Ứng dụng của tích phân "đẳng cấp"

C. NG DNG CA TCH PHN VO TNH DIN TCH HèNH PHNG
V TH TCH CA VT TH TRềN XOAY
I. TNH DIN TCH HèNH PHNG
1. Din tớch hỡnh thang cong
Cho hm s
f(x)
liờn tc trờn on [a; b]. Din tớch hỡnh thang cong gii hn bi cỏc ng
y = f(x), x = a, x = b
v trc honh (Ox) hoc y = 0 l
b
a
S = f(x) dx
ũ
Phng phỏp gii toỏn
Bc 1. Lp bng xột du hm s f(x) trờn on [a; b]
Bc 2. Da vo bng xột du tớnh tớch phõn
b
a
f(x) dx
ũ
Vớ d 1.
a. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
y = lnx, x = 1, x = e
v Ox.
b. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi th ca hm s y = sinx trờn on [0;
2
] v Ox
Gii
a. Ta cú sinx = 0 cú 1 nghim x =
( )
0;2

Vy din tớch hỡnh phng cn tỡm l:
S =
2 2
0 0
sinx dx = sinxdx + sinxdx

=
2
0
cosx + cosx
= 4
b. Do
lnx 0 x 1; e
ộ ự
ở ỷ
" ẻ
nờn
( )
e e
e
1
1 1
S = lnx dx = lnxdx = x lnx -1 = 1
ũ ũ
Vy
S = 1
(vdt).
Vớ d 2. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2

y = -x + 4x - 3, x = 0, x = 3
v Ox.
Gii
Bng xột du
x 0 1 3
y 0 + 0
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
S = - -x + 4x - 3 dx + -x + 4x - 3 dx
ũ ũ
1 3
3 3
2 2
0 1
x x 8
= - - + 2x + 3x + - + 2x + 3x =
3 3 3
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ố ứ ố ứ
Vy
8

S =
3
(vdt)
2. Din tớch hỡnh phng
2.1. Trng hp 1.
Cho hai hm s f(x) v g(x) liờn tc trờn on [a; b]. Din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc
ng
y = f(x), y = g(x), x = a, x = b
l
b
a
S = f(x) - g(x) dx
ũ
Phng phỏp gii toỏn
Bc 1. Lp bng xột du hm s
f(x) - g(x)
trờn on [a; b].
Bc 2. Da vo bng xột du tớnh tớch phõn
b
a
f(x) - g(x) dx
ũ
Các trường hợp cụ thể
TH1:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm trong [a; b], khi đó diện tích hình phẳng cần
tìm là:
b
a
S = [f(x)-g(x)]dx
∫

TH2:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm là
1
x a;b
 
 
∈
, khi đó diện tích hình phẳng
cần tìm là:
1
1
x
b b
a a x
S = f(x)-g(x) dx = [f(x)-g(x)]dx + [f(x)-g(x)]dx
∫ ∫ ∫

TH3:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có các nghiệm là
1 2
x ;x a;b
 
 
∈
, khi đó diện tích hình
phẳng cần tìm là:
1 2 2
1
x x x
a x b

S = f(x)-g(x) dx + f(x)-g(x) dx + f(x)-g(x) dx
     
     
∫ ∫ ∫
Chú ý:
+ Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm, làm tương tự trường hợp 3.
+ Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x) = 0
Ví dụ 3:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P
1
): y = x
2
– 2x và (P
2
): y = x
2
+ 1 và các đường thẳng
x = -1; x = 2.
Giải
Ta có x
2
– 2x = x
2
+ 1
Û
2x + 1 = 0
Û
x = -1/2. Do đó :
S =
2 -1/2 2

2 2 2 2 2 2
-1 -1 -1/2
(x -2x)-(x +1) dx = [(x -2x)-(x +1)]dx + [(x -2x)-(x +1)]dx
ò ò ò
=
( ) ( )
-1/2 2
-1 -1/2
2x +1 dx + 2x +1 dx
ò ò
=
( ) ( )
1
- 2
2 2
2
1
-1 -
2
x + x + x + x
=
1 25 13
+ =
4 4 2
2.2. Trường hợp 2.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường
y = f(x), y = g(x)
là
β

α
S = f(x) - g(x) dx
ò
. Trong đó
α, β
là nghiệm nhỏ nhất và lớn
nhất của phương trình
f(x) = g(x)

( )
a b<£ a b£
.
Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình
f(x) = g(x)
.
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số
f(x) - g(x)
trên đoạn
α; β
é ù
ë û
.
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
β
α
f(x) - g(x) dx
ò
.
Ví dụ 4

a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y
2
= 4x và đường thẳng (d): 2x + y – 4 = 0
b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
3 2
y = x +11x - 6, y = 6x
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x
2
và đường thẳng (d): -2x + y – 3 = 0
Giải
a. Ta cú (P): y
2
= 4x

x =
2
y
4
v (d): 2x + y 4 = 0

x =
4- y
2
Phng trỡnh tung giao im ca (P) v ng thng (d) l:
2
y
4
=
4-y
2

y = 2
y = -4



Vy din tớch hỡnh phng cn tỡm l:
S =
2 2 2 3
2 2
2
-4
-4 -4
4- y y y y y y
( - )dy = (2- - )dy = (2y- - ) = 9
2 4 2 4 4 12


b. t
3 2 3 2
h(x) = (x + 11x - 6) - 6x = x - 6x +11x - 6
x = 1
h(x) = 0 x = 2
x = 3
ộ
ờ
ờ
ờ
ờ
ờ

ở
ị
Bng xột du
x 1 2 3
h(x) 0 + 0 0
( ) ( )
2 3
3 2 3 2
1 2
S = x - 6x + 11x - 6 dx - x - 6x +11x - 6 dx
ũ ũ

2 3
4 2 4 2
3 3
1 2
x 11x x 11x 1
= - 2x + - 6x - - 2x + - 6x =
4 2 4 2 2
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ố ứ ố ứ
Vy
1

S =
2
(vdt).
Chỳ ý:
Nu trong on
;
ộ ự
ở ỷ
phng trỡnh
f(x) = g(x)
khụng cũn nghim no na thỡ ta cú th dựng
cụng thc


f(x) - g(x) dx = f(x) - g(x) dx
ộ ự
ở ỷ
ũ ũ
.
Vớ d 5. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
3
y = x , y = 4x
.
Gii
Ta cú
3
x = 0
x = 4x
x = 2
ộ

