Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài toán kinh tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT XN HỊA

BÁO CÁO KẾT QUẢ 
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:  
VẬN DỤNG HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
ĐỂ GIẢI BÀI TỐN KINH TẾ

Tác giả sáng kiến : NGUYỄN THU THÙY
Mã sáng kiến

1

: 37.52.04


                                                

VĨNH PHÚC, 2020
BÁO CÁO KẾT QUẢ
 NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG CỦA SÁNG KIẾN

1. Lời giới thiệu
Mục tiêu của giáo dục hiện nay là đào tạo ra một nguồn nhân lực có trình độ 
cao để  phục vụ  đất nước nên các kiến thức học của học sinh  ở  nhà trường cần 
được gắn liền với thực tế cuộc sống. Chính vì vậy, Bộ Giáo Dục và Đào tạo đang 
tiến hành lộ  trình đổi mới đồng bộ  phương pháp dạy học và kiểm tra đánh giá ở 
các trường phổ  thơng theo định hướng phát triển năng lực của học sinh trên tinh 
thần Nghị quyết 29 – NQ/TƯ về đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào tạo.  

Dạy học theo đinh hướng phát triển năng lực học sinh, địi hỏi phải tăng cường 
u cầu học sinh vận dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề thực tiễn.
Trong thực tiễn dạy học  ở trường THPT nhìn chung mới chỉ  tập trung rèn 
luyện cho học sinh vận dụng kiến thức tốn học  ở  trong nội bộ  mơn tốn là chủ 
yếu cịn việc vận dụng kiến thức tốn học vào đời sống thực tiễn chưa được chú  
ý đúng mức và thường xun. Những bài tốn có nội dung liên hệ trực tiếp với đời 
sống lao động sản xuất được trình bày một cách hạn chế  trong chương trình tốn 
phổ thơng. 
Nhằm giúp học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để giải quyết trực 
tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và tăng cường thực hành gắn với thực tiễn 
làm cho tốn học khơng trừu tượng khơ khan và nhàm chán, tơi chọn đề tài : “ Vận 
dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài tốn kinh tế ” cho học 
sinh lớp 10 Trường THPT Xn Hịa.

2


Với đề tài này tơi hy vọng phần nào giúp cho học sinh thấy tốn học có rất 
nhiều  ứng dụng trong cuộc sống xung quanh ta, cũng như  các mơn khác để  từ  đó  
học sinh lĩnh hội, khắc sâu tri thức một cách dễ dàng hơn.

2. Tên sáng kiến: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài 
tốn kinh tế.

3. Tác giả sáng kiến: 
­ Họ và tên: Nguyễn Thu Thùy
­ Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Xn Hịa.
­ Số điện thoại: 0976442776
­ Email: 

4. Chủ đầu tư tao ra sáng kiến: Nguyễn Thu Thùy.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: 
Đề tài: “ Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài tốn kinh tế 
” Trang bị cho học sinh kiến thức, kỹ năng biết vận dụng các bài tốn có nội dung 
thực tiễn vào dạy học mơn tốn lớp 10 – Trung học phổ thơng.  Biết vận dụng 
thực tế cuộc sống vào trong dạy học tốn.  Góp phần nâng cao tính thực tế, chất 
lượng dạy học mơn tốn ở trường Trung học phổ thơng.

6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 
+Trong giảng dạy chính khóa: tháng 01/ 2020 lớp 10A2, 10A7 trường THPT Xn 
Hịa.

7.  Mơ tả bản chất của sáng kiến: 
3


7.1 Về nội dung của sáng kiến: 
Kiến thức cơ bản của bài học này khơng nhiều. Đối với học sinh, việc giải 
hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là khơng khó. Các em chỉ cần biết cách dựng  
đường thẳng ax+ by+c =0 và xác định dấu của mỗi miền theo hướng dẫn trong  
sách giáo khoa là giải được. Tuy nhiên, học sinh chưa biết cách khai thác kiến thức 
cơ  bản của bài học để  vận dụng vào việc tìm ra những ứng dụng của nó. Vì vậy 
khi gặp bài tốn kinh tế các em gặp khó khăn trong việc tìm ra cách giải.
Đứng trước một bài tốn kinh tế học sinh thường lúng túng khơng biết gắn  
bài tốn đó vào kiến thức đã học ? Với tình hình ấy để  giúp học sinh định hướng  
tốt hơn trong q trình giải bài tốn kinh tế, giáo viên cần tạo cho học sinh thói  
quen xem xét bài tốn dưới cách đặt biến và từ  đó tìm ra mối quan hệ  ràng buộc 
các biến. Sau đây là nội dung chi tiết.

