Luyện thi ĐH Phần nhị thuc niu ton

NHỊ THỨC NEWTON
1. Công thức Newton
Định lí:
0 1 1 2 2 2 1 1
( ) ...
n n n n n n n n
n n n n n
a b C a C a b C a b C ab C b
− − − −
+ = + + + + +
2.Nhận xét
Trong khai triển Newton (a+b)
n
có các tính chất sau
* Gồm có n+1 số hạng
* Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n
*Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
*Các hệ số có tính đối xứng:
k n k
n n
C C
−
=
* Số hạng tổng quát :
1
k n k k
k n
T C a b
−
+
=

VD: Số hạng thứ nhất
0
1 0 1
n
n
T T C a
+
= =
, số hạng thứ k
1 1 1
( 1) 1
k n k k
k n
T C a b
− − + −
− +
=
3. Một số hệ quả
Hq: Ta có :
0 1 2 2
(1 ) ...
n n n
n n n n
x C xC x C x C+ = + + + +
Từ khai triển này ta có các kết quả sau
*
0 1
... 2
n n

n n n
C C C+ + + =
*
0 1 2
... ( 1) 0
n n
n n n n
C C C C− + − + − =
3. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Xác định các yếu tố trong khai triển như
*Xác định hệ số của x
k
trong khai triển
* Xác định hệ số không chứa x
PP: Dùng công thức khai triển , khi đó
1
k n k k
k n
T C a b
−
+
=
VD1: Tìm hệ số của x
7
trong khai triển biểu thức sau

10
9
7 8 9
) ( ) (1 2 )

) ( ) (2 3 )
) ( ) (1 ) (1 ) (2 )
a P x x
b P x x x
c P x x x x
= −
= +
= + + − + +
VD2: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau

12
4
3 17
3
2
2
) ( ) ( ) ( 0)
1
) ( ) ( ) ( 0)
a f x x x
x
b f x x x
x
= − ≠
= + >
VD3: Trong khai triển của
10
1 2
( )
3 3

x+
thành đa thức
2 9 10
0 1 2 9 10
...a a x a x a x a x+ + + + + , hãy tìm hệ số a
k
lớn nhất (
0 10k≤ ≤
).
VD4: Cho khai triển
1 1
0
3 3
2 2
(2 2 ) (2 ) ... (2 )
x x
x x
n n n n
n n
C C
− −
− −
+ = + +
(n là số nguyên
dương). Biết trong khai triển đó
3 1
5
n n
C C= và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm x và n?.
VD5: Xét khai triển

10 11 10
1 11
( 1) ( 2) ...x x x a x a+ + = + + +
. Tính a
5
=?
VD6: Với n là số nguyên dương, gọi a
3n-3
là hệ số của x
3n-3
trong khai triển thành đa
thức của (x
2
+1)
n
(x+2)
n
. Tìm n để a
3n-3
=26n.
Dạng 2: Tính tổng
0
n
k k
k n
k
T a C b
=
=
∑

PP: Dựa vào khai triển nhị thức Newton
0 1 2 2
(1 ) ...
n n n
n n n n
x C xC x C x C+ = + + + + , ta
chọn những giá trị x thích hợp
Ví dụ 1.Cmr:
0 2 2 1 3 2 1
2 2 2 2 2 2
) ... ...
n n
n n n n n n
a C C C C C C
−
+ + + = + + +

0 1 1 0
) ...
k k k k
m n m n m n m n
b C C C C C C C
−
+
+ + + =
Ví dụ 2: Tính các tổng sau

0 1 2
1 1 1
) ...

2 3 1
n
n n n n
a C C C C
n
+ + + +
+

1 2
) 2 ...
n
n n n
b C C nC+ + +

2 3 4
) 2.1. 3.2 4.3 ... ( 1)
n
n n n n
c C C C n n C+ + + + −

0 2 2 4 4 2006 2006
2007 2007 2007 2007
) 2 2 ... 2d C C C C+ + + +
Ví dụ 3: Tìm số nguyên dương n sao cho:
0 1 2
2 4 ... 2 243
n n
n n n n
C C C C+ + + + =
Ví dụ 4: Tìm hệ số của số hạng chứa x

26
trong khai triển nhị thức Newton của
7
4
1
( )
n
x
x
+
, biết
1 2 20
2 1 2 1 2 1
... 2 1
n
n n n
C C C
+ + +
+ + + = − .
Ví dụ 5: Áp dụng khai triển nhi thức Newton của (x
2
+x)
100
, chứng minh rằng
2 99 1 100 99 198 100 199
100 100 100 100
1 1 1 1
100 ( ) 101 ( ) ... 199 ( ) 200 ( ) 0
2 2 2 2
C C C C− + − + =

