Tai lieu boi duong hoc sinh gioi Chuyen de 4 Ham so mu va logarit Le Hoanh Pho File word

CHUYEN DE 4- HAM SO MU VA LOGARIT
1. KIEN THUC TRONG TAM
Lũy thừa và căn thức:
4

—H

1
=—
a

(với

.

*

Ú vàng

)

m

a'=a"

"m

=‹a"”"

a” =limđ”

(với >0
roe

mM

vàr=—,ncứ,ncY
n
`

(với a>0,œ€j¡

,rz cB

k

)

và limr =Ø).

Khi
ø lẻ, b= 4a ©>b" =a (với mọi a)
Khi 7 chan, bac)
b"=a

(với a>0).

- Biến đổi lũy thừa: Với các số a>0,b>0,a@ va B tùy ý, ta có:
a“.a) =a°°”:a" :a” = a“°(a# Ỷ =a?
(ab)

= a® b*;(a

bỳ =a" :b®

- So sanh: Néu O0<
a
thi: a®
GS a>0;a*

>b* oa<0

Lơgarit:
- Lơgarit cơ SỐ a: œ =log,b<>a”

=b

(0
b>0)

- Logarit co s6 10: log,, b=1gb hay logb
- Logarit co sé e: log, b= Inb(e ~ 2.7183)
- Tính chất: log 1= 0 va log, a’ =b voi a>0,a¥1.

a" =b voi a>0,b>0,a #1.
- Bién đổi lơgar1f trong điều kiện xác định:

log, (bc) = log, b+log,c

b
C

log, —=log, b—log,c,log,|

1
C

—

|=—log,c

1
,
log, b* =alog,b (với mọi #), log, Vb =—log, b (ne¥ )
n
- Đôi cơ sô trong điêu kiện xác định:

Trang 1


l
log, x= ot
O a
log, a=

!
a

hay log, b.log, x =log, x
hay log, b.log,a=ILlog , b= fog. b

b

.

a

Ham số lũy thừa y = 1”:

Liên tục trên tập xác định của nó

Dao ham (x*)'=ax*"(u*)'=au""w' Dang ky mua file word tron bo

chuyên đề khối 10,11,12:
HUONG DAN DANG KY
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
(vx) =
TIN

|

nf

X

mi!

(x>0),(au) =

_

=, voi u=u(x)>0.

ANU

Hàm số y = x7 đồng biến trén (0;+00) khi @ > 0; nghich biến trén (0;+00) khi @ <0.
Hàm số mũ:

Liên tục trên tập xác định ¡_, nhận mọi giá trị thuộc (0;+œ).
lima” =
x—+

+00
0

Dao ham: (z'}
(a")
Đồng biến trên ¡

khia>1

:5 lim a =
khi 0
0

khia>1

+00

khiO
=a Ina;(e*)' =e;
= au'Ina:(e")' —e'u' voi u= u(x).
nếu z >1, nghịch biến trên ¡

nêu O<ø<1.

Ham s6 légarit y =log, x:

Liên tục trên tập xác dinh (0;+00), nhan moi gia tri thudc ;
lim log, x =

x->+œ

+00

khia>1

=œ

khidO
; lim log, x=

wv

—œ

khi
a >1

+œ

khiO
Trang 2


;(Ina)'=

xina

!

l

( °F

=

u)

;(In|x|)'=—

ele

Dao ham (log, x)'=

u'

u'

(Inz)
In)
=—;{l
~~ 3(In|u) '=—7

ulna

VỚIvoi 1 u= u(x) .

Ham sé y= log, x đồng biến trén (0;+00) néu a <1, nghich bién trén (0;+00) nếu 0< ø<1.
Giới hạn:

lim | + *) — elim

x—>+œ

xX

= Elim

xX

In (I + x)

x20

_

xX

x0

2. CAC BAI TOAN
Bài tốn 4.1: Thực hiện phép tính

A=g8I9” (a)

~=

1

3
—=

1

2

1

-{s) ";B=0,001 3 —(-2)?.643-8 3 +(9°)’
Hướng dẫn giải

=) (2

-1

5

-(5)
2)
s5

-2
=
= (10°) 3 3-27.(2°)§

3

-1,5-g-1 3-30
27
27
27
1

111

¬-4
2
1=7-—=—.
-(2°)3\— 34+1=10-2?-2*4

l6

16

Bài tốn 4.2: Don gian biéu thirc trong diéu kién xac định:
a—]

PE=rE—Trr

att+

Va+4a

a

ai !

q7

1

o7

1

a3—da `

a?*-a

gqì-dg`

a?

