TOÁN DÀNH CHO KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ CHƯƠNG II HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HỒ CHÍ MINH

TỐN DÀNH CHO KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ
CHƯƠNG II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH - ỨNG
DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

Giảng viên : Thầy Nguyễn Thanh Vân

Tác giả: TỔ 3
1. Lê Cao Thịnh
2. Nguyễn Thị Minh Thy
3. Nguyễn Trọng Tín
4. Đặng Nữ Huyền Trang
5. Nguyễn Khánh Trâm
6. Đặng Lê Huyền Trân
7. Nguyễn Gia Bảo Trân
8. Mã Quảng Trấn
9. Nguyễn Trần Thanh Trúc
10. Nguyễn Phạm Nhã Tuệ
11. Hồ Minh Cát Tường
12. Nguyễn Lê Thanh Uyên
13. Trương Mỹ Uyên
14. Võ Thị Tường Vân
15. Trương Khả Vy
16. Văn Thị Tường Vy
17. Đào Thị Hồng Nhung
1


I. TRẮC NGHIỆM:
Câu1:

ax by c

bx cy a
cx ay b
Cho hệ phương trình 
với a,b,c là các tham số thực
Gọi A, A là ma trận hệ số và ma trận mở rộng
A. RankA=3
B.

A  a 3  b3  c 3  3abc

C. Nếu hệ có đúng một nghiệm thì

A 0

D. Nếu hệ có nghiệm thì a 3  b3  c 3

 3abc

Giải:
a) Rank(A) =3. Sai vì:
a b
A = b c khơng thể có hạng bằng 3
c a

( )

b) Ta có:

a b c
´ = b c a => det( A
´ ) = 3abc – c3 – a3 – b3
A
c a b

| |

Vậy b sai
c) Nếu hệ trên có đúng một nghiệm thì | A´ | ≠ 0
Vậy Rank( A´ ) = 3 mà theo định lí Cronecker Capelli, ta có:
Rank(A) ¿ Rank( A´ ) thì hệ phương trình trên vơ nghiệm
Vậy c sai
=> Chọn D.
x +2 y +2 z=3
(
2
x
+
m−
3 ) y+ 7 z=−m+9
Câu 2: Cho hệ phương trình
− x + ( m+3 ) y +mz=−1

{

2


Tìm m để hệ đã cho có vơ số nghiệm.

A. m = -1

B. m = 1

C. m = -1; m = 1

D. Cả 3 câu đều sai

Giải:
1 −2 23
´
Ta có A = 2 m− 3 7− m+9
− 1 m+3 m −1

(

)

→
1 −2 23
( −2 ) d 1 + d 2 2 m+ 13 − m+3
d1+ d3
− 1m+1 m+2 −1

(

→
1− 22 3
d 2 + d 3 2 m+1 3 −m+3
−1 0 m− 1m −1

(

)

)

Để hệ phương trình có vơ số nghiệm ↔r(A) = r( A´ ¿= 2 < số ẩn (=3)
↔m–1=0↔m=1

=> Chọn B.

Câu 3: Cho hệ phương trình:

x  2y  z  5
x  2y  mz  m
mx  2y  2z  m









A.

Hệ ln có nghiệm với mọi m

B.

Tồn tại m để hệ vơ nghiệm

C.

Hệ ln có đúng một nghiệm với mọi m

D.

Tồn tại m để hệ có vô số nghiệm.

. Kết luận nào sau đây đúng?

