Tich Phan Dang Bam May Tinh duoc va Ko Bam May Tinh Duoc

Chuyên đề 11

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT
TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Chủ đề 1.1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Chủ đề 1.2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Chủ đề 1.3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Chủ đề 1.4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Chủ đề 1.5. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Chuyên đề 22

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT
TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

CHỦ ĐỀ 2.1. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
CHỦ ĐỀ 2.2. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Chủ đề 2.3 - ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG

Chuyên đề 33

Phương trình, Bất PT mũ và logarit


Chủ đề

3.1 LŨY THỪA

Chủ đề

3.2. LOGARIT

Chủ đề

3.3 HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

Chủ đề

3.4. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Chủ đề

3.5. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Chun đề 44

Ngun hàm Tích phân - Ứng dụng

( 410 câu giải chi tiết )

Chủ đề

4.1. NGUYÊN HÀM

Chủ đề

4.2. TÍCH PHÂN

Chủ đề

4.3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Chuyên đề 55

SỐ PHỨC

Chủ đề 5.1. DẠNG ĐẠI SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC
Chủ đề 5.2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC

CHỦ ĐỀ 5.3 TẬP HỢP ĐIỂM


Chuyên đề 66

BÀI TOÁN THỰC TẾ

6.1. LÃI SUẤT NGÂN HÀNG
6.2 BÀI TỐN TỐI ƯU

Chun đề 77

HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

CHỦ ĐỀ 7.1. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
CHỦ ĐỀ 7.2. QUAN HỆ VNG GĨC. VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN
Chủ đề 7.3. KHOẢNG CÁCH – GÓC
CHỦ ĐỀ 7.4. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Chủ đề 7.5. MẶT CẦU – MẶT NĨN – MẶT TRỤ

Chun đề 88

TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN

8.1 : TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
8.2 : PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
8.3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
8.4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
8.5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
8.6: GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH

Tải trọn bộ Word tất cả chuyên đề 12 tại địa chỉ
/>(Bôi đen rồi nhấn chuột phải chọn Copy và Paste dán vào Trình duyệt Web)

TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b]. Hiệu số
F (b)  F (a ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f ( x),
b

kí hiệu là

f ( x)dx.
a


b
b

Ta dùng kí hiệu

F ( x) a F (b)  F (a)

để chỉ hiệu số F (b)  F (a ) . Vậy

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi

b

f ( x)dx F ( x) a F (b)  F (a)
a

b

b

f ( x)dx

f (t )dt.

hay
chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
a

a

.

Tích phân đó

Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân
b

f ( x)dx
a

là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x ) , trục Ox và hai đường
b

S f ( x)dx.

a
thẳng x a, x b. Vậy
2. Tính chất của tích phân

1.

a

b

f ( x)dx 0

f ( x)dx  f ( x)dx

3.

2.

a

b

c
b

b

b

a

b

5.

a

c

f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a

a

b

(a b c )

a

a

b

[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
a

4.

b

k . f ( x)dx k.f ( x)dx (k  )

a

a

.

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Một số phương pháp tính tích phân
I. Dạng 1: Tính tích phân theo cơng thức
Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:
1

a)

a)

b)

dx
I 
3
0 (1  x )

1

.

x
I 
dx
x 1
0

b)

1

1

1

1

1

2x  9

I 
dx
x 3
0

.
c)
Hướng dẫn giải

dx
d (1  x)
1
I 


3
3
2(1  x) 2
0 (1  x)
0 (1  x )

1

0

3

8

.

d)

x
I 
dx
2
0 4 x

.

x
1 

I 
dx  1 
 dx  x  ln( x  1) 
x 1
x 1 
0
0
1

1

1
0

1  ln 2

.

1

1
2x  9
3 

I 
dx  2 
 dx  2 x  3ln( x  3)  0 3  6ln 2  3ln 3
x 3
x 3
0
0
c)
.
1
1 d 4  x2
1
x
1
3
I 
dx  
ln | 4  x 2 | ln
2
2
0
2 0 4 x

4
0 4 x





d)

.

Bài tập áp dụng
1

1)

I x3 ( x 4  1)5 dx
0

1

.

2)

1

3)

I x 1  xdx

0



0

16

.

4)



I  2 x  3 x  1 dx
I 
0

dx
x 9 

x.

.

.


II.

Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân

b

Sử dụng tính chất

b

b

[f ( x)  g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
a

a

để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

a

2

Ví dụ 2: Tính tích phân
 x  1,
x  1 
 x  1,
Nhận xét:
2

I  | x  1| dx

.
Hướng dẫn giải

2

 1 x 2
.
 2 x   1

1

2

Do đó
1

1

2

2

 x2

 x2

I  | x  1| dx  | x  1| dx  | x  1| dx   x  1 dx   x  1 dx    x     x  5.
 2
 2  2
 1

2
2
1
2
1

Bài tập áp dụng
3

2

I  | x 2  4 | dx

1)

.

4

2)

I  | x3  2 x 2  x  2 | dx
1

.


2
3

I | 2 x  4 | dx

3)

0

I  2 | sin x | dx

.

4)

III.
1) Đổi biến số dạng 1





I  1  cos 2 xdx


2

0
.
5)
Dạng 3: Phương pháp đổi biến số

.

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u u ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn
[a; b] và  u ( x)  . Giả sử có thể viết f ( x) g (u ( x))u '( x), x  [a;b], với g liên tục trên đoạn
[ ;  ]. Khi đó, ta có
b

u (b)

I f ( x )dx 
a

 g (u )du.

u (a )


2

Ví dụ 3: Tính tích phân

I  sin 2 x cos xdx
0

.
Hướng dẫn giải


 
x 0  u (0) 0; x   u   1.
2

 2
Đặt u sin x. Ta có du cos xdx. Đổi cận:

2

1

1 1 1
I  sin 2 x cos xdx u 2 du  u 3  .
3 0 3
0
0

Khi đó
Bài tập áp dụng

1

1
2

1)

I x x  1dx
0
e

3)

I 

1

.

1  ln x
dx
x

2)

I x 3 x  1dx
0

.

e2

.

4)

dx
I 
e 2 x 2  ln x

.

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

Dấu hiệu

1

Có

f ( x)

Có thể đặt
t  f ( x)

Ví dụ
3

I 
0

3

x dx
x  1 . Đặt t  x  1


n
Có (ax  b)

2

1

I  x( x  1) 2016 dx

t ax  b

0

. Đặt t x  1

tan x 3


4
0

e
dx
cos 2 x . Đặt t tan x  3

e

ln xdx
x(ln x  1) . Đặt t ln x  1

3

f ( x)
Có a

t  f ( x)

I 

4

dx
và ln x
Có x

t ln x hoặc biểu thức
chứa ln x

I 

5

x
Có e dx

t e x hoặc biểu thức
x
chứa e

I  e2 x 3e x  1dx

6

Có sin xdx

t cos x

I 2 sin 3 x cos xdx

7

Có cos xdx

t sin xdx

8

dx
2
Có cos x

t tan x

9

dx
2
Có sin x

1

ln 2

0

x
. Đặt t  3e  1



0

. Đặt t sin x

3

sin x
dx
2cos x  1
Đặt t 2cos x  1


1
1
2
I 4
dx

04 (1  tan x) cos2 x dx
0 cos 4 x
Đặt t tan x


I 
0


ecot x
4


1  cos 2 x
6

I 

t cot x

dx 

ecot x
dx
2sin 2 x

. Đặt t cot x

2) Đổi biến số dạng 2
Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x  (t) có đạo hàm
(*)
và liên tục trên đoạn [ ;  ] sao cho  ( ) a, (  ) b và a  (t ) b với mọi t  [ ;  ]. Khi
đó:
b



f ( x)dx f ( (t )) '(t )dt.
a



Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
1.
2.
3.

  
x | a | sin t ; t    ; 
a  x : đặt
 2 2
|a|
  
x
; t    ;  \ {0}
2
2
sin t
x  a : đặt
 2 2
2

2

  
x | a | tan t ; t    ; 
x a :
 2 2
ax
a x
a  x hoặc a  x : đặt x a.cos 2t
2

2

4.
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính
3

I 

tích phân
biến dạng 1.

x 2 dx
x 2  1 thì phải đổi biến dạng 2 cịn với tích phân

0

Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:
1

1

a)

I  1  x 2 dx
0

.

dx

I 
2
0 1 x

b)
.
Hướng dẫn giải

a) Đặt x sin t ta có dx cos tdt. Đổi cận:


x 0  t 0; x 1  t 
2.

I 
0

3

x3 dx
x 2  1 thì nên đổi



2

1
2

Vậy


2

I  1  x dx  | cos t |dt cos tdt sin t
0

0


|02

1.

0

 x 0  t 0



2
x 1  t 

dx

1

tan
t
dt

4.
b) Đặt x tan t , ta có
. Đổi cận: 






1

Vậy



4
dx

I 

dt t |04  .

2
4
0 1 x
0

IV.

Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần.