ờ
ờ
ờ
ở

( ) ( )
0 2
3 3
-2 0
S = x - 4x dx + x - 4x dxị
ũ ũ
0 2
4 4
2 2
-2 0
x x
= - 2x + - 2x = 8
4 4
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ố ứ ố ứ
Vy
S = 8
(vdt)

Vớ d 6. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y = x - 4 x + 3
v trc honh.
Gii
Ta cú
2 2
x - 4 x + 3 = 0 t - 4t + 3 = 0, t = x 0
t = 1 x = 1 x = 1
t = 3 x = 3 x = 3
ộ ộ ộ
ờ ờ ờ
ờ ờ ờ
ờ ờ ờ
ở ở ở

3 3
2 2
-3 0
S = x - 4 x + 3 dx = 2 x - 4x + 3 dxị
ũ ũ
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
= 2 x - 4x + 3 dx + x - 4x + 3 dx
ộ ự
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ

ũ ũ

1 3
3 3
2 2
0 1
x x 16
= 2 - 2x + 3x + - 2x + 3x =
3 3 3
ộ ự
ổ ử ổ ử
ờ ỳ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ố ứ ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
Vy
16
S =
3
(vdt)
Vớ d 7. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2

y = x - 4x + 3
v
y = x + 3
Gii
Phng trỡnh honh giao im
2
x - 4x + 3 = x + 3
2
2
x + 3 0
x = 0
x - 4x + 3 = x + 3
x = 5
x - 4x + 3 = -x - 3
ỡ
ù
ù
ộ
ù
ù
ờ
ộ
ớ
ờ
ờ
ù
ờ
ù
ờ
ở

ù
ờ
ù
ợ ở


Bng xột du
x 0 1 3 5
2
x - 4x + 3
+ 0 0 +
( ) ( ) ( )
1 3 5
2 2 2
0 1 3
S = x - 5x dx + -x + 3x - 6 dx + x - 5x dxị
ũ ũ ũ

1 3 5
3 2 3 2 3 2
0 1 3
x 5x -x 3x x 5x 109
= - + + - 6x + - =
3 2 3 2 3 2 6
ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ

ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ
Vy
109
S =
6
(vdt)
Vớ d 8. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y = x -1 , y = x + 5
Gii
Phng trỡnh honh giao im
2 2
x -1 = x + 5 t -1 = t + 5, t = x 0
2
2
t = x 0
t = x 0
t -1 = t + 5
x = 3
t = 3
t -1 = -t - 5
ỡ

ù
ù
ỡ

ù

ù
ù ù
ộ
ớ ớ
ờ
ù ù
ù ù
ờ
ợ
ù
ờ
ù
ợ ở

( ) ( )
3 3
2 2
-3 0
S = x -1 - x + 5 dx = 2 x -1 - x + 5 dxị
ũ ũ
Bng xột du
x 0 1 3
2
x 1-
0 +
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
S = 2 -x - x - 4 dx + x - x - 6 dxị

ũ ũ

1 3
3 2 3 2
0 1
-x x x x 73
= 2 - - 4x + - - 6x =
3 2 3 2 3
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ố ứ ố ứ
Vy
73
S =
3
(vdt).
Chỳ ý
Nu hỡnh phng c gii hn t 3 ng tr lờn thỡ v hỡnh
II. TNH TH TCH KHI TRềN XOAY
1. Trng hp 1.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
y = f(x) 0 x a;b
ộ ự
ở ỷ

" ẻ
, y = 0,
x = a v x = b (a < b) quay quanh trc Ox l
b
2
a
V = f (x)dx
ũ
.
Vớ d 9. a. Tớnh th tớch hỡnh cu do hỡnh trũn
2 2 2
(C) : x + y = R
quay quanh Ox.
b. Tớnh th tớch ca vt th trũn xoay, sinh ra bi mi hỡnh phng gii hn bi cỏc
ng sau khi nú quay xung quanh trc Ox: x = 1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x
2
2x
Gii
a. Honh giao im ca (C) v Ox l
2 2
x = R x = R
Phng trỡnh
2 2 2 2 2 2
(C) : x + y = R y = R - x
( ) ( )
R R
2 2 2 2
-R 0
V = R - x dx = 2 R - x dxị
ũ ũ

R
3 3
2
0
x 4R
= 2 R x - =
3 3
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố ứ
Vy
3
4R
V =
3
(vtt).
b. Th tớch ca vt th trũn xoay cn tỡm l :

2 2
2 2 4 3 2
-1 -1
S = (x -2x) dx = (x -4x +4x )dx

=

5
2
4 3
-1
x 4
( - x + x )
5 3
=
18
5
(vtt)
Vy
18
V =
5
(vtt).
2. Trng hp 2.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
( )
x g y 0 y c;d


=
, x = 0,
y = c v y = d (c < d) quay quanh trc Oy l
d
2
c
V = g (y)dy
ũ

.
Vớ d 10. Tớnh th tớch hỡnh khi do ellipse
2 2
2 2
x y
(E) : + = 1
a b
quay quanh Oy.
Gii
Tung giao im ca (E) v Oy l
2
2
y
= 1 y = b
b

Phng trỡnh
2 2 2 2
2 2
2 2 2
x y a y
(E) : + = 1 x = a -
a b b

b b
2 2 2 2
2 2
2 2
-b 0
a y a y

V = a - dy = 2 a - dy
b b
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ố ứ ố ứ
ị
ũ ũ

R
2 3 2
2
2
0
a y 4a b
= 2 a y - =
3
3b
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ữ
ố ứ
Vy
2
4a b
V =
3
(vtt).
3. Trng hp 3.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
y = f(x), y = g(x)
, x = a v
x = b (a < b, f(x) 0,g(x) x a; b0 )
ộ ự
ở ỷ
" ẻ
quay quanh trc Ox l
b
2 2
a
V = f (x) - g (x) dx
ũ
Vớ d 11. Tớnh th tớch hỡnh khi do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = x
2
, y
2
= x quay
quanh Ox.
Gii
Honh giao im

4
x 0
x = 0
x = 1
x = x
ỡ
ộ
ù
ù
ờ
ớ
ờ
ù
ờ
ù
ở
ợ


.
( )
1 1
4 4
0 0
V = x - x dx = x - x dxị
ũ ũ
1
5 2
0
1 1 3

= x - x =
5 2 10
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
Vy
3
V =
10
(vtt).
4. Trng hp 4.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
x = f(y), x = g(y)
,
y = c
v
y = d (c < d, f(y) 0,g(y) y c; d )0
ộ ự
ở ỷ
" ẻ
quay quanh trc Oy l
d
2 2
c