+a

3
3

Hướng dẫn giải

Va+1\(Va-1) #a|#⁄a +1
Ì Wsi(
|
I
"

Jala) “(Ve

O=

(Ia) a (Ina)
7

a3 (1- a)

T

(I+z)- (I—a)=2a

a 3(a+T)

Bài toán 4.3: Trục căn ở mẫu

Trang 3


a)

]

]

)

V2 +43

15 — 134/48

Hướng dẫn giải

L—
Pie

5-2 (X5-v2)(45+2W9+4)
1

Yo-2

b) Vi 5—V134+-J48
Vas =5~4|( 2/3 +1)

1

=(V3- 2)

=i

}

_M+1)Ä4-22

Bài tốn 4.4: Khơng dùng máy, tính giá trị đúng:

a) ¥15+6V6 +V15—6V6

b) {7452-37-52
Hướng dẫn giải

a) Tacó (32+ 23) ~184+12412V6 =30+12-/6
nén. 15+ 6V6 +V15—6V6 —= 3V242V3
Bt

3V2-2V3|=o

Cách khác: Đặt |15+ 6^Í6 +^|15~ 6@Í6 = x;x >0.
Ta có x7 =30+2A/225- 216 =36 nên chọn x =6.

b) Tacó: 7+5/J2 =I+3/2+6+24/2=(I+2)
Tương tự 7~5y2 =(1-V2)

Do đó Ÿ7+5/2 -V7-5V2 = 142 -(1-v2) = 2v2

Céch khac: Dat x= 4]7+5V2 —7—52 . Taco:

x =7+5/3 -(7=5/2)-3(\ï =5⁄2 -

+ 5/2

qƒ + 5/2)( ~545) ]

=10/2 +3|\Í7 + 5/2 - Ÿ7~5/2)= 102 +3x.
Ta có phương trình:

Trang 4


x° —3x—10V2 = 0. (x—=2/2)](x” +22x+5)=0>x= 2/2
Bai toan 4.5: Tinh gon

a)

{49+20J6 +4/49-20/6 Dang ky mua file word trọn bộ

chuyên đề khối 10,11,12:
HUONG DAN DANG KY
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
b)

{2¬+-W5+2|2+xJ5

+f24J5

2/245

Hướng dẫn giải

a) Ta có {49+ 20A/6 = 425+10A/24 +24 = {{5+26)
= (V3 +2) =V3 +2
Tương tự: 4/49—20/6 = V3 — V2 (do V3 > V2)

Suy ra 1/494 2016 + 4/49—20J6 = 2V3
b) Dat M ={2+vJ5+2a|2+-W5,N={|2+J5—2

2+5

Tacó: MN =Í2+J5} —4(2+AJ5) =1
M +N‡=4+28J5 = M°+N°+2M°N? =6+2xl5 = (5+1)
2

SMP!

Vậy

VŠt2siMcN+

{2+ J5+2xÍ>+

J5

2M

+{2+J5—2

(+

2+5

| 2Ÿ

=M+N=

Bài tốn 4.6:

Trang 5


0 Oh eee
BB PBB rah ano
b) Tinh B=

413

Vit

| 6+x/§

2k +^Ík? —1

4244

.

7 VE 1+|kaT

, 200+ 19999

094 Ji01

Hướng dẫn giải
= PB +7513 p=

a) D
>a

eb

==,

BASE
V513

ab =1 va 3x+l=a+b

Vi (3x+1) =27x° +27x° +9x+1

=27(x`+x” +1)+3(3xz+1)—29 nên
(3x+1) —3(3x+1)+29 (a+b) —3(a+b)+29
27
_
27

232
_a*+b`+3ab(a+b)-3(a+b)+29_
2T”? 3
_

27

—

27

—

b) Với mọi & >2 thì

rN

(=1) t(jk+1)} c@=1&+Ð) J(W+1- k1)

Nk—1+Ak+I—

(Jk—1+x+1](Jk+1—x—1]

- V( +!) vl -

¬

Do dé

8

na
3

— 999+101V101 —2V2
2

Trang 6


Bàiài

toántoán

4.7:

Cho o

a -a
5

sh
=
sh(x)

sch(x) =

a'+a
2

›
—
th(x)

a —a~
ta

voi a>O,a41.

