De thi Phan Boi Chau nam hoc 20162017

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
NĂM HỌC 2016 – 2017

Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phú,(khơng kể thời gian giao đề)

Câu 1 (7,0 điểm).
a) Giải phương trình

5  3x  x  1  3x 2  4x  4.

2xy  4x  3y  6 0
.
 2
2
4x

y

12x

4y

9

0
b) Giải hệ phương trình 

Câu 2 (3,0 điểm).
2
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x, y) sao cho (x  2)(xy  2) .

Câu 3 (2,0 điểm).
Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a2
b2
c

 .
2
2
P = (a  b) (b  c) 4a
Câu 4 (6,0 điểm).
Cho điểm A cố định nằm ngồi đường trịn (O). Kẻ các tiếp tuyến AE, AF của
(O) (E, F là các tiếp điểm). Điểm D di động trên cung lớn EF sao cho DE < DF, D
không trùng với E và tiếp tuyến tại D của (O) cắt các tia AE, AF lần lượt tại B, C.
a) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng
OB, OC. Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp một đường trịn.
b) Kẻ các tia phân giác DK của góc EDF, OI của góc BOC (K thuộc EF, I
thuộc BC). Chứng minh OI // DK.
c) Chứng minh đường thẳng IK luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5 (2,0 điểm).
Mỗi điểm trong mặt phẳng được gắn với một trong hai màu đỏ hoặc xanh.
Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác đều có ba đỉnh cùng màu và có độ dài
cạnh bằng 3 hoặc 3.
----------HẾT----------

Họ và tên thí sinh.............................................................................................Số báo danh.....................................................

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Mơn: TỐN
(Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang)
Nội dung

Câu
ĐKXĐ:

 1 x 

Điểm

5
3 (*)

Với điều kiện (*) phương trình đã cho tương đương với:

1,0

5  3x  x  1  2 (5  3x)( x  1) 3x 2  4 x  4

  3 x 2  2 x  2  2  3x 2  2 x  5 0 (1) .Đặt

 3 x 2  2 x  5 t (t 0)

 t 1

a

t 2  2t  3 0
 t  3
4,0đ Pt (1) trở thành

1,0

0,5

Với t = -3 (loại)
Với t = 1 (thỏa mãn đk t 0),
1  13
 3x  2 x  5 1  3x  2 x  4 0  x 
(TM (*))
3
ta có
2

Câu
1
7,0đ

b
3,0đ

Câu 2
3,0 đ

1,0

2

1  13
x
3
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm

0,5

2xy  4x  3y  6 0
(2x  3)(y  2) 0
 2
 2
2
2
4x  y  12x  4y  9 0
4x  y 12x  4y  9 0
Ta có: 

1,0

3

x 
2

 y 2  4 y 0
 

0,5

 y  2
(II)
 2
4
x

12
x

5

0
hoặc 
3

x 
2

 y  4

3

x 
2

 y 0
(I) 
hoặc
5


x 
2

 y  2
(II) 
hoặc

(I)

1

x 
2

 y  2

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm (x; y) là
3  3
 5
 1

 ;0  ,  ;  4  ,  ;  2  ,  ;  2 
 2   2
  2
  2

Với x =1, từ giả thiết ta có -1 ( y  2) vơ lý, vì y 1
Với x 2
2
2

Ta có: ( x  2)( xy  2)  y ( x  2) ( xy  2)

0,5

0,5

0,5
0,5
0,25


Câu

Nội dung
 x( xy  2)  2( x  y ) xy  2  2( x  y )xy  2  2( x  y ) k( xy  2) (k  * )
Nếu k = 1, ta có 2(x + y) = xy + 2
 ( x  2)( y  2) 2 (1)

Điểm

Mà x  2 0  y  2 0 (2)
 x 3
 x 4


Từ (1) và (2) suy ra  y 4 hoặc  y 3

0,25

Thử lại ta thấy chỉ có x = 4, y = 3 thỏa mãn đề bài.

Nếu k 2, ta có: 2( x  y ) 2( xy  2)  x  y xy  2  ( x  1)( y  1)  1 0 (vô lý)
 x 4

Vậy  y 3 là cặp số cần tìm.