V = f (y) - g (y) dy
ũ
Vớ d 12. Tớnh th tớch hỡnh khi do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
2
x = -y + 5
,
x = 3 - y
quay quanh Oy.
Gii
Tung giao im
2
y = -1
-y + 5 = 3 - y
y = 2
ộ
ờ
ờ
ờ
ở

( )
( )
2
2
2
2
-1
V = -y + 5 - 3 - y dyị
ũ
( )

2
4 2
-1
= y -11y + 6y + 16 dy
ũ

2
5 3
2
-1
y 11y 153
= - + 3y + 16y =
5 3 5
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố ứ
. Vy
153
V =
5
(vtt).
III. BI TP RẩN LUYN PHNG PHP GII TON
1. TNH DIN TCH HèNH PHNG
Vớ d 1 : Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi

a/ th hm s y = x + x
-1
, trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x = 1
b/ th hm s y = e
x
+1 , trc honh , ng thng x = 0 v ng thng x = 1
c/ th hm s y = x
3
- 4x , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x = 4
d/ th hm s y = sinx , trc honh , trc tung v ng thng x = 2

Bi 1: Cho (p) : y = x
2
+ 1 v ng thng (d): y = mx + 2. Tỡm m din tớch hỡnh phng
gii hn bi hai ng trờn cú din tớch nh nht
Bi 2: Cho y = x
4
- 4x
2
+ m (C). Tỡm m hỡnh phng gii hn bi (C) v Ox cú din tớch
phớa trờn Ox v phớa di Ox bng nhau
Bi 3: Xỏc nh tham s m sao cho y = mx chia hỡnh phng gii hn bi
3
x -x
y = 0 x 1
y = 0

cú hai phn din tớch bng nhau
Bi 4: (P): y
2
= 2x chia hỡnh phng gii bi x
2
+ y
2
= 8 thnh hai phn
Tớnh din tớch mi phn
Bi 5: Cho a > 0 Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2 2
4
2
4
x + 2ax +3a
y =
1+ a
a -ax
y =
1+ a







Tỡm a din tớch ln nht

Bi 6: Tớnh din tớch ca cỏc hỡnh phng sau:
1) (H
1
):
2
2
x
y = 4-
4
x
y =
4 2







2) (H
2
) :
2
y = x -4x +3
y = x +3

3) (H
3
):
-3x -1
y =
x -1
y = 0
x = 0









4) (H
4
):





2
2
y =x
x =-y
5) (H

5
):
2
y = x
y = 2- x





6) (H
6
):





2
y +x-5= 0
x+y-3=0
7) (H
7
):
lnx
y =
2 x
y = 0
x = e
x =1










8) (H
8
) :





= −
= − +
2
2
y x 2x
y x 4x
9) (H
9
):
2
3 3
y = x + x -
2 2

y = x






10) (H
10
):
2
y -2y + x = 0
x + y = 0





11)
(C): y = x
(d): y = 2- x
(Ox)







12)

x
(C): y = e
(d): y = 2
(Δ):x =1





13)
2
y = 2x +1
y = x -1





14)
2
2
y = - 4-x
x +3y = 0





15)
y = x

x + y-2 = 0
y = 0





16
2
2
x
y =
2
1
y =
1+ x







17
2
y = 2x
y = x, y = 0, y = 3






18)
y = lnx, y = 0
1
x = , x = e
e





19.
2 2
1 1
y = ;y =
sin x cos x
π π
x = ;x =
6 3







20) y = 4x - x
2
; (P) và tiếp tuyến của (P) đi qua M(

5
6
, 6)
21)
2
y = x -4x +5
y = -2x +4
y = 4x -11





22)
2
2
y = -x +6x-5
y = -x + 4x -3
y = 3x -15





23)
y = x
1
y =
x
y = 0

x = e










24)
2
y = x -1
y = x +5





25)
3
2
y = x
y = x






26)
2
y = -3x - x +2
y = 0






27)
2
y = x + 2
y = 4-x





28)
2
2
y = x -2x + 2
y = x + 4x +5
y =1






29)
2
2
y = x -1
y = -x +7






30)
3
y = x
y = 0
x = -2;x =1





31)
y = sinx -2cosx
y = 3
x = 0;x =π






32)
2
y = x +3+
x
y = 0






33)
2
y = x + 2x
y = x + 2





34)
2
2
y = 2x -2x
y = x +3x -6
x = 0;x = 4






35)
2
y = x -5x+6
y = 6





36)
2
2
y = 2x
y = x -2x -1
y = 2





37)
2
y = x -3x+2
y = 2






38)
2
5 6
1
y x x
y x





= − +
= +
39)
2
2
y = x -3x +2
y = -x





40)
2
y = x -4x +3
y = 3






41)
x
-x
y = e
y = e
x =1






42)
2
2 6
x
y =
x -x
x = 0;x =1





43)
y = sin x
y = x -π






44)
2
2
y = 2x
y = x -4x -4
y = 8






45)
2
y = 2x
2x + 2y+1= 0
y = 0





46)
( )
2 2 2 2
y = x a -x

a > 0





47)
2
y = (x +1)
x = sinπy





48)
2
y = x -1
x = 2





49)
2
x = y -1
x = 2






32)
2
x = (y+1)
y = sinx
x = 0





33)
2
2
x
y = 4-
4
x
y =
4 2







34)

4
x = 0;
1
x =
2
x
y = ;y = 0
1-x











35)
x-2
y = 5
y = 0
x = 0;y = 3- x





36)

2
2 2
y = 6x
x + y =16





37)
2
2
y = x
x
y =
27
27
y =
x









38)
2 3

2
y = (4-x)
y = 4x





39)
y = logx
y = 0
1
x = ,x =10
10







40)
2
2
ax = y
ay = x






(a > 0) 41)
2
y = x
y = sin x + x
0 xπ





≤ ≤

42)
2
2 2
y = 2x
27y = 8(x -1)





43) x
2
/25 + y
2
/9 = 1 và hai tiếp tuyến đi qua A(0; 15/4)
44) Cho (P): y = x
2

và điểm A(2; 5) đường thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k. Xác định
k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) nhỏ nhất
45)
3 2
y = x -2x + 4x -3
y = 0