Ching

minh

2th( x

ch” (x) — sh? (x) =1, th(2x)=

> 7 1

—X

Ta có dềb)520)=| 4

ra

2

x

|

°

xX

—£

2

|

_ a’ +a" +2-a"-a"+2_4_,
4

4
X_

Ta có: Lae (a) 1

alts)

1+zfˆ(x)

nên

_ 5

„X

=)

2

2

—

ra

2x

)

ata

a '-a”`

a*t+a"+2

at+a~

2(a” + a7)

_ 2(a" =az*)(a' — a*)
2(a'+a*)(a”

2x

(a

a”-a”

-a**)

a*

+a

= th(2x).

Bài toán 4.8: Cho số tự nhién n lẻ, chứng minh:
~

|

11

1

a

bc

qa+b+c

—+—+—=

1

1

1

a’sb"

Cc"

thi — + — + —

a)

Nêu

b)

,
I
I
1
Nêu ax" =by" =cz", —+—+—=1
x
y
Zz

1

= ——

thi: tax"

a’ +b" +c"
+ by”

+¢7""

= ta +&b
+ 4c

Hướng dẫn giải
a)

1
1
Từ giả thiết suyra —+—=
a

b

1
dq+b+c

_——1
€C

=> (at+b).(a+b+c)c=abc—ab(at+b+c)=>(atb)(b+c)(c+a)=0
—
b)

có 2 số đối nhau mà ta có ø lẻ >

vr=/|ˆ—+

+

—› VI tt:
»
x
y Zz

dpem.

= nlax” (+4 144)

Vax" = xX a= yilb = z&c

2 + + ÚE — đọem.

Bài tốn 4.9: Tính:
Trang 7


a)

logs 18

1

— 18; 3p logs 2 —

log, 5

8

.

+32 |
b)

lees

_ (2° yr

logas 2

=|{-

2

—

25

— 32

_ 2(-3)Joss5 _ 219%; sa _ 53 = 1

125

z8:

?

2

=25 =32,

5 log, 36—log, 14—3log, /21 = log7 ti

=log„7“ =-2.

Bài toán 4.10: Rút gọn các biểu thức:

a)

A=log, 2.log,3.log,5.log, 6.log, 7

b)

B= aÝ99:9 _ pllose

Hướng dẫn giải
a)

A=log, 2.log, 3.log,4.log,5.log, 6.log, 7
_ log

log3

log4 log5

log6 log7 log2 _

1
1
loø,2=—loø.,
Se
3
82 2=— 3

_ log3 log4 log5 log6 log7 log8 _ log8 _

b) Dat x=,flog b > log, b=x° >b=a*
¬

1

Mat khac log, a=—; >

log, =—

Do đó: B=a*—a.

ote

x

1

x

=0.

Bài tốn 4.11:

a)

Cho log, 15 = x,log,; L8 = y, tính log.„ 24 theo x, y

b)

Cho a=log, 3,b=log,5,c = log, 2, tinh log,,, 63 theo a, b, c.

Hướng dẫn giải
a)

Taco

x=

log; 3.5 _ log, 3+log, 5 và y= log, ¬
log, 2.3

1+log, 3

2y-1
Suy ra log, 3 =~

2-y

log,2.3

1-2
Jog, 5 = STP

Do dé log,, 24 = log, 28273 2°. log, 5

2-y

_ I#2log;3
2+log,3

TY

—
3-3

2(x+I-2y+xy)

|

b)_ log,,63= log,,(3”.7)= 2log,,s 3+ log,„; 7
Trang 8


2

1

log,140

=

2

log, 140

log, (27.5.7)

2

+

2log,2+log,5+log,7

Ta có log; 2=
log, 7 =

Vay log, 63 =

1
2log,2+log,5+1

1

=

log,3

log, (2”.5.7)

= + hog, 5 = log, 2.log, 3.log,5=cab
a

log,3
1

1

1

=—

log,2.log,3
2

ca

+

2 py
a

;

]

_

2c+cab+1

ca

2ac +]

abct+2c+1

Bài toán 4.12: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn:
gl987 — 27, perth — 49, clog25 — Ji

Tinh T = qos)

4 pt9sr) + c(os:: 257

Hướng dẫn giải
Ta có:
(a®”) log; O83 7 4 (P” 5) log, Đề? 11 + (cm 5) log, Sến 25

T-

;

log, , 25

= 27087 +49" 4(Ji1) "4174252

1

= 469,

Bài tốn 4.13: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:

a)

b)

log, b = ple
|
qe?

