DAP AN TOAN CHUYEN 2016 2017 QUANG TRUNG

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
BÌNH PHƯỚC

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2016-2017

ĐỀ CHÍNH THỨC

MƠN: TỐN (chun)

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Đáp án
Câu
1

Thang
điểm

ỉ x +2
ư x +1
2- x ữ
ữ
P =ỗ
+
ỗ
ữ.
ỗ
ỗ
x- 1 ữ
x
+

2
x
+
1
x , vi x > 0, x ¹ 1.
è
ø
Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức P .

2.0 điểm

b) Tính giá trị biểu thức P tại x = 46- 6 5 - 3( 5 - 1) .
ổ
ử
ữ
ỗ
ữ
x
+
2
2
x
x +1
ỗ
ữ
P =ỗ
+
.
ữ

ỗ
2
ữ
ỗ
( x - 1)( x +1) ữ
x
ỗ
ữ
ỗ
ố x +1
ứ

a

(
(
=
=

)
x + 2)(

) ( x )(
( x - 1)( x +1)
x - 1 + 2-

2

2 x

(

).

x +1

)(

x- 1

)

x +1

(

2

.

x +1
x

)

x = 46- 6 5 - 3 5 - 1 =

=

(3

2
x- 1

0.25
x +1
x

0.25+0.25
.

)

2

5 - 1 - 3( 5 - 1)

= 3 5 - 1- 3 5 + 3 = 2 .
2
P=
=2
2- 1
Do đó
.
2
Câu Cho phương trình x - 2mx + m2 - 4m - 3 = 0 (m là tham số). Tìm m để
2
2
2
phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức T = x1 + x2 - x1x2

đạt giá trị nhỏ nhất.
3
  0  4m  3 0  m 
4.
Phương trình đã cho có 2 nghiệm 

b

0.25

0.25
0.25+0.25
0.25
1.0 điểm
0.25


 x1  x2 2m

x x m 2  4m  3.
Theo định lý Viet:  1 2
2
T = x12 + x22 - x1x2 = ( x1 + x2 ) - 3x1x2
2

= m +12m + 9 .
2

= ( m + 6) - 27
21

9
3
m + 6³
T³
4 nên
4 . Suy ra
16 .
Do
9
3
m 
4 , T đạt giá trị nhỏ nhất bằng 16 .
Vậy khi

0.25
0.125
0.125

m 

Câu
4( x2 +1) = 3 2x2 - 7x + 3 +14x (1)
a)
Giải
phương
trình:
.
3
éx ³ 3
ê

2
2x - 7x + 3 ³ 0 Û ê 1
êx £ .
ê
ë 2
ĐK:
(1) Û 4x2 - 14x + 4- 3 2x2 - 7x + 3 = 0
Û 2(2x2 - 7x + 3) - 3 2x2 - 7x + 3 - 2 = 0 .
2
Đặt t = 2x - 7x + 3 (t ³ 0) . Phương trình trở thành:
ét = 2
ê
2
2t - 3t - 2 = 0 Û ê
1
êt = - (l )
ê
2
ë

0.25

1.0 điểm
0.125
0.125
0.25

0.125+0.125

2

2
Với t = 2 Þ 2x - 7x + 3 = 2 Û 2x - 7x - 1= 0
7 ± 57
Û x=
4
(thỏa mãn)

0.125

7 ± 57
4
Kết luận:
.
Chú ý. Thí sinh khơng đối chiếu điều kiện trừ tồn bài 0.125đ.
ìï xy - y 2 = 3y - 1- x + 2y - 1 (1)
ï
í 3
2
ï
b) Giải hệ phương trình: ïỵ x y - 4xy + 7xy - 5x - y + 2 = 0 (2)
ìï
1
ïï y ³
3
í
ïï
ĐK: ïỵ x + 2y ³ 1.
1
3y - 1 + x + 2y - 1 = 0 Û x = y =
3.

Xét
Thay vào (2) không thỏa mãn.

0.125

x=

1.0 điểm

0.125
0.25


Xét

é
êx ¹
ê
3y - 1 + x + 2y - 1 ¹ 0 Û ê
ê
êy ¹
ê
ë

(1) Û y ( x - y ) =

1
3
1
.

3

0.25

y- x
3y - 1 + x + 2y - 1

ộx = y
ờ
ổ
ờ
1
1ử
ờy +
=0 ỗ
VN do y ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ờ
ố
ứ
3
3
y
1
+
x
+

2
y
1
ờ
ở
Vi x = y, thay vo (2) ta c:
x 4 - 4x 3 + 7x2 - 6x + 2 = 0 Û ( x - 1)2 ( x2 - 2x + 2) = 0 Û x = 1.
Khi đó y =1. Vậy nghiệm của hệ là (1; 1).

Chú ý. Thí sinh khơng xét trường hợp

x=y=

0.125

0.25

1
3 trừ tồn bài 0.25đ.

Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp
Câu
tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại T. Gọi (T) là đường tròn
4
tâm T bán kính TA. Đường trịn (T) cắt đoạn thẳng BC tại K.
2
·
a) Chứng minh rằng TA = TB.TC và AK là tia phân giác góc BAC .
b) Lấy điểm P trên cung nhỏ AK của đường tròn (T). Chứng minh rằng
TP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PBC.

c) Gọi S, E, F lần lượt là giao điểm thứ hai của AP, BP, CP với (O).
Chứng minh rằng SO ^ EF .