1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (H) có phương trình
x +1
y =
x
và các
đường thẳng x = 1, x = 2 và y = 0 (Ox)
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (P): y = x
2
– 2x và trục hoành.
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (C) có phương trình y = x
4
- 4x
2
+ 5 và
đường thẳng y = 5.
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x
3
–3x , và y = x .
5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

a)
3 2
y = x -x + x +3
; trục hoành; x = -2 ; x = 1
b)
3 2
y = 2x + x +1
; trục hoành; x = 2
c)
3
y = -3x +3x +6
; trục hoành
d)
-3x -1
y =
x -1
và hai trục tọa độ
6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
a) y = x
2
– 2x + 3; y = 5 – x; x = -2; x = 3 b) y = x
2
– 2x + 2; y = -x
2
– x + 3
c)
1
x = 0;x = ;
2
trục Ox và đường cong

4
x
y = ;
1-x
d)
x
y = xe ;y = 0;x = -1;x = 2

e)
1+ lnx
x =1;x = e;y = 0;y =
x
f) y = sin
2
xcos
3
x, trục Ox và hai đường thẳng x = 0; x = 1/2
g)
( )
y = 2+cosx sinx
; y = 0;
π 3π
x = ;x =
2 2
h) x = 1; x = 2; Ox;
( )
3
1
y = ;
x x +1

i) Hai trục tọa độ; đường thẳng x = 1 và đường cong
( )
5
y = x x +1
k)
3 2
y = x -4x + x +6
và trục Ox l)
4
4x
y = ;
x +1
Ox; x = -1; x = 1
Bài 1.
Cho miền (A) giới hạn bởi đồ thị hàm số (P) y=-x
2
-1, tiếp tuyến (d) với (P) tại điểm M(-1;y
0
)
thuộc (P) và trục tung:
1).Tính diện tích của miền (A).
2).Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (A) quanh trục Ox, trục Oy.
Bài 2.
Miền (B) giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số
x -1
y =
x +1
và hai trục tọa độ.
1) Tính diện tích của miền (B).
2) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (B) quanh trục Ox, trục Oy.

Bài 3.
Miền (D) giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số
x -1
y =
x +1
và hai tiệm cận của (C) và hai đường
thẳng x=3, x=-3.
1).Tính diện tích của miền (D).
2). Tính thể tích vật thể sinh ra khi quay (D) quanh trục Ox, trục Oy.
Bài 4.
Miền (E) giới hạn bởi y = e
x
; y = lnx, x = 1, x = e .
1).Tính diện tích của miền (E).
2). Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (E) quanh trục Ox.
Bài 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
Bài 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
Bài3:
Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh
trụcOx
a)
1;0;0;23
3
===−+= xxyxxy
b)
0;633
2
=++−= yxxy
c)
xyxy == ;4

2
Bài5:
Tính thể tích hình tròn xoay giới hạn bởi :
1;;0;ln ==== xexyxxy
tạo nên khi quay quanh trục Ox
Bài6:
Tính thể tích hình tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox miền D giới hạn bởi :
π
π
===+=
xxyxxy ;
2
;0;sincos
44
Bài7:
Tính thể tích hình tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi :
2
;0;0;sincos
2
π
===+=
xxyxxxy
Bài8:
Tính thể tích hình tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox miền D giới hạn bởi :
2;0;ln === xyxy
Bài9:
Cho miền phẳng D giới hạn bởi các đường :










=
≤+−=
≤=
4
)2(3
2
1
)0(
4
1
2
2
x
yyyx
yyx
a)Tính diện tích miền phằng D.
b) Tính thể tích hình tròn xoay tạo nên khi quay miền D quanh Ox
Bài10:
Tính thể tích hình tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi :
2
3
;
3
xy

x
y
==
Bài11:
Tính thể tích khối tròn xoay giới hạn
bởi
1:)(
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
E
quay quanh trục Ox
Bài12:
Cho D là hình phẳng giới hạn bởi các đường :
( )
4;2
2
=−= yxy
Tính thể tích của tròn xoay tạo
nên khi quay miền D quanh.
a)trục ox
b)trục oy
Bài13:
Cho D là hình phẳng giới hạn bởi các đường :

)1ln(
3
xxy +=
,trục ox và đt x=1 .Tính thể tích
của tròn xoay tạo nên khi quay miền D quanh trục ox
Bài14 :
Cho H là hình phẳng giới hạn bởi các đường :
2
1
1
x
y
+
=
, hai trục toạ độ, và đt x=1 .Tính thể
tích của tròn xoay tạo nên khi quay miền D quanh trục oy
Bài15:
Tính thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Oy phần mặt phẳng giới hạn bởi : 2 trục tọa độ ;
đ/t x =1 và đường cong
2
1
1
x
y
+
=
*Diện tích giới hạn 2;3 đường :
Bài16 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
a)
yx =

; x+y –2 =0 ; y = 0
b)
3
;
6
;
cos
1
;
sin
1
22
ππ
==== xx
x
y
x
y
c)trục Ox ; x-y
2
+1 = 0 ; x +y –1 = 0
d)
3
7
;
3
7
3
8
3

2
−
−
=−+−=
x
x
y
xx
y
e)
xyxy == ;
2
f)
exxy
x
x
y ==== ;1;0;
ln
2
g)
1;; ===
−
xeyey
xx
h)
3;34
2
=+−= yxxy
Có chứa trị tuyệt đối nên phải tách để bỏ trị tuyệt đối 2 lần
Bài17:

Cho Para bol : y = x
2
+1 và đường thẳng y = mx +2 . Chứng minh rằng khi m thay đổi
đường thẳng luôn cắt Parabol tại 2 điểm phân biệt . Hãy xác định m sao cho phần diện tích
giới hạn bởi đường thẳng và Parabol là nhỏ nhất
Bài18:
Cho ( P ) y
2
=2x chia hình phẳng giới hạn bởi đường tròn x
2
+ y
2
= 8 thành 2 phần . Tính
diện tích của mỗi phần đó
Bài 19: D –2002
Cho hàm số
( )
)1(
1
12
2
−
−−
=
x
mxm
y
1) Khảo sát hàm số khi m = -1 . Vẽ đồ thị ( C )
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) và hai trục tọa độ
3) Tìm m để đồ thị ( 1) tiếp xúc với y = x.