Giải
1 2 1 5 −d 1+d 2 1
2
1
5
A = 1 2 m m − md 1+ d 3 0
0
m− 1 m− 5
→
m 2 2m
0 2 −2 m 2− m m− 5

(

|)

(

| )
3


1
2
1
5
(d 2 , d 3) 0 2 −2 m 2− m m− 5
→
0
0
m− 1 m− 5

| )

(



Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất <=> m ≠ 1



Nếu m= 1 :

1 2 1 5
A

Ta có: = 0 0 1 − 4
0 0 0 −4

( |)
=> R(A) = 2 < R( A )= 3
=> Hệ phương trình vơ nghiệm

=> Chọn B.
Câu 4  :  Gọi s là số nghiệm của hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình
 x1  x 2  x 3  x 4  x 5  0

 2x1  3x 2  4x 3  5x 4  6x 5  0
 4x  5x  6x  7x  8x  0
2
3
4
5
 1
.
A. s = 1

B. s = 2

C. s = 3

D. s = 4

Giải
Ta có :
´ =

A

(

1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 0
(−
2d
1)+
d
2
2 3 4 5 6 0
0 1 2 3 4 0
→
4 5 6 7 8 0
4 5 6 7 8 0

)

(

)

1 1 1 1 1 0
(− 4 d 1)+ d 3 0 1 2 3 4 0
→
0 1 2 3 4 0

(
(

)
)

1 1 1 1 1 0
(−1)d 2+ d 3 0 1 2 3 4 0
→
0 0 0 0 0 0

→ rank A = rank A´ = 2 < n ( n =5)
→ Hệ phương trình vơ định có 3 hệ nghiệm cơ bản phụ thuộc vào 3 tham số

4


{

x + x + x + x + x =0

Từ HPT (1) => x 1+2 x2 + 33 x +4 4 x5 =0
2
3
4
5

{

x =x +2 x + 3 x

2

3
4
5
<=> x =−2
x
−3
x
−
4
x5
2
3
4

5


Vậy hệ nghiệm cơ bản là : (1;-2;1;0;0), (2;-3;0;1;0), (3;-4;0;0;1)
=> Chọn C.

Câu 5: Gọi s là số nghiệm của hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình
x 1 +4 x2 +2 x 3+ x 4=0
2 x 1 +7 x 2+3 x 3 +4 x 4 =0
. Ta có s lớn nhất khi
x 1 +5 x2 +3 x 3 − x 4=0
x 1 +2 x 2 +m x 3 +5 x 4=0

{

B. m  0

A. m  1

C. m  0

D. m  1

Giải
1
´=2
A
1
1

(

4 2 1
7 3 4
5 3 −1
2 m 5

1 4
2 1 0
0
−1
−1
2 0
→
0 0
0 0 0

0 0
m 0 0

(

0
1 4
2
1
0 → 0 −1
1
2
0
0 1
1
−2
0
0 − 2 m −2 4

)(

0
0
0
0

)

)

Để số nghiệm của hệ nghiệm cơ bản lớn nhất thì r ( A´ ) đạt min
¿=¿ m=0

=> Chọn C.
 x  y  2z  3t  0

Câu 6: Cho hệ phương trình tuyến tính (I) : 2x  2y  5z  8t  0 . Hệ vectơ nào sau

đây là một hệ nghiệm cơ bản của hệ (I)
A. u1  (1, 0, 2,1), u 2  (1,1, 1, 0)

B. u1  (1, 0, 2,1), u 2  (2, 2, 0, 0), u 3  (0,1, 2,1)

C. u1  (1, 0, 2,1), u 2  (0,1, 2,1)

D. u  (1, 0, 2,1)

6


Giải
t− y
x=t − y
=> { z=− 2t
{2 xx ++2y +2y+ 5z+z +83t =0t=0 => {2 xx +2+5 z=−3
z=− 8t −2 y

Ta có :

=> Hệ nghiệm tổng quát (t – y ; y ; -2t ; t)

=> Chọn A
 0, 3 0,1 0, 2 


A   0, 2 0, 4 0,1 


 0, 3 0, 2 0, 3 


Câu 7: Trong mơ hình input, output mở biết ma trận đầu vào

Giả sử sản lượng của ba ngành lần lượt là 80, 100 và 60 . Phát biểu nào sau đây là
đúng ?
A. Tổng giá trị nguyên liê ̣u mà ngành 1 đã sử dụng là 40
B. Giá trị nguyên liê ̣u mà ngành 2 cung cấp cho ngành 3 là 10
C. Giá trị sản lượng mà các ngành cung cấp cho ngành mở là 40,50,28
D. Các phát biểu trên đều sai.

