Tuyển tập các bài toán hình 9 trong đề thi HK1

TUYỂN TẬP
CÁC BÀI TỐN HÌNH 9
TRONG ĐỀ THI HỌC KÌ I

CÁC TRƯỜNG HÀ NỘI
Câu 1.(NCT) (HK1-Ba Đình-2016-2017) Cho (O;R) đường kính AB. Từ C trên tia đối tia AB. Kẻ tiếp
tuyến CM, CN với (O).
a) Chứng minh CO vng góc MN.
b) Tính MN cho OM  4cm, CO  6cm .
c) Vẽ đường kính MK. Tứ giác ABKN là hình gì?
d) Một đường thẳng qua O song song MN cắt CM, CN tại E và F. Tìm vị trí C để diện tích tam giác CEF
nhỏ nhất.

Câu 2.(NCT) (HK1-Cầu Giấy-2016-2017) Cho đường tròn  O; R  . Từ điểm A ở ngồi đường trịn

 O; R 

, vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn ( M và N là các tiếp điểm).

a) Chứng minh tam giác AMN cân.
b) Vẽ đường kính MB của đường trịn  O; R  . Chứng minh rằng OA // NB .
c) Vẽ dây NC của đường tròn  O; R  vng góc với MB tại H . Gọi I là giao điểm của AB và NH .
Tính tỉ số

NI
.
NC

Câu 3.(NCT) (HK1-Đống Đa-2016-2017) Cho đường tròn  O; R  và điểm A cố định thuộc đường tròn.
Trên tiếp tuyến với  O  tại A lấy một điểm K cố định. Một đường thẳng d thay đổi đi qua K và
không đi qua tâm O cắt  O  tại hai điểm B và C ( B nằm giữa C và K ). Gọi M là trung điểm của

BC .
a) Chứng minh bốn điểm A, O , M , K cùng thuộc một đường trịn.
b) Vẽ đường kính AN của đường tròn  O  . Đường thẳng qua A và vng góc với BC cắt MN tại H .
Chứng minh tứ giác BHCN là hình bình hành.


c) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC .
d) Khi đường thẳng d thay đổi và thỏa mãn điều kiện của đề bài, điểm H di động trên đường nào?

Câu 4.(NCT) (HK1-Hai Bà Trưng-2016-2017) Cho đường tròn  O; R  . Từ A nằm ngồi đường trịn
kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của BC .
a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C , O thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh ba điểm A, H , O thẳng hàng. Kẻ đường kính BD của đường tròn  O; R  . Vẽ CK
vng góc với BD . Chứng minh rằng AC.CD  CK . AO .
c) Gọi giao điểm của AO với đường tròn tâm  O  là N . Chứng minh rằng N là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác ABC .
d) Khi A di động trên tia By cố định, gọi M là trực tâm của tam giác ABC . Chứng minh M di động
trên một đường cố định.

Câu 5.(NCT) (HK1-Hồn Kiếm-2016-2017) Cho tam giác ABC vng tại A  AB  AC  , có đường
cao AH  H  BC  . Vẽ đường tròn  A; AH  . Từ B và C kẻ tiếp tuyến BM và CN đến  A; AH 
( M , N là các tiếp điểm, không nằm trên BC ). Gọi K là giao điểm HN và AC .
a) Chứng minh bốn điểm A, H , C , N cùng thuộc đường trịn đường kính AC .
b) Chứng minh BM  CN  BC và M , A, N thẳng hàng.
c) Nối MC cắt  A; AH  tại P

 P  M  . Chứng minh



PKC
AMC .

Câu 6.(NCT) (HK1-Long Biên-2016-2017) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O  đường kính
BC . Vẽ dây cung AD của  O  vng góc với đường kính BC tại H . Gọi M là trung điểm cạnh
OC và I trung điểm cạnh AC . Từ M vẽ đường thẳng vng góc với OC , đường thẳng này cắt tia

OI tại N . Trên tia ON lấy điểm S sao cho N là trung điểm cạnh OS .
a) Chứng minh: tam giác ABC vuông tại A và HA  HD .
b) Chứng minh: MN // SC và SC là tiếp tuyến của đường tròn  O  .
c) Gọi K là trung điểm cạnh HC , vẽ đường tròn đường kính AH cắt cạnh AK tại F . Chứng minh:

BH .HC  AF . AK .
d) Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho B là trung điểm cạnh AE . Chứng minh ba điểm E , H , F
thẳng hàng.

Câu 7.(NCT) (HK1-Nam TL-Đề 1-2016-2017) Cho nửa đường trịn  O; R  , đường kính AB . Từ điểm
M bất kỳ thuộc nửa đường tròn, kẻ MN vng góc với AB

và NE lần lượt vng góc với AM và BM

 N  AB; M  A; M  B  . Từ

 D  AM , E  BM 

N kẻ ND

.

a) Tứ giác DMEN là hình gì? Chứng minh.

b) Chứng minh: DM . AM  EM .BM .
c) Gọi O là tâm đường tròn đường kính NB . Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn  O 


d) Gọi I là điểm đối xứng với N qua D . Gọi K là điểm đối xứng với N qua E . Xác định vị trí của
M trên nửa đường trịn  O  để tứ giác AIKB có chu vi lớn nhất.

Câu 8.(NCT) (HK1-Nam TL-Đề 2-2016-2017) Cho đường trịn tâm O , đường kính AB , C là một
điểm trên đường trịn đó  C  A, B  . Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn  O  cắt nhau tại D .
a) Chứng minh các điểm O, B, D, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh OD  BC .
c) Kẻ CI  AB tại I , tiếp tuyến tại A của đường tròn  O  cắt tia BC tại P . Chứng minh:

CP.CB  AI . AB .
d) Gọi K là trung điểm của CI , tia BK cắt AP tại Q . Chứng minh rằng QC là tiếp tuyến đường tròn

O

.