Bài20 :
Cho hàm số
)1(
3
1
22
3
1
23
−−−+= mxmxxy
Tìm m thuộc khoảng (0; 5/6 ) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và các đ/t :
x= 0 ; x= 2 ; y= 0 có diện tích bằng 4
* Thể tích giới hạn 2 đường:
Bài 23:
Cho miền D giới hạn bởi 2 đường : x
2
+y –2 =0 ; x + y –3 = 0 . Tính thể tích khối tròn xoay
được tạo nên do quay miền D quanh trục hoành.
Bài 24: Cho
1
416
:)(
22
=−
yx
H
1. Viết p/t tiếp tuyến (d) của (H ) đi qua điểm A (2;-1)
2. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do quay
miền phẳng giới hạn bởi ( H ) ; (d) , trục Ox quay quanh Oy.
Bài 24:

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do quay phần mặt phẳng giới hạn bởi các đường
cong
xyxy == ;
2
quay quanh trục Ox.
VẤN ĐỀ 9 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
1) (C) : y = x
2
– 4x + 3 ; trục Ox ; hai đường thẳng x = 0 và x = 4.
2) (C) : y = x – x
2
và trục Ox.
3) (C) : y = – x
2
+ 4x – 3 và các tiếp tuyến với đường cong này tại các
điểm A(0,–3) và B(3,0).
4) (C) : y = Sinx ; trục Ox ; hai đường thẳng
2
π
=x
và
2
3
π
=x
5) (C) : y = 2x
2
– 4x – 6 ; x = –2 và x = 4.
6) (C) : y = lnx ; trục Ox ; và x = e.

7) (C) : y =
1
2
2
−
−
x
x )(
; trục Ox ; hai đường thẳng x = 2 ; x = 4.
8) (C) :
2
3
2
2
4
−−= x
x
y
; trục Ox.
9) (C) : x = 4 – y
2
; trục Oy ; hai đường thẳng y = –2 và y = 2.
10) (C) : x = y
2
+ 4y ; trục Oy.
11) (C) :
xCosxSiny
32
.=
, y = 0 và x = 0 , x =

2
π

12)
0x y+ =
,
2
2 0x x y− + =
.
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
1) (C) : y = x
2
+ 2x ; (D) : y = x + 2.
2) (C) : y =
1
44
2
−
−+−
x
xx
; tiệm cận xiên của (C) và hai đường thẳng
x = 2; x = 4
3) (C) : y = x
2
– 2x và hai tiếp tuyến với (C) tại O(0,0) ; A(3,3).
4) y = Sin
3
x ; y = Cos
3

x ; x = 0 ; x =
2
π
5) (P) : y
2
= 2x và đường thẳng (D) : 2x – y – 2 = 0.
6) (C) : y
2
– 24x = 48 và y = 16 – 8x.
7) (P
1
) : x = –2y
2
và (P
2
) : x = 1 – 3y
2
.
8) y = 0 ; (C) : y = x
3
– 2x
2
+ 4x – 3 và các tt của đường cong (C) tai điểm x = 2
9) y = e
x
, y = lnx , x = 0 , x = 1 , y = a < 0
10) (P):
54
2
+−= xxy

và 2tiếp tuyến của (P) tại A(1, 2) , B(4, 5)
11)
2
y x=
,
2
4y x=
,
4y =
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
1) (C) : y = Sin
2
x + x (0 ≤ x ≤ π) và (D) : y = x.
2) (C
1
) : y
2
= 2x và (C
2
) : 27y
2
= 8(x – 1)
3
.
3) (C) : y
2
= 2x và đường tròn tâm O bán kính R .
4) (C
1
) : x

2
+ y
2
= 4 và (C
2
) : x
2
+ y
2
= 4x (phần chung).
5)
2
ax y=
,
2
ay x=
với
0a >
cho trước
Bài 4: Cho
2
( ):P y x=
. Hai điểm A, B di động trên (P) : AB = 2
1) Tìm tập hợp trung điểm I của AB.
2) Xác định A , B sao cho diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi AB và (P) đạt giá trị
lớn nhất.
Bài 5: Xét hình có diện tích chắn bởi
2
( ):P y x=
và đường thẳng có hệ số

góc k đi qua điểm
(1,4)A
. Xác định k để diện tích đó lớn nhất.
Bài 6: Xét hình có diện tích chắn bởi
2
( ):P y x=
và đường thẳng có hệ số
góc k đi qua điểm trong
0 0
( , )A x y
của (P) (Tức là điểm A với tọa độ
thỏa mãn điều kiện
2
0 0
y x>
). Xác định k để diện tích đó lớn nhất.
Bài 7: Cho
2
( ):P y x=
và
2 2 2
( ) :( 2)C x y R− + =
1) Tìm R để (C) tiếp xúc với (P). Xác định tọa độ các tiếp điểm T và T’.
2) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại T và T’.
3) Tính diện tích tam giác cong giới hạn bởi (P) và 2 tiếp tuyến nói trên.
Bài 8: Cho hàm số (C) :
2
3
( )
8 1

x
y f x
x
= =
+
với
[
)
0,D = +∞
1) Khảo sát biến thiên hàm số.
2) Tính diện tích tam giác cong chắn bởi trục hoành , đồ thị (C) và đường thẳng x = 1
Bài 9: Parabol
2
( ): 2P y x=
chia diện tích của hình tròn tâm O(0,0) bán kính
R =
2 2
theo tỉ số nào.
Bài 10: Cho A là một điểm tùy ý trên
2
( ):P y px=
(p > 0). (D) là một đường
thẳng song song với tiếp tuyến tại A của (P) , (D) cắt (P) tại hai điểm
M , N . Hãy so sánh diện tích tam giác AMN và diện tích của hình hắn
phía trên bởi (D) và phía dưới bởi (P).