3.0 điểm

2
a) Chứng minh rằng TA = TB.TC

1.0 điểm


Xét hai tam giác TAB và TCA có:
·
·
góc T chung và TAB = TCA (cùng chắn cung AB).
TA TB
=
Þ TA2 = TB.TC
Do đó D TAB : D TCA . Suy ra TC TA
(đpcm)
·BAC
Chứng minh AK là tia phân giác góc
.
·
·
·
Ta có BAK + TAB = TKA (tam giác TAK cân tại T)
·
·
·

Mà TKA = KCA + KAC (góc ngồi của tam giác KAC)
·
·
·
·
·
·
Suy ra BAK + TAB = KCA + KAC . Hơn nữa TAB = KCA (cmt)
·
·
·
Do đó BAK = KAC hay AK là tia phân giác góc BAC .
b) Chứng minh rằng TP là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp
tam giác PBC.
2
2
»
Ta có TA = TP (do P Ỵ AK ), mà TA = TB.TC nên TP = TB.TC .
TP TC
=
Suy ra TB TP . Xét hai tam giác TPB và TCP có:
TP TC
=
Góc T chung và TB TP nên VTPB : VTCP .
·
·
Suy ra TPB = TCP . Do đó TP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
tam giác PBC.
c) Chứng minh rằng SO ^ EF .
·

·
·
·
·
Vì TPB = TCP (cmt) và TCP = BCF = BEF (tứ giác BCEF nội tiếp)
·
·
= BEF
nên TPB
. Do đó TP P EF (1)

0.25+0.25
0.25+0.25
0.5 điểm
0.125
0.125
0.25
1.0 điểm
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5 điểm
0.25

Chú ý rằng tam giác TAP cân tại T và tam giác OAS cân tại O. Gọi R là
giao điểm của SO và TP.

0.25

o
0
·
·
·
·
·
·
·
Ta có PSR + RPS = OAP + APT = OAP + PAT = 90 Þ PRS = 90 .
Do đó SO ^ TP (2). Từ (1) và (2) suy ra SO ^ EF .


Câu Cho biểu thức Q = a 4 + 2a 3 - 16a2 - 2a +15. Tìm tất cả các các giá trị
5
nguyên của a để Q chia hết cho 16.
Q = a 4 + 2a 3 - 16a 2 - 2a +15 = (a 4 + 2a 3 - 2a - 1) - (16a 2 - 16)
= (a - 1)(a +1)3 - 16(a2 - 1).
Với a lẻ, a = 2k + 1, k ẻ Â .
3
3
Khi ú: (a - 1)(a + 1) = 2k (2k + 2) = 16k (k + 1) M16.
2
Mà 16(a - 1) M16 nên Q chia hết cho 16.
Với a chẵn, a = 2k , k ẻ Â .

1.0 im
0.25
0.25
0.25

3
3
Khi ú: (a - 1)(a +1) = (2k - 1)(2k +1) là số lẻ nên không chia hết
cho 16. Do đó Q khơng chia hết cho 16.
0.25
Kết luận: a là số nguyên lẻ.
Chú ý. Thí sinh dự đốn được a lẻ nhưng chứng minh sai thì được
toàn bài 0.25đ.
Câu a) Từ 2016 số: 1, 2, 3,..., 2016 ta lấy ra 1009 số bất kì. Chứng minh rằng
0.5 điểm
6
trong các số lấy ra có ít nhất hai số nguyên tố cùng nhau.
Chia các số đã cho thành 1008 cặp như sau:
0.25
(1; 2), (3; 4), ..., (2015; 2016)
Chọn 1009 số từ 1008 cặp trên nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít
nhất hai số thuộc cùng một cặp. Mà hai số thuộc cùng một cặp là hai số
0.25
nguyên tố cùng nhau nên ta được đpcm.
b) Cho hai số thực a, b đều lớn hơn 1. Chứng minh rằng:
6
11
0.5 điểm
+ 3ab + 4 ³
2.
a b - 1+b a - 1

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có:
b - 1+1 b

ab
b - 1£
= Þ a b - 1£
2
2
2 .
0.125+0.125
6
6
ab
³
b a - 1£
2 , nên a b - 1 + b a - 1 ab . Dấu “=” xảy ra
Tương tự:
khi a = b = 2 .
6
6
18
S=
+ 3ab + 4 ³
+ 3ab + 4 =
+ 3ab + 4
ab
3ab
a b - 1+ b a - 1
.
2
Đặt t = 3ab + 4 Þ 3ab = t - 4 . Khi đó:
18
18

3
1
S= 2
+t =
+ (t - 2) + (t + 2) + 1
t - 4
(t - 2)(t + 2) 4
4
.

31
11
S ³ 33 18. . +1=
44
2.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
t = 4 hay a = b = 2 .

0.125+0.125


LƯU Ý: Học sinh giải theo cách khác đúng, khoa học theo yêu cầu bài toán, giám khảo cân
nhắc cho điểm tối đa từng phần.