Câu 9.(NCT) (HK1-Thanh Xuân-2016-2017) Cho đường tròn  O; R  đường kính BC . Điểm A thuộc
đường trịn. Hạ AH  BC , HE  AB, HF  AC . Đường thẳng EF cắt đường tròn tại hai điểm M
và N .
a) Chứng minh rằng EF  AH .
b) Chứng minh rằng: AE. AB  AF . AC .
c) Chứng minh rằng: Tam giác AMN cân tại A .

Câu 10.(NCT) (HK1-Thanh Trì-2016-2017) Cho đường trịn  O; R  và dây BC không đi qua O . Vẽ
tia Ox  BC tại H

 H  BC 

. Tiếp tuyến tại B của  O  cắt tia Ox tại A .

a) Chứng minh: AC là tiếp tuyến của  O  .
b) Vẽ tia Ay nằm giữa hai tia AO và AC , tia Ay cắt  O; R  tại D và E ( D nằm giữa A và E ). Gọi
M là trung điểm của DE . Chứng minh: 4 điểm A, B, O, M cùng thuộc một đường tròn.

c) Tia OM cắt đường thẳng CB tại N . Chứng minh: OM .ON  R 2 và đường kính của đường trịn
ngoại tiếp tam giác NEO là NO .

Câu 11.(NCT) (HK1-Ba Đình-2017-2018)

Cho nửa đường trịn (O; R ) đường kính AB, vẽ hai tiếp

tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy điểm E ( E  A, EA  R ) ; trên nửa đường tròn lấy
điểm M sao cho EM  EA, đường thẳng EM cắt By tại F
a) Chứng minh EF là tiếp tuyến của (O )
b) Chứng minh EOF vuông
c) Chứng minh AM .OE  BM .OF  AB.EF
d) Tìm vị trí của E trên tia Ax sao cho S AMB 

3
S EOF
4

Câu 12.(NCT) (HK1-Bắc TL-2017-2018) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Qua điểm A kẻ tia
tiếp tuyến Ax đến đường tròn (O ). Trên tia Ax lấy điểm C sao cho AC  R. Từ điểm C kẻ tiếp
tuyến CM với đường tròn (O) (M là tiếp điểm)

a) Chứng minh rằng bốn điểm A, C , O, M cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng MB / /OC
c) Gọi K là giao điểm thứ hai của BC với đường tròn (O ). Chứng minh rằng BC.BK  4R 2

  MBC

d) Chứng minh rằng CMK

Câu 13.(NCT) (HK1-Hai Bà Trưng-2017-2018)

Cho đường trịn (O; R ) đường kính AB và điểm C

bất kì thuộc đường trịn (C khác A và B ). Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt BC
ở D. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại C cắt AD ở E
a) Chứng minh bốn điểm A, E , C , O thuộc cùng một đường tròn
b) Chứng minh BC .BD  4 R 2 và OE song song với BD
c) Đường thẳng kẻ qua O vng góc với BC tại N cắt tia EC tại F . Chứng minh BF là tiếp tuyến của
đường tròn (O; R )
d) Gọi H là hình chiếu của C trên AB. M là giao điểm của AC và OE. Chứng minh rằng khi điểm C
di động trên đường tròn (O; R ) và thỏa mãn u cầu của đề bài thì đường trịn ngoại tiếp tam giác HMN
luôn đi qua điểm cố đinh.

Câu 14.(NCT) (HK1-Cầu Giấy-2017-2018)

Cho đường trịn (O ) đường kính AB và một điểm C

thuộc đường tròn (O ) (C khác A, B ) sao cho AC  BC. Qua O vẽ đường thẳng vng góc với dây
cung AC tại H , tiếp tuyến tại A của đường tròn (O ) cắt tia OH tại D. Đoạn thẳng DB cắt đường
tròn (O ) tại E.

  90o
a) Chứng minh HA  HC và DCO
b) Chứng minh rằng DH .DO  DE.DB
c) Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho E là trung điểm của cạnh AF . Từ F vẽ đường thẳng
vng góc với đường thẳng AD tại K . Đoạn thẳng FK cắt đường thẳng BC tại M . Chứng minh
MK  MF

Câu 15.(NCT) (HK1-Đan Phượng-2017-2018)

Cho đường tròn (O ) đường kính AB  10cm. C là

điểm trên đường tròn sao cho AC  8cm. Vẽ CH  AB ( H  AB )

 (làm tròn đến độ)
a) Chứng minh ABC vng. Tính độ dài CH và số đo BAC
b) Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O ) cắt nhau tại D. Chứng minh OD  BC
c) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O ) cắt BC tại E. Chứng minh CE.CB  AH . AB
d) Gọi I là trung điểm của CH . Tia BI cắt AE tại F . Chứng minh FC là tiếp tuyến của đường trịn
(O )

Câu 16.(NCT) (HK1-Đơng Anh-2017-2018)

Cho đường thẳng (O; R ) đường kính AB  5cm và điểm

C thuộc đường tròn sao cho AC  3cm


a) Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao? Tính giá trị của sinCAB

b) Đường thẳng qua C vng góc với AB tại H , cắt (O; R ) tại D. Tính CD , AB có là tiếp tuyến của
đường trịn (C ; CH ) khơng?
c) Kẻ tiếp tuyến AE của đường trịn (C ; CH ) với E là tiếp điểm khác H . Tính diện tích tứ giác AOCE

Câu 17.(NCT) (HK1-Đống Đa-2017-2018)

Cho điểm M bất kì trên đường trịn tâm O đường kính

AB. Tiếp tuyến tại M và B của (O ) cắt nhau tại D. Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OD cắt
MD tại C và cắt BD tại N

a) Chứng minh DC  DN
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O
c) Gọi H là chân đường vng góc kẻ từ M xuống AB, I là trung điểm MH . Chứng minh B , I , C
thẳng hàng.
d) Qua O kẻ đường vng góc với AB, cắt (O ) tại K (K và M nằm khác phía với đường thẳng AB )
Tìm vị trí của điểm M để diện tích tam giác MHK lớn nhất.

