BT PHAN FPHAAN THUC

CHUYÊN ĐỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I) Phân thức đại số:
1) Kiến thức cơ bản:
a) Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có
A
dạng B , trong đó A, B là những đa thức, B là đa thức khác đa thức 0

A là tử thức (tử); B là mẫu thức
Mỗi một đa thức cũng được coi là một đa thức có mẫu là 1.
b) Hai phân tức bẳng nhau:
A
C
A
C
Với hai phân thức B và D , ta nói B = D nếu A.D = B.C

2) Bài tập:
Bài 1. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:
x2  x  2

x 2 y 3 7 x3 y 4

5
35 xy ;
a)

b) x  x  2 

x3  4 x  x 2  2 x

5

d) 10  5 x
;
x  2  x  2   x  1

x2  1
g) x  1
;

2



x
x2

3  x x2  6 x  9

9  x2 ;
c) 3  x
3x  x  5 3x

2  x  5
2

;

5 y 20 xy

8x ;
e) 7

f)

2

2

;

3

x  x  2 x  3x  2
x 8

x  2
2
x  1 ; i) x  2 x  4
h) x  1
.

Bài 2. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng
thức sau.
A
6 x 2  3x
 2
a) 2 x  1 4 x  1 ;
4x2  7 x  3
A
 2
2

x 1
x  2 x 1 ;
c)

4 x2  3x  7 4 x  7

A
2x  3 ;
b)
x2  2x
x2  2x

2
A .
d) 2 x  3x  2

Bài 3. Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ
sai. Em hãy sửa sai cho đúng.
5 x  3 5 x 2  13x  6

x2  4
a) x  2
;
2
x  2 x2

2
c) x  1 x  1 ;

x 1

x2  3
 2
b) x  3 x  6 x  9 ;
2 x2  5 x  3 2 x2  x  3
 2
2
d) x  3 x  4 x  5 x  4 .

x2  x  2 x  2 x2  4
;
; 2
2
Bài 5. Ba phân thức sau có bằng nhau khơng? x  1 x  1 x  x  2 .

Bài 6. Tìm tập xác định của các phân thức sau:
3
a) 5 x  2 ;

x2  3
2
b) x  6 x  9 ;

x
c) x  3x ;
2

2 x 1
d) x  3x  2 .
2

Bài 7. tìm các giá trị của biến để các biểu thức sau bằng 0.
3x  1
x2  x
2
a) x  5 ;
b) 2 x  1 ;
x 4  x3  x 1
4
3
2
e) x  x  2 x  x  1 ;

x 2  3x  2
2
c) x 1 ;

x2  2x
2
d) x  4 x  4 ;
x4  5x2  4
4
2
f) x  10 x  9 .


Bài 8. Tìm các giá trị nguyên của biến để các phân thức sau nhận giá trị nguyên:
3
a) x  x  1 ;

2  x  1

6
b) x  3 ;

2

3
c) x  1 ;

II) Tính chất cơ bản của phân thức đại số:
Bài 1. Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào chỗ
trống trong các đẳng thức sau:
x  x2
x
x 2  8 3x 3  24 x


2
...
a) 5 x  5 ... ;
b) 2 x  1
;
2
2
3
2
 x  2 xy  y
...
x x
...

 2

2
2
x y
y  x ;
d)
e) x  1 x  1 ;

c)

...
3x 2  3xy

x  y 3 y  x  2

;

5x  5 y 5x2  5 y 2

2 y  2x .
f) ...

Bài 2. Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa
8x2  8x  2
, A 1  2 x
 4 x  2   15 x  1

4x  3
, A= 12x 2 +9x

2
x

5
thức A cho trước. a)
;

b)
;
Bài 3. Dùng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành
một cặp phân thức bằng nó và có cùng tử thức.
x 5
x 2  25
b) 4 x và 2 x  3 ;

3
x 1
a) x  2 và 5 x ;

Bài 4. Dùng tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để biến đổi mỗi cặp
phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng mẫu thức:
3x
7x  2
a) x  5 và 5  x ;
2
x 4
2
c) x  8x  16 và 2 x  8 ;

4x

3x
b) x  1 và x  1 ;
2x
 x  1  x  3

x3 y 3
x2
3
a) xy và y ;
1 x
x 1
c) ( x  1)(3  x) và ( x  1)( x  3) ;

x2
x2
2
2
2
b) x  y và x  y ;
 3( x  1)
3( x  1)
2
2
d) (1  x ) và ( x  1) ;

d)
Bài 5. Các phân thức sau có bằng nhau khơng?

và

x 3
 x  1  x  2 

;

Bài 6. Hãy viết các phân thức sau dưới dạng một phân thức có mẫu thức là 1 - x3;
x2
3
a) x  1 ;

x
b) x  1 ;

x 1
c) x  x  1 .
2

Bài 7. áp dụng quy tắc đổi dấu để viết các phương trình bằng các phân thức sau:
 xy 2
a) 2 x  x ;

1  x2
b) x  1 ;

y 2  x2
c) x  y ;

 2 x 1
d)  x  2 .