1
log,b

1

+

log ,.b

1,

+

es

log .b

,

1

_ n(n+1)

=

log ,b

2log,b

Hướng dẫn giải
a)

a9?

b) VT=

— ps

1

log, b

gis?

+

— pe

2

log,b

b.log,a — ps4

+

=(I+2+3+...+n).

3

log,b

+...+
:

n

log, b

I— n(n+])

logb

2logb

Bài toán 4.14: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:
Trang 9


a) Nếu a“+c =P
b)

thì log, a+log, a=2log, a.log, a.

Nếu z,b,c lập cấp số nhân thì

log,d—log,d _ log, d
=

log,đ-log #4

log dd

Hướng dẫn giải

a)

Theo giâthiết a” =(b—c)(b+c).
Xét a=1: ding Dang ky mua file word

tron bo chuyén dé khoi 10,11,12:

HUONG DAN DANG KY
Soan tin nhan “ lôi muôn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Xét a#1 thi log, (b—c)+log, (b+c)=2>
nên log,,.at+log, .a=2log,,.a.log, .a

b)

|
Tacé

Tuong

log, d-—log,

tu: log,

cần

d=

d—log.d

Bc

1

l

1

log,a ˆ log, b
1

=

log,b

—

=

1

log,c

,
z
b
Vì a, b, c lập thành câp sô nhân nên “=>
a
a

~

s5)

(log, a)(log, b)

=

lo Đa


(log, b)(log, c)
log , R
b

b
= lOB„ B

a

Do dé log,d—log,d_log,c__ log,d
log, d—log.d _ log, a _ log.d
Bài toán 4.15: Cho x, y, z, a là các số thực dương đôi một khác nhau và khác 1. Chứng minh:

a) Nếu log, x=1+log, x.log, z, log, y=1+log, y.log, x thi:
A= log“ x.log , y.log, z.log,a.log, a.log.a=1.
x
a
a
y

Zz

.
+zZ—
+x—
+y—
b) Nêu x(y
) = y(
ˆ y) = ;ứ
> ‘)
logx
logy
logz

thi x.y" = yg

= 2.x"

Trang 10


Hướng dẫn giải
a) Từ giả thiết, ta có: log, x=1+log, x.log, z

Do do: log, alog, z=1. Tuong tu log, alog, x =1
z

Ma log, y=1+log,

x

y.log, z, nén log, y= 14—CI 8e)_

1—-log, z

—1-log,

z=

l og,

¥

số

đều

log, y-l

=> log, z=1+log, y.log, z
Tuong ty trén, ta cting co log. alog, y=1. Do đó
3

A= oe,

x.log , o} [te
x

b)

Nếu

một

y. log. o} (te

z.log. ‘ =]

y

trong

các

£

số x+y—z,y+z—x,z+x—y

băng

0 thì

cả ba

bằng

0 và

dẫn

đến

x= y=z=O0,
mau thuan.
Do đó x+ y—z,y+z—x,z+x—y khác 0.

x(log y).(y+z-x)= y(log x). (z+x-y)

Tir gid thiét thi: { y(log z).(z+
x— y) = z(log y).(x+ y-z)
z(logx).(x+ y—z}= x(logz). (y+z-x)
Ta có: x(log y).(y + z-x) = y(logx)(z+x- y)
=> xlog y= y(log.x) <=»

y+rz-=x

=> xlog y+ ylog x= sees)| ST

1|

YrZ-x

=> xlog y+ ylogx= y(log x).

2£
z+x-y

Tương tự ylogz + zlog y = z(log y).

2x

Z+x—Vy

Do đó: x”.y” = y”.z” <> xlog
y+ ylogx= ylogz+ zlog y

Trang 11


2z
ylo8.—————=
ytz-Xx

<

2x
zÌ08 y.————
Z+x-y

> y(logx).(z +x— y) = x(log y)(y +Z — x) : đúng
Chứng minh tương tự: yÝ.z” = z”.X”.

