Tài liệu Chuyên Đề Phương Trình & Hệ Phương Trình ppt

Chuyên Đề Phương Trình & Hệ Phương Trình

A. Các loại phương trình và hệ phương trình cơ bản

I.Phương trình bậc nhất
1.1 Dạng :
a

x+b=0

1.2 Cách giải:
a0≠
: phương trình có một nghiệm
b
x
a
=
−

a=0
:
+ : phương trình vô nghiệm
b0≠
+ : phương trình có nghiệm x tùy ý

b0=

1.3 Bài tập
Bài 1:
Giải phương trình

xa xb xc 111
2( )
bc ac ab a b c
−−−
++=++
(*)

Lấy VT-VP (*) được phân tích thành

111
(x a b c)( ) 0
bc ac ab
−−− + + =

Nếu
111
0
bc ac ab
++≠
thì phương trình có nghiệm là :
xabc
=
++

Nếu
111
0
bc ac ab
++=
thì phương trình trên đúng với mọi x
Bài 2:
Giải phương trình

abx acx cbx 4x
1
cbaabc
+− +− +−
+++
++
=


Cộng 3 vào 2 vế của phương trình ta được :
111 abcx
(a b c x)( ) 4
abc abc
++−
++− + + =
+
+

111 4
(a b c x)( ) 0

abcabc
++− ++− =
++

Vậy
xabc=++
II. Phương trình bậc hai
2.1 Dạng :
2
ax bx c 0(a 0)++= ≠
2.2 Cách giải:
a=0
: phương trình suy biến thành bậc 1
a0≠
: lập
2
b4acΔ= −
0Δ<
: phương trình vô nghiệm
0Δ=
: phương trình có nghiệm kép
12
b
xx
2a
==−

0Δ>
: phương trình có hai nghiệm phân biệt :
1, 2

b
x
2a
−
±Δ
=

Chú ý :
Nếu
1
b
x
2a
−− Δ
=
và
1
b
x
2a
−+ Δ
=
thì :
khi
1
xx<
2
2
a0>
khi

1
xx>
a0<
Nếu và c trái dấu thì nên a
ac 0< 4ac 0
−
<
do đó
0
Δ
>
phương trình bậc hai có 2
nghiệm phân biệt
2.3 Hệ thức Vi-et
i) Nếu phương trình có 2 nghiệm thì
2
ax bx c 0++=
1
x&x
2
12 12
bc
xx &xx
aa
+
=− =

ii) Đảo lại cho 2 số bất kỳ
,
α

β
,khi đó chúng là nghiệm của phương trình
2
xSxP0−+=
với S=
α
β
+
và
P
α
β
=

Định lý 1 : Cho tam thức bậc 2
2
f(x)=ax bx c
+
+
i) Nếu tìm được số
α
để
af( ) 0
α
≤
thì tam thức có nghiệm ,còn nếu
af( ) 0
α
<

thì tam thức có 2 nghiệm phân biệt
ii) Nếu tìm được số
,
α
β
sao cho
f( )f( ) 0
α
β
≤
thì tam thức có nghiệm ,nếu
f( )f( ) 0
α
β
<
thì tam thức có 2 nghiệm phân biệt
Định lý 2 : Để phương trình
2
ax bx c 0
+
+=
có nghiệm hữu tỷ điều kiện cần và đủ là
biệt số là 1 số chính phương Δ
Định lý 3 : Nếu
0
p
x
q
= là nghiệm hữu tỷ của phương trình
2

ax bx c 0
+
+=
trong đó
thì
q
là ước của a và
p
là ước của
(p,q) 1=
c
2.3 Bài tập
Bài 1:
Giải phương trình

22
2x x 3
3x x 1 3x 4x 1 2
+
=
−
+−+
(*)
Tập xác định
1
R\ 1,
3
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭

x0=
: không là nghiệm
x0≠
: (*)
21
11
2
3x 1 3x 4
xx
⇔+
−+ − +
3
=

Đặt
1
y3x
x
=+
ta quy về phương trình bậc hai
2
3y 21y 30 0
−
+= giải ra ta được
nghiệm và từ đó tìm được nghiệm
y2= y5=
513
x
6