Bài 8. Viết các phân thức sau dưới dạng những phân thức có cùng mẫu thức:
x
a) x và x  1 ;
2

x
2x  y
x
y
3
3
b) 2 y và x ; c) x  y và x  y ;

x 1
1 x
5 4
4 5
d) x y và x y .

Bài 9. Viết các phân thức sau dưới dạng những phân thức có cùng tử thức:
1
x 2
a) x và x  3 ;

III) Rút gọn phân thức

x
x2  y 2
y
x y

2
b) y và x ; c) 2 x  xy và x ;

x3 y 2
x2 y3
d) x  y và x  y ;


1) Phương pháp:
- Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Rút gọn các phân thức sau:
14 xy 5 (2 x  3 y )
8 xy (3 x  1)3
2
2
3
a) 21x y(2 x  3 y ) ;
b) 12 x (1  3x) ;
80 x 3  125 x
9  ( x  5) 2
2
e) 3( x  3)  ( x  3)(8  4 x) ; f) x  4 x  4 ;
x2  5x  6
2
i) x  4 x  4 .
7 x 2  14 x  7
2
n) 3x  3x ;

2  2a
3
p) a  1 ;

20 x 2  45
2
c) (2 x  3) ;

5 x 2  10 xy
3
d) 2(2 y  x) ;

32 x  8 x 2  2 x 3
5 x3  5 x
4
x 3  64
g)
; h) x  1 ;
10 xy 2 ( x  y )
x 2  xy  x  y
3 x 2  12 x  12
3
2
x4  8x
J) 15 xy( x  y ) ;
k) x  xy  x  y ; l)
;
2
2
x  xy

2x  2 y
2a  2ab
2
2
2
2
m) ac  ad  bc  bd ;
o) y  x ; ơ) x  2 xy  y ;

x2  6x  9
x 4  2 x3
x7  x4
2
4
3
6
q) x  8 x 15 ;
v) 2 x  x ;
u) x  1 ;
24,5 x 2  0,5 y 2
( a  b)(c  d )
( x  2)2  ( x  2) 2
a 3  3a 2  2a  6
2
2
2
2
2
16 x
a2  2

ư)
;
x) 3,5 x  0,5 xy ; y)
; z) (b  a )(d  c ) .

Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
x 2 y  2 xy 2  y 3 xy  y 2

2
2
2x  y ;
a) 2 x  xy  y

x 2  3xy  2 y 2
1

3
2
2
3
b) x  2 x y  xy  2 y x  y .

Bài 3. Đổi dấu ở tử hoặc ở mẫu rồi rút gọn phân thức:
45 x (3  x)
3
a) 15 x( x  3) ;

y2  x2
3
2

3
b) x  3x 2 y  3 xy  y .

Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau:
ax 4  a 4 x
1
2
2
a) a  ax  x với a = 3, x = 3 ;
x3  3x
1

3
5
c) 3x  x với x = 2 ;

x3  x 2  6 x
3
b) x  4 x với x = 98
x 4  2 x3
1

2
3
d) 2 x  x với x = 2 ;

1
1
10ab  5a 2
2

e) 16b  8ab với a = 6 , b = 7 ;
2x  4 y
2
2
g) 0, 2 x  0,8 y với x + 2y = 5;

a7 1
15
8
f) a  a với a = 0,1;
x2  9 y 2
h) 1,5 x  4,5 y với 3x - 9y = 1.

a b
Bài 5. Cho 3a + 3b = 10ab và b > a > 0. Tính giá trị của biểu thức P = a  b .
2

2

Bài 6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x.
x2  y2
a) ( x  y )(ay  ax) ;

Bài tập nâng cao.
Bài 7. Rút gọn các biểu thức.

2ax  2 x  3 y  3ay
b) 4ax  6 x  6 y  6ay ;

xy  1  x  y
ax  ay  bx  by
m4  m
ab 2  a 3  a 2b
2
3
4
a) 2m  2m  2 ;
b) a b  b
; c) y  z  1  yz ;
d) ax  ay  bx  by ;
a 2  b 2  c 2  2ab
a 2  b2
a3 1
2
2
2
2
2
2
e) a  b  c  2ac ;
f) a  a  b  b ; g) 2a  4a  2 ;
a 3 (b2  c 2 )  b3 (c 2  a 2 )  c3 (a 2  b 2 )
x 2  (a  b) x  ab
x 2  a 2  b 2  2bc  2ax  c 2
2
2
2
2
2

2
2
2
h) a (b  c)  b (c  a)  c (a  b) ; i) x  (a  b) x  ab ;
j) x  b  a  2bx  2ac  c ;
x x 2
3x3  2 x 2  4 x  5
a 2 x  b2 x
1  (2a  3b) 2
2
2
x
x
k) 6 x  3x  9 ;
l) x  5 x  6 . n) a  b ;
m) 2a  3b  1 ;
33 x  33 y
24 m  24 n
a 2 (b  c)  b 2 (c  a )  c 2 ( a  b)
2 x3  7 x 2  12 x  45
x
y
2n
2m
3
2
ab 2  ac 2  b3  bc 2
o) 3  3 ; ơ) 2  2 ; p)
; q) 3x  19 x  33x  9 ;
x 3  y 3  z 3  3 xyz

x 3  y 3  z 3  3xyz
2
2
2
2
2
2
u) ( x  y )  ( y  z )  ( z  x) ;
ư) ( x  y )  ( y  z )  ( z  x ) .