4

A. LÝ THUYẾT

I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn  có dạng tổng qt là
trong đó  là những số thực đã cho,  và  khơng đồng thời bằng  và  là các ẩn số. 
II.  BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 
HAI ẨN
Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất  
hai  ẩn thường có vơ số  nghiệm và để  mơ tả  tập nghiệm của chúng, ta sử  dụng  
phương pháp biểu diễn hình học. 
Trong mặt phẳng tọa độ    tập hợp các điểm có tọa độ  là nghiệm của bất 
phương trình  được gọi là miền nghiệm của nó.
Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn  
miền nghiệm) của bất phương trình  như sau (tương tự cho bất phương trình ) 
Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ  vẽ đường thẳng : 
Bước 2. Lấy một điểm  khơng thuộc  (ta thường lấy gốc tọa độ ).
Bước 3. Tính  và so sánh  với 
Bước 4. Kết luận.
Nếu  thì nửa mặt phẳng bờ  chứa  là miền nghiệm của 
Nếu  thì nửa mặt phẳng bờ  khơng chứa  là miền nghiệm của 
Chú ý:
Miền nghiệm của bất phương trình  bỏ đi đường thẳng  là miền nghiệm của 
bất phương trình 
III.  HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Tương tự hệ bất phương trình một ẩn.
Hệ  bất phương trình bậc nhất hai  ẩn gồm một số  bất phương trình bậc  
5

nhất hai  ẩn  mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó  
được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. 
Cũng như bất phương trình bậc nhất hai  ẩn, ta có thể  biểu diễn hình học tập 
nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 
Cách giải
­  Với   mỗi   bất   phương   trình   của   hệ,   ta   xác   định   miền   nghiệm   của 
chúng trên cùng một hệ trục toạ độ.
­ Miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ đã cho.
IV.  ÁP DỤNG VÀO BÀI TỐN KINH TẾ
Giải một số bài tốn kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương 
trình bậc nhất hai ẩn và giải chúng. Loại bài tốn này được nghiên cứu trong một 
ngành tốn học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính.
B. BÀI TẬP

Dạng 1: Các bài tốn liên bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 1.Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình .
Lời giải

Vẽ đường thẳng 
Lấy gốc tọa độ    ta thấy   và có   nên nửa  
mặt phẳng bờ    chứa gốc tọa độ    là miền 
nghiệm của bất phương trình đã cho (miền 
6


khơng bị tơ đậm trong hình). 
Ví dụ 2.Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình .
Lời giải

Trước hết, ta vẽ đường thẳng 
Ta thấy  khơng là nghiệm của bất phương trình.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ  khơng chứa điểm 
Ví dụ 3.Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình .
Lời giải

Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề bài đã cho về thành 
Ta vẽ đường thẳng 
Ta thấy  khơng là nghiệm của bất phương trình.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng (khơng kể bờ ) khơng chứa điểm 
Ví dụ 4.Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình .
7


Lời giải

Trước hết, ta vẽ đường thẳng 
Ta thấy  khơng là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ  khơng chứa điểm 

Dạng 2: Các bài tốn liên hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 5.Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình 
Lời giải

Vẽ các đường thẳng
8

Vì điểm  có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ trên nên 
ta tơ đậm các nửa mặt phẳng bờ      khơng chứa điểm  Miền khơng bị  tơ  
đậm (hình tứ giác  kể cả bốn cạnh ) trong hình vẽ là miền nghiệm của hệ 
đã cho.
Ví dụ 6.Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình  .

Lời giải
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: 

Ta thấy  là nghiệm của cả  ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm  
thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền  
khơng thích hợp, miền khơng bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Dạng 3: Các bài tốn kinh tế, bài tốn tối ưu

Bài tốn: Tìm giá trị  lớn nhất, nhỏ  nhất của biểu thức  với  nghiệm đúng  
một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước.
Bước  1: Xác định miền nghiệm của hệ  bất phương trình đã cho. Kết quả 
9


thường được miền nghiệm  là đa giác.
Bước 2: Tính giá trị của  tương ứng với  là tọa độ của các đỉnh của đa giác.
Bước 3: Kết luận:
 Giá trị lớn nhất của  là số lớn nhất trong các giá trị tìm được.
 Giá trị nhỏ nhất của  là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.
Để bắt đầu với các bài tốn thực tế. Tơi cho học sinh làm ví dụ đơn giản  
như sau:

Ví dụ  7 : Người ta dự  dịnh dùng hai loại ngun liệu để  chiết xuất ít nhất 12kg  
chát A và 1kg chất B . Từ mỗi tấn ngun liệu loại I giá 4 triệu đồng, có thể chiết 

xuất 8kg chất A và 0,25kg chất B. Từ mỗi tấn ngun liệu loại II giá 3 triệu đồng,  
có thể chiết xuất được 4kg chất A và 0,75 kg chất B. Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn 
ngun liệu mỗi loại để chi phí mua ngun liệu mỗi loại là ít nhất, biết rằng cơ 
sở cung cấp ngun liệu chỉ có thể cung cấp khơng q 4 tấn ngun liệu loại I và 
khơng q 3 tấn ngun liệu loại II ?  
Giải
­  Phân tích giả  thuyết của bài tốn : Từ  hai ngun liệu chiết xuất ít nhất 12kg 
chất A và 1 kg chất B.
Mỗi tấn ngun liệu loại I có giá 4 triệu đồng

8 kg chất A      0,25 kg chất B
Mỗi tấn ngun liệu loại II có giá 3 triệu đồng

4kg chất A     

0,75kg chất  B

Tìm x tấn ngun liệu loại I và y tấn ngun liệu loại II thỏa mãn u cầu  
bài toán
10


0

x

4

0

y

3

2x

­ Tìm x và y thỏa mãn : 

y

3

x 3y

4

Sao cho T(x; y) = 4x + 3y  có giá trị nhỏ 

nhất.
Giáo viên chỉ ra cho học sinh thấy bài tốn trên dẫn đến hai bài tốn  nhỏ
Bài tốn 1  : Xác định tập hợp (S) các điểm có tọa độ (x;y) thỏa 
mãn :

0
0

x
y

4

3

2x y 3
x 3y 4

Miền nghiệm (S) của hệ là miền tứ giác ABCD kể cả biên
Bài tốn 2 : Trong tập hợp (S), tìm điểm (x; y)  sao cho T(x; y) = 4x + 3y 
có giá trị nhỏ nhất.
Ta có : A(0; 3), B(1; 1), C(4; 0), D(4; 3)
Thế tọa độ các điểm trên vào T(x; y) :
T(0; 3) = 9
T(1; 1) = 7
T(4; 0) = 16
T(4; 3) = 25
Vậy T(x; y) nhỏ nhất là 7 tại B(1;1)
Vậy phải dùng 1 tấn ngun liệu loại 1 và 1 tấn ngun liệu loại II thì  
chi phí mua ngun liệu là ít nhất

Ví dụ 8 : Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g 
11


hương liệu, 9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha 
chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; pha chế 1 lít nước  
táo cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 
điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao  
nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để được số điểm thưởng là lớn nhất?
(Đề Dự Bị THPT Quốc Gia Năm 2015)
Giải
Đối với những bài tốn như thế này, ta phải đọc thật kỹ, xem đề bài u cầu 

làm gì và chuyển bài tốn đó về những mơ hình tốn học mà mình đã học? Ở đây, 
u cầu đề bài: “cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại”. Như vậy, ta gọi  
ẩn x, y tương ứng là số lít nước trái cây tương ứng mỗi loại. Mà mỗi lít nước cam 
nhận được 60 điểm thưởng thì x lít nước cam nhận được 60xđiểm thưởng; mỗi lít 
nước táo nhận được 80 điểm thưởng thì y lít nước táo nhận được 
80y điểm thưởng. Khi đó ta có số điểm thưởng nhận được sau khi pha chế được x, 
ylít nước trái cây mỗi loại là 60x + 80y .  Ở  đây tính số  điểm thưởng ta dùng quy 
tắc  TAM XUẤT để tính, tương tự với các dữ kiện bài tốn khác ta cũng dùng quy 
tắc này và ta có lời giải bài này như sau: 
Gọi x, y lần lượt là số  lít nước cam và táo của mỗi đội pha chế . Khi đó số 
điểm thưởng nhận được của mỗi đội chơi là F=60x + 80y. 
Để pha chế  x lít nước cam cần 30x(g) đường ,x lít nước và x(g) hương liệu. 
Để pha chế y lít nước cam cần 10y(g) đường ,y lít nước và 4y(g) hương liệu. 
Do đó, ta có: 
Số gam đường cần dùng là: 30x + 10y
Số lít nước cần dùng là: x + y
Số gam hương liệu cần dùng là: x + 4y .
Vì trong cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9lít nước  
và 210g đường nên x,y thỏa mãn hệ bất phương trình: 
(*) 
12


Khi đó bài tốn trở thành :
Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm sao cho 
F=60x + 80y lớn nhất. 
Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M(x;y) thỏa 
mãn (*). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là ngũ giác OABCD kể 
cả miền trong của tam giác (như hình vẽ). 