±
=

Bài 2:
Giải phương trình

22 2
11 1
x 9x40x11x30x 13x4218
++
++ + + + +
1
=


111111
x4 x5x5 x6 x6x718
⇔−+−+−=
++++++
1
3

2
x11x260⇔+ −=

Giải ra ta được nghiệm và
x1=−
x2
=

Bài 3:
Giải phương trình

(x a)(x b) (x b)(x c) (x a)(x c) 1
c(c a)(c b) a(a b)(a c) b(b a)(b c) x
−− −− −−
+
+=
−− −− −−

Trong đó a, là 3 số khác nhau và khác 0 b,c

⇔
(x a)(x b) (x b)(x c) (x a)(x c) 1
0
c(c a)(c b) a(a b)(a c) b(b a)(b c) x
−− −− −−
+
+−
−− −− −−
=

Rõ ràng ta thấy là 3 nghiệm phân biệt của phương trình trên . Khi quy đồng mẫu số
(đk ) ,vế trái phương trình sẽ là một đa thức khác 0 do đó phương trình có không
quá 3 nghiệm .Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm
a,b,c
x0≠
123
xa,xb,xc
=

==
Bài 4:
a. Giả sử là hai nghiệm của phương trình .Hãy tính
theo a
12
x,x
2
x ax+1=0 −
7
71 2
Sxx=+
7
b. Tìm đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận số
77
3
53
α
=+
5
2
2
a
là nghiệm

a. Ta có
22 2 2
21 2 12 12
Sxx (xx)2xxa=+=+ − =−

222 2222

412 12
S(x x)2xx (a2)=+ − =−−

22 3
3121122 2
S(xx)(x xxx)a(S1)a3=+ − + = −=−

3344 33 7 5 3
71212 1212 341
S (x x )(x x ) x x (x x ) S S S a 7a 14a 7a=+ +− += −=−+ −
b. Đặt
77
12
35
x,x
53
==

Theo Vi-et là nghiệm của phương trình
12
x,x
2
xx1
α
0
−
+=
mà ta có
77
71 2

Sxx=+
75 3
a 7a 14a 7a=− + −
=
35
53
+

753
15 105 210 105 34 0
αααα
⇔− + −−=


Vậy đa thức cần tìm là
753
15x 105x 210x 105x 34 0−+−−=
III. Phương trình bậc ba
3.1 Dạng
32
ax bx cx d 0+++=
3.2 Cách giải phương trình bậc ba tổng quát của Cardano
Cái này đối với học sinh THCS không quan trọng lắm nên tác giả chỉ xin đưa link để bạn
nào muốn tìm hiểu thì tham khảo
hoặc .
3.3 Hệ thức Vi-et
i) Nếu phương trình bậc ba
32
ax bx cx d 0+++=(a 0)
≠

có ba nghiệm thì :
123
x,x,x
123
12 23 31
123
b
xxx
a
c
xx xx xx
a
d
xxx
a
⎧
++=−
⎪
⎪
⎪
++=
⎨
⎪
⎪
=−
⎪
⎩

ii) Đảo lại nếu 3 số
u,

thỏa mãn
v,w
u v w=m,uv+vw+wu=n,uvw=p
+
+ thì là
nghiệm của phương trình
u,v,w
32
tmtntp0−+−=
Định lý Bezout :
Cho 1 đa thức
P(
,nếu
P(
có một nghiệm là
x) x)
α
thì
P(
chia hết cho
(xx) )
α
−
có
nghĩa là
P(x) (x ).Q(x)
α
=−
(bậc
Q(x) P(x)

<
là 1 )
3.4 Các phương pháp chung giải phương trình bậc ba
3.4.1 Nếu biết trước một nghiệm
0
xx
=
thì phân tích phương trình

2
0
(x x )(ax bx c) 0−++=
1
1
Đặc biệt nếu :
abcd0+++=
thì (*)
0
x=
abcd0−+−=
thì (**)
0
x=−
3
dc
()
ab
=
thì
0

c
x
b
=−
(***)
Sau đó để tìm a, ta có thể sử dụng phép chia đa thức hoặc sử dụng sơ đồ Horner hay
đồng nhất hóa hai vế để tìm
b,c
3.4.1 Biết một hệ thức giữa các nghiệm thì ta dùng Vi-et
3.4.2 Dùng hằng đẳng thức để biến đổi về phương trình tích
3.5 Bài tập
Bài 1:
Giải phương trình