Giải
Tổng giá trị nguyên liệu mà ngành 1 sử dụng:
0,3.80 + 0,1.100 + 0,2.60 = 46
=> Câu A sai
Giá trị nguyên liệu mà ngành 2 cung cấp cho ngành 3 là:
a23 . x3 = 0,1.60 = 6
=> Câu B sai
Thay x1, x2, x3 lần lượt bằng 80, 100, 60 vào hệ phương trình:

{

x 1=0,3 x1 +0,1 x 2+ 0,2 x 3 +d 1
x2 =0,2 x 1 +0,4 x 2 +0,1 x 3 +d 2
x3 =0,3 x1 +0,2 x 2+ 0,3 x 3 +d 3

d 1=34
=> d 2=38
d 3=− 2

{

=> Câu C sai
7


=> Chọn D.
II. TỰ LUẬN:

Bài 01 : Giải và biện luận hệ phương trình:

x  y  2z  0
ax  y  2z  1
x  y  az  2









Giải
1 1 2 0
1 1 2 0
1
1
2
0
´A= a 1 2 1 c 1 ↔ c 2 1 a 2 1 d 2 →− d 1+ d 2 0 a −1
0
1
→
1 +d 3 0
1 1 a 2
1 1 a 2 d 3 → −d
0
a
−2
2
→

(

) (

)

(

)

* Nếu a =1 hoặc a = 2, thì:
´ )=3
r ( A )=2< r ( A

=> Hệ phương trình vơ nghiệm.

{a ≠1

* Nếu a ≠2 , r ( A )=r ( A´ )=3
=> Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất
D= |A| = −(a −1)(a −2)
D 1=

0 1 2
1
1
2− a
1
( 2+4 +4 −a ) =
=
1 1 2=
− ( a − 1 )( a − 2 )
−(a −1)(a −2)
−( a− 1)( a− 2) a −1
2 1 a

D 2=

1 0 2

1
1
6 −5 a
( a+4 a −2 −4 )=
a 1 2=
−(a −1)(a −2)
− ( a −1 ) ( a −2 )
( a −1)(a −2)
1 2 a

D 3=

1 1 0
1
1
2 −2 a
2
( 2+1 −1− 2 a )=
=
a 1 1=
−(a −1)(a −2)
− ( a −1 ) ( a− 2 )
−(a −1)(a −2) a −2
1 1 2

| |
| |
| |

Vậy nếu a = 1 hoặc a = 2 thì hệ phương trình vơ nghiệm

nếu

{aa ≠1≠2 , thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất., là

Bài 02 : Cho hệ phương trình:
8

{

1
a−1
6 −5 a
y=
(a − 1)( a− 2)
2
z=
a −2
x=


ìï 2x + 3y - z = m
ïï
ï - 3x - 2y + mz = - 1
í
ïï
ïï x - y + 2z = 2
ỵ
Tìm m để hệ phương trình vơ số nghiệm.
Giải:

Xét ma trận hệ số mở rộng:
2
3 −1 m
´A = − 3 − 2 m −1
1 −1 2 2

(

1 −1
2
2
0 −5 m+6 5
-2d1 + d3 0
5
− 5 m− 4
3d1 + d2

(

)

)

1 −1 2 2
− 3 − 2 m −1
2
3 −1 m

d1 ↔ d2

(

(

)
)

1 −1
2
d2 + d3 2
0 −5 m+6 5
0 0 m+1 m+ 1

Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm
<=> r(A) = r( A´ ) = 2 ( < 3 )
<=> m + 1 = 0
<=> m = -1
Bài

03: Trong mơ hình Input – Output mở, cho ma trận hệ số đầu vào
 0,1 0, 2 0,1 


A   0, 2 0, 2 0,1 
 0,3 0,1 0, 2 


Giải

a) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận ( I - A ), với I là ma trận đơn vị cấp 3.