Câu 18.(NCT) (HK1-Hà Đơng-2017-2018)

Cho đường trịn (O; R ) và điểm A cố định ở ngồi đường

trịn. Vẽ đường thẳng d vng góc với OA tại A. Trên d lấy điểm M . Qua M kẻ hai tiếp tuyến
ME , MF tới đường tròn (O; R ) tiếp điểm lần lượt là E và F . Nối EF cắt OM tại H , cắt OA tại B.

a) Chứng minh OM vng góc với EF
b) Cho biết R  6cm, OM  10cm. Tính OH
c) Chứng minh 4 điểm A, B, H , M cùng thuộc một đường tròn
d) Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M chuyển

động trên d .

Câu 19.(NCT) (HK1-Hồn Kiếm-2017-2018)

Cho đường trịn (O; R ) và điểm A nằm ngoài (O ). Từ

A kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với (O ) ( B , C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh: bốn điểm A, B , O , C cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh: OA là đường trung trực của BC.
c) Lấy D là điểm đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với (O ) (E khơng
trùng với D ). Chứng minh

DE BD

BE BA

d) Tính số đo góc HEC

Câu 20.(NCT) (HK1-Hồng Mai-2017-2018)

Cho đường trịn (O; R ) và một điểm H cố định nằm

ngoài đường trịn. Qua H kẻ đường thẳng d vng góc với đoạn thẳng OH . Từ một điểm S bất kì
trên đường thẳng d kẻ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O; R ) ( A, B là tiếp điểm). Gọi M , N lần
lượt là giao điểm của đoạn thẳng SO với đoạn thẳng AB và đường tròn (O; R )
a) Chứng minh bốn điểm S , A, O , B cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh OM .OS  R 2
c) Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAB

d) Khi S di chuyển trên đường thẳng d thì điểm M di chuyển trên đường nào? Tại sao?

Câu 21.(NCT) (HK1-Long Biên-2017-2018)

Cho tam giác ABC ( AB  AC ) nội tiếp đường trịn (O )

có BC là đường kính, vẽ đường cao AH của tam giác ABC ( H  BC )
a) Biết AB  6cm, AC  8cm. Tính độ dài AH và HB
b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O ) cắt các tiếp tuyến tại B và C lần lượt tại M và N . Chứng

  90o
minh: MN  MB  NC và MON
c) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AB  AE. Gọi I là trung điểm của BE. Chứng minh 3 điểm
M , I , O thẳng hàng.

d) Chứng minh: HI là tia phân giác của góc AHC

Câu 22.(NCT) (HK1-Nam Từ Liêm-2017-2018)

Cho đường tròn (O; R ) và điểm A nằm ngồi đường

trịn. Từ A kẻ tiếp tuyến AE tới đường tròn (O ) (với E là tiếp điểm). Vẽ dây EH vng góc với

AO tại M
a) Cho biết bán kính R  5cm, OM  3cm. Tính độ dài dây EH .
b) Chứng minh: AH là tiếp tuyến của đường trịn (O )
c) Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt AH tại B. Vẽ tiếp tuyến BF với đường tròn (O ) (F là
tiếp điểm). Chứng minh: 3 điểm E , O , F thẳng hàng và BF . AE  R 2
d) Trên tia HB lấy điểm I

 I  B  , qua

I vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O ) cắt các đường thẳng

BF , AE lần lượt tại C và D. Vẽ đường thẳng IF cắt AE tại Q. Chứng minh AE  DQ

Câu 23.(NCT) (HK1-Phúc Thọ-2017-2018)

Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm bên ngồi đường

trịn, từ A vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường trịn (O ).

AC cắt đường tròn O tại D ( D khác C )
a) Chứng minh: BD  AC và AB 2  AD. AC
b) Từ C vẽ dây CE / / OA; BE cắt OA tại H . Chứng minh H là trung điểm của BE và AE là tiếp tuyến
của đường tròn (O )

  OAC
.
c) Chứng minh góc OCH
d) Tia OA cắt đường tròn (O ) tại F . Chứng minh FA.CH  HF .CA

Câu 24.(NCT) (HK1-Sơn Tây-2017-2018)

Cho đường tròn (O; R ) đường kính AB. Gọi H là trung

điểm của OA. Qua H kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt (O ) tại hai điểm C và D
a) Tứ giác ACOD là hình gì? Chứng minh?
b) Qua điểm D kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O ) cắt tia OA tại M . Chứng minh MC là tiếp tuyến của

đường tròn (O ) tại C và tam giác MCD là tam giác đều.
c) Tính chu vi và diện tích của tam giác MCD theo R là bán kính của đường tròn tâm O
d) Gọi N là trung điểm của HB , đường thẳng kẻ qua H vng góc với CN cắt đường thẳng CA tại E.
Chứng minh A là trung điểm của CE.