Bài 8. Tìm các giá trị của x để các phân thức sau bằng 0.
x 4  x3  x 1
4
3
2
a) x  x  2 x  x  1 ;

x4  5x2  4
4
2
b) x  10 x  9 .

Bài 9. Viết gọn biểu thức sau dưới dạng một phân thức.
A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1).
HD: Nhân biểu thức A với x2 + x + 1, từ đó xuất hiện những biểu thức liên hợp nhau
x2  y 2  z 2
2
2
2
Bài 10. Rút gọn ( y  z )  ( z  x)  ( x  y ) biết rằng x + y + z = 0.

3x  2 y
Bài 11. Tính giá trị của phân thức A = 3x  2 y , biết rằng 9x2 + 4y2 = 20xy, và 2y < 3x

<0.
9 x 2  4 y 2  12 xy 20 xy  12 xy 8 xy 1



2
2
Ta có A2 = 9 x  4 y 12 xy 20 xy 12 xy 32 xy 4
1


3
x

2
y

0,3
x

2
y

0

A


0
Do 2y < 3x < 0
. vậy A = 2 .
4
4
(1  4)(5  4)(94  4)...(214  4)
4
4
4
4
Bài 12. Rút gọn biểu thức: P = (3  4)(7  4)(11  4)...(23  4) .

Xét n4 + 4 = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2]
( 1.1  2)(1.3  2) (3.5  2)(5.7  2)
(19.21  2)(21.23  2)
 1.1  2
1

.... 


(21.23  2)(23.25  2) 23.25  2 577
Do đó P = (1.3  2)(3.5  2) (5.7  2)(7.9  2)
1
Bài 13. Cho phân số A = 1, 00...01 (mẫu có 99 chữ số 0). Tính giá trị của A với 200

chữ số thập phân.

A=

10100
100
Ta có A = 10  1 . Nhân tử và mẫu với 10100 - 1, ta được:
100 100
100
100
10 (10  1) 99...9 00...0

0, 99...9
00...0


10200  1
99...9
100
100

200


(Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hoàn đơn ra phân số).
(a 2  b2  c 2 )(a  b  c )2  (ab  bc  ca )2
(a  b  c) 2  ( ab  bc  ca )
Bài 14. Cho phân thức: M =

a) Tìm các giá trị của a, b, c để phân thức có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức M.
HD:
a) Điều kiện để phân thức M có nghĩa là mẫu thức kác 0.
Xét (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = 0  a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 0.

 2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = 0
 (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = 0  a + b = b + c = c + a  a = b = c.
vậy điều kiện để phân thức M có nghĩa là a, b, c không đồng thời bằng 0,
tức là a2 + b2 c2  0.
b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca, do đó dặt a2 + b2 + c2 = x;
ab + bc + ca = y. Khi đó (a + b + c)2 = x + 2y.
x ( x  2 y )  y 2 x 2  2 xy  y 2 ( x  y ) 2


x  y a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca
x y
xy
Ta có M = x  2 y  y
(Điều kiện là a2 + b2 c2  0)

IV) Quy đồng mẫu thức.
Các bài tập cơ bản và nâng cao.
Bài 1. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
25
14
11
3
3x 1 y  2
1
x 1 x  1
,
,
, 2 3
, 2 4,
2

5
4
3
4
3 2
3
a) 14 x y 21xy ;
b) 102 x y 34 xy ;c) 12 xy 9 x y ;
d) 6 x y 9 x y 4 xy ;
3  2x 5
2
4x  4
x 3
2x
x 2
5
3
, 2 2, 5
,
;
,
,
4
3
2
3
e) 10 x y 8 x y 3 xy ; f) 2 x( x  3) 3 x( x 1) g) ( x  2) 2 x( x  2) ; h) 3x  12 x (2 x  4)( x  3) .

Bài 2. Quy đông mẫu thức các phân thức sau.
7 x  1 5  3x

x 1
x2
4 x2  3x  5
2x
6
,
,
, 2
,
2
2
2
2
3
x 1
x  x 1 x  1 ;
a) 2 x  6 x x  9 ;
b) x  x 2  4 x  2 x ; c)
2
7
4
x y
5x
4x
3
x
x 1
x 1
,
, 2

, 2
,
, 2
, 2
2
3
2
3
d) 5 x x  2 y 8 y  2 x ; e) x  6 x 12 x  8 x  4 x  4 2 x  4 ; f) x  1 x  x x  x  1 ;
a x
ax
a d
ad
, 2
, 2
2
2
2
2
g) 6 x  ax  2a 3x  4ax  4a ;
h) a  ab  ad  bd a  ab  ad  bd
x
y
z
1
3
2
, 2
, 2
,

, 2
2
2
2
2
2
2
2
3
i) x  2 xy  y  z x  y  2 yz  z x  2 xz  y  z ;j) x  1 2 x  2 x  x  1 ;
x
x2  y 2
, 2
,x y
2
k) x  y x  2 xy  y
;

x2
2 x 1
x 1
, 2
, 2
2
l) 6 x  7 x  3 2 x  7 x  6 3x  5 x  2 .