VẤN ĐỀ 10 THỂ TÍCH VẬT THỂ
Bài 1: Tính thể tích các vật thể tạo nên khi quay quanh Ox hình phẳng S với
S được giới hạn bởi:
1) (C) : y = 2x – x

2
và trục Ox.
2) S là (E) :
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x

3) S là x
2
+ (y – b)
2
= a
2

4) (C) : y = x
2
; y = 0 ; x = 0 ; x = 1.
5) (C) : y = x
2
– 2x ; y = 0
6) (C) : y =
Cosx
1

; trục Ox ; x = 0 ; x =
4
π
7) (C) : y =
4
4
−x
; trục Ox ; x = 0 ; x = 2
8) (C
1
) : y = x
2
; (C
2
) : y = 2x.
9) y = 0 ;
xxxy
22
sincos +=
; x = 0 ; x =
2
π
10) Hình tròn x
2
+ (y – 2)
2
≤ 1
12) (C): y = x.lnx , y = 0 , x = 1 , x = e
13) y = lnx , y = 0, x = 1 , x = 2
14) y = 0 ,

4 4
cos siny x x= +
,
2
x
π
=
,
x
π
=
15)
2
x
y Sin Cosx=
, y = 0 , x = 0 và
2
x
π
=
16) y = 0 ,
6 6
cos siny x x= +
, x = 0 ,
2
x
π
=

17)

.
x
y x e=
, x = 1 , y = 0
(0 1)x≤ ≤
18) Hình tròn
2 2 2
( )x y b a+ − ≤
, với
2
0 a b< ≤
Bài 2: Cho hình phẳng D giới hạn bởi y
2
= (4 – x)
3
và y
2
= 4x.
1)Tính diện tích miền D.
2)Tính thể tích tròn xoay do D quay quanh Ox.
Bài 3: Gọi (D) là miền giới hạn bởi các đường
3 10y x= − +
,
1y =
và
parabol
2
( ):P y x=

( 0)x >

.Tính vật thể tròn xoay do ta quay (D)
quanh trục Ox tạo nên (Miền (D) nằm ngoài (P))
Bài 4: Gọi miền giới hạn bởi các đường y = 0 ,
2
( ): 2P y x x= −
là (D). Tính
thể tích vật thể được tạo thành do ta quay (D) :
1) Quanh trục Ox.
2) Quanh trục Oy
Bài 5: Cho hình tròn có tâm I(2 , 0) , bán kính R = 1 , quay quanh trục Oy.
Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo nên
1.
2
1
x x
0
(2x 1)e dx
−
−
∫
(§H Dîc_81 )
2. Víi
x 0;
4
π
 
∈
 
 
x¸c ®Þnh a,b sao cho

1 a cosx bcos x
cosx 1 sin x 1 sin x
= +
− +

3. TÝnh
/ 4
3
0
dx dx
I J
cosx
cos x

π
= =
∫
(§H BK TH_82)
4.
/ 2
0
sin x cosx 1
dx
sin x 2cosx 3
π
− +
+ +
∫
(Bé §Ò)
5.

1
3
0
(3x 1)dx
(x 3)
+
+
∫
(Bé §Ò)
6.
1
3
0
xdx
(x 1)+
∫
(Bé §Ò)
7.
1
2
4
0
x 1
dx
x 1
−
+
∫
(Bé §Ò)
8.

2x 2
0
e sin xdx
π
∫
(Bé §Ò)
9.
/ 2
0
cosxdx
2 cos2x
π
+
∫
(Bé §Ò)
10.
1
2
1
dx
x 2xcos 1
,(0< < )
−
α π
− α +
∫
(Bé §Ò)
11.
2a
2 2

a
x a dx ,(a>0)−
∫
(Bé §Ò)
12.
/ 2
3
0
4sin xdx
1 cosx
π
+
∫
(Bé §Ò)
13.
a
2 2
0
x a dx+
∫
(Bé §Ò)
14.
2
0
1 sin xdx
π
+
∫
(Bé §Ò)
15.

3 /8
2 2
/8
dx
sin xcos x
π
π
∫
(Bé §Ò)
16.
2
1
dx
x 1 x 1+ + −
∫
(Bé §Ò)
17. Gpt
x
2
0
(u x )du sin x− =
∫
(Bé §Ò)
18.
b
2
1
xln xdx
∫
(BK_94)

19.
/ 2
2
0
xcos xdx
π
∫
(BK_94)
20.
2
2
2/ 3
dx
x x 1−
∫
(BK_95)
21.
0
cosx sin xdx
π
∫
(BK_98)
22.Cho hµm sè:
f(x) sin x.sin 2x.cos5x=
a. T×m hä nguyªn hµm cña g(x).
b. TÝnh tÝch ph©n:
2
x
2
f(x)

I dx
e 1
π
−π
=
+
∫
(BK_99)
23.
ln 2
2x
x
0
e
dx
e 1+
∫
(BK_00)
24.
1
2
0
x 1
dx
x 1
−
+
∫
(XD_96)
25.

/ 4
0
cosx 2sin x
dx
4cosx 3sin x
π
+
+
∫
(XD_98)
26.
1
3
0
3dx
1 x+
∫
(XD_00)
27.
1
4 2
0
dx
x 4x 3+ +
∫
(§H Má_95)
28.
/3
2 2
/ 6

tg x cot g x 2dx
π
π
+ −
∫
(§H Má_00)
29.
/3
/ 6
dx
sin xsin(x / 6)
π
π
+ π
∫
(§H Má_00)
30.
6 6
/ 4
x
/ 4
sin x cos x
dx
6 1
π
−π
+
+
∫
(§H Má_01)

31.
2
2
1
ln(x 1)
dx
x
+
∫
(§H Hµng H¶i_00)
32.
/ 2
3
sin xdx
sin x cosx
π
+
∫
(§H GT VT_95)
33.
3
5 2
0
x . 1 x dx+
∫
(§H GT VT_96A)
34.
1/9
3x
2 5

0
x 1
5 dx
4x 1
sin (2x 1)
 
+ +
 ÷
−
+
 
∫
(§H GT VT_97)
35.
7/3
3
0
x 1
dx
3x 1
+
+
∫

x
2
4
2
(10 sin x)dx
−

− π
∫
(§H GT VT_98)
36.
1 3
1 0
x
I dx x.arctgxdx
5 4x
−
= +
−
∫ ∫
(§H GT VT_99)
37.
/ 2
2
/ 2
x cosx
dx
4 sin x
π
−π
+
−
∫
(§H GT VT_00)
38.
/ 2
3

0
5cosx 4sin x
dx
(cosx sin x)
π
−
+
∫
(§H GT VT_01)
39.
/ 2
4
4 4
0
cos x
dx
cos x sin x
π
+
∫
(§H GTVT HCM_99)
40.
/3
2
6
/ 4
sin x
dx
cos x
π

π
∫
(§H GTVT HCM_00)
41.
2
2
2
2
x 1
dx
x x 1
−
−
+
+
∫
(HV BCVT_97)
42.
/ 2
3
2
0
sin xcos x
dx
1 cos x
π
+
∫
(HV BCVT_98)
43.