Câu 25.(NCT) (HK1-Tây Hồ-2017-2018)

Cho đường tròn (O; R ) . Đường thẳng d không qua O cắt

(O ) tại hai điểm A và B. Điểm C thuộc tia đối của tia AB. Vẽ CE và CF là các tiếp tuyến của (O )
( E , F là hai tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.

a) Chứng minh 4 điểm C , E , O, F thuộc cùng một đường tròn
b) Gọi CO cắt EF tại K . Chứng minh OK .OC  R 2
c) Đoạn thẳng CO cắt (O ) tại I . Chứng minh I là tâm đường trịn nội tiếp tam giác CEF
d) Tìm vị trí điểm C trên tia đối của tia AB để tam giác CEF đều

Câu 26.(NCT) (HK1-Thanh Xuân-2017-2018)

Cho đường tròn (O; R ) . Từ điểm M nằm ngồi đường

trịn kẻ hai tiếp tuyến ME , MF đến đường tròn (với E , F là các tiếp điểm)
a) Chứng minh các điểm M , N , O, F cùng thuộc một đường tròn
b) Đoạn OM cắt đường tròn (O; R ) tại I . Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF
c) Kẻ đường kính ED của (O; R ). Hạ FK vng góc với ED. Gọi P là giao điểm của MD và FK .
Chứng minh P là trung điểm của FK

Câu 27.(NCT) (HK1-Thường Tín-2017-2018) Cho đường tròn (O; R ) và một điểm A nằm ngồi đường
trịn (O ) sao cho OA  2 R. Từ A vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn (O ) (B là tiếp điểm)

a) Chứng minh tam giác ABO vng tại B và tính độ dài AB theo R
b) Từ B kẻ dây cung BC của (O ) vuông góc cạnh OA tại H . Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường
tròn (O )
c) Chứng minh tam giác ABC đều
d) Từ H kẻ đường thẳng vng góc với AB tại D. Đường trịn đường kính AC cắt cạnh DC tại E.
Gọi F là trung điểm của OB. Chứng minh ba điểm A, E , F thẳng hàng.

Câu 28.(NCT) (HK1-Thanh Trì-2017-2018)

Cho ABC vng tại A . Vẽ đường trịn tâm O đường

kính AC . Đường trịn  O  cắt BC tại điểm thứ hai là I .
a) Chứng minh: AI 2  BI .CI
b) Kẻ OM  BC tại M , AM cắt  O  tại điểm thứ hai là N . Chứng minh: AIM đồng dạng với

CNM và suy ra AM .MN  CM 2 .
c) Từ I kẻ IH  AC tại H . Gọi K là trung điểm của IH . Tiếp tuyến tại I của  O  cắt AB tại P .
Chứng minh: Ba điểm C , K , P thẳng hàng.
d) Chứng minh: OI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp IMN .

Câu 29.(NCT) (HK1-Lomonoxop-2017-2018)

Cho  O; R  đường kính BC cố định và điểm M

chuyển động trên đường tròn. Gọi A là điểm đối xứng qua của B qua M . Kẻ AN vng góc BC ,

MK vng góc AC , gọi H là giao điểm của AN và CM .
a) Chứng minh B, M , H , N cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh ABC cân và MK là tiếp tuyến của  O  .

c) Cho R  5cm và 
ABC  60 . Tính MK .
d) Khi M di chuyển trên  O  thì A di chuyển trên đường nào? Vì sao?
Cho  O  đường kính AB , dây CD vng góc AB

Câu 30.(NCT) (HK1-Lomonoxop-2017-2018)
tại I

 IA  IB 

Gọi E là giao điểm hai tia DA và BC . H là hình chiếu của E lên đường thẳng AB .

a) Chứng minh A, E , C , H cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh EA.ED  EB.EC

  60 . Tính diện tích ACBD
c) Cho IB  6cm và CAB
d) Chứng minh HC là tiếp tuyến của  O  .

Câu 31.(NCT) (HK1-Ams-2018-2019)

Cho đường tròn  O;3cm  và đường thẳng  d  sao cho khoảng

cách từ tâm O đến đường thẳng  d  là 5 cm . Gọi A là chân đường vng góc hạ từ O xuống  d  , M
là điểm bất kỳ trên  d  , vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn  O  ( B là tiếp điểm). Vẽ dây BC của đường
trịn  O  vng góc với OM , cắt OM tại N .
a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của  O  .
b) Xác định tâm và tính bán kính của đường trịn ngoại tiếp tam giác BCA biết AM  3 cm .
c) Chứng minh BC .OM  2 BO.BM .

d) Chứng minh rằng khi M di chuyển trên  d  thì N ln thuộc một đường trịn cố định.

Câu 32.(NCT) (HK1-Ba Đình-2018-2019)

Cho đường trịn  O; R  và một điểm A sao cho OA  2 R

, vẽ các tiếp tuyến AB, AC với  O; R  , B và C là các tiếp điểm. Vẽ đường kính BOD .
a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh rằng: DC / / OA .
c) Đường trung trực của BD cắt AC và CD lần lượt tại S và E . Chứng minh rằng OCEA là hình
thang cân.
d) Gọi I là giao điểm của đoạn OA và  O  , K là giao điểm của tia SI và AB . Tính theo R diện tích
tứ giác AKOS .

Câu 33.(NCT) (HK1-Đơng Anh-2018-2019)

Cho nửa đường trịn  O  , đường kính AB và điểm C

thuộc nửa đường trịn đó. Từ C kẻ CH vng góc với AB ,( H  AB ) . Gọi M là hình chiếu của H
trên AC , N là hình chiếu của H trên BC .
a) Chứng minh tứ giác HMCN là hình chữ nhật
b) Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường trịn đường kính BH .
c) Chứng minh MN vng góc với CO .
d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường trịn đường kính AB để đoạn thẳng MN có độ dài lớn
nhất?