Bài 3. Quy đồng mẫu thức các phân thức:
ax bx b a
, 2 2,
3

2
a) axb a xb axb ;
ax
a x
, 2
2
2
2
c) 6 x  ax  2a 3x  4ax  4a ;

2 x 1
x  2a
, 2
2
b) x  4ax  4a x  2ax ;
a b
a c
, 2
2
2
d) a  bc  ac  ab a  bc  ac  b ;
2


x
x2
x 1
, 2
, 2
e) x  27 x  6 x  9 x  3 x  9 ;

x2
x
2 x 1
,
,
2
2
x  3x  2  2 x  5 x  3  2 x 2  7 x  6 .
3

f)

Bài 4. Quy đồng mẫu thức các phân thức (có thể đổi dấu để tìm MTC cho thuận tiện).
x  1 x 1
1
2x  1
a x
2x2  1
,
,
,
,
2
2
2
3
3
a) 2 x  2 2 x  2 1  x ;
b) x  a  x  ax  a x  a ;
24

4x
18
x 1
x
2x  1
,
, 2
, 4
, 7
3
2
2
4
2
c) 4 x  x x  2 x 2 x  x ;
d) 2 x  x x  2 x  4 x  8 x ;
2x
y
4 xy
,
, 2
2
2
2
2
2
e) x  3xy  2 y  3x  4 xy  y 3x  7 xy  2 y .

Bài 5. Rút gọn rồi quy đồng mẫu thức các phân thức sau.
x2  5x  6 2 x2  7 x  5

, 2
2
a) x  4  x  4 x  3 ;

x3  2 x 2  x  2
x3  5 x  4
,
3
2
3
2
b) x  x  4 x  4 x  2 x  3x  4 ;
x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx
x3  y 3  z 3  3xyz
x3  2 x 2  5 x  26 x3  4 x 2  10 x  12
,
, 3 2
3
2
x 2  y 2  z 2  2 yz
( x  y ) 2  ( y  z ) 2  ( z  x) 2 .
c) x  5 x 17 x  13 x  x  2 x 16 ; d)

Bài 6. Cho biểu thức B = 2x3 + 3x2 - 29x + 30 và hai phân thức
x
x2
, 2
2 x  7 x  15 x  3 x  10
2

a) Chia đa thức B lần lượt cho các mẫu của hai phân thức đã cho.
b) Quy đồng mẫu thức của hai phân thức đã cho.
1
2
, 2
Bài 7. Cho hai phân thức: x  4 x  5 x  2 x  3 . Chứng tỏ rằng có thể chọn đa thức
2

x3 - 7x2 + 7x + 15 làm mẫu thức cung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho.
Hãy quy đồng mẫu thức.
V) Phép cộng các phân thức đai số.
Bài 1. Cộng các phân thức cùng mẫu thức:
1 2x 3  2 y 2x  4

 3
3
3
6
x
y
6
x
y
6x y ;
a)
3x 1
x2  6x

2
2

c) x  3 x  1 x  3x  1 ;

x2  2
2 x

2
2
b) x( x  1) x( x  1) ;
x 2  38 x  4 3 x 2  4 x  2
 2
2
d) 2 x 17 x  1 2 x  17 x  1 .

Bài 2. Cộng các phân thức khác mẫu thức:
5
7
11


2
2
a) 6 x y 12 xy 18 xy ;
3 3x  3
3x  2


2
c) 2 x 2 x  1 2 x  4 x ;
y
4x

 2
2
e) 2 x  xy y  2 xy ;
1
1

g) x  2 ( x  2)(4 x  7) ;

4 x  2 5 y  3 x 1
 2 
3
15
x
y
9 x y 5 xy 3 ;
b)
x3  2 x
2x
1
 2

3
d) x  1 x  x  1 x  1 ;
1
3
x  14
 2
 2
f) x  2 x  4 ( x  4 x  4)( x  2) ;
1

1
1


h) x  3 ( x  3)( x  2) ( x  2)(4 x  7) ;

Bài 3. Dùng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung rồi thực hiện phép cộng.


4
2
5x  6
1  3 x 3x  2
3x  2
1
1
x





 2
2
2
2
2
a) x  2 x  2 4  x ; b) 2 x 2 x  1 2 x  4 x ; c) x  6 x  9 6 x  x  9 x  9 ;
x
x

4 xy
x2  2
2
1

 2
 2

2
3
d) x  1 x  x  1 1  x ; e) x  2 y x  2 y 4 y  x .