Bài

toán

4.16:

Cho

các

số

thục

a2

b,

c

thỏa

mãn

l

.

Chứng

minh

răng:

log, (log, b) + log, (log, c)+log, (log, a) >0.
Hướng dẫn giải

Vi lTacó l
Suy ra 0 > log, (log, a) > log, (log, a)
Do do log, (log, b)+log, (log, c) +log, (log, a)
> log, (log, b) + log, (log, c) + log, (log, a)
= log, (log, b.log, c.log. a) = log, (1) =0
2
Bài toán 4.17: Trong khai triển nhị thức P(x) = 2

a) Tìm hệ sơ của x
`

A

A

xả

13

3+ we

,„x>0.

b) Tìm sơ hạng khơng chứa x

13

`

A

^

Lá

Hướng dẫn giải
2

Số hạng tổng quát của P(x) = 2

3+ sứ

¬Le

a)

= C; 3

]

13

là:

13k-52

(xvx)

= C3.

°

Hệ số của x” ứng với
——.=.

là:

T,, = Clo = 286.
b) S6 hang khong chira
x tng voi 13k -52=O0
Ok =4 la T, =C, =715.

Bài tốn 4.18: Trong khai triển nhị thức

1

{x®*” + ly

6

|, biết số hạng thứ tư bằng 200. Tìm x?

Hướng dẫn giải
Trang 12


1
x>0,xz—.
Ta có:
10

ĐK:

1

xigxH

°

+ ay

1

—

LỒP

xe x+1) + x2

— SỞ c¿x

6kg

x+1) x12

k=0

Số hạng thứ 4 ứng với k = 3, theo giả thiết băng 200 nên:
3

T+1g x

1

+—

Cˆx>1) *

999 os EH = 19

4

5

LAS
Jo
4lgx+4

Igx=1

<>lg“ˆx+3lgx—4=0<>

x=10

&

lgx=-4

x=10"

p=
(Chon).

Bài toán 4.19: Chứng minh các giới hạn:

a) tim!
x—>0

b)

x_—

1

1+

= tna lim

og,(1+x)
x—>0
X

X

1

Ina

lim (1+) = e'im +“

x->+œ

Xx

x—>0

- 4 Dang ky mua file word tron bo

xX

H

chuyên đề khối 10,11,12:
HUONG DAN DANG KY
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Hướng dẫn giải

a) tim
x0

x

= jim2

xX

Ina

x0

—
xX

= tim
x0

xina

_

Sha
= nc

xIna

|

1+
In(1+
đim198Ú‡*)
—
may
ots)
x30
x

b)

x0

a).
Him( 1+)
= lim|)

x—>+œ

x

x->+®œ

1

x

1
1+—

=e

Ina

,

Trang 13


4ll+ax_—l

_

.
= lim

*

l+ax+l

_ x( [rary

_ =

+3{(1+ ax)"

cạn]

„ụ

Bài tốn 4.20: Tìm các giới hạn sau:
2x __

a) lim“——^

5x

x

x0

xX

x0

+

b) lim“ TS =2
3

—

+5"

2

Hướng dẫn giải

a) lim

2x

x0

_—
xX

—^

5x

-in|$
x0

_—

2x
xX

vat
b)

>

mot

2

x>0 3” +98 "—2

= lim
x0

_—

5x

le

xX

'}=2-5=-3

sl
xX

Xx

5-1

3-1
Xx

_ In2+1n5
In3+In5

_ In10

In15

x

Bài tốn 4.21: Tìm các giới hạn sau:

In{1+3xˆ

a) ñạ
n3)
x—>0
l—cos2x

b) lim
x0

x3"

6-3

In(1+

6x) —In(1+3x)

Hướng dẫn giải
In[1+3x7
In(1+3x°
"...
5
"..
x>0

J—cos2x

_l.

x>0

3In(I+33”).

2 +90

b) lim

»

2

Qsin’x

sinx

3

+

6'—3'

x0 In(1+ 6x)—In(1+3x)

2

“m(6=1_3'-11,(mĐ+6x)
x0\

Xx

x

Ind+3+)

X

X

= (In6~In3):(6-3)==1n2.