Câu 34.(NCT) (HK1-Đống Đa-2018-2019)

Cho đường tròn  O; R  đường kính AB . Vẽ tiếp tuyến Bx

của  O  . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB có chứa Bx , lấy điểm M thuộc  O  (M khác A và B)
sao cho MA  MB . Tia AM cắt Bx tại C . Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với  O  (D là tiếp điểm).
1) Chứng minh OC  BD
2) Chứng minh bốn điểm O, B, C , D cùng thuộc một đường tròn

  CDA

1) Chứng minh CMD
2) Kẻ MH vng góc với AB tại H . Tìm vị trí của M để chu vi tam giác OMH đạt giá trị lớn nhất.

Câu 35.(NCT) (HK1-Hoàn Kiếm-2018-2019)

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R). Gọi MA, MB

là hai tiếp tuyến với đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính AD của đường trịn (O).
Gọi H là giao điểm của OM và AB, I là trung điểm của đoạn thẳng BD
1) Chứng minh tứ giác OHBI là hình chữ nhật
2) Cho biết OI cắt MB tại K, chứng minh KD là tiếp tuyến cảu (O)
3) Giả sử OM = 2R, tính chu vi tam giác AKD theo R.
4) Đường thẳng qua O và vng góc với MD cắt tia AB tại Q. Chứng minh K là trung điểm của DQ
Cho đường tròn  O; R  đường kính AB . Vẽ hai tiếp

Câu 36.(NCT) (HK1-Long Biên-2018-2019)

tuyến Ax, By với  O  . Trên đường tròn  O  lấy điểm M sao cho MA  MB . Tiếp tuyến tại M của

 O  cắt

Ax tại C và cắt By tại D.

a) Chứng minh: CD  AC  BD

  90 và tính tích AC .BD theo R .
b) Chứng minh: COD
c) Đường thẳng BC cắt  O  tại F. Gọi T là trung điểm của BF, vẽ tia OT cắt By tại E. Chứng minh: EF
là tiếp tuyến của đường tròn (O)
d) Qua điểm M vẽ đường thẳng song song với AC và cắt BC tại N. Trên đoạn thẳng AC lấy điểm K sao
cho AK 

3
1
AC . Trên đoạn thẳng BD lấy điểm I sao cho BI  BD . Chứng minh 3 điểm K, N, I
4
4

thẳng hàng.

Câu 37.(NCT) (HK1-Nam TL-2018-2019)

Cho điểm M thuộc nửa đường tròn  O; R  , đường kính

AB ( M khác A và B ). Gọi E và F lần lượt là trung điểm của MA và MB .

1. Chứng minh rằng: tứ giác MEOF là hình chữ nhật.
2. Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn  O; R  cắt các đường thẳng OE và OF lần lượt tại C và
D . Chứng minh: CA tiếp xúc với nửa đường tròn  O; R  . Tính độ dài đoạn thẳng CA khi R  3cm

  30
và MAO

3. Chứng minh: AC .BD  R 2 và S ACDB  2R2
4. Gọi I là giao điểm của BC và EF ; MI cắt AB tại K . Chứng minh rằng: EF là đường trung
trực của MK .


Cho hình chữ nhật ABCD có ( AD  AB ). Qua

Câu 38.(NCT) (HK1-Phan Đình Giót-2018-2019)

C , kẻ đường thẳng vng góc với AC , cắt đường thẳng AD, AB lần lượt tại M , N .

a) Chứng minh rằng: AB.AN  AD.AM .
.
b) Cho AD  3cm , AB  4cm . Tính DM , AMN

c) Chứng minh: CD.CB 

AC 3
.
MN

d) Gọi E là trung điểm của MC , kẻ CH  DB tại H . Cho EB cắt CH tại K . Chứng minh: K là
trung điểm của CH .

Câu 39.(NCT) (HK1-Phúc Thọ-2018-2019) Cho AC là đường kính của đường tròn tâm  O; R  . Trên
tiếp tuyến tại A của

 O; R  , lấy điểm I sao cho

IA  R . Từ I vẽ tiếp tuyến thứ 2 với  O; R  với tiếp

điểm là B. Qua O kẻ đường thẳng vng góc với AC, cắt đường thẳng BC tại H.
a) Chứng minh: BC / / OI .
b) Chứng minh rằng tứ giác AOHI là hình chữ nhật
c) Tia OB cắt IH tại K . Chứng minh tam giác IOK cân
d) Khi AI  2.R . Ttính diện tích tam giác ABC .

Câu 40.(NCT) (HK1-Thường Tín-2018-2019) Cho tam giác ABC có AB  3cm, AC  4cm, BC  5cm .
Kẻ AH vng góc với BC ( H  BC ). Vẽ đường tròn  O  đi qua điểm A và tiếp xúc với cạnh BC tại
điểm B , đường tròn  I  đi qua điểm A và tiếp xúc với cạnh BC tại điểm C.
a) Tính độ dài của AH
b) Chứng minh rằng: Các đường tròn  O  và  I  tiếp xúc ngoài với nhau tại A.
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: Tam giác IMO vng và OI là tiếp tuyến của
đường trịn đường kính BC.