Định lí : Nếu u u ( x) và v v( x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ a; b] thì
b

b

b

u ( x)v '( x)dx  u ( x)v( x)  a  u '( x)v( x)dx
a

b

a

b

b
udv uv |a  vdu

hay viết gọn là a
Dạng P(x): Đa thức
hàm

Q(x):

sin  kx 

a

hay

cos  kx 

* u P ( x )
* dv là Phần còn lại
của biểu thức dưới
dấu tích phân

Cách
đặt

,

b

. Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính

P(x): Đa thức
Q(x): e

P(x): Đa thức
Q(x): ln  ax  b 

kx

* u P ( x )
u ln  ax  b 
* dv là Phần còn *
lại của biểu thức * dv  P  x  dx

dưới dấu tích phân

I P( x).Q ( x )dx
a

P(x): Đa thức
1
1
2
2
Q(x): sin x hay cos x

* u P ( x )
* dv là Phần cịn lại của
biểu thức dưới dấu tích
phân

Thơng thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.

2

I  x sin xdx.

0
Ví dụ 5: Tính các tích phân sau : a)
Hướng dẫn giải

a) Đặt

u x


dv sin xdx

b)

0

.

du dx

ta có v  cos x .


2

Do đó

e 1

I  x ln( x  1)dx

I  x sin xdx   x cos x 


|02

0



2



 cos xdx 0  sin x |02 1.
0

1

 du  x  1 dx

2
u ln( x  1)
v  x  1

2
b) Đặt  dv xdx
ta có 
e 1


x 2  1
I  x ln( x  1) dx  ln( x  1)

2 

0
2



2

2

e 1


0

e  2e  2 1 e  4e  3 e  1


.
2
2
2
4

Bài tập áp dụng

1
2

e 1

( x  1)dx 
0



e 2  2e  2 1  x 2
   x
2
2 2


e 1
0


1

1)

x

I (2 x  2)e dx
0


2

.

2)

I  2 x.cos xdx
0

2

.

3)

x
I  x .sin dx
2
0

1

2

.

4)

I ( x  1) 2 e 2 x dx
0

.


C. BÀI TẬP
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 1. Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
b

A.

b

a

a

b

C.

b

b

 f ( x)  g ( x) dx f ( x)dx  g ( x)dx
a

.

B.

b

a

b

b

kf ( x)dx k f ( x)dx
a

a

f ( x)dx  f ( x)dx

a

.

D.

.

b

xf ( x)dx x f ( x)dx
a

a

.

Câu 2. Cho hàm số f liên tục trên  và số thực dương a . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào
luôn đúng?
A.

a

a

a

a

f ( x)dx 0

f ( x)dx 1

f ( x)dx  1

f ( x)dx  f (a)

a

.

B.

a

.

C.

a

.

D.

a

1

Câu 3. Tích phân
A.  1 .

dx

có giá trị bằng
B. 1 .

0

C. 0 .

D. 2 .

a

e

x 1

dx e2  1

Câu 4. Cho số thực a thỏa mãn  1

A. 1 .
B.  1 .

, khi đó a có giá trị bằng
C. 0 .

D. 2 .

Câu 5. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0;  ] đạt giá trị bằng 0 ?
A. f ( x) cos 3x .
B. f ( x ) sin 3 x .
x 
f ( x) cos   
4 2.
C.

x 
f ( x) sin   
4 2.
D.

Câu 6. Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác 2 ?
A.

e2

1



2

ln xdx

2dx

sin xdx

xdx

1

.

B.

0

.

C.

0

1

.

D.

0

2

f ( x)dx  f ( x)dx

2
Câu 7. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn  1
x
A. f ( x ) e .
B. f ( x) cos x .
C. f ( x) sin x .

?
D. f ( x)  x  1 .

5

dx
I 
x có giá trị bằng
2
Câu 8. Tích phân
1
ln 3
A. 3ln 3 .
B. 3
.

2

Câu 9. Tích phân

dx
I 
 sin x
3

có giá trị bằng

C.

.

ln

5
2.

D.

ln

2
5.

.


1 1

ln
A. 2 3 .

1
ln 3
C. 2
.

B. 2 ln 3 .

D.

2 ln

1
3.

0

Câu 10. Nếu

 4  e

 x /2

 dx K  2e

thì giá trị của K là
B. 9 .
C. 11 .

2

A. 12,5 .

D. 10 .

1

1
I  2
dx
x  x 2
0

Câu 11. Tích phân
2 ln 2
A. 3 .

có giá trị bằng
2 ln 2

3 .
B.