9


1 0 0
0,1 0,2 0,1
0,9 − 0,2 − 0,1
Ta có : ( I - A ) = 0 1 0 − 0,2 0,2 0,1 = − 0,2 0,8 − 0,1
0 0 1
0,3 0,1 0,2
− 0,3 − 0,1 0,8

(

)(

630
503
190
→ ( I - A )-1 =
503
260
503

170
503
690
503
150
503

)(

)

100
503
110
503
680
503

( )

b) Tìm sản lượng của 3 ngành, biết yêu cầu của ngành mở đối với 3 ngành là
D = ( 68,86,29).
Gọi X là véc tơ biểu thị giá trị sản lượng của 3 ngành.
Ta có: X = ( I - A )-1 . D
630
503
190
=> X = 503
260
503

170
503
690
503
150

503

100
503
68
110
. 86
503
29
680
503

( )()
120

( )

=> X = 150
100

x1 =120
Giá trị sản lượng 3 ngành là : x2 =150 ( đơn vị tiền )
x3 =100

{

Bài 04: Xét mơ hình Input-Output mở gồm 3 ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào

 0,1 0, 2 0, 2
A  0, 2 0, 2 0,3

0, 4 0,1 0, 2

a)

Tìm tổng nguyên liệu đầu vào của ba ngành để sản xuất ra được 10 đơn vị

đầu ra của từng ngành

10


b)

Tìm sản lượng ngành 1, biết rằng ngành 3 phải cung cấp cho ngành 1 với

lượng nguyên liệu giá trị 70 (đvt).
c) Nếu biết sản lượng của ngành 3 là 100, thì ngành 1 phải cung cấp cho ngành 3
là bao nhiêu?
Giải
a) Tổng nguyên liệu của 3 ngành để sản xuất được 10 đơn vị đầu ra của từng ngành:
Tổng nguyên liệu ngành 1: 10. (0,1 +0,2+0,2) = 5 (đơn vị tiền)
Tổng nguyên liệu ngành 2: 10. (0,2 +0,2+0,3) = 7 (đơn vị tiền)
Tổng nguyên liệu ngành 3: 10. (0,4 +0,1+0,2) = 7 (đơn vị tiền)
b) Tìm sản lượng ngành 1, biết rằng ngành 3 phải cung cấp cho ngành 1 với lượng
nguyên liệu giá trị 70 (đvt).
Ta có: a 31. x 1= 70
=> 0,4 . x 1= 70
=> x 1 = 175
c) Nếu biết sản lượng của ngành 3 là 100, thì ngành 1 phải cung cấp cho ngành 3 là
bao nhiêu?

Ngành 1 phải cung cấp cho ngành 3 là:
a 31. x 3= 0,2.100 = 20 (đơn vị tiền)

III. SÁCH BÀI TẬP:
Bài 11: Cho hệ phương trình:

Tìm m để hệ có vơ số nghiệm và tìm nghiệm tổng qt trong trường hợp đó.

11


Giải

{

x + y +2 z =0

Bài 13: Cho hệ phương trình tuyến tính ax+ y +2 z=1 (I).
x + y +az =2

Khi đó, hệ (I) là hệ Cramer khi và chỉ khi
A. a ≠ 1
B. a ≠ 2
C. a = 1 hoặc a = 2
D. a ≠ 1 và a ≠ 2
Giải:
Ta có:
112
D = a 1 2 = (a - 2)(a - 1)
11a

| |

{a ≠2

Hệ phương trình (I) là hệ Cramer ↔ D ≠ 0 ↔ a ≠1
=> Chọn D.
2 x +3 y=5
Bài 14: Cho hệ phương trình tuyến tính x+2 y=3 (I).
2
a x+3 ay =4

{

Khi đó, hệ (I) có đúng một nghiệm khi và chỉ khi:
A. a = 1
B. a = −4
12


C. a = 1 hoặc a = −4
D. a ≠ 1 và a ≠ −4
Giải:

{2 x +3 y=5
2 3
A = (1 2) với | A|=1
x=|5 3|=1
3 2
=>

2 5
y=|
=1
1 3|

Ta có: x +2 y=3

{

Để hệ phương trình (I) có đúng một nghiệm duy nhất thì:
a 2 x+ 3 ay=4 (với x = y=1) <=> a 2+3 a − 4=0

<=> a = 1 hoặc a = -4
=> Chọn C.