Câu 41.(NCT) (HK1-Bắc TL-2018-2019) Cho điểm E thuộc nửa đường trịn tâm O , đường kính MN .
Kẻ tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn tâm O , tiếp tuyến này cắt đường thẳng ME tại D .
1).Chứng minh rằng: MEN vng tại E . Từ đó chứng minh DE .DM  DN 2 .
2).Từ O kẻ OI vng góc với ME ( I  ME ). Chứng minh rẳng: 4 điểm O , I , D , N cùng thuộc
một đường trịn.
3).Vẽ đường trịn đường kính OD , cắt nửa đường tròn tâm O tại điểm thứ hai là A . Chứng minh
rằng: DA là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O .
  DAM
.
4).Chứng minh rằng: DEA

Câu 42.(NCT) (HK1-Cầu Giấy-2018-2019) Cho đường tròn O; R  cố định. Từ điểm M nằm ngồi

đường trịn O  kẻ hai tiếp tuyến MA, MB ( A, B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM và
AB

a) Chứng minh OM vng góc với AB và OH .OM  R2


b) Từ M kẻ cát tuyến MNP với đường tròn ( N nằm giữa M và P ), gọi I là trung điểm của
NP ( I khác O ). Chứng minh 4 điểm A, M , O, I cùng thuộc một đường trịn và tìm tâm của

đường trịn đó
c) Qua N kẻ tiếp tuyến với đường tròn O , cắt MA và MB theo thứ tự ở C và D. Biết
MA  5cm, tính chu vi tam giác MCD .

d) Qua O kẻ đường thẳng d vng góc với OM , cắt tia MA và MB lần lượt tại E và F . Xác
định vị trí của M để diện tích tam giác MEF nhỏ nhất.

Câu 43.(NCT) (HK1-Đan Phượng-2018-2019)

Cho đường trịn  O  , đường kính AB . Lấy điểm C

thuộc đường tròn  O  ( C khác A và B ). Tiếp tuyến tại A của đường tròn  O  cắt BC tại M .
a) Chứng minh ABC vuông và BA 2  BC .BM .
b) Gọi K là trung điểm của MA . Chứng minh: KC là tiếp tuyến của đường tròn  O  .
c) KC là tiếp tuyến tại B của đường tròn  O  tại D . Chứng minh KOD vuông.
d) Xác định tâm của đường tròn nội tiếp tam giác BCD .

Câu 44.(NCT) (HK1-Gia Lâm-2018-2019) Cho đường tròn tâm O có đường kính AB  2R . Kẻ hai tiếp
tuyến Ax, By của nửa đường tròn tâm  O  tại A và B (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa
mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B; cung AM
nhỏ hơn cung BM), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax và By theo thứ tự tại C và D.
1) Chứng minh tam giác COD vuông tại O
2) Chứng minh AC.BD  R 2 .

3) Biết R  2cm, OD  4cm . Tính các cạnh của tam giác MBD.
4) Kẻ MH  AB ( H  AB) . Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm của đoạn MH .

Câu 45.(NCT) (HK1-Hà Đơng-2018-2019) Cho đường trịn (O) và điểm M nằm ngồi đường tròn. Qua
M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) với A, B là các tiếp điểm.
1) Chứng minh bốn điểm A, B, M, O cùng thuộc một đường trịn.
2) Kẻ đường kính AC của đường trịn (O). Chứng minh OM // CB
3) Vẽ BK vng góc với AC tại K. Chứng minh: CK.OM = OB.CB
4) Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt AB tại D. Chứng minh OD vng góc với CM.

Câu 46.(NCT) (HK1-Hai Bà Trưng-2018-2019)

Cho đường tròn  O , R  đường kính AB . Điểm C

thuộc đường trịn sao cho AC  BC ; C khác A và B . Kẻ CH vng góc với AB tại H ; kẻ OI
vng góc với AC tại I .
a) Chứng minh 4 điểm C , H , O , I cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn  O; R  , tia OI cắt Ax tại M , chứng minh OI .OM  R 2 .
Tính độ dài đoạn OI biết OM  2 R và R  6cm .


c) Gọi giao điểm của BM với CH là K . Chứng minh tam giác AMO đồng dạng với tam giác HCB
và KC  KH .
d) Giả sử  O ; R  cố định, điểm C thay đổi trên đường tròn nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện của đề bài.
Xác định vị trí của C để chu vi tam giác OHC đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R

Câu 47.(NCT) (HK1-Tây Hồ-2018-2019) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB. Từ một điểm M
trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Vẽ AD và BC vng góc với xy.
a) Chứng minh rằng: MC  MD
b) Chứng minh rằng: AD  BC có giá trị không đổi khi M di động trên nửa đường trịn.

c) Chứng minh rằng đường trịn có đường kính CD tiếp xúc với ba đường thẳng AD, BC và AB.
d) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường trịn (O) để cho diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.

Câu 48.(NCT) (HK1-Thanh Trì-2018-2019) Cho đường trịn (O; R) và một điểm H cố định nằm ngồi
đường trịn. Qua H kẻ đường thẳng d vng góc với đoạn thẳng OH. Từ một điểm S trên đường thẳng
d kẻ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Gọi M, N lần lượt là giao điểm
của đoạn thẳng SO với đoạn thẳng AB và đường tròn (O; R).
a) Chứng minh bốn điểm S, A, O, B cùng nằm trên 1 đường tròn
b) Chứng minh: OM .OS  R 2
c) Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAB
d) Khi S di chuyển trên đường thẳng d thì điểm M di chuyển trên đường nào?

Câu 49.(NCT) (HK1-Thanh Xuân - 2018-2019)

Cho nửa đường trịn O ; R đường kính AB. Trên

cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa đường tròn, vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên
nửa đường tròn, lấy điểm C bất kì. Vẽ tiếp tuyến của O  tại C cắt Ax, By lần lượt tại D và E.
1) Chứng minh rằng: AD  BE  DE .
2) AC cắt DO tại M ; BC cắt OE tại N . Tứ giác CMON là hình gì? Vì sao?
3) Chứng minh rằng: MO.DM  ON . NE không đổi
4) AN cắt CO tại điểm H . Khi C di chuyển trên nửa đường trịn O ; R thì điểm H di chuyển trên
đường nào? Vì sao?

