sai lam thuong gap cua hoc sinh trung hoc pho thong

Đề tài:
CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH THPT KHI GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ
BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC


MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài

2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
5. Giải thuyết khoa học
6. Phương pháp nghiên cứu
7. Cấu trúc đề tài


Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 Cơ sở lí luận
Ở trường phổ thơng,dạy Tốn là dạy hoạt động tốn học. Đối với học sinh
có thể xem việc giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động tốn học.
Vai trị của phương trình - bất phương trình trong dạy học tốn Phương trình
- bất phương trình là mảng kiến thức rất quan trọng trong nhiều ngành khoa
học đặc biệt là trong Toán học.
Những kiến thức về phương trình – bất phương trình đã được nhiều nhà tốn
học nghiên cứu và đã được phát triển thành lý thuyết đại số cổ điển. Khơng
những thế lý thuyết phương trình cịn giữ vai trị quan trọng trong nhiều bộ
mơn khác của tốn học. Trong lĩnh vực nghiên cứu thì phương trình – bất
phương trình giữ một vị trí quan trọng. Nhưng trong chương trình tốn học

ở nhà trường phổ thơng thì phương trình – bất phương trình cũng chiếm vị
trí hết sức đặc biệt. Vì đây là nội dung cơ bản của toán học, nhưng cũng rất
phong phú và đa dạng với nhiều phương pháp khác nhau.
1.2 Cơ sở thực tiễn
Trong dạy học Toán việc vận dụng lý thuyết đã học để giải bài tốn của học
sinh cịn gặp một số khó khăn và sai lầm.Chính vì vậy giáo viên cần hướng
dẫn học sinh sử dụng phương pháp nào để giúp học sinh giải bài tốn mà
khơng mắc phải sai lầm là cần thiết và phù hợp .
Mặt khác khi đứng trước một bài tốn về phương trình hay bất phương trình
thì học sinh thường giải theo thói quen mà khơng biết mình bị sai do khơng
nắm vững lý thuyết vừa học.Việc giải hay sai nhất là học sinh lớp 10 khi
giải một phương trình hoặc bất phương trình thì rút gọn hoặc bỏ mẫu mà
không ghi thêm điều kiện nào.Những sai sót đó là do trước đây ở THCS học
sinh giải phương trình hoặc bất phương trình mà mẫu thường là hằng số nên
học sinh rút gọn hoặc bỏ mẫu được...


1.2.1 Các sai lầm thường gặp của học sinh thpt khi giải tốn phương trình,
hệ phương trình và bất phương trình
 Sai lầm giải phương trình
Những sai lầm khi giải phương trình thường mắc khi học sinh vi phạm
quy tắc biến đổi phương trình, bất phương trình tương đương. Đặt thừa
hay thiếu các điều kiện đều dẫn đến những sai lầm, thậm chí sai đến mức
khơng thể giải nữa. Một sai lầm nữa cịn do hậu quả biến đổi cơng thức,
biến đổi những công thức mà không phải là hằng đẳng thức, đó là các “á
đẳng thức”- chưa đúng với điều kiện nào đó. Đơi khi sai lầm xuất hiện
khi hiểu nhầm công thức, sử dụng công thức mà quen mất điều kiện ràng
buộc.
 Sai lầm khi giải hệ phương trình
Sai lầm khi giải hệ phương trình thường xuất phát từ nguyên nhân không

nắm vững các phép biến đổi tương đương hoặc không để ý biện luận đủ
các trường hợp xảy ra.
 Sai lầm khi giải tốn bất phương trình
Sai lầm khi giải bất phương trình thường bắt nguồn khi vận dụng các bất
đẳng thức cổ điển mà không để ý đến điều kiện để bất đẳng thức đúng, sử
dụng sai sót các quy tắc suy luận khi từ bất đẳng thức này suy ra bất đẳng
thức kia.
1.2.2 Nguyên nhân dẫn đến các sai lầm khi giải tốn phương trình, hệ
phương trình và bất phương trình
Những sai lầm mà học sinh thường vấp phải trong lập luận toán học trước hết là
do có những khó khăn nhất định khi học tốn. Cụ thể là:
Khó khăn của học sinh khi học các khái niệm tốn học;
Khó khăn của học sinh với ngơn ngữ tốn học;
Khó khăn của học sinh khi giải quyết các vấn đề về tốn học;
 Hiểu khơng đầy đủ và chính xác về u cầu của bài tốn
 Học sinh không nắm vững công thức