C.  2 ln 2 .

Câu 12. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho

D. 2 ln 2 .

5

5

f ( x)dx 2

g ( x)dx  4

1

và

1

. Giá trị của

5

 g ( x) 

f ( x)  dx
là

1

A.  6 .

B. 6 .

Câu 13. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu
trị bằng
5
A. 7 .
B. 2 .
Câu 14. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu
trị bằng
A. 5 .
B.  5 .

C. 2 .

D.  2 .

3

3

f ( x)dx 2

 x  2 f ( x) dx

0

thì tích phân

0

1
D. 2 .

C. 5 .
5

3

5

f ( x)dx 2

f ( x)dx 7

f ( x)dx

1

có giá

và

1

C. 9 .

thì

3

có giá

D.  9 .

Câu 15. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai?
3

A.

1

2

3

x
x
e dx  e  1

.

2

C.

cos xdx  sin x 



B.

1

x dx  ln x 

3
2

2
3

.
2

 x2



x  1 dx   x 

 2
1.
D. 1

2



.

Câu 16. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b] . Trong
các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?

b

A.

f ( x)dx F (b)  F (a)

.
B. F '( x)  f ( x) với mọi x  (a; b) .
a

b

C.

f ( x)dx  f (b) 
a

f (a )
.


b

D. Hàm số G cho bởi G ( x) F ( x)  5 cũng thỏa mãn

f ( x)dx G (b)  G(a)
a

.

Câu 17. Xét hàm số f liên tục trên  và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng
định nào sai?
b

A.

a

b

f ( x)dx f ( x)dx 

b

a

c

f ( x)dx

f ( x)dx f ( x)dx  f ( x)dx

b

c

b

.

c

f ( x)dx f ( x)dx  f ( x)dx

C.

a

a

B.

.

c

c

b

a

a

c

b

c

c

f ( x)dx f ( x)dx  f ( x)dx

D.

a

a

b

.
.

a; b 
Câu 18. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn 
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
b

A. Nếu m  f ( x ) M x  [a; b] thì

m(b  a ) f ( x)dx M (a  b)
a

.

b

f ( x)dx m(b  a)

B. Nếu f ( x) m x  [a; b] thì

.

a

b

C. Nếu f ( x) M x  [a; b] thì

f ( x)dx M (b  a)
a

.

b

D. Nếu f ( x) m x  [a; b] thì

f ( x)dx m(a  b)
a

.

Câu 19. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] sao cho g ( x ) 0 với mọi x  [a; b] . Xét các
khẳng định sau:
b

I.

b

b

 f ( x)  g ( x) dx f ( x)dx  g ( x)dx
a

a

b

II.

b

.

b

 f ( x)  g ( x) dx f ( x)dx  g ( x)dx
a

a

b

III.

a

a

b

 f ( x).g ( x) dx f ( x)dx.g ( x)dx
a

.

b

a

a

.

b

f ( x)dx

f ( x)
a
dx  b

g ( x)
a
g ( x)dx
b

a
IV.
.
Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .

D. 4 .

3

Câu 20. Tích phân

x( x  1)dx
0

có giá trị bằng với giá trị của tích phân nào trong các tích phân dưới đây?

2

A.

2
 x  x  3 dx
0

ln 10

3

.

B.

3 sin xdx
0

.

C.

2x
 e dx
0



.

D.

cos(3x   )dx
0

.


Câu 21. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

b

A. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn  a; b  , sao cho

f ( x)dx 0
a

thì f ( x) 0 x  [a; b] .

3

f ( x)dx 0

B. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [ 3;3] , ln có
b

C. Với mọi hàm số f liên tục trên  , ta có

3

.

a

f ( x)dx f ( x)d ( x)
a

b

5

D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn  1;5 thì

 f ( x)

2


dx 

1

.

f ( x) 
3

3 5

1

.

Câu 22. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
1

0

f ( x)dx  f ( x)dx

A. Nếu f là hàm số chẵn trên  thì 0
0

B. Nếu

f ( x)dx f ( x)dx

1

1

.

1

0

thì f là hàm số chẵn trên đoạn [ 1;1] .

1

C. Nếu

f ( x)dx 0

1

thì f là hàm số lẻ trên đoạn [ 1;1] .