32
x2x4x80
+
−+=
(1)

Gợi ý sử dụng (***) giải ra ta được
x2
=
−
Bài 2:
Giải phương trình

32
x3xx10
−

++=
(2)
Gợi ý sử dụng (*) ta thấy là nghiệm đa thức vế trái suy ra (2)
.Đồng nhất hóa 2 vế ta được
x1=
2
(x 1)(ax bx c) 0⇔− ++=
2
(x 1)(x 2x 1) 0⇔− −−=
Sau đó giải ra nghiệm
Bài 3:
Giải phương trình

32
12x 14x 17x 6 0
+
−+=

Biết phương trình có 2 nghiệm mà tích bằng
1
−


Gợi ý sử dụng hệ thức Vi-et để tìm được một nghiệm sau đó làm tương tự bài trên
IV. Phương trình bậc bốn
4.1 Dạng :
432
ax bx cx dx e 0(a 0)++++=≠
4.2 Cách giải phương trình bậc bốn tổng quát của Ferrari
Cái này đối với học sinh THCS không quan trọng lắm nên tác giả chỉ xin đưa link để bạn

nào muốn tìm hiểu thì tham khảo
hoặc
4.3 Các phương pháp chung giải phương trình bậc bốn
4.3.1 Dạng
42
ax bx c 0(a 0)++=≠
Cách giải: Đặt ,ta được
2
tx 0=≥
2
at bt c 0
+
+=

+Giải để tìm
t0≥
+Với mỗi nghiệm ,phương trình có hai nghiệm phân biệt :
0
t> 0
102
xt,x=− =
0
t
4.3.2 Dạng với
(x a)(x b)(x c)(x d) k++++=
abcd
+
=+

Cách giải : Đặt ta được phương trình bậc 2 theo .Giải ra tìm ,sau đó

tiếp tục giải để tìm
t(xa)(xb=+ +)
t t
x
4.3.3 Dạng
44
(x a) (x b) k+++=
Cách giải : Đặt
ab
tx
2
+
=+
ta được phương trình trùng phương theo
t

4.3.4 Dạng
432
ax bx cx bx a 0++±+=
Cách giải :
+Xét có là nghiệm của phương trình hay không
x0=
+Xét chia 2 vế cho phương trình trở thành
x0≠
2
x

2
2
11

a(x ) b(x ) c 0
xx
+
+±+=

Đặt
1
tx
x
=±
ta được phương trình bậc 2 theo
t

4.4 Bài tập
Bài 1:
Giải phương trình

(x 1)(x 6)(x 5)(x 2) 252++ + +=
Bài 2:
Giải phương trình


43 2
9x 9x 52x 9x 9 0
−
−−+=

Bài 3:
Giải phương trình

22
11 25
1
x(x5)
−
=
+


Điều kiện
x-

5&x0≠≠

Đặt .Ta có
x5y0+=≠
22
xy10y2=− +5
Thay vào phương trình ta được
432
y 10y 39y 250y 625 0−+− +=.Do
y0
≠
nên ta có
2
2
25 25
(y ) 10(y ) 39 0
yy
+− ++=

Đặt
25
zy
y
=+ phương trình trở thành
2
z10z110
−
−=
z11
z1
=
⎡
→
⎢
=
−
⎣

Nghiệm loại vì dễ thấy
|Z
z=−1
| 10≥
Từ đó tính được y và x
Bài 4:
Giải phương trình

