De 44

www.khoabang.com.vn

Luyén thi trén mang

Cau I. 1) Đề nghị bạn hãytự giải nhé!

2) Khi đó phương trình xÌ - 3x“ - 9x+l=ax+b_

(1)

phải có ba nghiệm phân biệt xị < Xa < X: trong đó 2xa= XỊ + Xa
(1) tương đương với:x” - 3x” -(9+a)x+1-b=0.(2)

Vì đường cong y¡ = xỶ - - 3x” - (9 + a)x + L - b nhận điểm uốn là tâm đối xứng nên để có 2xa = xị + xạ thì cần thiết là

điểm uốn phải thuộc trục hoành (xa là hoành độ điểm uốn).

yịi=6x-6;y ¡=0<x;¿=l,y¡()=0>-I0-a-b=0=>a+b=-l0.
Điều kiện đủ : thay a = -(b + 10) vào (2) ta có:

x° - 3x°-[9-b- 10]x+1-b=04x°-3x°+(1+b)x+1-b=06
(x - 1) [x*-2x-14+b]=0.

(3)

Để (3) có ba nghiệm phân biệt, đối với f(x) =xˆ-2x-l+b, ta phải có:
£

A'=2—b>0
>
(fd)

= b-2240


Vậy điều kiện đối với a và b là: a + b= -10

;b<2.

Khi đó đường thẳng y = ax + b là đường thẳng:
y=ax + (-a - I0) © y = a(x - I) - 10 luôn đi qua điểm (1, - 10) cố định.

Câu II. 1) Biến đổi phương trình như sau:
(cosax + cos2bx) - [cos(a + 2b)x + 1] =0
& 2cosl2

+

\2


(a

2

+

004%

+

b xeos

\2

(a

- bix - re082(2

(a

blixicod—
- bix - codj—

l2

bfx

sin

2

a

+

\2

.
x .sinbx =0.

+

b

blx=0

=0


www.khoabang.com.vn
a)sinbx=0

Luyén thi trén mang

(1)

Nếu b = 0 thì (1) nghiệm đúng với mọi x.

Nếu b = 0 thì có xị = (k€ Z).
.„.8

b)sin—x=0.

2

(2)

x
`

cụ
,
a
.
“
a
2mm
Nếu a = 0 thì (2) nghiệm đúng với mọi x. Nếu a Z 0 thì có xạ =——— (m € 2).

a

(a

C) COS |5 +b]

x=0.

(3)

Néu 5 +b=0(a + 2b =0) thì (3) vơ nghiệm.

Néu 5 +b = 0 (a+ 2b = 0) thì có xạ = (I + 2n)=
+

2b

(ne

Z).
4)

Kết luận : Néu a= 0 hoac b = 0 thi phuong trinh ban dau nghiém diing véi moi x.
Nếu a, b + 0 thì:khi a + 2b = 0, có một ho nghiém:x, = .

(k € Z)

(vì lúc đó xị = xa); khi a + 2b z 0 thì được ba họ nghiệm:

ko

XI———

b

3 X%2=

2m7
a

> X3 =

(l
+ 2n}n
a

+

2b

|

(k, m,n € Z).

2) Ta biết rang sin°A + sin’B + sin*C = 2 + 2cosA cosB cosC,
do vậy nếu ABC không phải là tam giác tù, thì

sin’A + sin’B + sin°C 3 2 ¡ sin“A + sinB°

2 - sinˆC,

dấu đăng thức chỉ xảy ra với tam giác vuông. Mặt khác
sinAsinB > sinAsin B - cosAcosB = -cos(A + B) = cosC,

dấu đăng thức chỉ xảy ra khi hoặc A, hoặc B bằng 90°. Theo gia thiét cosA, cosB, cosC > 0, nên


www.khoabang.com.vn

Luyén thi trén mang

sin°A sin7B 3 cos“C = 1 - sin’C,

thanh thu (1 + sin’A) (1 + sin*B) = 1+ sin’A + sin’ B+ sin’A sin’B > 4 - 2sin’C = 2(2 - sin’C),
vay(1 + sin’A)(1 + sin’B)(1 + sin*C) 3 2(2 - sin’C)(1 + sin’C) = 2(2 + sin’C - sin*C) > 4;
ở bất đẳng thức cuối cùng, dấu = chỉ xay ra khi C = 90°.

Tam giác ABC khơng thể có hai góc vng, vậy(1 + sin"A) (1 + sin“B) (1 + sinC) > 4.
Cau III. 1) a) Dé a, b, c tạo thành ba cạnh của một tam giỏc ta phi cú:

a+b>c

b+c>a

2x +2x+4>x+4x+5
â

2x +4x+6>x

c+a>b

+2x+3<

2x +6x+8Đ>x
+l

x-2x-l>0
x+2x+3>0

x +6x+7>(0.

Gii hộ nay, ta duoc : -00
b) Ta có :r=Š = fe - 8)( ;- b)( - ©), (*)
co

p

p2 (4+b+©)= 2 3X + ố + 9) = (+ Ix +3)
p-a=s(x 42x +3)

p-b=2

p

GẺ + ố +7)
I

-c=—(x*
5 |

5 -2x- 1).
)

Thé vao (*) sé Ager=SŠ

Ve

- 2x - J(X”

+ 6x +

7).


