Ứng dụng bảng biến thiên của hàm số bậc hai vào bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và phương trình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (520.19 KB, 33 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT XN HỊA
BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến:
“ ỨNG DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI
VÀO BÀI TỐN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ”.
Tác giả sáng kiến : MAI THỊ HỢI
Mã sáng kiến
: 37.52.01
1
BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Trong chương trình mơn Đại số 10, các em học sinh đã được học
chương 2: Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Thời lượng học bài Hàm số
bậc hai khơng nhiều nên việc luyện tập cịn ít. Nhưng thực tế, trong các kỳ
thi học kỳ, chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Vĩnh Phúc có những bài tốn quy về
giải bằng bảng biến thiên của Hàm số bậc hai . Tơi thấy lớp bài tập sử dụng
bảng biến thiên Hàm số bậc hai khá đa dạng. Vì vậy, khi học thì các em phải
được tiếp cận với lớp bài tốn với mức độ từ cơ bản đến phức tạp. Năm học
20192020, tơi được giao nhiệm vụ giảng dạy mơn tốn ở lớp 10. Xuất phát
từ thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, dạy chun đề cùng với
mong muốn giúp cho các em học sinh có thêm tư liệu học tập, tra cứu khi học
tập về vấn đề này, tơi mạnh dạn biên soạn chun đề: “ỨNG DỤNG BẢNG
BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI VÀO BÀI TỐN GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ”.
Trên tinh thần đó, tơi biên soạn theo dạng giúp học sinh dễ hiểu. Tơi xây
dựng phương pháp cho mỗi dạng tổng qt (nếu có) và đưa ra một số ví dụ
minh họa để học sinh vận dụng và nhớ nhanh, giao bài tập học sinh tự luyện.
Tơi viết đề tài này qua kinh nghiệm dạy học nên khơng thể tránh khỏi thiếu
sót. Tơi rất mong được sự góy ý, bổ sung của q đồng nghiệp để đề tài này
được hồn chỉnh và có ý nghĩa hơn.
2. Tên sáng kiến:
“ỨNG DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI VÀO
BÀI TỐN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
VÀ PHƯƠNG TRÌNH ”.
3. Tác giả sáng kiến:
Họ và tên: Mai Thị Hợi
2
Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Xn Hịa
Số điện thoại: 0986 350 623
Email: Email:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Mai Thị Hợi.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Chun đề này trang bị cho học sinh một chun đề đầy đủ để ơn thi học
sinh giỏi cấp tỉnh, luyện thi THPT Quốc Gia có hiệu quả cao.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử :
Năm học 20192020
7. Mơ tả bản chất của sáng kiến:
7.1 Về nội dung sáng kiến:
Xuất phát từ lý do chọn đề tài, sáng kiến kinh nghiệm thực hiện nhiệm
vụ: Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo
dục, giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ năng phân tích để đi đến một
hướng giải đúng và thích hợp khi gặp bài tốn phức tạp đưa về dạng đơn
giản thuộc dạng cơ bản và giải được một cách dễ dàng. Muốn vậy người
giáo viên phải xây dựng phương pháp giải cụ thể cho từng dạng để học sinh
dễ áp dụng và nhớ lâu.
Một số bài toán thi học kỳ, thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Sau đây là nội
dung chi tiết:
3
4
A LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Hàm số bậc hai được cho bởi cơng thức
Tập xác định của hàm số lả R.
2. Chiều biến thiên của hàm số bậc hai
* Trường hợp
x
y
* Trường hợp
x
y
ĐỊNH LÍ :
Nếu thì hàm số :
5
Nghịch biến trên khoảng Đồng biến trên khoảng .
Nếu thì hàm số :
Đồng biến trên khoảng Nghịc biến trên khoảng
B BÀI TẬP
DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM
SỐ BẬC HAI TRÊN R.
Bài tốn: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1. Phương pháp:
Dựa vào bảng biến thiên ta có ngay kết luận:
* Nếu thì hàm số bậc hai đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .
* Nếu thì hàm số bậc hai đạt giá trị lớn nhất bằng khi .
2. Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a. b.
Lời giải
a. Do hệ số và đỉnh nên ta có bảng biến thiên của hàm số
x
1
y
2
Dựa vào bảng biến thiên:
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi .
b. Do hệ số và đỉnh nên ta có bảng biến thiên của hàm số
6
x
y
Dựa vào bảng biến thiên
Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng khi .
Bài 2: (Thi HK 1THPT Việt Trì 20182019). Tìm giá trị của tham số m để
hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 10.
Lời giải
Tập xác định D = R
Do hệ số và đỉnh nên ta có bảng biến thiên sau:
x
m
y
3m2
Dựa vào bảng biến thiên
Hàm số đã cho có giá trị bằng 10 ta phải có
Vậy là giá trị cần tìm.