 Học sinh khơng có kĩ thuật, phương pháp giải phù hợp.
 Vận dụng máy móc khơng linh hoạt
Khó khăn của học sinh khi vận dụng và tư duy toán học.


Chương 2
CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH THPT KHI GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ
BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC
2.1 Phương trình
2.2 Hệ phương trình
Bài 1: Giả hệ phương trình sau:

1
1
x − = y− ( 1 )
x
y
3
2 y =x +1 ( 2 )

{

 Dự đoán sai lầm:
1
Xét hàm số: f ( t )=t− t với t ≠ 0
1
'
f ( t )=1+ 2 > 0⟹ f (t )
t

tăng với t ≠ 0

( 1 ) ⟺ f ( x ) =f ( y ) ⟺ x = y

 Nguyên nhân sai lầm và cách khắc phục:
Do hàm f ( t ) gián đoạn tại t=0 , nên không thể dùng tính đơn điệu.
 Cách giải đúng:
1
( x− y ) 1+
=0
xy
Hệ ⟺

⟺
3
2 y=x + 1

{

(

)

x= y ≠ 0
{
⟺ 2 y =x +1
{2xy=−1
y =x +1

[

3

3

x = y ≠ 0 ; xy=−1
2 y=x 3 +1

{


⟺

[{

(

y≠0
{x −2x=x+1=0
3

xy=−1
2
Vônghiệm
1
1
3
2
x − + x + + =0
2
2
2

⟺

2

)( )

[

x= y=1
−1 ± √5

x= y=
2

2.3 Bất phương trình
Nhìn chung, các khái niệm và định lý về bất phương trình có nhiều điểm tượng
tự với phương trình. Trong một số trường hợp ta chỉ cần thay từ “ phương trình”
bằng từ “ bất phương trình”, dấu “=” bởi dấu “<” hoặc “>” là được kết quả. Tuy
nhiên, học sinh vẫn gặp khó khăn với một số dạng bất phương trình.
Bài 1:Giải bất phương trình sau:
( x 2−3 x ) √ 2 x2 −3 x −2≥ 0(1)
 Dự đốn sai lầm :
Học sinh khơng chú ý trường hợp 1 (biểu thức trong dấu căn bằng không)
chỉ giải như sau:
1
2 x2−3 x−2≥ 0 ⟺ x ≤− ; x ≥ 2
(
1
)
⟺
2
Hoặc
x 2−3 x ≥0
x ≤0 ; x ≥3

{

{

{

{

1
⟺ x ≤− ; x ≥3
2
−1
≤ x≤2
2 x2−3 x−2≤ 0 ⟺
(
1
)
⟺
2
Hoặc
2
x −3 x ≤0
0 ≤ x ≤3
⟺ 0 ≤ x ≤2

Vì biểu thức trong dấu căn ln ln lớn hơn hoặc bằng không nên đây là
cách giải sai.
 Cách giải đúng:


−1
2
TH 1: 2 x −3 x−2=0 ⟺ x=2 ; x = 2 , khi đó bất phương trình ln đúng.
1
2 x2−3 x−2> 0 ⟺ x ← ; x >2
(

1
)
⟺
2
TH 2:
x 2−3 x ≥ 0
x≤0; x≥3

{

{

1
⟺ x← ; x ≥ 3 .
2
1
Vậy tập nghiệm của ( 1 ) là: T = −∞ ;− 2 ∪ {2 } ∪¿ .