Luyén thi trén mang

www.khoabang.com.vn

2) Thế y = a - x vào phương trình thứ 2 của hệ, ta cd: x* + (x - a)’ =a".

a

(a).

Đặt t= x - — thì có|t
2

+ —|
2

(

{.

+ |t-—

(

Dat t? =z (z > 0) ta c6: 2z7+ Baz

Nếu a = 0 thì có z¡ =Z¿=0

a

a)
2

=a

264 3a? - 2 at =0.

=0. (1)

>t=0=>x=0,y=0.

Nếu a ~ 0 thì (1) ln có hai nghiệm: z¡ < Ư < Z4. (LoạI Z\);

- 3a”

4

+

4a?

a

=

a’

4

a

2

—>ti2=t-.

Từ đó hệ có hai nghiệm xị = 0, y; = a va X2 =a, y2 = O.
Kết luận : hệ ln có hai nghiém:x, = 0, y; = a va X2 = a, y2 = 0.

www.khoabang.comyn

Luyén thi trén mang

Cau IVa.

Gia su ta tim duoc diém B(xp,3) trén dudng thang y = 3
và điểm

,

C(xc,0) trên trục hồnh sao cho A ABC là đều.

Bí

Do đường thẳng (AC) khơng thể song song với trục tung
và trục hồnh nên có phương trình

y=k(x-1)+1(k £0).

I

Từ đó xc=——.
`

4

|

i

|

N

be

k-1

ny

»

7

Gọi M(xạ,.Yuj) là trung điểm đoạn thẳng AC, ta có :

eg 2k=I
2k

¬
YM = >

Vì đường thẳng trung trực (d) của đoạn thang AC qua M va (đ) L (AC) nén (d) c6 phuong trinh :
=—1~x
Do B dnộn

+

ha

My

ơ-

EE

3-_3f, 2k=I\ 1v

kđ

J2

7

x_ TS!

+4

2

_-5k+2k-I

2k

Cui cựng do AB = AC nên bằng cách viết đẳng thức này dưới dạng tọa độ, ta đi đến phương trình

25k! +22k”~3=0 © k=+V3/5.

Vậy, các cặp điểm tương ứng B, C tìm được trên đường thẳng y = 3 và trục hoành để tam giác ABC đều là :
B

2

—5k

+2Zk-I1a

C

K-19

2k

v6i

k

k=J3/5 va k=—-V3/5.
Cau Va.

Dat

f(x)=x* -2n+m,

a) Khi A'
A' =1-m.

m2 1: Do f(z)
> 0, Vx nén

1

1

0

0

I(m) = | | f(x) | dx = | f(x)dx =
= [(x? -2x+m)dx
0

xì
Ị
2
=~
x? +mx || =m-—=.
3
0
3

=

b) Khi A'>0 hay m < 1. Dấu của f(x) được cho bởi kết qua
X

f(x)
Và f{a CÓ :

|

|

+

I-w1-m

0

_

1+vl-—m

0

+


www.khoabang.comyn

Luyén thi trén mang
f(O)=m,

Voi

m

<0:f(0)
ay I(m) J8) x

Vay
Với

1-Vl-m<0;

1
1
2
1(m)= || f(x)|dx =—-]| f(x)dx=——
m.

0
[Fox

1-vl-m<1
1<1+¥Vl-m và ta có : f(x)<0,

Vxe[0;

1].

s_m

<1 :f(0)>0
nên 0<1-vI-m
<1, do đó

f(x) > 0,Vx €[0,1-v1l-m]
f{x)<0,Vx
e[l- VI- m;]]

1

1-V1-m

0

0

Vay I(m)= [|f(x)| dx =
X

=| —~—x*

4

3

+mx

I-MI-m
0

|

1

(x? —2x + m)dx +

X2

+|-—+x-mx
3

1
I-Vi-m

|

1-Vl-m

=

(—x? + 2x — m)dx=

4(-m)N1— m + 3m — 2
3

Cau IVb.

1)

BC LSA

— BC | (SAB)
BC LAD

=> (SBC) L (SAB).
2) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC va BD,
kẻ MK // BD.
Vi

BDLA

4 > BD 1 (SAC) => MK Ll (SAC).

BD LSA

Độ dài MK là khoảng cách từ M tới (SAC) :

MK
_ AMAD | 2MK
xua X2,2
OD
aj/2

3) IO// SA => IO 1 (ABCD) ; IH L MC > OH L MC (định lí ba đường vng góc). Vậy H nằm trên đường
trịn đường kính OC trong mặt phang (ABCD).
Nhan xét : Khi M € AD,

He OHH}

trén hinh 44.

Đảo lại : lấy H' c OHHI, CH' cắt AD tại M'. Chứng minh IH' L CM'. Điều này là hiển nhiên nhờ định lí đảo
của định lí ba đường vng góc.
Kết luận

: Tập hợp hình chiếu H của I trên CM là OHH}.