Biểu thức  F=60x + 80y  đạt giá trị  lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác  
OABCD.
Tại các đỉnh . Ta thấy F đạt giá trị lớn nhất tại x = 4, y = 5. Khi đó F = 640.
Vậy cần pha chế  4 lít nước cam và 5 lít nước táo thì số  điểm thưởng lớn  
nhất là 640. 
Nhận xét: Bài trên tơi phân tích khá chi tiết, vì vậy những bài sau tơi chỉ đưa  
ra lời giải và khơng phân tích nữa. Bởi vì cách giải cũng giống nhau, chỉ  cần bạn  
hiểu là có thể lập được mơ hình Tốn học. Từ đó có thể giải được bài tốn giống  
như trên. 

Ví dụ  9 : Một gia đình cần ít nhất 900g chất prơtein và 400g chất lipit trong thức  
ăn mỗi ngày. Biết rằng thịt bị chứa 80% prơtein và 20% lipit. Thịt lợn chứa 60% 
prơtein và 40% lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1600g thịt bị và 
1100g thịt lợn, giá tiền 1kg thịt bị là 45 nghìn đồng, 1kg thịt lợn là 35 nghìn đồng. 
Hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu kg thịt mỗi loại để chi phí ít nhất?
Giải
Giả sử gia đình đó mua x (kg) thịt bị và y (kg) thịt lợn . Khi đó chi phí mua x 
(kg) thịt bị và y (kg) thịt lợn là T = 45x + 35y (nghìn đồng). 
Theo giả thuyết, x và y thỏa mã điều kiện  . 
13


Khi đó lượng prơtêin có được là 80%  x  + 60%y  và lượng lipit có được là 
20%x + 40%y. 
Vì gia đình đó cần ít nhất 0,9kg chất  prơtêin và 0,4kg chất lipit trong thức ăn 
mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là 80%x + 60%y0,9 
và 20%x +40%y 0,4 hay 4x + 3y 4,5 và x + 2y 2
Vậy x,y thỏa mãn hệ bất phương trình:     (*) 
Khi đó bài tốn trở thành :
Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm  sao cho 

T= 45x + 35y  nhỏ nhất. 
Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M(x;y)  thỏa 
mãn (*) . 
Miền nghiệm của hệ (*) là  miền bên trong của tứ giác lồi ABCD và cả biên (như 
hình vẽ) 

T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD. 
Ta có: 
Kiểm tra được  x=0,6 ; y=0,7 thì T = 51,5 (nghìn đồng) là nhỏ nhất. 
Vậy gia đình đó mua 0,6kg thịt bị và 0,7kg thịt lợn thì chi phí là ít nhất. Cụ thể là  
phải chi phí 51,5 nghìn đồng. 
Ví dụ 10 : Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phối hợp của vitamin A và 
vitamin B đối với cơ thể con người. Kết quả như sau: Một người mỗi ngày có 
thể tiếp nhận được khơng q 600 đơn vị vitamin A và khơng q 500 đơn vị 
vitamin B. Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B. 

14


Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B khơng ít  
hơn  số đơn vị vitamin A nhưng khơng nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A. Giá 
của 1 đơn vị vitamin A là 9 đồng, giá 1 đơn vị vitamin B là 7,5 đồng. Tìm phương 
án dùng 2 loại vitamin A và B thỏa mãn các điều kiện trên để số tiền phải trả là ít 
nhất.
Giải
Gọi x, y lần lượt là số đơn vị vitamin A và B  dùng mỗi ngày  . 
Vì giá của 1 đơn vị vitamin A là 9 đồng, giá 1 đơn vị vitamin B là 7,5 đồng nên số 
tiền cần phải trả là . 
Theo giả thuyết ta có:    (*) 
Khi đó bài tốn trở thành :

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm sao cho  nhỏ nhất.
 
Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M(x;y) thỏa 
mãn (*) . 
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là ngũ giác ABCDEF kể cả miền 
trong của tứ giác nhưng bỏ đi cạnh BC với :
Biểu thức  đạt giá trị nhỏ nhất nhất tại một trong các đỉnh A, D, E, F của ngũ giác 
ABCDE. 
Khi đó, ta thấy C đạt giá trị lớn nhất tại  x = 100, y = 300.Khi đó C = 3150. 
Vậy phương án tốt nhất là dùng 100 đơn vị vitamin A và 300 đơn vị vitamin B. Chi  
phí mỗi ngày là 3150 đồng.

Ví dụ  11 : Có 3 nhóm máy A, B, C dùng để sản suất ra hai loại sản phẩm I và II.  
Để  sản suất ra một đơn vị  sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc  
các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số  máy của từng nhóm cần thiết  
15


để  sản suất ra một đơn vị  sản phẩm thuộc mỗi loại được cho tương  ứng bảng 
sau: 
Nhóm

Số máy trong
mỗi nhóm

Số máy trong từng nhóm để sản 
suất
ra một đơn vị sản phẩm
Loại I
Loại II

A

10

2

2

B
C

4
12

0
2

2
4

Mỗi đơn vị sản phẩm loại I lãi 3 nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm loại II 
lãi 5 nghìn đồng. Hãy lập phương án để việc sản suất hai sản phẩm trên có lãi 
cao nhất. 
Giải
Gọi x, y lần lượt là số đơn vị sản phẩm thuộc loại I và II . Khi đó tổng số tiền lãi 
của x đơn vị sản phẩm loại I và y đơn vị sản phẩm loại II là  
L = 3000x+  5000y
Theo gia thuyết, ta có:   (*) 
Khi đó bài tốn trở thành :

Trong các nghiệm của hệ  bất phương trình (*), tìm nghiệm sao cho   L = 3000x + 
5000y lớn nhất. 
Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M(x;y) thỏa 
mãn (*) . Miền nghiệm của hệ (*) là  miền bên trong của ngũ giác lồi OABCD và 
cả biên (như hình vẽ). 
L đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác OABCD. Ta có . Kiểm tra 
được x = 4; y = 1 thì  L = 17000  đồng là lớn nhất. 

16


Vậy kế hoạch tốt nhất là sản suất 4 đơn vị sản phẩm loại I và 1 đơn vị sản phẩm  
loại II thì tổng số tiền lời là lớn nhất cụ thể là 17000 đồng.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Chi phí về  nhiên liệu của một tàu được chia làm hai phần. Trong đó phần  
thứ nhất khơng phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 ngàn đồng/giờ. Phần thứ hai tỉ 
lệ  thuận với lập phương của vận tốc, khi  v=10km/ h  thì phần thứ  hai bằng 30  
ngàn đồng/giờ. Hãy xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nhiên liệu trên 1km là  
nhỏ nhất? 
Bài 2. Từ  một khúc gỗ  hình trụ, cần xẻ  thành một chiếc xà có tiết diện ngang là 
hình vng và 4 miếng phụ  như hình vẽ. Hãy xác định kích thước của các miếng  
phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là nhỏ nhất? 

Bài 3. Một hộ nơng dân định trồng đậu và cà trên diện tích 8a. Nếu trồng đậu thì  
cần 20 cơng và thu 3000000 đồng trên mỗi diện tích a, nếu trồng cà thì cần 30 
cơng và thu 4000000 đồng trên mỗi diện tích a. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên 
mỗi diện tích bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số cơng khơng q 
180? 

Bài 4. Một xưởng sản suất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg  
ngun liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần  
4 kg ngun liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30000 đồng. Xưởng có 200kg ngun 
17


liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản suất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để  mức lời 
lớn nhất? 
Bài 5. Một máy cán thép có thể sản suất hai sản phẩm thep t
́ ấm va thep cu
̀ ́ ộn vơí 
cơng suất cho mơi lo
̃ ại là (nếu chỉ san xu
̉
ất một san phâm): thep t
̉
̉
́ ấm là 
250 tấn/giơ, thep cu
̀ ́ ộn là 150 tấn/giơ. L
̀ ợi nhuận bán san phâm la: thep t
̉
̉
̀ ́ ấm là 25 
USD/tấn, thep cu
́ ộn là 30 USD/tấn. Theo tiếp thị, một tuần chỉ tiêu thụ được tơi đa
́  
5000 tấn thep t
́ ấm va 3500 t
̀