Bài 4. Cộng các phân thức:
1
1
1
4
3
3




a) ( x  y )( y  z ) ( y  z )( z  x) ( z  x)( x  y ) ;b) ( y  x)( z  x) ( y  x)( y  z ) ( y  z )( x  z ) ;
1
1
1
4
3
3





c) x( x  y )( x  z ) y( y  x )( y  z ) z ( z  x )( z  y ) ; d) (a  x)(c  x) (a  x)(a  c) (a  c)( x  c) ;
1
1
1


e) a(a  b)(a  c) b(b  a )(b  c) c (c  a )(c  b) .

Bài 5. Làm tính cộng các phân thức.
11x  13 15 x  17

4  4x ;
a) 3x  3
4
x
 x3  x 2  x  1
d) 1  x
;

1
1
2x
2 x 1
32 x 2
1 2x


 2
 2

2
3
2
2
b) 2 x  x 1  4 x 2 x  x ; c) x  x  1 x  x 1  x ;
5
3
x
x 1
2x  3

 3

2
2
e) 2 x y 5 xy y ;
f) 2 x  6 x( x  3) ;

x 4 1
4 x 2  3 x  17
2x  1
6

1
 2

2

3
1 x
x 1
x  x 1 1  x ;
h)
; i)
1
1
x 5
3


x
x

5
x
(
x

5)
Bài 6. Cho hai biểu thức: A =
, B = x  5 Chứng tỏ rằng A = B.
3x  5
25  x

2
g) x  5 x 25  5 x ;

x2 

Bài 7. Tính giá trị của biểu thức :
2x
1
1
x4
 2
 2
 x3  x 2  x  2
3
a) A = 1  x x  x x  x  1 với x = 10; b) B = 1  x
với x = -99

Các bài tập nâng cao
a
b
x2  5

2
3
Bài 8. Tìm các số a và b sao cho phân thức x  3x  2 viết được thành x  2 ( x  1)

HD: Dùng một trong hai phương pháp (hệ số bất định hoặc xét giá trị riêng) để
tìm a và b sau khi quy đồng.
Bài 9. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
x y y z z x
y
z
x





yz
zx ;
a) xy
b) ( x  y )( y  z ) ( y  z )( z  x) ( z  x)( x  y ) .
1
1
1


2
2
2
2
2
2
Bài 10. Tớnh : (b  c)(a  ac  b  bc) (c  a)(b  ab  c  ac) (a  b)(c  bc  a  ab) .

(Đề thi học sinh giỏi lớp 8 toàn quốc 1980)
1
1
2
4
8





2
4
8
Bài 11. Rút gọn biểu thức : A = 1  x 1  x 1  x 1  x 1  x .
x2  x  2
A
B
C



3
3
2
( x  1)
( x  a) ( x  1)
x 1.
Bài 12. Tìm các số A, B, C để có :
a 2  3ab 2a 2  5ab  3b 2
a 2  an  ab  bn


2
2
2
2
3bn  a 2  an  3ab .
Bài 13. Chứng minh hằng đẳng thức : a  9b 6ab  a  9b

VI) Phép trừ các phân thức đại số.

1) Phân thức đối:
- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.
- Công thức:
2) Phép trừ:



A A
A A



B
B và
B
B.

A
C
A
- Quy tắc: Muốn trừ phân thức B cho phân thức D , ta cộng B với phân thức đối
C
của D
A C A C

 
B D B D
- Công thức:

3) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Làm tính trừ các phân thức:
3x  2 7 x  4
3 x  5 5  15 x
4 x  7 3x  6



3
3
2 xy ;
a) 2 xy
b) 4 x y 4 x y ;
c) 2 x  2 2 x  2 ;
9x  5
5x  7
xy
x2


2
2
2
2
2
2
d) 2( x  1)( x  3) 2( x  1)( x  3) ;
e) x  y y  x ;
5x  y 2 5 y  x2

x
x
x 9
3


 2
2
2
2
xy ; g) 5 x  5 10 x  10 ;
f) x y
h) x  9 x  3x ;
3
x 6
x4  3x2  2
x  1 1  x 2 x(1  x)
2

x

1



2
2
x  1 ; k) x  3 x  3
9  x2 ;
i) 2 x  6 2 x  6 x ;

j)
3x  1
1
x 3
3x  2
6
3x  2
5
4  3x 2



3
 2  2
2
2
2
2
2
l) ( x  1) x  1 1  x ; n) 2 x  6 x x  9
; m) x  2 x 1 x  1 x  2 x 1 .
A C E A C  E
 
 

Bài 2. Theo định nghĩa của phép trừ, khi viết: B D F B D F .