Câu 50.(NCT) (HK1-Ams - 2019-2020) Từ điểm A ở ngồi đường trịn (O) , kẻ hai tiếp tuyến AB, AC
đến (O) với B, C là các tiếp điểm. Kẻ một đường thẳng d nằm giữa hai tia AB, AO và đi qua A cắt
đường tròn (O) tại E , F ( E nằm giữa A, F ).
1. Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
2. Gọi H là giao điểm của AO và BC . Chứng minh OH .OA  OE 2
3. Đường thẳng qua O vng góc với EF cắt BC tại S . Chứng minh SF là tiếp tuyến của

đường tròn (O)


4. Đường thẳng SF cắt các đường thẳng AB, AC tương ứng tại P, Q . OF cắt BC tại K . Chứng
minh rằng AK đi qua trung điểm của PQ .

Câu 51.(NCT) (HK1-Ba Đình- 2019-2020)

 AC  BC  . Gọi

Cho điểm C thuộc đường tròn tâm O đường kính AB ,

H là trung điểm BC . Tiếp tuyến tại B của đường tròn  O  cắt tia OH tại D .

a) Chứng minh rằng DH .DO  DB 2 .
b) Chứng minh DC là tiếp tuyến của đường tròn  O  .
c) Đường thẳng AD cắt đường tròn  O  tại E . Gọi M là trung điểm của AE . Chứng minh 4
điểm D, B, M , C cùng thuộc một đường tròn.
d) Gọi I là trung điểm của DH ; BI cắt đường tròn  O  tại F . Chứng minh 3 điểm A, H , F
thẳng hàng.

Câu 52.(NCT) (HK1-Ba Vì- 2019-2020)

Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính AB . Qua điểm C

thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vng
góc kẻ từ A và B đến d . Gọi H là chân đường vng góc kẻ từ C đến AB . Chứng minh rằng:
a) CE  CF .
b) AC là tia phân giác của góc BAE .
c) CH 2  AE.BF .

Câu 53.(NCT) (HK1-Bắc TL- 2019-2020)

Cho điểm M nằm ngồi đường trịn  O; R  . Từ M kẻ các

tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn tâm O ( A, B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của MO với
AB .

1) Chứng minh rằng 4 điểm M , A, O , B cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh rằng MO  AB tại H .
3) Nếu OM  2 R , hãy tính độ dài MA theo R và tính số đo các góc 
AMB, 
AOB ?
4) Kẻ đường kính AD của đường tròn  O  , MD cắt đường tròn  O  tại điểm thứ hai là C . Chứng minh


rằng MHC
ADC .

Câu 54.(NCT) (HK1-Cầu Giấy- 2019-2020)

Cho nửa đường trịn  O; R  đường kính AB . Vẽ hai tiếp

tuyến Ax , By với nửa đường tròn đó. Trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM  R . Từ M kẻ tiếp
tuyến MC với nửa đường tròn  O  , ( C là tiếp điểm). Tia MC cắt tia By tại D .
a) Chứng minh MD  MA  BD và OMD vuông.
b) Cho AM  2R . Tính BD và chu vi tứ giác ABDM .
c) Tia AC cắt tia By tại K . Chứng minh OK  BM .

Câu 55.(NCT) (HK1-Đống Đa- 2019-2020)

 O; R  . Vẽ đường thẳng

Cho đường tròn  O; R  và điểm A nằm ngoài đường trịn

d vng góc với OA tại A . Trên đường thẳng d lấy điểm M khác A . Qua


điểm M vẽ hai tiếp tuyến ME và MF tới đường tròn  O  ( E , F là các tiếp điểm). EF cắt OM và

OA lần lượt tại H và K .
1) Chứng minh rằng H là trung điểm của EF .
2) Chứng minh rằng bốn điểm O, M , A, F cùng thuộc một đường tròn.
3) Chứng minh OK .OA  R 2 .
4) Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng d để tam giác OHK có diện tích lớn nhất.

Câu 56.(NCT) (HK1-Gia Lâm- 2019-2020)

Cho nửa đường tròn tâm  O; R  và điểm A nằm ngoài

(O ) . Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với (O ) ( B , C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA

và BC.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, O , C cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh: OA là đường trung trực của BC .
c) Lấy D là điểm đối xứng với B qua O . Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với  O  ( E
không trùng với D ). Chứng minh: DE.BA  BD.BE.
d) Tính số đo góc HEC

Câu 57.(NCT) (HK1-Gia Lâm- 2020-2021)

Cho đường

tròn (O; R ) và điểm M cố định ngồi

đường trịn (O) , kẻ các tiếp tuyến MA; MB với (O) . ( A; B là tiếp điểm)
1. Chứng minh rằng bốn điểm M ; A; O; B thuộc một đường trịn.
2. Kẻ đường kính AB của (O) . Chứng minh OM vng góc với AB và OM song song với AD
3. Trên cung nhỏ AB lấy điểm E và từ E kẻ tiếp tuyến với (O) cắt MA; MB lần lượt tại I và K .
Chứng minh chu vi tam giác MIK và độ lớn góc IOK khơng phụ thuộc vào vị trí điểm E .
4. Đường thẳng qua O vng góc với OM cắt MA; MB lần lượt tại H và G Tìm vị trí điểm E để
tổng IH  KG có độ dài nhỏ nhất.