1

D. Nếu

f ( x)dx 0

1

thì f là hàm số chẵn trên đoạn [ 1;1] .
2
6

x

5

6

sin 5 xdx

Câu 23. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y  x sin x trên khoảng (0; ) . Khi đó 1
có giá trị bằng
A. F (2)  F (1) .
B.  F (1) .
C. F ( 2) .
D. F (1)  F (2) .
b2

b

Câu 24. Cho hàm số f liên tục trên  và hai số thực a  b . Nếu

có giá trị bằng

A. 2 .
B. 2 .
C.  .

f ( x)dx 
a

thì tích phân

 f (2 x)dx

a 2

D. 4 .

3
5
Câu 25. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y x sin x trên khoảng (0; ) . Khi đó tích phân
2

81x

3

sin 5 3 xdx

có giá trị bằng
3 F (6)  F (3) 

A. 
.
B. F (6)  F (3) .
1

C.

3  F (2)  F (1)

.

D. F (2)  F (1) .

2

Câu 26. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn
 2

 f (2sin x) cos xdx
0

là

f ( x)dx 6
0

. Giá trị của tích phân


A.  6 .

B. 6 .

C.  3 .

D. 3 .

e

ln x  1 ln x
dx
x
1
Câu 27. Bài tốn tính tích phân
được một học sinh giải theo ba bước sau:
1
dt  dx
x
I. Đặt ẩn phụ t ln x  1 , suy ra
và
x
e
1
t
1
2
e
2
ln x  1 ln x
I 

dx  t  t  1 dt
x
1
1
II.
I 

2

2

2 

I  t  t  1 dt  t 5 
 1  3 2
t

1
1
III.
.
Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Bài giải đúng.
B. Sai từ Bước II.
C. Sai từ Bước I.

D. Sai ở Bước III.

 3

Câu 28. Xét tích phân
sau đây

sin 2 x
I 
dx
1  cos x
0

 4

A.

2t
I  
dt
1 t
0

. Thực hiện phép đổi biến t cos x , ta có thể đưa I về dạng nào
1

 4

.

2t
I 
dt
1 t

0

B.

.

C.

2t
I   dt
1 1 t
2

1

.

D.

2t
I 
dt
1 1 t
2

.

Câu 29. Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] . Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào
luôn đúng?
A.

C.

b

b

b

 f ( x) dx 

f ( x)dx

f  x  dx  f ( x) dx

b

b

a

 f ( x) dx  f ( x)dx
a

.

a

a

B.

.

D.

b

a

a

b

b

f  x  dx   f ( x) dx
a

a

.
.

Câu 30. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
1

A.

1

sin(1  x)dx sin xdx
0



C.

1

0

x

B.

x

dx 0
.

0

1

sin 2 dx 2 sin xdx
0

.

 2

(1  x)

.

0

D.

x

2017

(1  x) dx 

1

2
2019 .

Câu 31. Cho hàm số y  f ( x) lẻ và liên tục trên đoạn [  2; 2] . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào
luôn đúng?
2

A.
C.

2

f ( x)dx 2f ( x)dx

2

0

2

0

f ( x)dx 2 f ( x)dx

2

2

2

.

B.

f ( x)dx 0

2
2

.

D.

.
2

f ( x)dx  2f ( x)dx

2

0

.


1

I  ( x  1) 2 dx

2
Câu 32. Bài tốn tính tích phân
được một học sinh giải theo ba bước sau:
2
I. Đặt ẩn phụ t ( x  1) , suy ra dt 2( x  1)dx ,

dt
dt
dx 
dx
2 t
II. Từ đây suy ra 2( x  1)
. Đổi cận
x

2
t
1
1

4

1
4

4

1
7
I  ( x  1) dx 
dt  t 3 
3
3.
1
2
1 2 t
III. Vậy
Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Sai từ Bước I.
B. Sai ở Bước III.
C. Sai từ Bước II.
2

t

D. Bài giải đúng.

Câu 33. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài tốn tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5 điểm,
mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm. Học sinh đã giải 4
bài tốn đó như sau:
Bài
Đề bài
Bài giải của học sinh
1

e

1

x2

xdx

0

1

1
dx
2

x  x 2
0

2



sin 2 x cos xdx

3

1

2

1

1 x2  2  e x
e
xdx

e d x 


2
2
0
0
x2

4

0

e 1
2

1
1
2


dx

ln
x

x

2
0 ln 2  ln 2 0

x2  x  2
0
Đặt t cos x , suy ra dt  sin xdx . Khi x 0 thì t 1 ; khi
x  thì t  1 . Vậy
1

2t 3
sin
2
x
cos
xdx


2
sin
x
cos
xdx

2
t
dt




3
0
0
1





2

e

1  (4  2e) ln x
dx


x
1



1

0

e

1

1

2


1

4
3

e

1  (4  2e) ln x
dx  1  (4  2e) ln x  d  ln x 
x
1
1



e

 x  (4  2e) ln 2 x  1 3  e

Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?
A. 5,0 điểm.
B. 2,5 điểm.
C. 7,5 điểm.