2
2
2

4x
x5
(x 2)
+
=
−

Điều kiện x2 ≠

222
22
2x 4x x 4x
(x ) 5 ( ) 5
x2 x2 x2 x2
⇔+ − =⇔ − =
−− −−

Ta đặt
2
x
y
x2
=
−

1
2
2
y1
y4y50

y5
=−
⎡
→−−=→
⎢
=
⎣

Từ đó ta tìm được nghiệm và
x2x1=
=
−

V. Hệ đối xứng
5.1.1 Hệ đối xứng loại 1:
Là loại hệ phương trình chứa ẩn x,y mà khi ta hoán vị x và y thì mỗi phương trình của hệ
không thay đổi
5.1.2 Cách giải :
Đặt ,biến đổi hệ đã cho về hệ với hai ẩn S,
Sxy
Pxy
=+
⎧
⎨
=
⎩
P
Giải hệ tìm . S,P
Với mỗi cặp
(S

thì x và y là hai nghiệm của phương trình:
,P)
22
xSxP0( S4P−+=Δ=−)
5.2.1 Hệ đối xứng loại 2:
Là loại hệ phương trình chứa ẩn x,y mà khi ta hoán vị x và y thì phương trình này biến
thành phương kia của hệ
5.2.2 Cách giải:
Trừ vế với vế của 2 phương trình của hệ ta được phương trình có dạng

(x y)g(x,y) 0
−
=

Từ đó ta được hai hệ .Giải hệ này ,trong đó có một hệ đối xứng loại 1
5.3 Bài tập
Bài 1:
Giải hệ phương trình

22
22
11
xy 49
xy
11
xy 5
xy
⎧
++ + =
⎪

⎪
⎨
⎪
++ + =
⎪
⎩

Bài 2:
Giải hệ phương trình

33
44
xy1(1)
xy1(2
⎧
+=
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
)
4
Từ (2) ta có
|x
và
|y

| 1≤ | 1≤
Nếu

|x
thì từ (1) suy ra ,tương tự ta có
| 1≤ y0≥
x0≥
Nếu thì .Vô lý!
0x1<<
343
xx,yy>>
Vậy chỉ có thể hoặc
x0,y1== x1,y0
=
=

Bài 3:
Giải hệ phương trình

11
22
y
x
11
22
x
y
⎧
+
−=
⎪
⎪
⎨

⎪
+
−=
⎪
⎩



VI. Hệ đẳng cấp bậc hai
6.1 Dạng :

22
22
ax bxy cy d
a'x b'xy c'y d'
⎧
++=
⎪
⎨
+
+=
⎪
⎩

6.2 Cách giải :
Xét có là nghiệm của hệ không
x0,y0==
Với không là nghiệm của hệ ta đặt
x0,y0== xty
=

từ đó ta được một phương trình bậc
hai theo t .Giải tìm t sau đó ta suy ra
x,y
6.3 Bài tập
Bài 1:
Giải hệ phương trình

22
22
x3xyy1
3x xy 3y 13
⎧
−+=
⎪
⎨
−
+=
⎪
⎩

Bài 2:
Giải hệ phương trình

2
22
3x 2xy 160
x3xy2y8
⎧
−=
⎪

⎨
−
−=
⎪
⎩

Bài 3:
Giải hệ phương trình

22
x2xy3y0
x|x| y|y| 2
⎧
+
−=
⎨
+
=−
⎩


B. Một số phương trình và hệ phương trình không mẫu mực
Bài 1:

1
x2
x
1
y2
y

1
z2
z
⎧
−=
⎪
⎪
⎪
−=
⎨
⎪
⎪
−=
⎪
⎩
y
z
x


Hệ này thoạt nhìn ta đã thấy đây là hệ hoán vị vòng quay nhưng với những cách đánh giá
thông thường thì ta không thể tìm nghiệm bài toán này được .Bài này được giải như sau :

Đặt
xcotg, (0,),
2
π
αα π α
=∈≠

Ta thu được
2y cotg tg 2cotg2
α
αα
=−=

Suy ra
z cotg4 x cotg8
α
α
=⇔=

Ta nhận được
k
cotg cotg8
7
π
ααα
=⇔=

Kết hợp với điều kiện
α
ta có các nghiệm sau
24
x cotg ,y cotg ,z cotg
777
7
π
πππ
α