0,25

1
2

1



2



0,5
0,25

c
4a

0,25

0,25

1
1

1


(*)
2
2
(1

x
)
(1

y
)
1

xy
Ta chứng minh
 (2  2 x  2 y  x 2  y 2 )(1  xy ) (1  2 x  x 2 )(1  2 y  y 2 )

0,25

 1  2 xy  x 2 y 2  x 3 y  xy 3 0

0,25

2

2

 (1  xy )  xy ( x  y ) 0 ( luôn đúng x, y  0)
1
xy


Từ (*)  P 1  xy 4

0,25
0,25

 1
1  xy  1
1 1 3


 
  2
4  4
4 4 4
 P  1  xy
3
3
P = 4 khi x = y = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi a = b =c.
Câu 4
6,0 đ

0,25

0,5

 b
 c
1 
1 
a


 b
Ta có P =
b
c
x  , y  ( x, y  0)
a
b
Đặt
.
1
1
xy


2
2
4
Thay vào ta được P = (1  x) (1  y )
Câu 3
2,0 đ

0,25

a
3,0

0,25
0,25

M

A
F

N
E

O
C
B

D


 
 

Đặt BAC = A, ABC = B, ACB = C

1,25


Câu

Nội dung
B+C

A


NOB
=
= 900 - = AEF
2
2
Ta có
 các điểm B, E, N, O cùng thuộc một đường tròn.
0
0


Mà BEO = 90  BNO = 90 (1)

Điểm

 

B+C
A

MOC
=
= 900 = AFE

2
2
Mặt khác
 các điểm M, F, O, C cùng thuộc một đường tròn.
0
0


Mà CFO 90  CMO 90 (2)

1,25

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BNMC nội tiếp một đường tròn.

0,5

A
F

L
K

H
O

E
C

b
2,0

đ

B

D

I

  
  B
 C


B
C



EDF
1800  EDB
 FDC
1800   900     900   

2  
2 
2

Ta có
 C



 C

1
B
C
B




KDC
KDF
 FDC
 EDF
 FDC
   900  900  
2
4 4
2
4 4 (3)

 1
 1
 C
 
 C

B
B

B
B
B



OIC
  BOI
  BOC
   1800    900  
(4)
2
2 2
2 2 
2 2 
4 4

c
1,0
đ

0,5
0,5
0,5

Từ (3) và (4)  DK//OI (đpcm)
Gọi L, H lần lượt là giao điểm của OA với (O), EF
Ta có A, L, O thẳng hàng; L, K , D thẳng hàng; AO  EF tại H







Vì DK // OI  DOI ODK . Mà ODK KLO nên DOI KLH
LK LH


DOI
LHK
900  LHK ODI 

(*)
OI OD
Kết hợp với

0,5
0,25
0,25

 OFA vuông tại F, FH  OA tại H  OH.OA = OF2
OF OH
OL OH
OL
OH
AL LH LH



 1

1 



OA OF
OA OL
OA
OL
AO OL OD (**)
AL LK

Từ (*) và (**)  AO OI . Kết hợp với LK // OI  A, K, I thẳng hàng
 KI luôn đi qua điểm cố định A.

0,25



Câu 5
2,0 đ

0,25

G

E

O

K

F


Câu

Nội dung

Điểm

A

3

B

C

Dựng tam giác đều ABC có cạnh bằng 3
TH1: 3 đỉnh của tam giác cùng màu  đpcm.
TH2: Có hai trong ba đỉnh A, B, C khác màu.
Giả sử A, B khác màu.
Dựng tam giác cân ABD với DA = DB = 2 3  D có màu khác với một trong hai
điểm A, B  tồn tại một đoạn thẳng có độ dài bằng 2 3 sao cho hai đầu mút khác
màu. Gọi đoạn thẳng đó là EF (E, F khác màu).

0,25

0,5

Lấy K là trung điểm của EF  K trùng màu với một trong hai điểm E, F.

0,25

Khơng mất tính tổng qt, giả sử E và K cùng màu xanh và F màu đỏ.

0,25

Dựng hình thoi EGKH với  EGK,  EHK đều
3
3
 OK  , GO  GK 2  OK 2  , HG 3
2
2
Gọi O là giao điểm của EK và GH
 FG FH  OF2  OG 2 3
Nếu trong hai điểm G, H có ít nhất một điểm màu xanh. Kết hợp với E, K màu xanh
ta được tam giác đều có ba đỉnh màu xanh và có độ dài cạnh bằng 3

Nếu G, H cùng màu đỏ thì ta có tam giác đều GHF có ba đỉnh màu đỏ và có độ dài
cạnh bẳng 3. Suy ra đpcm

Lưu ý:

- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần, không làm tròn.

0,25

0,25

0,25