ấn thep cu
́ ộn. Biết rằng máy lam viêc 40 gi
̀
̣
ờ một tuần.  
Cần san xu
̉
ất mơi lo
̃ ại san phâm bao nhiêu trong m
̉
̉
ột tuần đê có l
̉
ợi nhuận cao 
nhất. 
Bài 6.  Một cơng ty điên t
̣ ử  san xu
̉
ất hai kiêu radio trên hai dây chuy
̉
ền độc lập. 
Cơng suất của dây chuyền một la 45 radio/ngay va dây chuy
̀
̀ ̀
ền hai la 70 radio/ngay.
̀
̀  
Đê san xu
̉ ̉
ất một chiếc radio kiêu m

̉
ột cần 12 linh kiên điên t
̣
̣ ử  E, va m
̀ ột chiếc 
radio kiêu hai c
̉
ần 9 linh kiên nay. Sơ linh kiên nay đ
̣
̀
́
̣
̀ ược cung cấp mơi ngay khơng
̃
̀
 
q 1000. Tiền lai khi bán m
̃
ột chiếc radio kiêu 1 là 250.000 (đơng) va kiêu hai la
̉
̀
̀ ̉
̀ 
180.000 (đơng). Hãy l
̀
ập kế hoạch san xu
̉
ất cho lai nhi
̃ ều nhất trong ngay.
̀

Bài 7. Một hộ nơng dân định trồng đậu và cà trên diện tích m 2. Nếu trồng đậu thì 
cần  cơng và thu  đồng trên m2 nếu trồng cà thì cần  cơng và thu  đồng trên  m 2 . 
Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để  thu được nhiều tiền  
nhất khi tổng số cơng khơng q .
Bài 8. Bạn An kinh doanh hai mặt hàng handmade là vịng tay và vịng đeo cổ. Mỗi 
vịng tay làm trong 4 giờ, bán được 40 ngàn đồng. Mỗi vịng đeo cổ  làm trong 6  
giờ, bán được 80 ngàn đồng. Mỗi tuần bạn An bán được khơng q 15 vịng tay và 
4 vịng đeo cổ. Tính số  giờ  tối thiểu trong tuần An cần dùng để  bán được ít nhất  
400 ngàn đồng?
Bài 9. Một xưởng cơ khí có hai cơng nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại 
sản phẩm  và . Mỗi sản phẩm  bán lãi  nghìn đồng, mỗi sản phẩm  bán lãi  nghìn  
đồng. Để sản xuất được một sản phẩm  thì Chiến phải làm việc trong  giờ, Bình 
phải làm việc trong  giờ. Để  sản xuất được một sản phẩm  thì Chiến phải làm 
18


việc trong   giờ, Bình phải làm việc trong   giờ. Một người khơng thể  làm được 
đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng Chiến khơng thể làm việc q 
giờ và Bình khơng thể làm việc q  giờ. Tính số tiền lãi lớn nhất trong một tháng  
của xưởng.
Bài 10. Một gia đình cần ít nhất  đơn vị  protein và  đơn vị  lipit trong thức ăn mỗi 
ngày. Mỗi kiogam thịt bị chứa  đơn vị protein và đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn  
chứa đơn vị protein và  đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất  kg  
thịt bị và   kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bị là   nghìn đồng, một kg thịt lợn là 
nghìn đồng. Gọi , lần lượt là số kg thịt bị và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm , 
để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong  
thức ăn?
Bài 11. Một hộ  nơng dân định trồng dứa và củ  đậu trên diện tích . Trên diện tích 
mỗi , nếu trồng dứa thì cần 20 cơng và thu 3 triệu đồng, nếu trồng củ đậu thì cần 
30 cơng và thu 4 triệu đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao  

nhiêu  để thu được nhiều tiền nhất, biết rằng tổng số cơng khơng q 180.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương 
liệu, 9 lít nước và 210 g đường để pha chế nước cam và nước táo.
● Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1 g hương liệu;
● Để pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu.
Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 
điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để  đạt được 
số điểm thưởng cao nhất?
A.  lít nước cam và  lít nước táo.

B.  lít nước cam và  lít nước táo.

C.  lít nước cam và  lít nước táo.

D.  lít nước cam và  lít nước táo.

Câu 2. Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm
19


● Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg ngun liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 
40 nghìn;
● Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg ngun liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30  
nghìn.
Xưởng có 200 kg ngun liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm  
bao nhiêu để có mức lời cao nhất?
A. kg loại I và  kg loại II.       B. kg loại I và  kg loại II.
C. kg loại I và  kg loại II.       D. kg loại I và  kg loại II.