1
4
x
1
x
dx
1 2
−
+
∫
(HV BCVT_99)
44.
2
0
xsin xcos xdx
π
∫
(HV NH_98)
45.
/ 2
2 2
0
I cos xcos 2xdx
π
=
∫

/ 2
2 2
0

J sin x cos 2xdx
π
=
∫
(HV NH HCM_98)
46.
/3
2
0
x sin x
dx
cos x
π
+
∫

1
3
2
0
x
dx
x x 1+ +
∫
(HV NH HCM_00)

1 4
2
2
0 0

sin 4x
xln(x 1)dx dx
1 cos x
+
+
∫ ∫
47.
2
0
1 sin xdx
π
+
∫
(§H NTh¬ng_94)
48.
1 1
2
2 2
0 0
dx x 3x 2
dx
x 3
(x 3x 2)

+ +
+
+ +
∫ ∫
(§H NTh¬ng_99)
49.

( )
/ 4
3
0
cos2x
dx
sin x cosx 2
π
+ +
∫
(§H NTh¬ng_00A)
50.
1
3 2
2
0
x 2x 10x 1
dx
x 2x 9
+ + +
+ +
∫
(§H NTh¬ng_00)
1
2
2
0
x 3x 10
dx
x 2x 9

+ +
+ +
∫
51.
/ 4
6 6
0
sin 4x
dx
sin x cos x
π
+
∫
(§H NTh¬ng_01A)
52.
2
5
2
2
I ln(x 1 x ) dx
−
 
= + +
 
 
∫
(§H KT_95)
53.
1
5 3 6

0
x (1 x ) dx−
∫
(§H KT_97)
54.
/ 4
4 2
0
dx
I dx
cos x x 1
1
5
0
x
J=
π
=
+
∫ ∫
(§H TM_95)
55.
1
0
x 1 xdx−
∫
(§H TM_96)
56.
7 ln 2
9 x

x
3
2
0 0
x 1 e
I dx dx
1 e
1 x
J=
−
=
+
+
∫ ∫
(§H TM_97)
57.
ln2
x
0
dx
e 5+
∫
(§H TM_98A)
58.
4
2
1
dx
x (1 x)+
∫

(§H TM_99)
59.
/ 2
3
0
4sin x
dx
(sin x cosx)
π
+
∫
(§H TM_00)
60.
11
0
sin xdx
π
∫
(HV QHQT_96)
61.
/ 4
2 4
0
sin xcos xdx
π
∫
(§H NN_96)
62.
e
2

1/ 2
ln x
dx
(1 x)+
∫
(§H NN_97)
63.
/ 4
2
0
cos x cos4xdx
π
∫
(§H NN_98)
64.
7/3
3
0
x 1
dx
3x 1
+
+
∫
(§H NN_99)
65.
1
2 2
0
(1 x x ) dx− −

∫
(§H NN_01D)
66.
/ 2
x 2
0
e cos xdx
π
∫
(§H Thuû Lîi_96)
67.
0
1 cos2xdx
π
+
∫
(§H Thuû Lîi_97)
68.
3 2
2
4 2 5
1 1
x 1 dx
I dx
x x 1 x(x 1)
J=
+
=
+ + +
∫ ∫

(§H Thuû Lîi_99)
69.
( )
/ 4
0
ln 1 tgx dx
π
+
∫
(§H Thuû Lîi_01A)
70.
/ 2
2 2
0
3sin x 4cosx
dx
3sin x 4cos x
π
+
+
∫
(§H Thuû Lîi_00)
3
3 2
0
x 2x xdx− +
∫
71.
/ 4
0

sin x.cosx
dx
sin2x cos2x
π
+
∫
(§H V¨n Hãa_01D)
72.
/ 2
2 2 2 2
0
sin xcosx
dx a,b 0
a cos x b sin x
;
π
≠
+
∫
(HV TCKT_95)
73.
2 / 2
2
2
0
x
dx
1 x−
∫
(HV TCKT_97)

74.
/ 4
2
0
x(2cos x 1)dx
π
−
∫
(HV TCKT_98)
75.
/3
2
/ 4
cosx sin x 1
dx dx
3 sin 2x
x 1
1
4
0
x

π
π
+ +
+
+
∫ ∫
(HV TCKT_99)
/ 2

4 3
0 0
sin x 7cosx 6
dx x cos xsin xdx
4sin x 3cosx 5

π π
+ +
+ +
∫ ∫
76.
1
4 2
0
x
dx
x x 1+ +
∫
(HV TCKT_00)
77.
/ 2
2
0
(x 1)sin xdx
π
+
∫
(§H Më_97)
78.
/ 2

3
0
4sin x
dx
1 cosx
π
+
∫
(§H Y HN_95)
79.
1 1
2
2x x
1/ 2 0
dx
1 x dx
e e

−
−
+
∫ ∫
(§H Y HN_98)
80.
4 /3
dx
x
sin
2
π

π
∫
(§H Y HN_99)
81.
/3 2
2
4
2
/ 4 1
x
tg xdx dx
x 7x 12

π
π
− +
∫ ∫
(§H Y HN_00)
82.
3
2
2
x 1dx−
∫
(§H Y HN_01B)
83.
1
2
0
x 1dx+

∫
(§H Y TB_97B)
84.
/ 4
2
0
dx
2 cos x
π
−
∫
(§H Y TB_00)
85.
1
2 3
0
(1 x ) dx−
∫
(§H Y HP_00)
86.
2
/ 2
x
/ 2
x sin x
I dx
1 2
π
−π
π

=
+
∫
(§H Dîc_96 )
87.
/ 2
x
0
1 sin x
e dx
1 cosx
π
+
+
∫
(§H Dîc_00)
88.
10
2
1
xlg xdx
∫
(§H Dîc_01A)
89.
x
ln3 2
2
x
0 0
dx

x.e dx
e 1

−
+
∫ ∫
(HV QY_97)
90.
3 2
3
2 4
2 2
dx sin x
dx
x x 1 4 5x

−
+ +
∫ ∫
(HV QY_98)
91.
1/ 2
0
dx
1 cosx+
∫
(HV QY_99)
92.
/ 2
2

/ 2
cosxln(x 1 x )dx
π
−π
+ +
∫
(HV KT MËt M·_99)
1 /3
4
6 4
0 /6
x 1 dx
dx
x 1 sin xcosx

π
π
+
+
∫ ∫
93.
1
2
0
xtg xdx
∫
(HV KT MËt M·_00)
94.
1
2

0
xdx
(x 1)+
∫
(HV KTQS_95)
95.
/ 4
3
4
0
4sin x
dx
1 cos x
π
+
∫
(HV KTQS_96)
96.
/ 2
3
3
/3
sin x sin x
cotgxdx
sin x
π
π
−
∫
(HV KTQS_97)