=→= = =

224
x cotg ,y cotg ,z cotg
777
8
7
π
ππ
α
=→===
π

336
xcotg ,ycotg ,zcotg
777
12
7
π
ππ
α
=→= = =
π

448
xcotg ,ycotg ,zcotg
777
16
7
π

ππ
α
=→= = =
π

5 5 10 20
x cotg ,y cotg ,z cotg
777
7
π
ππ
α
=→= = =
π

6 6 12 24
xcotg ,ycotg ,zcotg
777
7
π
ππ
α
=→= = =
π

Bài 2:
Giải phương trình
2
44
44

4x 2x
x2x
33
−
+
+−= +


Điều kiện
0x

2≤≤
Phương trình viết lại
444
44 4
x2x x2(2x) (2x)2x
xx2x
33 3
++−−+
++−= + +

Sử dụng BĐT

444
444
a2b b2c c2a
abc
333
+++
++= + +

Ta suy ra
444
44 4
x2x x2(2x) (2x)2x
xx2x
33 3
++−−+
++−≤ + +

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x2x x1
=
−⇔=

Bài 3:
Giải phương trình


3
4x 3x 2
+
=


Xét
3
f(x) 4x 3x 2=+−
suy ra đồng biến ,suy ra phương trình có duy nhất một
nghiệm

2
f'(x) 12x 3 0=+>
f(x)
Đặt
11
x(t
)
2t
=−
>
,
t0

Thay vào phương trình ta nhận được

3
3
1
t4
t
−
=

Đặt ta được
3
Xt 0=>

2
X2 5
X4X10

X2 5(L)
⎡
=+
−−=⇔
⎢
=−
⎢
⎣

Từ đó ta tính được sau đó tính được
t

3
3
11
x(25
2
25
=+−
+
)

Bài 4:
Giải phương trình

3
2
4
4x 3x
1x

16x 12x 1
−
−=
−
+

Đặt
xcos, [0,],
α
απ
=∈
ta được
sin5 cos3
α
α
=


C. Kỹ thuật đặt ẩn phụ để quy về hệ đối xứng loại hai trong bài toán có chứa
căn
Bài 1:
Giải phương trình
22
x3(23x) 2+− =

Đặt ta thu được hệ đối xứng loại 2
2
y23x=−

2

2
y23x
x23y
⎧
=−
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
Đến đây thì công việc hoàn toàn đơn giản
Bài 2:
Giải phương trình

3
3
x122x1
+
=−


Đặt
3
y2x=−1
1
1
ta thu được hệ đối xứng loại 2

3
3

y2x
x2y
⎧
=
−
⎪
⎨
=
−
⎪
⎩

Nhận xét: trong những bài toán trên việc đặt ẩn phụ hoàn toàn dễ dàng để có thể quy về
hệ đối xứng loại hai ,nhưng trong những bài toán khó hơn việc đặt ẩn phụ do “phản xạ”
hoàn toàn không áp dụng được.Vậy chúng ta phải làm thế nào? Chúng ta có thể hiểu rõ
về “kỹ thuật đặt ẩn phụ về hệ đối xứng” trong ví dụ sau đây
Bài 3:
Giải phương trình

2
4x 2x 1 6 12x+++=


Đặt
2x 1 ay b+= +
với a, là hằng số .Ta được : b

2
22 2
4x 12x ay b 5 0

ay 2aby 2x b 1 0
⎧
−+++=
⎪
⎨
+
−+−=
⎪
⎩

Xác định a,b sao cho hệ trên là hệ đối xứng loại 2 tức là :
22
a2ab2b1
5
a2
b3
=−
⎧
⇔
⎨
=
⎩
412ab
−−
===
−+

Vậy ta đặt
2x 1 2y 3 0+=− +≥
ta thu được hệ đối xứng

2
2
2
2x 6xy40
2y 6yx40
(x y)(2x 2y 5) 0
2x 6xy40
⎧
−−+=
⎪
⎨
−−+=
⎪
⎩
−+−=
⎧
⇔
⎨
−−+=
⎩

Đến đây thì việc giải phương trình hoàn toàn mang tính thủ tục
Bài 4:
Giải phương trình

2
4x 9
7x 7x
28
+

+=

Bài 5:
Giải phương trình


2
5x12xx31
−
++ + + =

Bài 6:
Giải phương trình

3
2
25 x 3 3
+
+=
Bài 7:
Giải phương trình

2
(x 2) x x 20 6x 20+−−=+