Câu 3. Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại Vitamin  
và  đã thu được kết quả như sau: Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000  
đơn vị Vitamin cả  lẫn  và có thể tiếp nhận khơng q 600 đơn vị vitamin và khơng 
q 500 đơn vị  vitamin . Do tác động phối hợp của hai loại vitamin trên nên mỗi 
ngày một người sử  dụng số   đơn vị  vitamin   khơng ít hơn một nửa số   đơn vị 
vitamin  và khơng nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin . Tính số đơn vị vitamin mỗi  
loại  ở  trên để  một người dùng mỗi ngày sao cho chi phí rẻ  nhất, biết rằng mỗi 
đơn vị vitamin  có giá 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin  có giá 7,5 đồng.
A.  đơn vị Vitamin ,  đơn vị Vitamin 
B.  đơn vị Vitamin ,  đơn vị Vitamin 
C.  đơn vị Vitamin ,  đơn vị Vitamin 
D.  đơn vị Vitamin ,  đơn vị Vitamin 
Câu 4. Cơng ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc B 1, đựng 
cao Sao vàng và đựng "Quy sâm đại bổ hồn". Để sản xuất các loại hộp này, cơng 
ty dùng các tấm bìa có kích thước giống nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác  
nhau.
 Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B1, một hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm.
 Cách thứ hai cắt được 2 hộp B1, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm. Theo kế 
hoạch, số hộp Quy sâm phải có là 900 hộp, số  hộp B1 tối thiểu là 900 hộp, số hộp 
20


cao sao vàng tối thiểu là 1000 hộp. Cần phương án sao cho tổng số tấm bìa phải dùng 
là ít nhất?
A. Cắt theo cách một  tấm, cắt theo cách hai  tấm.
B. Cắt theo cách một  tấm, cắt theo cách hai  tấm.
C. Cắt theo cách một  tấm, cắt theo cách hai  tấm.
D. Cắt theo cách một  tấm, cắt theo cách hai  tấm.

Câu 5.  Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để  sản xuất sản 

phẩm  và sản phẩm  trong một chu trình sản xuất. Để sản xuất một tấn sản phẩm 
lãi  triệu đồng người ta sử dụng máy  trong  giờ, máy  trong  giờ và máy  trong  giờ.  
Để  sản xuất ra một tấn sản phẩm   lãi được   triệu đồng người ta sử  dụng máy  
trong  giờ, máy  trong  giờ và máy  trong  giờ. Biết rằng máy  chỉ hoạt động khơng 
q  giờ, máy hai hoạt động khơng q  giờ và máy  hoạt động khơng q  giờ. Hãy  
lập kế hoạch sản xuất cho nhà máy để tiền lãi được nhiều nhất.
A. Sản xuất  tấn sản phẩm  và khơng sản xuất sản phẩm 
B. Sản xuất  tấn sản phẩm  và  tấn sản phẩm 
C. Sản xuất  tấn sản phẩm  và  tấn sản phẩm 
D. Sản xuất  tấn sản phẩm  và khơng sản xuất sản phẩm 

21

.


7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến: 
­ Sáng kiến đã được áp dụng trong thực tế  với các em học sinh tại lớp 10 trường 
THPT Xn Hịa, khi học chương 4 – Đại số và Giải Tích 10.
Hiện sáng kiến đang được sử dụng trong năm học 2019 – 2020:
­ Trong giảng dạy chính khóa các lớp đầu cao và đại trà:  10A2, 10A7 Trong dạy 
chun đề các lớp 10 A2, 10A7 .
8. Thơng tin cần bảo mật : Sáng kiến này được áp dụng rộng rãi nên khơng có  
thơng tin bảo mật.
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến
Các giáo viên đang giảng dạy lớp 10 trong các trường THPT. Các giáo viên 
cần say mê chun mơn, tích cực tìm tịi nhiều ví dụ  trong thực tế, nghiêm túc từ 
khâu thiết kế bài giảng đến giảng dạy.
Học sinh: Cần tích cực, chủ động và sáng tạo giải quyết các vấn đề thực tế.  
Học sinh khi lĩnh hội được những nội dung sẽ giúp cho các em học tập hiệu quả 