D. 10,0 điểm.

Câu 34. Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [a; b] . Gọi F và G lần lượt là một nguyên
hàm của f và g trên đoạn [a; b] . Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
b

A.

f ( x)G( x)dx  F ( x) g ( x)
a

b

B.

f ( x)G( x)dx  F ( x)G ( x)
a

b

C.
D.

b
a

b
a

b

 F ( x )G ( x)dx
a

 F ( x ) g ( x)dx
a

b

a

a

b

b

a

b
a

.

b

f ( x)G( x)dx  f ( x) g ( x) a  F ( x) g ( x)dx
f ( x)G( x)dx  F ( x)G( x)

.

b



f ( x) g ( x)dx
a

.
.


0

I  xe x dx

Câu 35. Tích phân
2

A.  e  1 .

2

có giá trị bằng
2
B. 3e  1 .

2
C.  e  1 .

2
D.  2e  1 .

Câu 36. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k bất kỳ trong  . Trong các phát
biểu sau, phát biểu nào sai?
b

A

b

a

a

b

C.

b

b

 f ( x)  g ( x) dx f ( x)dx  g ( x)dx
a

.

B.

b

a

b

b

kf ( x)dx k f ( x)dx
a

a

f ( x)dx  f ( x)dx

a

.

D.

.

b

xf ( x)dx x f ( x)dx
a

a

.

Câu 37. Cho hàm số f liên tục trên  và số thực dương a . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào
luôn đúng?
A.

a

a

a

a

f ( x)dx 1

f ( x)dx 0

f ( x)dx  1

f ( x)dx  f (a)

a

.

B.

a

.

C.

a

.

D.

a

1

Câu 38. Tích phân
A. 2 .

dx
0

có giá trị bằng
B.  1 .

C. 0 .

D. 1 .

a

e

x 1

dx e2  1

Câu 39. Cho số thực a thỏa mãn  1
A. 0 .
B.  1 .

, khi đó a có giá trị bằng
D. 1 .

D. 2 .

Câu 40. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0;  ] đạt giá trị bằng 0 ?
A. f ( x) cos 3x .
B. f ( x ) sin 3 x .
x 
f ( x) cos   

4 2.
C.

x 
f ( x) sin   
4 2.
D.

Câu 41. Tích phân nào trong các tích phân sau có giá trị khác 2 ?
A.



1

e2

2

sin xdx

2dx

ln xdx

xdx

0

.

B.

0

.

B.
1

1

.

D.

0

.

2

f ( x)dx  f ( x)dx

2
Câu 42. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn  1
x
A. f ( x) cos x .
B. f ( x) sin x .
C. f ( x ) e .

?
D. f ( x)  x  1 .

Tải trọn bộ Word tất cả chuyên đề 12 tại địa chỉ
/>(Bôi đen rồi nhấn chuột phải chọn Copy và Paste dán vào Trình duyệt Web)

.


5

dx
I 
x có giá trị bằng
2
Câu 43. Tích phân
1
5
ln 3
ln
A. 3
.
B. 2 .

ln

2
5.

C. 3ln 3 .

D.

1
ln 3
C. 2
.

1 1
ln
D. 2 3 .


2

dx
I 
 sin x

Câu 44. Tích phân
1
2 ln
3.
A.

3

có giá trị bằng
B. 2 ln 3 .

0

Câu 45. Nếu

 4  e

 x /2

 dx K  2e

thì giá trị của K là
B. 10 .
C. 11 .

2

A. 9 .

D. 12,5 .

1

Câu 46. Tích phân

1
I  2
dx
x  x 2
0

có giá trị bằng
2ln 2
B. 3 .

A.  2ln 2 .

C.

2 ln 2
3 .



D. Không xác định.

5

5

f ( x)dx 2

Câu 47. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho

1

và

g ( x)dx  4
1

. Giá trị của

5

 g ( x) 
1

f ( x)  dx
là
B. 6 .

A.  2 .

Câu 48. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu
trị bằng
5
A. 7 .
B. 2 .
Câu 49. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu
trị bằng
A.  9 .
B. 5 .

D.  6 .

C. 2 .
3

3

f ( x)dx 2

 x  2 f ( x) dx

0

thì tích phân

C. 5 .
5

3

5

f ( x)dx 2

f ( x)dx 7

f ( x)dx

1

và

1

C. 9 .

2

 x2



x

1
dx

  x

 2
1.
A. 1
2

C.



x

x

3

1

.