(

]

 Biện pháp khắc phục:
Khi giải bất phương trình, nếu ta muốn nhân hoặc chia hai vế của bất phương
trình cho một biểu thức thì ta phải xác định được dấu của biểu thức đó. Nếu
chưa xác định được dấu của biểu thức mà ta muốn nhân thì ta có thể chia làm
hai trường hợp.
Bài 2: Giải bất phương trình

√ 2 x 2−6 x +1−x +2>0(1)

 Dự kiến sai lầm:
Các em sẽ nghĩ đến chuyển vế để bình phương, tức là:
( 1 ) ⟺ √ 2 x2 −6 x+1> x−2(2)

Đến đây, học sinh có thể mắc một số sai lầm:
- Bình phương 2 vế mà khơng có điều kiện:
( 2 ) ⟺2 x 2−6 x +1> ( x−2 )2

⟺ x 2−2 x −3>0 ⟺ x←1 ; x> 3
- Đặt điều kiện cho biểu thức trong căn và bình phương:
(2)⟺

2 x 2−6 x +1≥ 0
2
2 x 2−6 x +1> ( x−2 )

{

Sau đó giải
- Đặt điều kiện cho biểu thức trong căn và vế phải của (2)
2 x 2−6 x+ 1≥ 0
⟺ x >3
x−2 ≥ 0
2
2
2 x −6 x +1> ( x−2 )

{

Có thể học sinh nhận xết rằng vế trái là căn bậc 2 nên ln khơng âm, do
đó để (1) thỏa mãn thì chỉ cần x−2<0 ⟺ x< 2 .


 Phân tích sai lầm: HS khơng hiểu được bản chất của phép biến đổi tương
dương trong bất phương trình, sai lầm này cũng tương tự như trong phương
trình vì thế các em cho rằng bình phương là phép biến đổi tương đương. Sai lầm
thứ hai là do nghĩ rằng chỉ cần căn thức có nghĩa là có thể bình phương được.
Các em không chú ý chiều ngược lại là khơng đúng vì chưa đảm bảo x−2 ≥0 .
Cách giải thứ 3 có nhớ điều kiện trước khi bình phương nhưng vẫn sót trường
hợp do chưa chú ý dấu trong bất phương trình. Lập luận cuối cùng thể hiện sự
thiếu cân nhắc do có phần chủ quan dẫn đến nhầm lẫn kiến thức. Các em không
thấy được rằng nếu vê phải khơng âm ta vẫn có thể tìm được các giá trị của x
thỏa bất phương trình.
 Cách giải đúng:
( 1 ) ⟺ √ 2 x2 −6 x+1> x−2
⟺

{2 x x−2<0
−6 x +1≥ 0

⟺ x≤

2

3−√ 7
2

hoặc

x−2 ≥ 0
2
2 x −6 x +1> ( x−2 )

{

2

hoặc x> 3

 Biện pháp khắc phục: Cần chỉ cho học sinh thấy được một số tính chất
trong bất phương trình tương tự với phương trình, khác biệt lớn nhất là dấu
trong bất phương trình. Do đó tùy vào mỗi bài tốn mà ta có cách lập luận khác
nhau . Ở đây cần nhắc lại rằng để phép tốn bình phương là tương đương thì
phải đảm bảo chúng cùng dấu. Ở bất phương trình ( 1 ) , tất nhiên phải chuyển
vế mới có thể giải được.
Bài 3: Giải bất phương trình sau:

√ x2−16≤ 2 x−7 ( 1 )

 Dự kiến sai lầm:
Bình phương hai vế để có pháp biến đổi tương đương nhưng lại khơng đảm bảo
điều kiện hoặc là đặt sai điều kiện. Chẳng hạn:
 (1)⟺ x 2−16 ≤ (2 x−7 )2
 (1)⟺

{

2 x−7 ≥ 0
2

x −16≤ ( 2 x−7 )
2


 (1)⟺

{

2

x −16 ≥ 0
2
2
x −16≤ ( 2 x−7 )