Bài tốn 4.22: Tìm các giới hạn sau:

a) x—>+œ
lim dt +)
x—3

b) x>+0\
lim

1]

x4]

Hướng dẫn giải

Trang 14


x11
2

b

Iiml #f”|
x4]

=đmll+-S—|
x->+œ
x+]

x~>+2\L

x+l

=đmlli+—]
x->+œ
x+l

= £?

2

Bài tốn 4.23: Tìm các giới hạn sau:
.

ek

NI Ta

.Ô

a) lim———,—
x0

In(I+x

b) lim

)

lạ +b

x0

1

J với 0<ø.bz1.

Hướng dẫn giải

x0

fet
—2

= lim

3

4
2x

7

ats)

=1 Vier

nf

¿2° fae

X

2

(1+ 2")

2

X

:

"

1

X

:

+¥1+2x° +1

2

In(l+x°)
5
3

7

=——

3

ath" |

b)

.

1

"+bP

in|
x0

|

2

`...

= lim 18
x>0

a*+b*

—=—

= lime

x

Vay in| 4

+

2

a*-1 bY

#=

;

"_+b"

lime 3x

2x nó

_—_ 1

Lâm ƠN

1

|

2

x

>

Ina+lnb

2

= glnvab _ Jab

1

b*

x

5

|

= Jab

Bài tốn 4.24: Tính các giới hạn sau:
1

1

——————
a) ) lim|
im{
m]

b) lim(1+x
) lim(

cot x
)

Hướng dẫn giải

Trang 15

—

nx=

x+ 1)

' —lim_—

1(x=DInx)
“im

I=#

=> lnyjx—I
x

ep,

llnx+x—l

b)

—-]

2)

_—

++l(xlnxtx-l)'

¬

x0

1

= im 0ng+3))
x0
(tan x)'

— eMenxn(xv)

x—>0

2

In(1

Ta có: lim(cot xIn (1+ x)) = ñimnH++3)
x0
x0
tan x
nén lim(1 + x)" = lime)

1...

ĨInx+2

= lim +x _ =]
=
x0 tan” x +1

=e

Bài tốn 4.25: Tìm các giới hạn sau:
1

a) lim (cos x)2°

b) lim (cos 3x)x

5

Hướng dẫn giải
l

_

2) Ta có lim D053) - tim COD)"

".....
x0

4

Nén

b)

+...

lim(cos

x)2+

x>U

In(cos x)

=lme

7Ý

x—>0

In(cos x)

5

x

x>0

(x)
5In(cos3x)

Nén lim(cos3x)*=lime
x—>0

—

=)
(4x)'

L

*

x0

1

im

=e”

T7

2*

=e'

s 15sin3x

€0S3x

—lim_—

lim 51n (cos 3x) —lim (5In (cos 3x))
x—>0

py
x0

4

1

. 4:

—

(2x)}'

x0

Dx?

xo0

ny PAM
4x
x0

'

— 0

x30
fim E0834)

=e

*

=e?=1

Bài tốn 4.26: Tính giới hạn sau:
1

lim
a) x->+œ

Inx

b) "ai

x—Alx?—]1

XIE

X—7Z

Hướng dẫn giải
1

a) lim ——
x->+œ

x—

Hy2—1

Inx

Ji1

= lim (x40 +1)"
x->+©

Trang 16


n(x+x
Taco:

lim

x->+œ

lim
XD

= lim

Xx

x—+00

1

1

Vay:

b)

In

+1]

Inx

im | ———

x—>+œ

X

—

vii

|

X—

2

X

=e =e€

]

In(z*”)=lim———In— =lim
XT

XxX

—

vii

vii

x->7

x

— vii

Đặt g(x)=Inz" thi g(7)=Inz va g'(x)=Inz Dang ky mua file word tron

bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HUONG DAN DANG KY
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Theo định nghĩa đạo hàm ta có:

tim 2
XD

-m

x7

x->7

#@)— 8Œ)
x7

=

g'(z)=Ina

Bai toan 4.27: Tim dao ham cua hàm sô sau:

a) y=+x Ne “+1

b) y=

2*-2~
—
2+2"

c y=x-5+x

Hướng dẫn giải
a)

y'=2xVe* +14

b)

y'=

2x

Ve

24x
+1

=

2x|(x+l)e”“+l1
(
ev +]

(2'In2+2*In2) 2'+2*)-(2'-2*](@'In2-2*In2)

(2+2*}

(42) -('- 2") ity
(2° + 2")
c

Tacó y=x

5 *+x =x —-5'+e*"*

An?