Bài 3: Tìm giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt giá trị
nhỏ nhất.
Lời giải
7
Tập xác định D = R
Do hệ số và đỉnh nên ta có bảng biến thiên sau:
x
y
Dựa vào bảng biến thiên:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng .
Đặt
Dấu xảy ra khi .
Do đó giá trị nhỏ nhất của bằng 16 khi
Vậy với là giá trị cần tìm.
3. Bài tập tự luyện: Trắc nghiệm
Bài 1: Giá trị lớn nhất của hàm số trên R là
B. 9.
A. 2.
C. 6.
D. 4.
Bài 2: Giá trị lớn nhất hàm số đạt được tại
A.
B.
C. .
D.
Bài 3: Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên R khi
A.
B.
C. .
D.
Bài 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên R là
A.
B.
C. .
D.
Bài 5: Giá trị nhỏ nhất hàm số đạt được tại
A.
B.
C. .
D.
Bài 6: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng
10.
A.
B.
C. .
D.
8
Bài 7: Cho hàm số . Đặt và . Gọi là tập hợp tất cả các giá trị tham số m sao
cho . Tính tổng bình phương các phần tử thuộc .
A.
B.
C. .
D.
DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM
SỐ BẬC HAI KHÔNG CHỨA THAM SỐ TRÊN ĐOẠN, KHOẢNG,
NỬA KHOẢNG.
Bài tốn 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
trên đoạn .
Phương pháp: Tùy theo dấu hệ số a ta có bảng biến thiên:
Nếu thì:
* Trường hợp 1: Hồnh độ đỉnh ta có bảng biến thiên
x
y
Dựa vào bảng biến thiên:
đạt được khi . đạt được khi .
* Trường hợp 2: Hồnh độ đỉnh ta có bảng biến thiên
x
9
y
Dựa vào bảng biến thiên:
. đạt được khi.
* Trường hợp 3: Hồnh độ đỉnh ta có bảng biến thiên
x
y
Dựa vào bảng biến thiên:
đạt được khi .
đạt được khi
Bài tốn 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
trên khoảng ; nửa khoảng
Phương pháp: Làm tương tự bài tốn 1.
Lập bảng biến thiên trên khoảng . Dựa vào bảng biến thiên kết luận.
Bài tốn 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
trên nửa khoảng
1. Phương pháp: Làm tương tự bài tốn 1.
Lập bảng biến thiên trên nửa khoảng
Dựa vào bảng biến thiên kết luận.
2. Bài tập minh họa:
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
10
(Trích Đề thi học kỳ 1 – Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc năm học 2019
2020)
Lời giải
Hàm số có hồnh độ đỉnh ta có bảng biến thiên
x
3 1 2
17
y
2
1
Dựa vào bảng biến thiên:
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 17 đạt được khi
giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 1 đạt được khi .
Bình luận: Bài 1 là trường hợp hồnh độ đỉnh thuộc đoạn đang xét.
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
Lời giải
Hàm số đã cho có hồnh độ đỉnh ta có bảng biến thiên
x
1 2
8
y
3
11
Dựa vào bảng biến thiên:
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 8 đạt được khi
giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 3 đạt được khi
Bình luận: Bài 2 là trường hợp hồnh độ đỉnh khơng thuộc đoạn đang xét và
nằm bên trái đoạn đang xét. Với hệ số thì hàm số đồng biến trên đoạn .
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
Lời giải
Hàm số đã cho có hồnh độ đỉnh ta có bảng biến thiên
x
1 0
6
y
3
Dựa vào bảng biến thiên:
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 6 đạt được khi
giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 3 đạt được khi .
Bình luận: Bài 3 là trường hợp hồnh độ đỉnh khơng thuộc đoạn đang xét và
nằm bên phải đoạn đang xét. Với hệ số thì hàm số nghịch biến trên đoạn .
Bài 4: Tìm giá trị của tham số m để hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn
bằng 3.
Lời giải
Hàm số đã cho có hồnh độ đỉnh ta có bảng biến thiên
12
x
1 1 2
y
Dựa vào bảng biến thiên:
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng đạt được khi
Theo giả thiết ta có:
Vậy là giá trị cần tìm.
Bình luận: Bài 4 chứa tham số nhưng hồnh độ đỉnh xác định nên ta lập ngay
bảng biến thiên.
Bài 5: Tìm giá trị của tham số m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn
bằng 3.
Lời giải
Hàm số đã cho có hồnh độ đỉnh ta có bảng biến thiên
x
2 5
y
Dựa vào bảng biến thiên:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng đạt được khi
Theo giả thiết ta có phương trình:
Vậy là giá trị cần tìm.