Bài 15 : Cho hệ phương trình tuyến tính:
x+ 2 y +mz=3+ m
2 x +my − 3 z =m−1
2 x − my+2 mz=−2

{

(I)

Cho biết x=1, y=1, z=1 thỏa hệ (I). Chọn mệnh đề đúng:
A. m=-4 và hệ (I) có vơ số nghiệm
B. m=-4 và hệ (I) có nghiệm duy nhất
C. m=-2 và hệ (I) có vơ số nghiệm
D. m=-4 và hệ (I) có nghiệm duy nhất
Giải:

1 2
m 3+m d 2=− 2 d 1+ d 2 1
2
m
3+ m
´A = 2 m − 3 m−1 d =− 2 d + d 0 m −4 −3 −2 m −m− 7
3
1
3
→
2 − m 2 m −2
0 −m − 4
0
−2 m− 8

(

| )

(

| )
13


1
m
2
3+ m
c 3 ↔c 2 0 −3 − 2m m− 4 − m− 7

→
0
0
− m− 4 −2 m− 8

(

| )

* Nếu m≠-4 thì r(A) = r( A´ ) = 3
=> Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
* Nếu m= -4 thì r(A) = r( A´ ) = 2 (¿ 3)
=> Hệ phương trình vơ số nghiệm
=> Chọn A
Bài 18: Trong mơ hình Input – Output Mở Leontief, biết ma trận đầu vào như sau:

a) Nói ý nghĩa kinh tế của hệ số a21 = 0,3.
b) Biết sản lượng của ngành 2 là 100, tính giá trị của lượng nguyên liệu mà các
ngành cung cấp cho nó.
c) Tìm ma trận nghịch đảo của ( I3 - A ).
d) Tìm mức sản lượng của ba ngành, nếu ngành mở yêu cầu ba ngành trên phải
cung cấp cho nó những lượng sản phẩm trị giá tương ứng ( 39,49,16 ).
e) Nếu yêu cầu xuất khẩu dự trữ thay đổi đối với các ngành lần lượt là
∆ D=(3 , −2,0) .Hãy tính mức thay đổi sản lượng của các ngành.

Giải:
a) Ý nghĩa kinh tế của hệ số a21 = 0,3 là : cần một lượng hàng hóa thứ 2 ( nguyên liệu
thứ 2 ) trị giá 0,3 ( đơn vị tiền ) để sản xuất một lượng hàng hóa thứ 1 trị giá 1 ( đơn
vị tiền )
b) Khi sản lượng của ngàng 2 là 100, Giá trị của lượng nguyên liệu mà các ngành

cung cấp cho nó lần lượt là :
Ngành 1:

a12 . x2 = 0,2 . 100 = 20 ( đơn vị tiền )

Ngành 2:

a22. x2 = 0,1 . 100 = 10 ( đơn vị tiền )
14


Ngành 3:

a32 . x2 = 0,3 . 100 = 30 ( đơn vị tiền )

1 0 0
0,1 0,2 0,3
c) Ta có: I3 - A = 0 1 0 - 0,3 0,1 0,1
0 0 1
0,2 0,3 0,2

(

)(

)

0,9 − 0,2 − 0,3
−
= 0,3 0,9 − 0,1

− 0,2 − 0,3 − 0,8

(

)

|I 3 − A| = 0,448
345
244
65
=> ( I 3 − A )-1 = 122
135
244

125
244
165
122
155
244

145
244
45
122
375
244

( )

d) Gọi X là vecto biểu thị giá trị sản lượng của 3 ngành
345
244
65
Ta có: X = ( I 3 − A )-1 . D = 122
135
244

=

125
244
165
122
155
244

145
244
45
122
375
244

( )
()

.