Ví dụ 6: Tính tổng
2 1
0 1
3 1 3 1
...
2 1
n
n
n n n
S C C C
n
+
− −
= + + +
+
Ví dụ 7: Tính tích phân
1
2
0
(1 )
n
I x x dx= −
∫
và tính tổng
0 1 3 4
1 1 1 1 ( 1)
...
2 4 6 8 2( 1)
n
n

n n n n n
S C C C C C
n
−
= − + − + +
+
Bài tập
1. Xét khai triển
20
1
(2 )x
x
+
a) Viết số hạng thứ k+1 trong khai triển
b) Số hạng nào trong khai triển không chứa x
2. Xác định hệ số của x
4
trong khai triển
2 10
( ) (3 2 1)f x x x= + +
3. Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau

28
3
15
) ( ) ( )
n
a f x x x x
−
= +

biết rằng
1 2
78
n n
n n
C C
− −
+ = với x>0.
b)
7
3
4
1
( ) ( )f x x
x
= +
với x>0
4. Giả sử n là số ngun dương và
0 1
(1 ) ...
n n
n
x a a x a x+ = + + +
. Biết rằng tồn tại số
ngun k (
1 1k n≤ ≤ −
)sao cho
1 1
2 9 24
k k k

a a a
− +
= =
. Tính n=?
5. Tìm hệ số chứa x
8
trong khai triển nhị thứ Newton của
5
3
1
( )
n
x
x
+
, biết rằng
1
4 3
7( 3)
n n
n n
C C n
+
+ +
− = +
6. Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của [1+x
2
(1-x)]

8
.
7. Trong khai triển nhị thức
21
3
3
( )
a b
b a
+
tìm hệ số của số hạng chứa a và b có
số mũ bằng nhau.
8. Cho n là số ngun dương. Tính tổng
2 1
0 1
2 1 2 1
...
2 1
n
n
n n n
S C C C
n
+
− −
= + + +
+
9. Tìm số ngun dương n sao cho
1 2 2 3 3 4 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2.2 3.2 4.2 ... (2 1)2 2005
n n
n n n n n
C C C C n C
+
+ + + + +
− + − + + + =
10. Tìm hệ số của x
7
trong khai triển thành đa thức của (2-3x)
2n
, biết n là số ngun
dương thỏa mãn
1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
... 1024
n
n n n n
C C C C
+
+ + + +
+ + + + =
.
11. Giả sử
2
0 1 2
(1 2 ) ...
n n
n
x a a x a x a x+ = + + + +

, biết rằng
0 1
... 729
n
a a a+ + + =
.
Tìm n và số lớn nhất trong các số a
0
,a
1
,…,a
n
.
12. Cho tập A có n phần tử . Tìm n biết rằng trong số các tập con của A có đúng 16n
tập con có số phần tử lẻ.
13. Tính tổng
1 2 2 2
2 ...
n
n n n
S C C n C= + + +
.
14. Cho
1
2
0
2.4.6....(2 2)2
(1 )
1.3.5....(2 1)(2 1)
n

n n
I x dx
n n
−
= − =
− +
∫
. Hãy tính tổng sau
1 2 3
1 1 1 ( 1)
1 ...
3 5 7 2 1
n
n
n n n n
S C C C C
n
−
= − + − + +
+
15. Tính các tổng sau

1 3 2 3 3 3
2 3
0 1 2 3
1 1 2 2 3 3
) 2 3 ...
2 2 2
) ...
3 4 1

) 3 2 3 3 3 ...
n
n n n n
n
n
n n n n n
n n n n
n n n n
a S C C C n C
b S C C C C C
n
c S C C C nC
− − −
= + + + +
= + + + + +
+
= + + + +
16. .Với mỗi n là một số tự nhiên,hãy tính tổng:
0 1 2 2 3 3
1 1 1 1
2 2 2 ... 2
2 3 4 1
n n
n n n n n
C C C C C
n
+ + + + +
+
Bổ sung các tính chất
Chứng minh các đẳng thức sau:

1
1 1
1
1
1
1 1
2 1
2
1 2 3 4
4
1)
2)
3)
4) 2 (2 )
5) 4 6 4 (4 )
k k k
n n n
k k
n n
k k k
n n n
k k k k
n n n n
k k k k k k
n n n n n n
A kA A
kC nC
C C C
C C C C k n
C C C C C C k n

−
− −
−
−
−
− −
− −
+
− − − −
+
+ =
=
+ =
+ + = ≤ ≤
+ + + + = ≤ ≤
6) mọi n≥2 ta luôn có:
2 2 2
2 3
1 1 1 1
...
n
n
A A A n
−
+ + + =
7) Tính giá trị của biểu thức
4 3
1
3
( 1)!

n n
A A
M
n
+
+
=
+
biết
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + =
8. Tính tổng
2
1
1 1 1
2 ... ...
p n
n n n
n
p n
n n n
C C C
S C p n
C C C
− −

= + + + + +