Áp dụng điều này để làm các phép tính sau:
18
3

x
 2
 2
2
b) ( x  3)( x  9) x  6 x  9 x  9 .
3x 2  5x  1
1 x
3
1
x2  2
 2

1  3
2
x3  1
x  x 1 x  1 ;
x 1
Bài 3. rút gọn các biểu thức :a)
b) x  x  1
7
x
36

 2
c) x x  6 x  6 x .
1
1
3x  6



2
a) 3x  2 3x  2 4  9 x ;

Bài 4. Thực hiện phép tính:
1
2
3
1
1
1


A


a (a  b)(a  c) b(b  a )(b  c) (a  c )(c  b) .
a) ( x  1)( x  2) ( x  2)( x  3) ( x  3)( x  1) ; b)

Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức:
1
x2  2

1

2
x 3  1 với x = 99;
a) A = x  x  1

Các bài toán nâng cao
Bài 6. Rút gọn các biểu thức :

2 x 1 1  2 x
2
1


2
b) B = 4 x  2 4 x  2 1  4 x với x = 4 .


a
a
a
1



a) A = x( x  a) ( x  a)( x  2a) ( x  2a )( x  3a) x  3a ;
1
1
1
1


 ... 
(3n  2)(3n  5) ;
b) B = 2.5 5.8 8.11

HD: Thực hiện nhân hai vế với 3 ta được 3.B =
3

3
3
3
3
1
1


 ... 


2.5 5.8 8.11
(3n  2)(3n  5) Từ đó ta có (3n  2)(3n  5) 3n  2 3n  5
3
1
 
Xét từng số hạng cụ thể : 2.5 2
3 1
 
5.8 5

1
5
1
8

…..
3
1
1



(3n  2)(3n  5) 3n  2 3n  5
3
3
3
3
1
1
3n  5  2 3( n  1)


 ... 



2.5 5.8 8.11
(3n  2)(3n  5) = 2 3n  5 2(3n  5) 2(3n  5)
3( n  1)
n 1
 B
2(3n  5)
Hay 3.B = 2(3n  5)

1
1
1
1



 ... 
n(n  1) .
C = 1.2 2.3 3.4

Bài 7. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến x, y, z.
xz
x y
yz


( x  y )( y  z ) ( x  z )( y  z ) ( x  y )( x  z ) .

Bài 8. Thực hiện phép tính :
1
1
1


a(a  b)(a  c) b(b  a)(b  c) c(c  a)(c  b) ;
a2
b2
c2
bc
ac
ab
C


D



(a  b)(a  c ) (b  a )(b  c) (c  a )(c  b) ;
(a  b)(a  c) (b  a )(b  c) (c  a )(c  b) ;
A

1
1
1


(a  b)( a  c) (b  a )(b  c) (c  a )(c  b) ;

B

Bài 9. Xác định các số hữu tỷ a, b, c sao cho:
1
ax  b
c
 2

a) ( x  1)( x  1) x  1 x  1 ;
2

1
1
1

Đáp số: Dùng phương pháp đồng nhất ta được a = 2 , c = 2 , b = 2 .
1
a

b
c
1
1
 

a  ; b  1; c 
x
(
x

1)(
x

2)
x
x

1
x

2
2
2)
b)
;
(ĐS :
1
a
b

c



2
2
c) ( x  1) ( x  2) x  1 ( x  1) x  2 . (ĐS: a = -1; b = 1; c = 1)


1 1 1
a b c   
a b c (2)

Bài 10. Cho abc = 1 (1)
Chứng minh trong 3 số a, b, c tồn tại một số bằng 1.
a b c 

bc  ac  ab
abc

Từ (2) :
Do abc = 1 nên a + b + c = ab + bc + ca

(3)


Để chứng minh trong 3 số a, b, c có một số bằng 1 ta chúng minh: (a - 1)(b - 1)(c - 1)
=0
Xét (a - 1)(b - 1)(c - 1) = (ab - a - c + 1)(c - 1) = (abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1)
= (abc - 1) + (a + b + c) - (ab + bc + ca)

Từ (1) và (3) suy ra biểu thức trên bằng 0, tồn tại một trong ba thừa số a - 1, b - 1, c 1 bằng 0, do đó tồn tại một trong ba số a, b, c bằng 1.
x
2x  3y

Bài 11. Cho 3y - x = 6. Tính giá trị của biểu thức : A = y  2 x  6 .
3 y  6 2 x  ( x  6)

3  1 4
x 6
HD : A = y  2
.
x2 y 2 z 2 x2  y 2  z 2
  
5
Bài 12. Tìm x, y, z biết : 2 3 4
.
2
2
x
x   y2 y2   z2 z2 
x2 y 2 z 2 x2  y 2  z 2


  
  
 0
  
2
5
3

5
4
5






2
3
4
5

Từ

suy ra :

3 2 2 2 1 2
x  y  z 0  x  y  z 0.
10
15
20
1
1
x 2  y 2  2  2 4
x
y
Bài 13. Tìm x, y biết:
.