2

2

cos xdx  sin x  

e dx  e
1

.

D.

thì

D.  5 .

3

B.

có giá

1
D. 2 .

Câu 50. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai?
2

0

2
1


dx

ln
x
3
x
3

.

3

có giá


Câu 51. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b] . Trong
các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?
A. F '( x)  f ( x ) với mọi x  (a; b) .
b

B.

f ( x)dx  f (b) 

f (a )
.

a

b

f ( x)dx F (b)  F (a)

C.

a

.
b

D. Hàm số G cho bởi G ( x) F ( x)  5 cũng thỏa mãn

f ( x)dx G (b)  G(a)
a

.

Câu 52. Xét hàm số f liên tục trên  và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các phát biểu sau, phát biểu
nào sai?
b

c

b

b

f ( x)dx f ( x)dx  f ( x)dx

A.

a

a

c

b

b

a

f ( x)dx f ( x)dx  f ( x)dx

C.

a

c

c

.

B.

.

c

b

f ( x)dx f ( x)dx  f ( x)dx
a

a

c

b

c

c

f ( x)dx f ( x)dx  f ( x)dx

D.

a

a

b

.
.

Câu 53. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn  a; b  .Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
b

A. Nếu f ( x) m x  [a; b] thì

f ( x)dx m(a  b)
a

.

b

f ( x)dx m(b  a)

B. Nếu f ( x) m x  [a; b] thì

a

.

b

C. Nếu f ( x) M x  [a; b] thì

f ( x)dx M (b  a)
a

.

b

D. Nếu m  f ( x ) M x  [a; b] thì

m(b  a ) f ( x)dx M (a  b)
a

.

Câu 54. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] sao cho g ( x ) 0 với mọi x  [a; b] . Một học
sinh lên bảng và phát biểu các tính chất sau:
b

I.

b

b

 f ( x)  g ( x) dx f ( x)dx  g ( x)dx
a

a

a

b

.

II.

b

 f ( x) 
a

b

g ( x ) dx f ( x )dx 
a

g ( x)dx
a

b

f ( x) dx

f ( x)
a
dx  b

g ( x)
a

g ( x)dx
b

b

b

b

 f ( x).g ( x) dx f ( x)dx.g ( x)dx

a
a
III. a
.
IV.
Trong số các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu sai?
A. 3 .
B. 1 .
C. 2 .

a

.

D. 4 .

3

Câu 55. Tích phân

x( x  1)dx
0

có giá trị bằng với tích phân nào trong các tích phân dưới đây ?

.


3



A.

cos(3x   )dx
0

.

B.

ln 10

2

3 sin xdx
0

.

C.

2
 x  x  3 dx
0

.

D.

e

2x

dx
.

0

Câu 56. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
3

A. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [  3;3] , ln có
b

f ( x)dx 0

3

.

a

f ( x)dx f ( x)d ( x)

B. Với mọi hàm số f liên tục trên  , ta có a

b

.

b

C. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn  a; b  , sao cho

f ( x)dx 0
a

5

1;5
D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn   thì

 f ( x)

2


dx 

1

thì f ( x) 0 x  [a; b] .
f ( x) 
3

3 5

1

.

Câu 57. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
1

0

f ( x)dx  f ( x)dx

A. Nếu f là hàm số chẵn trên  thì 0
0

B. Nếu

.

1

f ( x)dx f ( x)dx

1

1

0

thì f là hàm số chẵn trên đoạn [ 1;1] .

1

C. Nếu

f ( x)dx 0

1

thì f là hàm số lẻ trên đoạn [ 1;1] .

1

D. Nếu

f ( x)dx 0

1

thì f là hàm số chẵn trên đoạn [ 1;1] .
2

sin x
sin x
dx
y

x trên khoảng (0; ) . Khi đó 1 x
Câu 58. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số
có
giá trị bằng
A. F (2)  F (1) .
B.  F (1) .
C. F ( 2) .
D. F (2)  F (1) .
b2

b

Câu 59. Cho hàm số f liên tục trên  và hai số thực a  b . Nếu
có giá trị bằng

A.  .
B. 2 .
C. 2 .

f ( x)dx 
a

thì tích phân

 f (2 x)dx

a 2

D. 4 .
2

sin 3x
sin x
dx
y

x trên khoảng (0; ) . Khi đó 1 x
Câu 60. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số
có
giá trị bằng
3 F (6)  F (3) 
3 F (2)  F (1)
A. F (6)  F (3) .
B. 
.
C. 
.
D. F (2)  F (1) .