13
Bình luận: Bài 5 chứa tham số nhưng hồnh độ đỉnh xác định nên ta lập ngay
bảng biến thiên.
3. Bài tập tự luyện Trắc nghiệm
Bài 1: (Thi HK 1THPT Nhữ Văn Lan – Hải Phịng 20182019). Tìm giá trị
của tham số m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn bằng 3.
A.
B.
C. .
D.
Bài 2: Tìm số các giá trị của tham số m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên
đoạn bằng 1.
A.
B.
C. .
D.
Bài 3: Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên
đoạn bằng 3.
A.
B.
C. . D.
Bài 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để giá trị nhỏ
nhất hàm số trên đoạn bằng 3. Tính tổng T các phần từ của S.
A.
B.
C. . D.
Bài 5: Cho hàm số . Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn lần lượt
là . Số giá trị của m đề
A.
B. 4
C. .
D.
Bài tốn 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số khác quy
về hàm số bậc hai.
1. Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số đã cho.
Bước 2: Đặt , điều kiện của t.
Bước 3: Bài tốn đưa về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của
hàm số bậc hai trên đoạn, nửa khoảng, khoảng.
Lập bảng biến thiên.
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên kết luận.
2. Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
trên đoạn
trên nửa khoảng
trên khoảng
Giải:
trên đoạn
Đặt . Khi .
14
Bài tốn trở thành: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm
số
trên đoạn
Hồnh độ đỉnh ; hệ số
Bảng biến thiên
t
0 1 4
10
g(t)
2
1
Dựa vào bảng biến thiên:
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 10 đạt được khi
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 1 đạt được khi
Câu b, c làm hồn tồn tương tự. Nhưng bước quan trọng nhất của bài tốn
là tìm điều kiện cho ẩn phụ.
Ta gặp tiếp bài tốn quy về hàm số bậc hai sau:
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
Giải:
a.
Tập xác định:
Đặt , đk: . Suy ra
Hàm số trở thành:
Bài tốn trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
trên miền .
Hồnh độ đỉnh ta có bảng biến thiên
15
t
2 1 2
g(t)
4
4
Dựa vào bảng biến thiên:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 4 đạt được khi
b) Đặt , đk: . Suy ra
Hàm số trở thành:
Bài tốn trở thành: tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên R.
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
trên đoạn
trên đoạn
Giải:
Tập xác định:
Viết lại hàm số:
Đặt đk: . Suy ra
Hàm số trở thành:
Bài tốn trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
trên miền.
Hồnh độ đỉnh ta có bảng biến thiên
16
t
0
g(t)
16
Dựa vào bảng biến thiên:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng đạt được khi
Bình luận: Bài 3 a) tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên R.
trên đoạn
Tập xác định:
Giải
Viết lại hàm số: . Suy ra
Đặt
Coi t là hàm số. Lập bảng biến thiên hàm t trên
Bảng biến thiên:
x
3 2 0
4
t
1
0
Dựa vào bảng biến thiên suy ra điều kiện của t:
17
Hàm số trở thành:
Bài tốn trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
trên miền .
Hồnh độ đỉnh ta có bảng biến thiên
t
0 4
g(t)
16
Dựa vào bảng biến thiên:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng đạt được khi
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 16 đạt được khi
Bình luận: Ở câu b) bài tốn u cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên
đoạn nên ta phải tìm điều kiện chặt cho ẩn phụ t. Việc tìm điều kiện cho t là
ta giải bài tốn: tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn .
c) Làm tương tự phần b).
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
Giải
Tập xác định:
Viết lại hàm số:
Đặt . Điều kiện cho t:
Hàm số trở thành:
Bài tốn trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
18
trên miền .
Đến đây làm tương tự như bài 4.
Đkxđ:
Đặt . Điều kiện cho t:
Hàm số trở thành:
Bài tốn trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
trên miền .
Đến đây làm tương tự như bài 4.
Tập xác định
Viết lại hàm số:
Đặt . Điều kiện cho t:
Hàm số trở thành:
Bài tốn trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
trên miền .
Đến đây làm tương tự như bài 4.
Bình luận: Ba phần trên đây là 3 cách tìm điều kiện cho ẩn phụ khác nhau.
Phần a) sử dụng Bất đẳng thức Cauchy tìm điều kiện cho ẩn phụ t.
Phần b) sử dụng phân tích tìm điều kiện cho ẩn phụ t.
Phần c) sử dụng phân tích tìm điều kiện cho ẩn phụ t.
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
Lời giải
Tập xác định:
Đặt . Điều kiện cho t:
Suy ra:
Hàm số trở thành:
Bài tốn trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
trên miền
Đến đây làm tương tự như bài 4.
