 = 27
6/. Loại 6: Xác
3
1
9
q4(x)=1=a0, r0 = 9
tính giá trị một

đa thức khi biết một số giá trị của khác của nó:

q1(x) và r0. Sau tiếp
2 = 1 + 28(x-3)
3)3 + (x-3)4.

định đa thức &
số giá trị cña


*Phơng pháp:
1). Giải hệ phơng trình từ đó tìm đợc các hệ số
2). Tìm đa thứ phụ trớc, rồi quay lại tìm đa thức.
Ví dụ 1: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f. BiÕt P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) =
16; P(5) = 15. Tính P(6), P(7), P(8), P(9).
Giải:
Đặt A(x) = P(x) - x2 ta cã: A(1) = 0 ; A(2) = 0 ; A(3) = 0; A(4) = 0 ; A(5) = 0;
Nên theo định lý Bezout ta có: x = 1;2;3;4;5 là nghiệm của A(x) do đó ta cã:
k.( x - 1)(x-2)( x - 3)(x-4)(x - 5) = P(x) - x2
=> P(x) = k.( x - 1)(x-2)( x - 3)(x- 4)(x - 5) + x2
V× P(x) cã bËc lín nhÊt lµ: 5 vµ cã hƯ sè b»ng 1 nªn k = 1
VËy P(x) = ( x - 1)(x-2)( x - 3)(x- 4)(x - 5) + x2
=> .P(6) = ( 6 - 1)(6-2)(6 - 3)(6-4)(6 - 5) + 62 = 156
.P(7) = ( 7 - 1)(7-2)(7 - 3)(7-4)(7 - 5) + 72 = 769
.P(6) = ( 8 - 1)(8-2)(8 - 3)(8-4)(8- 5) + 82 = 2584
.P(6) = ( 9 - 1)(9-2)(9 - 3)(9-4)(9 - 5) + 92 = 6801
VÝ dô 2: Cho P(x) = 6x5 + ax4 + bx3 + x2 + cx + 450. BiÕt ®a thøc P(x) chia hết cho các nhị
thức (x - 2) ; (x - 3); (x - 5) . HÃy tìm các giá trị a, b, c và các nghiệm của đa thức.
*HD: Dùng chức năng giải hpt ta đợc kết quả: a = -59; b = 161; c = - 495;
x1 = 2; x2 = 3; x3=5; x4=3/2; x5=-5/3

Bài tập áp dụng :

Bài 1: Cho đa thức P(x) = 6x3 7x2 16x + m.
a. Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3.
b. Với m vừa tìm đợc ở câu a hÃy tìm số d r khi chia P(x) cho 3x-2.
c. Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n vµ P(x) cïng chia hết cho x-2.
d. Với n vừa tìm đợc phân tích Q(x) ra tích các thừa số bậc nhất.
Bài 2: Cho P(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q. BiÕt Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11.
TÝnh Q(10), Q(11), Q(12), Q(13).
Bµi 3: Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m vµ Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n.
a. Tìm giá trị của m, n của các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x 2.
b. Với giá trị của m, n vừa tìm đợc chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chØ cã mét
nghiƯm duy nhÊt
Bµi 4: Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m.
1. T×m sè d trong phÐp chia P(x) cho x 2,5 khi m = 2010
2. Tìm gía trị m ®Ĩ P(x) chia hÕt cho x – 2,5
3. P(x) có nghiệm x = 2. Tìm m?
Bài5. Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e. BiÕt P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33,
P(5) = 51. TÝnh P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11).
Bài 6: Cho đa thức P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m.
a. T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ P(x) cã nghiƯm lµ: x = 0,3648
b. Với m vừa tìm đợc, tìm số d khi chia P(x) cho (x -23,55)
F=

Bµi 7: 1.Cho x=2,1835 vµ y= -7,0216. TÝnh

7x 5 y-x 4 y3 +3x 3 y+10xy 4 -9
5x 3 -8x 2 y 2 +y3