(2° +2")
nên
Trang 17


y'=5x'—5*In5+e*”*(Inx+T)=5+xˆ —5*In5+x” (Inx +1)
Bài tốn 4.28: Tìm đạo hàm của các hàm sô sau:

a)

y=In[x+Ÿ

+a’ |

b)

y= log; (—x? +5x+6)

C)

y =cosx.e7*"™*
Hướng dẫn giải
y'=

l+

*
Vx +a’

—

1

x4V¥x 4a
—2x+5

b)
C)

x +a’
_

(—x° +5x+ 6)Inx3
.

y'=—sinxe

2 tan x

—4x+10

(-z +5x+ 6)In3

2

2

.

1+ —,z2mx~z2mx | T^“——sinx
cos x
COS x

Bài toán 4.29: Chứng minh:

a) Nếu y=e“+2z£* thì: y"—13y'—12y=0
2

b) Nếu y=

cave Tiny

tv

thì: 2y=
xy +ln y'

Hướng dẫn giải
y'=4e”'—2e *,y"=16e”"+2e *,y"=64e°"—2e* nên:

y"-[3y'- 12y = (64e*" —2e*)-13(4e** — 2e*) -12(e** + 2e*) =0
b)

yextt

Vee1¢

2

2

1+

2

2Vx° +1

X

/ 2

2|x+

x +1]

2

=x+

2x

+1

2N@\x +1

+

2Nx

!

+1

=x+Nx +l

Do đó, ta có: 2y=x?+xv3ˆ+1+In(x+ xà? +1)
xy'=# +x\x

+l

và In y'=In(x+-V2? +1]

=> 2y = xy +Ỉn y': đpcm.
Trang 18


Bài tốn 4.30: Tìm đạo hàm cấp ø của hàm số

a) y=5”

b) y=In(6x” = x— l]

Hướng dẫn giải

a) y'=(kin5).5“;y"=(kIn5)
.5°
Ta chứng minh quy nạp: yữ
b)

vị.

= (kIn 5) 3

1...
1
hoặc x>—:
3
2

Với x<-——

y=In((2xz—1)(3x+1))= In|2x— I|+In|3x + |
1

>y'=

2x-1

1

+

3x+l1

Ta chung minh quy nap (

Suy ra york

_

1

y"

ax+b

(—1) ma"
(

_
l) n-l (n _1)\I97!
D2 „CÚ

(2x-1)

ax +b met
n-l

ứ

D3

—1\ÌH”I

(3x+1)

Bài tốn 4.31: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị hàm số:
x

a) yoo
x

b) y=x“.e”

Hướng dẫn giải

a)

D=¡

\{O0}, y!=

2

,y'=0<Ầ>x=1l.

BBT

x

y
y

—
+00

—

ee

+00

1

0

—œ0

+00

>>

0

„ ——

+
+00

Vay ham số nghịch biễn trong các khoảng (_—=;0) và (0:1) đồng biến trên khoảng (1; +00) , dat CT (se)
b)

D=j

,y'=(2x—+?)e',y'=0@©x=0

hoặc x= 2.

BBT

Trang 19


Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (0:2), nghịch biến trong các khoảng (—s;0) và (2;+œo), dat CD

(2:4 ”). CT (0:0).

Bài tốn 4.32: Tìm khoảng đơn điệu và cực tri ham sé: Đăng ký mua file word trọn

bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HUONG DAN DANG KY
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
a) y =In(x? -1)

b) y=x—In(1+x)

Hướng dẫn giải
2x

a) D=(Cs;-1)t/(E+2).y'==—¬
Khi x<—1 thì y'< 0 nên hàm số nghịch biến trên (_—œ;-l)

Khi x >l thì y'>0 nên hàm số đồng biến trên (1; +00)
Ham sơ khơng có cực trị.

b)

D=(-1+0),y'=1-——=—2-,
l+x
14+x

y'=06

x=0

y'>0,V+x e(0;+œ) nên hàm số đồng biến trên (0;+00)
y<0,Vxe (—1:0) nên hàm số nghịch biến trên (—1:0)
Tacó y"=

(1+ x)

> >0 nên đạt cực tiêu tại x = Ö, y.„ =0.

Bài toán 4.33: Cho ø, b, c là các sự thực dương. Chứng minh hàm số
Trang 20