3. Bài tập tự luyện:
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
19
DẠNG 3: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH
CĨ NGHIỆM, CĨ n NGHIỆM ( )
1. Phương pháp:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.
Bước 2: Đặt , điều kiện của . Đưa phương trình đã cho về phương trình ẩn
t:
Bước 3: Cơ lập m:
Bài tốn đưa về: phương trình đã cho có nghiệm thuộc tập D khi phương trình
ẩn (1) có nghiệm thuộc tập .
Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên suy ra kết quả về tham số m.
2. Bài tập minh họa:
Bài 1. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm
trên đoạn .
(Mở rộng Đề thi học kỳ 1 – Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc năm học 2019
2020)
Lời giải:
Cơ lập tham số m:
Phương trình ( 1) có nghiệm thuộc khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm
thuộc đoạn . Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng cắt đồ
thị hàm số trên đoạn .
Lập bảng biến thiên:
Xét hàm số trên đoạn .
Hồnh độ đỉnh ta có bảng biến thiên
20
x
3 1 2
17
y
2
1
Dựa vào bảng biến thiên:
Phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn khi
Vậy với là các giá trị cần tìm.
Bài 2. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có 2 nghiệm phân
biệt
trên đoạn .
(Mở rộng Đề thi học kỳ 1 – Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc năm học 2019
2020)
Lời giải:
Cơ lập tham số m:
Phương trình ( 1) có 2 nghiệm thuộc khi và chỉ khi phương trình (2) có 2
nghiệm thuộc đoạn . Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi đường
thẳng cắt đồ thị hàm số trên đoạn tại 2 điểm phân biệt.
Lập bảng biến thiên:
Xét hàm số trên đoạn .
Hồnh độ đỉnh ta có bảng biến thiên
21
x
3 1 2
17
y
2
1
Dựa vào bảng biến thiên:
Phương trình (1) có 2 nghiệm thuộc đoạn khi
Vậy với là các giá trị cần tìm.
Bài 3. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm phân biệt
trên đoạn .
(Mở rộng Đề thi học kỳ 1 – Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc năm học 2019
2020)
Lời giải:
(1)
Đặt . Khi
Phương trình (1) trở thành
Phương trình ( 1) có nghiệm thuộc khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm
thuộc đoạn . Phương trình (3) có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng cắt
đồ thị hàm số trên đoạn .
Lập bảng biến thiên:
Xét hàm số trên đoạn .
Hồnh độ đỉnh ta có bảng biến thiên
22
x
0 1 4
10
y
2
1
Dựa vào bảng biến thiên:
Phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn khi
Vậy với là các giá trị cần tìm.
Bài 4: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm:
trên đoạn
trên đoạn
Lời giải:
(1)
Tập xác định:
Viết lại phương trình : (2)
Đặt đk: . Suy ra
Hàm số trở thành:
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm thỏa
mãn . Phương trình (2) có nghiệm khi đường thẳng cắt đồ thị hàm số trên
miền.
Xét hàm số trên miền .
Hồnh độ đỉnh ta có bảng biến thiên
23
t
0
g(t)
16
Dựa vào bảng biến thiên:
Phương trình (1) có nghiệm khi
Bình luận: Bài 4 tìm tham số để phương trình có nghiệm trên R. Bài 5 sau
đây mở rộng bài 4 có nghiệm hay có k nghiệm trên tập cho trước.
Bài 5: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau:
a) có nghiệm trên đoạn
b) có 4 nghiệm trên đoạn
Lời giải
Tập xác định:
Viết lại phương trình : (1)
Đặt . Suy ra
Tìm điều kiện của t. Coi t là hàm số. Lập bảng biến thiên hàm t trên
Bảng biến thiên:
x
24
3 2 0
4
t
1
0
Dựa vào bảng biến thiên suy ra điều kiện của t:
Phương trình trở thành:
Xét hàm số trên miền .
Hồnh độ đỉnh ta có bảng biến thiên
t
g(t)
0 3 4
5
3
4
a) Phương trình (1) có nghiệm trên đoạn khi và chỉ khi phương trình (2) có
nghiệm thỏa mãn . Phương trình (2) có nghiệm khi đường thẳng cắt đồ thị
hàm số trên miền .
Dựa vào bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm trên đoạn
khi
Vậy với thì phương trình (1) có nghiệm trên đoạn
b) Phương trình (1) có 4 nghiệm trên đoạn khi và chỉ khi phương trình
(2) có 2 nghiệm thỏa mãn . Phương trình (2) có nghiệm khi đường thẳng cắt
đồ thị hàm số trên miền tại 2 điểm phân biệt.
Dựa vào bảng biến thiên: Phương trình (1) có 4 nghiệm trên đoạn
khi
Vậy với thì phương trình (1) có 4 nghiệm trên đoạn .
25