Câu 58.(NCT) (HK1-Hà Đơng- 2020-2021)

Cho đường trịn  O; R  và điểm A cố định thuộc đường

tròn. Kẻ tia Ax là tiếp tuyến của  O  tại A . Trên tia Ax lấy điểm M cố định ( M không trùng A ).
Đường thẳng d thay đổi đi qua M và không đi qua tâm O , cắt  O  tại hai điểm B và C ( B nằm giữa

C và M ; 
ABC  90 ). Gọi I là trung điểm BC .
1) Chứng minh bốn điểm A, O, I , M cùng thuộc một đường tròn.
2) Vẽ đường kính AD của đường trịn  O  . Gọi H là trực tâm tam giác ABC .
Chứng minh rằng H đối xứng với D qua I . Tính HA biết tâm O cách đường thẳng d là 2 cm .
3) Chứng minh rằng H và A cùng thuộc một đường tròn cố định khi đường thẳng d thay đổi.

Câu 59.(NCT) (HK1-Đống Đa- 2020-2021)

Cho đường tròn  O , R  đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến

Ax , lấy điểm P trên Ax  AP  R  . Từ P kẻ tiếp tuyến PM của  O , R  ( M là tiếp điểm)


a) Chứng minh: Bốn điểm A, P, M , O cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh: BM / / OP
c) Đường thẳng vng góc với AB tại O cắt tia BN tại N . Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình
hành.
d) Giả sử AN cắt OP tại K , PM cắt ON tại I , PN cắt OM tại J . Chứng minh: ba điểm I , J , K
thẳng hàng.

Câu 60.(NCT) (HK1-Nam TL- 2020-2021)

 O  . Trên tia

Cho  O  đường kính AB bằng 2R . Vẽ tiếp tuyến Ax với

Ax lấy điểm E khác điểm A . Vẽ tiếp tuyến EP với  O  ( P là tiếp điểm, P khác A ).

a) Chứng minh: Bốn điểm A , E , P , O cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi K là trung điểm của BP . Tia OK cắt tia EP tại điểm F . Chứng minh: BF là tiếp tuyến của  O  .
c) Gọi H là giao điểm của AP với OE . Chứng minh: AB 2  4OH .OE .
d) Gọi I là hình chiếu của P trên AB . Tìm vị trí của E trên tia Ax để tam giác OPI có chu vi lớn nhất.

Câu 61.(NCT) (HK1-Thanh Xn- 2020-2021) Cho đường trịn O đường kính AB . Vẽ tia tiếp tuyến
Ax của đường tròn O .Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB có chứa tia Ax , lấy điểm M thuộc
đường tròn O ( M khác A , M khác B ) sao cho MA  MB . Tiếp tuyến của đường tròn O tại M
cắt tia Ax tại E .
1) Chứng minh bốn điểm A , E , M , O cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh OE song song với MB .

  EMB
.
3) Gọi F là giao điểm của EB với đường tròn O  . Chứng minh EFM

Câu 62.(NCT) (HK1-Cầu Giấy- 2020-2021)

Cho đường tròn  O ; R  và dây AB khác đường kính. Kẻ

OI vng góc với AB tại I , tiếp tuyến của đường tròn  O  tại A cắt đường thẳng OI tại M .
a) Chứng minh: OI .OM  R 2 .
b) Chứng minh MB là tiếp tuyến của đường tròn  O  và 4 điểm A , B , M , O cùng thuộc một đường
trịn.
c) Kẻ đường kính AD của đường tròn  O  , tiếp tuyến của đường tròn  O  tại D cắt đường thẳng AB tại
điểm N . Chứng minh MD  ON .

Câu 63.(NCT) (HK1-Ba Đình - 2020-2021)

Cho nửa đường trịn  O; R  , đường kính AB . Trên nửa

mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Bx với  O  . ĐIểm M di động trên tia Bx

 M  B ,

AM cắt nửa đường tròn  O  tại điểm N

 N  A . Kẻ OE

vuông góc với AN tại E .

a) Chứng minh các điểm E , O , B , M cùng thuộc đường trịn đường kính OM .
b) Tiếp tuyến nửa đường trịn  O  tại N cắt tia OE tại K và cắt MB tại D . Chứng minh KA là tiếp
tuyến của đường tròn  O  .


c) Chứng minh KA.DB không đổi khi điểm M di động trên tia Bx .
d) Gọi H là giao điểm của AB và DK , kẻ OF  AB  F  DK  . Chứng minh

Câu 64.(NCT) (HK1-Bắc TL- 2020-2021)

BD DF

 1.
DF HF

Cho đường tròn O; R  , đường kính AB . Qua B kẻ tiếp

tuyến Bx với đường tròn O  . Trên tia Bx lấy điểm M sao cho MA cắt đường tròn O tại điểm thứ
hai là D . Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AD .
a) Chứng minh AD. AM  4 R 2 .
b) Chứng minh 4 điểm M , E , O , B cùng thuộc một đường tròn.
c) Kẻ BH  OM tại H , BH cắt đường tròn O  tại C . Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn

O
d) Tia AH cắt đường tròn O tại Q . Chứng minh BQ đi qua trung điểm của HM .

Câu 65.(NCT) (HK1-Đan Phượng- 2020-2021)

Từ điểm A nằm ngồi đường trịn  O  , vẽ hai tiếp

tuyến AM và AN với đường tròn  O  ( M , N là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của MN với

OA .
a) Chứng minh OA  MN và OM 2  OH .OA .
b) Từ M kẻ đường kính MB của đường trịn  O  . Đường thẳng AB cắt đường tròn  O  tại C ( C khác
B ). Chứng minh AC. AB  AH . AO .

c) Goi E là giao điểm của đoạn thẳng AO với đường tròn  O  . Chứng minh

EA MA

EH MH

d) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với AB và cắt đường thẳng MN tại D . Chứng minh DB  MB .