 2 1   2 1 
 x  2    y  2  4 
x  
y 
Ta có 
1

 x  x
 x 2 1
 
  2
y 1
 y 1
y



 2 1
  2 1
 x  2  2    y  2  2  0 
x
y

 


2

2

1 
1

 x     y   0
x 
y


Có bốn đáp số như sau:

x
y

1
1

1
-1

-1
1

-1
-1

1 1 1
1 1 1
  2

 2  2 2
2
Bài 14. Cho biết : a b c
(1), a b c
(2). CMR a + b + c = abc.
1 1 1
1
1 
 1
 2  2  2
   4
2
 ab ac bc 
Từ (1) suy ra : a b c
1
1
1
a b c
  1 
1  a  b  c abc
abc
Do (2) nên : ab ac bc
a 2 b2 c2
a b c
x y z
 2 2
,




2
  0
2
x
y
z .
x
y
z
a
b
c
Bài 15. Cho
(1)
(2). Tính giá trị biểu thức:

Từ (1) suy ra : bcx + acy + abz = 0
2

2

2

(3)

 ab ac bc 
a
b
c
 2  2  2

   4
2
 xy xz yz 
Từ (2) suy ra : x y z
a 2 b2 c 2
abz  acy  bcx
 2  2 4  2
4
2
x
y
z
xyz
Do đó :


1 1 1
3
 3 3
3
Bài 16. Cho (a + b + c) = a + b + c và a, b, c khác 0. CMR: a b c abc .
ab  bc  ca
1 1 1
0    0
abc
a b c
Từ giả thiết suy ra : ab + bc + ca = 0.Do đó :
2

2

2

2

Sau đó chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z3 = 3xyz.
a b c b c a
    
Bài 17. Cho b c a a b c . CMR: trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau.
2
2
2
Từ giả thiết suy ra : a2c + ab2 + bc2 = b2c + ac2 +a2b  a (c  b)  a(c  b )  bc(c  b) 0
 (c  b)(a 2  ac  ab  bc) 0  (c  b)(a  b)( a  c) 0

Tóm lại một trong các thừa số c- b, a - b, a - c bằng 0. Do đó trong ba số a, b, c tồn tại
hai số bằng nhau.
Bài 18. Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên :
2 x3  6 x 2  x  8
5
A 2 x 2  1 
x 3
x  3  x    2; 2; 4;8 )
a)
;
(ĐS :
3
x 4  2 x3  3x 2  8 x  1
B x 2  4 
 x   0; 2

B
2
( x  1) 2
x  2x 1
b)
; (ĐS :
)
A

x 4  3x 3  2 x 2  6 x  2
2
C x 2  3x  2
 x   0
2
x 2
x 2
c)
. (ĐS :
1
1
2
4
8
A




2
4

1  x 1  x 1  x 1  x 1  x8
Bài 19. Rút gọn biểu thức :
C

Rút gọn bằng cách quy đồng từng đôi một :
1
1
2
4
8
2
2
4
8
4
4
8
A











2

4
8
2
2
4
8
4
4
1  x 1  x 1  x 1  x 1  x 1  x 1  x 1  x 1  x 1  x 1  x 1  x8
8
8
16


8
8
16
= 1 x 1 x 1 x

Chú ý: Khi trình bày phải viết thêm điều kiện để biểu thức có nghĩa.
3
5
2n  1

 ... 
2
2
2
(1.2) (2.3)
 n(n 1)

Bài 20. Rút gọn biểu thức : B =
Ta tách từng phân thức thành hiệu của phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp,
2k  1
( k  1) 2  k 2 1
1

 2
2
2
2
2
k (k  1)
k
(k  1) 2
ta được : k (k  1)
1 1 1 1
1
1
1
n(n  2)
 2  2  2  ...  2 
1 

2
2
2
n (n  1)
(n  1)
(n  1) 2

Do đó B = 1 2 2 3

VII) Phép nhân các phân thức đại số.
A C A.C
 
1) Kiến thức cơ bản: B D B.D .

2) Tính chất cơ bản:
A C E A C E
       
- Kết hợp:  B D  F B  D F 
A C E  A C A E
     
B
- Phân phối đối với phép cộng:  D F  B D B F .
A C C A
  
- Giao hoán: B D D B


3) Bài tập cơ bản:
Bài 1. Làm tính nhân phân thức :
24 y 5
2
b) 7 x

10 x 3 121y 5

2
11

y
25 x ;
a)
18 y 3   15 x 2 
  

25 x 4   9 y 3 

 21x 
 
3 
 12 y  ;


2 x 2  20 x  50 x 2  1
4 x  8 2 x  20




3
2
3
x

3
4( x  5)3 ;
(
x


10)
(
x

2)

c)
;
d)
;
e)
( x 2  xy ) 2
x3  y 3
( x 2  1)( x 4  1)( x8  1)
x 2  6 x  9 x3  27


2
2
3
2 2
3
2
x16  1
f) x  y x y  x y  xy ;
g)
. h) x  3 x  9 3 x  9 ;
1
x 2  ax  bx  ab x 2  2ax  a 2
3

3

(
x

8
y
)
 2
2
2
2
2
i) 5 x  10 xy  20 y
;
j) x  ax  bx  ab x  bx  b ;
a 2  ax  ba  bx a 2  ax  bx  ab
 2
2
k) a  ax  ab  bx a  ax  bx  ab ;

x 2  ax  3a  3x x 2  4 x  ax  4a
 2
2
l) x  3a  ax  3x x  4 x  ax  4a .

