ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG TOÁN 7

TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2019 - 2020

(Đề thi có 01 trang)

Mơn: TỐN KHỐI 7
Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (1,5 điểm) Tìm các số tự nhiên x và y, biết
x 1 y
x
a) 2 .3  12 .

2
2
b) 7( x  2004)  23  y .
2
Câu 2 (0,75 điểm) Cho f ( x)  ax  bx  c (Với a, b, c ��) và 13a  b  2c  0 . Chứng
minh rằng: f (2). f (3) �0 .
Câu 3 (0,75 điểm) ) Tính giá trị của biểu thức A, biết
3 3 �
�
0,375  0,3  
�1,5  1  0,75
1890
11 12 �
A�

:

 115
�
5
5 5 2005
�2,5   1,25 0,625  0,5   �
3
11 12 �
�
.
Câu 4 (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của A, biết A  x  1  x  2  .....  x  100 .

Câu 5 (1,5 điểm) Cho dãy tỉ số bằng nhau sau
2012a  b  c  d a  2012b  c  d a  b  2012c  d a  b  c  2012d



a
b
c
d
.
ab bc cd d a
M



cd d a ab bc .
Tính giá trị của biểu thức
�
� và C

Câu 6 (2,0 điểm) Cho  ABC có hai nhọn B
. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D
sao cho AD = AB, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC.
a) Chứng minh rằng: BE = CD.
b) Gọi M là trung điểm của BE và N là trung điểm của CD. Chứng minh M, A, N
thẳng hàng.
c) Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu
của B và C trên tia Ax. Chứng minh BH + CK �BC và xác định vị trí của tia Ax
để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất.
Câu 7 (1,5 điểm) Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được
nửa quãng đường ô tơ tăng vận tốc lên 20% do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút. Tính
thời gian ơ tơ đi từ A đến B.
Câu 8 (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ
đường thẳng vng góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và
cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng:
a) BE = CF.
AB  AC
AE 
2
b)
.
…..

Chữ ký giám thị 1

Hết …..
Chữ ký giám thị 2


…………………………

…………………………


HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2019 - 2020. Mơn Tốn Khối 7.


Câu

Hướng dẫn chấm
2
3y
x 1
y
x
2 . 3  12  � x 1  x � 2 x1  3 y  x
2
3
a)
.
Nhận thấy ( 2,3) = 1 � x – 1  y – x  0 � x  y  1 .

Điểm

2x

Câu 1
(1,5 điểm)

Câu 2.
(0,75
điểm)

Câu 3
(0,75
điểm)

Câu 4
(1,0 điểm)

2
2
b) 7( x  2004)  23  y (1)
7( x ���
2004)
�2�0 23 y 2

0

y2

0

y

 0;2;3;4

2
7 .Vậy y = 3, y = 4 .

Mặt khác 7 là số nguyên tố � 23  y M
Thay y vào (1) ta được x = 2005, y = 4.
x = 2003, y = 4.
Ta có: f (-2) = 4a – 2b + c và f(3) = 9a + 3b + c
� f(-2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c)
Mà ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = 0
� ( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c)
Vậy f(-2).f(3) = -( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c)
= -( 4a -2b + c)2 �0.
3 3 �
�
0,375  0,3  
�1,5  1  0,75
1890
11 12 �
A�

:
 115
�
5
5 5 2005
�2,5   1,25 0,625  0,5   �
3
11 12 �
�
�3 �
5 5 5 � 3 � 5 1 5 5 ��
 
 �

   
�5 �
�1890
2 3 4�
5 � 8 2 11 12 �
�
�
�
�
A�

:
 115
5 1 5 5
2005
� 555
�
   
� 2 3 4
8 2 11 12 �
�
�
�3 3 �1890
A�  �
:
 115
�5 5 �2005
A  0  115  115
x  1  x  2  .....  x  100 =

( x  1  100  x )  ( x  2  99  x )  .....  ( x  50  56  x )
�x  1  100  x  x  2  99  x  ....  x  50  56  x
�99 + 97 + ....+ 1 = 2500
Suy ra C �2050 với mọi x . Vậy Min C = 2500 khi
( x  1)(100  x) �0
1 �x �100
�
�
�
�
( x  2)(99  x) �0
2 �x �99
�
�
� �
50 x 56
�
............................
................
�
�
�
�
( x  50)(56  x ) �0
50 �x �56
�
�
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có

2012a  b  c  d a  2012b  c  d a  b  2012c  d a  b  c  2012d




 2015
a
b
c
d

Câu 5
(1,5 điểm)

TH1: a  b  c  d  0
 a  b    c  d  �
�
 b  c   a  d  �
�
 c  d    a  b �
d  a   b  c �

�
Nên

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ

0,25 đ

0,25đ
0,25đ

0, 25đ
0,25đ
0,5đ

0,25đ

0,25đ
0,25đ


(Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)
Duyệt của HT/PHT

Tổ trưởng

Người ra đề