2

f

Câu 61. Giả sử hàm số

f ( x)dx 6

liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn

0

. Giá trị của

 2

 f (2sin x) cos xdx
0

là

A. 3 .

B. 6 .

C.  3 .

D.  6 .

e

ln x  1 ln x
dx
x
1

Câu 62. Bài tốn tính tích phân
được một học sinh giải theo ba bước sau:
1
dt  dx
x
I. Đặt ẩn phụ t ln x  1 , suy ra
và
x
e
1
t
1
2
e
2
ln x  1 ln x
I 
dx  t  t  1 dt
x
1
1
II.
I 

2

2

2 


I  t  t  1 dt  t 5 
 1  3 2
t

1
1
III.
.
Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Bài giải đúng.

B. Sai từ Bước II.

C. Sai từ Bước I.

D. Sai ở Bước III.

 3

Câu 63. Xét tích phân
sau đây

sin 2 x
I 
dx
1  cos x
0

1

A.

2t
I 
dt
1 1 t
2

. Thực hiện phép đổi biến t cos x , ta có thể đưa I về dạng nào
1

 4

.

B.

2t
I 
dt
1 t
0

.

C.

2t
I   dt
1 1 t

2

 4

I 
.

D.

2t

1  t dt
0

.

Câu 64. Cho hàm số y  f ( x) bất kỳ liên tục trên đoạn [a; b] . Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng
thức nào luôn đúng?
b

A.
C.

b

b

f  x  dx  f ( x) dx
a

a

.

B.

b

 f ( x) dx  f ( x)dx
a

a

b

b

b

 f ( x) dx 

f ( x)dx

f  x  dx   f ( x) dx

a

a

.

D.

.

b

a

a

.

Câu 65. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
1

1
x

A.

(1  x) dx 0
0



C.

x

.

 2

sin 2 dx 2 sin xdx
0

B.

0

1

sin(1  x)dx sin xdx
0

0

1

.

D.

x

1

2017

(1  x) dx 

.

2
2019 .

Câu 66. Cho hàm số y  f ( x) lẻ và liên tục trên đoạn [  2; 2] . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào
luôn đúng?


2

A.

2

2

.

0

2

C.

2

f ( x)dx  2f ( x)dx

B.

2

0

0

.

2

f ( x)dx 2 f ( x)dx

2

2

f ( x)dx 2f ( x)dx

2

.

f ( x)dx 0

D.

2

.

1

I  ( x  1) 2 dx

2
Câu 67. Bài tốn tính tích phân
được một học sinh giải theo ba bước sau:
2
I. Đặt ẩn phụ t ( x  1) , suy ra dt 2( x  1)dx ,

dt
dt
dx 
dx
2 t
II. Từ đây suy ra 2( x  1)
. Bảng giá trị
x
2
1
t
1
4
4
1
4
t

1
7
I  ( x  1)2 dx 
dt  t 3 
3
3.
1
2
1 2 t
III. Vậy
Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Sai ở Bước III.

B. Sai từ Bước II.

C. Sai từ Bước I.

D. Bài giải đúng.

Câu 68. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài tốn tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5 điểm,
mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm. Học sinh đã giải 4
bài tốn đó như sau:
Bài
Đề bài
Bài giải của học sinh
1

e

1

x2

xdx

0

1

1
dx
2

x  x 2
0

2



sin 2 x cos xdx

3

1

2

1

1 x2  2  e x
e
xdx

e d x 


2
2
0
0
x2

4

0

e 1
2

1
1
2


dx

ln
x


x

2
0 ln 2  ln 2 0

x2  x  2
0
Đặt t cos x , suy ra dt  sin xdx . Khi x 0 thì t 1 ; khi
x  thì t  1 . Vậy
1

2t 3
sin
2
x
cos
xdx

2
sin
x
cos
xdx

2
t
dt





3
0
0
1





2

e

1  (4  2e) ln x
dx

x
1



1

0

e

1

1

2


1

4
3

e

1  (4  2e) ln x
dx  1  (4  2e) ln x  d  ln x 
x
1
1



e

 x  (4  2e) ln 2 x  1 3  e

Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?
A. 7,5 điểm.
B. 2,5 điểm.
C. 5,0 điểm.

D. 10,0 điểm.

Câu 69. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [a; b] . Đẳng thức
nào sau đây luôn đúng?
b

A.

b

b

f ( x)G( x)dx  F ( x) g ( x) a  F ( x)G( x)dx
a

a

.