97.
1
2
1
dx
1 x 1 x
−
+ + +
∫
(HV KTQS_98)
98.
/ 2
0
cosxln(1 cosx)dx
π
+
∫
(HV KTQS_99)

1/ 3
2 2
0
dx
(2x 1) x 1+ +
∫
99.
( )
2
b
2

2
0
a x
dx
a x
−
+
∫
(a, b lµ sè thùc d¬ng cho tríc) (HV KTQS_01A)
100.
a
2 2 2
0
x x a dx a 0 ,+ >
∫
(§H AN_96)
101.
2
0
xsin xdx
2 cos x
π
+
∫
(§H AN_97)
102.
/ 2 4
3 3
4
0 0

dx
(cos x sin x)dx
cos x

π
+
∫ ∫
(§H AN_98)
1
2x 2
0
xe dx x sin xdx
0

π
∫ ∫
103.
4
2
7
dx
x x 9+
∫
(§H AN_99)
104.
2 2
2 2
0 0
3sin xdx x x 1dx
π

+
∫ ∫
(§H TD TT_00)
105.
2
2
1
(x ln x) dx
∫
(PV BC TT_98)
106.
3
e
2
1
ln 2 ln x
dx
x
+
∫
(PV BC TT_98)
107.
/ 4
2
0
1 sin 2x
dx
cos x
π
+

∫
(PV BC TT_00)
108.
1
3
0
3dx
1 x+
∫
(§H LuËt _00)
109.
1
2 2x
0
(1 x) e dx+
∫
(§H C§_98)
110.
2 / 2 / 2
2
x
0 0 0
dx dx
(2x 1)cos xdx
1 sin 2x
e 1

π π
−
+

+
∫ ∫ ∫
(§H C§_99)
111.
1 2
2x 2
0 1
dx ln(x 1)
dx
e 3 x

+
+
∫ ∫
(§H C§_00)
112.
/ 2 1
x 2
2x
/ 6 0
1 sin 2x cos2x (1 e )
dx dx
sin x cos x
1 e

π
π
+ + +
+
+

∫ ∫
(§H NN I_97)
113.
/ 2 / 2
2x
0 0
cosxdx
e sin3xdx
1 cosx

π π
+
∫ ∫
(§H NN I_98B)
114.
1
19
0
x(1 x) dx−
∫
(§H NN I_99B)
115.
2 / 4
2
3
1 0
dx
xtg xdx
x(x 1)

π
+
∫ ∫
(§H NN I_00)
116.
6
/ 2
4
/ 4
cos x
dx
sin x
π
π
∫
(§H NN I_01A)
117.
2
1
ln(1 x)dx +
∫
(§H L©m NghiÖp_97)
118.
1
4
2
1
x sin x
dx
x 1

−
+
+
∫
(§H L©m NghiÖp_98)
119.
/ 2
0
dx
2 sin x cos x
π
+ +
∫
(§H L©m NghiÖp_00)
120.
1
2
0
x .sin xdx
∫
(§H SP HN I_99D)
121.
a
2 2 2
0
x a x dx (a 0) − >
∫
(§H SP HN I_00)
122.
1

3 2
0
x 1 x dx−
∫
(§H SP HN I_01B)
123.
2
2
1
xdx
x 2
−
+
∫
(§H THîp_93)
124.
3
0
xsin xdx
π
∫
(§H THîp_94)

/ 2
0
dx
sin x cos x
π
+
∫

125.
1
0
dx
1 x+
∫
(§H QG_96)
126.
/ 2 1
3
2
0 0
sin xdx dx
x 1 x
1 cos x

π
+ +
+
∫ ∫
(§H QG_97A, B, D)
1 1
2
2 2
0 0
x dx xdx
4 x 4 x

− −
∫ ∫

127.
1 1 / 4
3
3 2
x 2
0 0 0
dx sin x
x 1 x dx dx
e 1 cos x

π
+
+
∫ ∫ ∫
(§H QG_98)
128. TÝnh
2 2
/ 6 / 6
0 0
sin x cos x
I dx; J dx
sin x 3 cosx sinx 3 cosx
π π
= =
+ +
∫ ∫
.
Tõ ®ã suy ra:
5 /3
3 / 2

cos2x
dx
cosx 3sin x
π
π
−
∫
(§H QG HCM_01A)
129.
/ 4 / 4
x
0 0
2cosxdx
5e sin 2xdx
3 2sin x

π π
+
∫ ∫
(§H SP II _97)
130. Cho f(x) liªn tôc trªn R :
f (x) f( x) 2 2cos2x x R + − = − ∀ ∈
. TÝnh
3 / 2
3 / 2
f (x)dx
π
− π
∫
(§H SP II _98A)

131.
/ 2
10 10 4 4
0
(sin x sin x cos xsin x)dx
π
+ −
∫
(§H SP II _00)
132.
3 0
2
2
1 1
3x 2 dx
dx
x 4 x 2
x 1

−
+
+ + +
+
∫ ∫
(C§ SP HN_00)
133.
1 /4
2 2
0 0
(sin x 2cosx)

x 1 x dx dx
3sin x cosx

π
+
−
+
∫ ∫
(C§ SP HN_00)
134.
2 2
0
sin xcos xdx
π
∫
(C§ SP MGTW_00 )
135.
/ 2 4
0 1
1 sin x dx
ln( )dx
1 cosx
x(1 x)

π
+
+
+
∫ ∫
(C§ SP KT_00)

136.
1 1
2
2
x
1 1
1 x
1 x arcsin xdx dx
1 2

− −
−
−
+
∫ ∫
(C§ PCCC_00)
137.
2
1
x x 2
1
(e sin x e x )dx
−
+
∫
(§H TN_00)
138.
3
3
2

0
t
dt
t 2t 1+ +
∫
(§H SP Vinh_98)
139.
1 1
2
2
4
1/ 2 0
1 x
dx x 1dx
1 x

+
+
+
∫ ∫
(§H SP Vinh_99)
140.
1
2
2
0
(x x)dx
x 1
+
+

∫
(§H H§_99)
141.
/ 4
3
0 0
dx
sin xcos3xdx
1 tgx

π π
+
∫ ∫
(§H H§_00)
142.
2
2
1
ln x
dx
x
∫
(§H HuÕ_98)
143.
/ 2
6
6 6
0
sin x
dx

sin x cos x
π
+
∫
(§H HuÕ_00)