39

49
16

()

5475
61
5670
61
4715
61

x1 ≈ 89,754
Giá trị sản lượng 3 ngành là : x 2 ≈ 92,951 ( đơn vị tiền )
x 3 ≈ 77,295

{

e) Gọi ∆ X là vecto biểu thị mức thay đổi sản lượng của 3 ngành
345
244
65
∆ X = ( I 3 − A )-1 . ∆ D =
122
135
244

125
244
165

122
155
244

145
244
45
122
375
244

( )

.

3
−2
0

()
15


=

785
244
−135
122
95

244

()

x 1 ≈ 3,17
Mức thay đổi sản lượng của 3 ngành là : x2 ≈ −1,107 ( đơn vị tiền )
x 3 ≈ 0,389

{

Câu 20: Xét mơ hình Input – Output mở Leontief gồm ba ngành với ma trận hệ số
đầu vào là
0,3 0,1 0,2
A= 0,2 m 0,1 =( a ij )3 × 3
0,3 0,2 0,3

(

)

a)Giải thích ý nghĩa kinh tế của hệ số a23 . Từ đó tính số tiền mà ngành 2 phải
đóng góp cho ngành 3 khi giá trị đầu ra của ngành 3 là 200 (đơn vị tiền).
+ Ý nghĩa kinh tế của hệ số a23 : Cần 1 lượng hàng hóa thứ 2 ( nguyên liệu thứ 2) trị
giá 0,1 (đơn vị tiền) để sản xuất một lượng hàng hóa thứ 3 trị giá 1 (đơn vị tiền)
+ Ngành 2 phải cung cấp cho ngành 3:
a23 . x3 = 0,1 . 200 = 20 ( đơn vị tiền )
b) Giải thích ý nghĩa kinh tế của hệ số a03. Từ đó suy ra ngành mở phải đóng
góp bao nhiêu cho ngành 3 khi giá trị sản lượng của ngành 3 là 1000 (đơn vị
tiền).
a03= 1- (a13+a23+a33)= 0,4

+Ý nghĩa kinh tế của hệ số a03: ngành mở đóng góp 0,4 ( đơn vị tiền) cho ngành 3 để
ngành 3 sản xuất 1 lượng hàng trị giá 1 (đơn vị tiền)
+Ngành mở phải đóng góp cho ngành 3:
0,4. 1000= 400 ( đơn vị tiền)
c) Hãy tìm giá trị của m, biết rằng ngành mở phải đóng góp 150 (đơn vị tiền)
cho ngành 2 khi giá trị sản lượng của ngành 2 là 500 (đơn vị tiền).
Ta có: a02= 1-(a12 + a22+ a32)
= 1- (0,1 + m + 0,2 )
= 0,7 – m
16


Theo đề bài, ta có:
a02 .500 = 150
<= > (0,7 – m) . 500 =150
<=> 0,7 – m = 0,3
<=> m = 0,4.
d) Với m = 0,4 hãy tìm giá trị sản lượng của ba ngành nếu biết yêu cầu của
ngành mở đối với ba ngành lần lượt là 66 , 124, 100.
0,7 − 0,1 − 0,2
I – A = − 0,2 0,6 − 0,1
− 0,3 − 0,2 0,7

(

)

Det ( I – A) = 0,219.
400
219

170
=> ( I – A) -1 = 219
220
219

110
219
430
219
170
219

130
219
110
219
400
219

( )

Gọi X là vecto biểu thị giá trị sản lượng 3 ngành
X = ( I – A )-1 . D
400
219
170
= 219
220
219

110
219
430
219
170
219

130
219
66
110
. 124
219
100
400
219

( )
()

( )

17680
73
25180
= 73
25200
73

x 1 ≈ 242,192

Vậy sản lượng 3 ngành x 2 ≈ 344,932
x3 ≈ 345,205

{

( đơn vị tiền )

17


18