hơn, có sự hứng thú cao hơn về các chủ đề tốn ứng dụng thực thế.
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng 
kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia 
áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có).
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng  
kiến theo ý kiến của tác giả: Sau khi áp dụng sáng kiến trong việc giảng dạy bản  
thân tơi thấy đạt được một số lợi ích sau.
Đối với giáo viên, việc áp dụng sáng kiến này khiến cho giáo viên say mê  
sáng tạo, tìm tịi các ví dụ thực tế của các bài học, để bài giảng trên lớp thêm sinh  
động, học sinh tích cực, chủ động sáng tạo, từ đó đem lại hiệu quả dạy học cũng 
cao hơn.
Đối với học sinh: Nắm chắc được lý thuyết, học tập hiệu quả  hơn, có sự 
hứng thú cao hơn về  các bài tốn liên quan đến vẽ  đồ  thị  vì nhìn thấy được tầm  
22


quan trọng trong thực tiễn của nó. Rèn luyện cho học sinh biết tư duy, biết quy lạ 
về quen, biết cách sử dụng các cơng cụ hợp lý để áp dụng cho từng bài tốn,  rèn  
luyện thành thạo kỹ  năng giải quyết các bài tốn thực tế  . Học sinh tích cực học  
hơn, tìm tịi các vấn đề  thực tế  liên quan tới bài học, tự  học hơn, u thích mơn 
tốn hơn. Đối với các bài học khác ln muốn tìm hiểu các vấn đề  thực tế  liên 
quan tới bài học.
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự  kiến có thể  thu được do áp dụng 
sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: 
Các cá nhân, tổ  chức khi áp dụng sáng kiến đều đánh giá: so với việc dạy học 
khơng có các ví dụ ứng dụng thực tế thì giờ giảng của giáo viên trở lên sinh động,  
hấp dẫn, khả năng chun mơn của giáo được nâng lên do phải tìm tịi nhiều ứng 
dụng thực tế cho các bài học khác. Cịn học sinh hứng thú hơn, chủ động, tích cực,  
sáng tạo, tìm tịi hơn để lĩnh hội tri thức, nhớ bài học nhanh và lâu hơn.
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng 

sáng kiến lần đầu.
Số 
TT
1
2

Tên tổ 

Địa chỉ

chức/cá nhân
Nguyễn Thu  Trường THPT Xn Hịa
Thùy
Tổ tốn

Trường THPT Xn Hịa

Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến
Dạy   học   chính   khóa   khối   10 
cụ thể lớp 10A7, 10A2
Dạy học chính khóa khối 10. 

C. KẾT LUẬN

Việc khai thác các ứng dụng sau tiết dạy “BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC 
NHẤT HAI ẨN” mà tơi trình bày trong SKKN này có thể chưa đầy đủ. Song tơi 
thiết nghĩ sau mỗi tiết dạy, bài dạy người thầy nên có thói quen định hướng cho 
học sinh khai thác và tìm tịi các ứng dụng của nó. Nhờ đó mà chúng ta giúp các em 
23

phát huy được trí lực, tư duy lơgic, tính sáng tạo cũng như tính chủ động, tích cực 
trong học tập nói chung và học tốn nói riêng. Đây cũng chính là mục đích của 
cơng cuộc đổi mới phương pháp giảng dạy mà ngành giáo dục đã, đang phát động 
và thực hiện lâu nay.
Sáng kiến kinh nghiệm này chỉ là một phần rất nhỏ nó là kinh nghiệm bản 
thân thu được qua q trình dạy. Tuy nhiên qua q trình áp dụng tơi thấy sáng 
kiến kinh nghiệm có thể sử dụng để học sinh lớp 10 có thể vận dụng để giải các 
bài tốn thực tế trong cuộc sống và học sinh lớp 12 trong trường ơn thi cho kỳ thi 
THPT Quốc gia và tuyển sinh đại học, cao đẳng.
.......,  

......., ngày.....tháng......năm...... ........, ngày.....tháng......năm.....

ngày....tháng.....năm......

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

Tác giả sáng kiến

Thủ trưởng đơn vị/

SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ

(Ký, ghi rõ họ tên)

Chính quyền địa phương

(Ký tên, đóng dấu)

(Ký tên, đóng dấu)

Nguyễn Thu Thùy

24


TÀI LIỆU THAM KHẢO
­ Sách giáo khoa, sách giáo viên Đại số lớp 10 ­ Chương trình cơ bản
­ Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản ­ NXB Giáo dục Việt Nam ­ Tái bản lần thứ 
năm ­ Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) ­ Vũ Tuấn (Chủ biên) 
­ Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao ­ NXB Giáo dục Việt Nam ­ Tái bản lần thứ 
năm ­ Đồn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan…   
­ Hướng dẫn thực hiện Chuẩn kiến thức, kỹ năng mơn Tốn.

25