Bài 2. Rút gọn biểu thức (chú ý thay đổi dấu để thấy được nhân tử chung).
x  3 8  12 x  6 x 2  x 3

2

9 x  27
a) x  4
;

3x 2  x 1  x 4

2
x

1
(1  3 x)3 .
c)

6 x  3 25 x 2  10 x  1

2
1  8x3
b) 5 x  x
;

Bài 3. Phân tích các tử thức và mẫu thức (nếu cần thì dùng phương pháp thêm bớt
cùng một hạng tử hoặc tách một số thành hai số hạng) rồi rút gọn biểu thức :
x  2 x2  2 x  3
 2
a) x  1 x  5 x  6 ;

x2
x 2  36
 2
c) 4 x  24 x  x  2 .

x 1
4 x
 2
2
b) x  2 x  8 x  x ;

Bài 4. Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để rút gọn biểu
x3
2 x  1954
x3
21  x
19 x  8 5 x  9 19 x  8 4 x  2






x  1975 x  1 ; b) x  7 x  1945
x  7 x  1945 .
thức: a) x 1975 x  1
x 2  y 2 ( x  y )2
y 2 ( x  y)2
 2 
 2
x

y
x

x

y
x
c)
;
x 4  15 x  7
x
4 x3  4
 2
 4
3
Bài 5. Rút gọn biểu thức :a) 2 x  2 14 x  1 x  15 x  7 ;
 x
y  2
2
x 7  3 x 2  2 3x
x2  x 1




 (x  y )
3
7
2
x 1
x  1 x  3x  2 .
b)
c)  x  y x  y 

;
 x2 y2   x  y
1 

   2

2
y x   x  xy  y x  y 

Bài 6. Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức :
với x = 15, y = 5.
x 32  x16  1
2
4
2
8
4
16
8
x  x 1 x  x 1 x  x 1 x  x  1  2
x  x 1 .
Bài 7. Chứng minh rằng :









CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP:
x2
5
1
 2

Câu 1:Cho biểu thức A = x  3 x  x  6 2  x

a.Tỡm điều kiện của x để A có nghĩa.
b.Rỳt gọn A.
c.Tỡm x để A



3
4 .




d.Tỡm x để biểu thức A nguyên.
e.Tớnh giỏ trị của biểu thức A khi x2 – 9 = 0
(a  3) 2
6a  18
(1  2
)
2
a 9
Câu 2:Cho biểu thức B = 2a  6a

a.Tỡm ĐKXĐ của B
b.Rỳt gọn biểu thức B.
c.Với giỏ trị nào của a thỡ B = 0.
d.Khi B = 1 thỡ a nhận giỏ trị là bao nhiờu ?
x
x2 1


2
Câu 3: Cho biểu thức C 2x  2 2  2x
a.Tỡm x để biểu thức C cú nghĩa.
b.Rỳt gọn biểu thức C.


1
2

c.Tỡm giỏ trị của x để giá trị của biểu thức C
d. Tỡm x để giá trị của phân thức C > 0
Câu 4:Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đâị số.
x 1 x  1
1

1
x  1 x 1
x
x3
1
1


1
1  x3
x
a.
b.
2x2  4x  8
x3  8
Câu 5: Cho phân thức

a)
b)
c)
d)

Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức xác định
Hãy rút gọn phân thức.
Tính giá trị của phân thức tại x = 2
Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức lớn hơn 2.

x2  4 x  4
2
Câu 6: Cho phân thức x  4

a)Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức được xác định.
b)Hãy rút gọn phân thức.
x 3

c)Tính giá trị của phân thức tại
d)Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức nhỏ hơn 2.

Q

a 3  3a 2  3a  1
a2  1

Câu 7: Cho
a) Rút gọn Q.

b) Tìm giá trị của Q khi

a 5

x3
x
2
C 2


x  4 x 2 x2
Câu 8: Cho biểu thức

a) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức C được xác định.
b) Tìm x để C = 0.
c) Tìm giá trị nguyên của x để C nhận giá trị dương.


x  6  2x  6
x
 x
S  2

 2

: 2
 x  36 x  6 x  x  6 x 6  x
Bài 9: Cho

a) Rút gọn biểu thức S.
b) Tìm x để giá trị của S = -1
 2x
4 x2
2  x  x2  3x
P 


:
2  x x 2  4 2  x  2 x 2  x3

Câu 10: Cho

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của S xác định.
b) Rút gọn P.
x  5 2

c) Tính giá trị của S với
d) Tìm x để giá trị của x để P < 0

Câu 11 :

3
x  3  4x 2  4

 x 1
B 
 2

. 5
 2x  2 x  1 2x  2 
Cho biểu thức:

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định?
b) CMR: khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó khơng phụ thuộc vào
giá trị của biến x?
C

3x 2  x
9 x 2  6 x 1 .

Câu 12: Cho phân thức
a/ Tìm điều kiện của x để phân thức được xác định.
b/ Tính giá trị của phân thức tại x = - 8.
c/ Rút gọn phân thức.
e/ Tìm x để giá trị của phân thức nhận giá trị âm
3 x 2 +3 x
Câu 13/ Cho phân thức : P = ( x+1 )(2 x−6)
a/Tìm điều kiện của x để P xác định.
b/ Tìm giá trị của x để phân thức bằng 1
c/ Tìm x để giá trị của phân thức nhận giá trị dương