Phân tích sai lầm: Mắc những sai lầm khi tiến hành khử căn đa phần là do



các em chưa nắm được bản chất của căn bậc hai và định lí về phương trình hệ
quả. Biến đổi đầu tiên có thể do HS vẫn chưa hiểu cách dùng dấu tương đương.
Cách biến đổi thứ hai do các em tin rằng căn bậc hai luôn không âm, không
quan tâm đến biểu thức trong căn, đặt điều kiện cho vế phải để đảm bảo hai vế
khơng âm rồi bình phương. Cách biến đổi thứ ba do nghĩ rằng đặt điều kiện cho
căn thức tồn tại thì bình phương được.
 Biện pháp khắc phục: Bất phương trình (1) có dạng √ A ≤ B (*), nếu
A ≥0

thì vế trái sẽ ln khơng âm nên khơng có trường hợp vế trái âm, vế phải

khơng âm. Để phép bình phương là tương đương phải đảm bảo hai vế cùng dấu,
nhưng với cách biến đổi thứ hai B ≥ 0, A ≤ B2 không đảm bảo A ≥0 vì vậy
điều kiện A ≥0 khơng bỏ được. Cách biến đổi thứ ba tất nhiên khơng đúng vì
vế phải chưa khơng âm. Qua phân tích này ta thấy cách lập luận hồn tồn khác
bất phương trình trên, các em cần hiểu rõ để tránh nhầm lẫn, và khơng máy móc
áp dụng. Như vậy ta có:
(*)⟺

{

A≥0
B≥0
A ≤ B2

 Cách giải đúng:
(*)⟺

⟺

x 2−16 ≥0
2 x−7 ≥ 0
⟺
2
x −16 ≤ ( 2 x−7 )2

{

x≥4
13
x ≤ ; x ≥5

3

{

Bài 4: Giải bất phương trình sau:
1

1
,(1)
x
√ x −2 x−3 +5
2

<

⟺

{

x ≤−4 ; x ≥ 4
7
x≥
2
2
2
x −16 ≤ 4 x −14 x+ 49

{

13

3
x≥5

4≤ x≤


 Dự đoán sai lầm:
- Biến đổi ( 1 ) ⟺ x +5 <

√ x2−2 x−3 (*), đến đây Hs có thể mắc các sai

lầm sau:
+ Bình phương hai vế để khử căn rồi giải:
(*)⟺ ( x+ 5 )2< x2 −2 x−3
7
⟺ 12 x +28<0 ⟺ x ← 3

+ Nhận thấy vế phải luôn luôn không âm nên
(*)⟺ x+5<0 ⟺ x←5
- Chuyển vế của (1) rồi bình phương:
1
2

√ x −2 x−3
⟺

(

−

1
<0
x+5

1
1 2
<
<0
√ x2 −2 x−3 x+ 5

)

Đến đây lại thắc mắc bình phương sao lại âm hoặc tiếp tục khai triển làm cho
bài toán trở nên phức tạp hơn.
 Cách giải đúng:
Trước hết, đặt điều kiện để biểu thức có xác định:
x 2−2 x−3> 0 ⟺ x ←1; x >3
x >−5
x +5>0

{

{

- Nếu x←5 thì vế phải là số âm, vế trái là số dương nên không thỏa.
- Nếu

3
[−5<x>x←1

( 1 ) ⟺ x +5 <
2

2

thì

√ x2−2 x−3> 0 ; x +5> 0 nên (1) tương đương:

√ x2−2 x−3

⟺ ( x+5 ) < x −2 x−3 ⟺ x ←

7
3

7
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T = −5;− 3

(

)

.

Mục lục
Tài liệu tham khảo
o/luan-van/de-tai-mot-so-sai-lam-thuong-gap-cua-hocsinh-khi-giai-toan-phuong-trinh-o-truong-thpt-37380/

/> /> />