Tài liệu Xác suất có điều kiện docx

P(B / A) P(B)
P(AB) P(A)P(B)
⇔ =
⇔ =
2
P(B / A)
4
=
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
1. Định nghĩa: Gọi A, B là hai biến cố của cùng một phép thử.
Xác suất có điều kiện của biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra, kí hiệu là P(B/A) với
P(A) > 0 là

( )
P AB
P(B / A)
P(A)
=
*Công thức cộng xác suất
P(A B) P(A) P(B) P(AB)+ = + −
*Công thức nhân xác suất
P(AB) P(A)P(B / A)
P(ABC) P(A)P(B / A)P(C / AB)
=
=
Mở rộng cho tích n biến cố:
1 2 n 1 2 1 n 1 2 n 1
P(A A A ) P(A )P(A / A ) P(A / A A A )
−
=
*Tính chất

P(B / A) 1 P(B / A)= −
A, B độc lập
* Công thức Bernoulli:
Định nghĩa: Dãy phép thử Bernoulli là dãy n phép thử thỏa mãn 3 điều kiện sau đây:
+ Các phép thử của dãy độc lập với nhau. Nghĩa là, kết quả của phép thử sau không phụ
thuộc vào các phép thử trước đó;
+ Trong mỗi phép thử chỉ có hai biến cố A hoặc
A
xảy ra;
+ Xác suất để biến cố A xảy ra trong mọi phép thử của dãy là như nhau và P(A) = p với
0 p 1< <
nên
P(A) 1 p q= − =
Công thức: Xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra k lần với xác suất mỗi lần A
xảy ra là p. Được ký hiệu là
k k n k
n n
P (k) C p q (k 0;n)
−
= =
gọi là công thức Bernoulli
2. Các ví dụ:
2.1 Ví dụ 1: Một bình đựng 3 bi xanh và 2 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên lần 1 một viên bi (không
bỏ vào lại), rồi lần 2 một viên bi. Tính xác suất để lần 1 lấy một viên bi xanh, lần 2 lấy một viên
bi trắng.
Lời giải:
Gọi A là biến cố lấy một bi xanh lần thứ nhất thì
Gọi B là biến cố lấy một bi trắng lần thứ hai.
Gọi C là biến cố lấy lần 1 một viên bi xanh, lần 2 một viên bi trắng
Nếu A đã xảy ra thì trong bình chỉ còn 2 bi xanh, 2 bi trắng . Khi đó

Mà
C AB=
. Do đó theo công thức nhân ta có:
3 1 3
P(C) P(AB) P(A)P(B / A)
5 2 10
= = = × =
2.2 Ví dụ 2: Trong một kì thi. Thí sinh được phép thi 3 lần. Xác suất lần đầu vượt qua kì thi
là 0,9. Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7. Nếu trượt cả hai lần thì xác
suất vượt qua kì thi ở lần thứ ba là 0,3. Tính xác suất để thí sinh thi đậu.
1
3
P(A)
5
=
1 2 n
n
1 2
n
A A A A
P(A) P(A ).P(A ) P(A )
5 5 5 5

6 6 6 6
=
=> =
 
= × × × =
 ÷
 

1 4 2 4 3
2
P(A)
20
⇒ =
Lời giải
Gọi A
i
là biến cố thí sinh thi đâu lần thứ i (i = 1;2;3)
Gọi B là biến cố để thí sinh thi đậu.
Ta có:
1 1 2
1 2 3
B A (A A ) (A A A )= ∪ ∪
Suy ra:
1 1 2
1 2 3
P(B) P(A ) P(A A ) P(A A A )= + +
Trong đó:
1
1 1 1
2 2
1 2 1 2 1 1 2
3 3
P(A ) 0,9
P(A A ) P(A ).P(A / A ) 0,1.0,7
P(A A A ) P(A ).P(A / A ).P(A / A A ) 0,1.0,3.0,3
=



= =


= =

Vậy:
P(B) 0,9 0,1.0,7 0,1.0,3.0,3 0,979= + + =
2.3 Ví dụ 3: Trong hộp có 20 nắp khoen bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã
trúng thưởng xe FORD”. Bạn được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp khoen, tính xác suất để cả
hai nắp đều trúng thưởng.
Lời giải :
Gọi A là biến cố nắp khoen đầu trúng thưởng.
B là biến cố nắp khoen thứ hai trúng thưởng.
C là biến cố cả 2 nắp đều trúng thưởng.
Khi bạn rút thăm lần đầu thì trong hộp có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng.
Khi biến cố A đã xảy ra thì còn lại 19 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng.
Do đó:
( )
1
P B / A
19
=
Từ đó ta có: P(C) = P(A). P(B/A) =
2 1 1
0,0053
20 19 190
× = ≈
Vậy xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng là 0,0053.
2.4 Ví dụ 4: Phải gieo ít nhất bao nhiêu lần một con súc sắc để xác suất có ít nhất một lần
xuất hiện mặt 6 lớn hơn hay bằng 0,9?

Lời giải
Giả sử số lần gieo là n
Gọi A
j
là biến cố gieo một lần thứ j được mặt 6
(1 j n)≤ ≤
Gọi A là biến cố có ít nhất một lần gieo được mặt 6.
Theo yêu cầu bài toán:
P(A) 0,9≥
Ta có:
Do đó:
n
5
0,1 n 13
6
 
≤ ⇒ ≥
 ÷
 
Vậy ta phải gieo ít nhất 13 lần.
2.5 Ví dụ 5: Có hai hộp: (I) và (II). Hộp (I) có 4 bi đỏ và 5 bi vàng. Hộp (II) có 6 bi đỏ và 4
bi vàng. Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên 1 bi. Tính xác suất để lấy được bi đỏ.
2
n lần
(vì
1 2 3
A ,A , ,A
độc lập nhau)
Lời giải:
Gọi A là biến cố chọn được hộp (I)

B là biến cố chon được hộp (II)
H là biến cố chọn được bi đỏ ở hộp (I) hoặc hộp (II)
Cần tính:
P(C) P((AH) (BH))= ∪

Suy ra:
P(C) P(AH) P(BH) P(A).P(H / A) P(B).P(H / B)= + = +
Trong đó:
1 1
P(A) ; P(B)
1 4 1 6 47
2 2
P(C)
4 6
2 9 2 10 90
P(H / A) ; P(H / B)
9 10

= =


⇒ = × + × =


= =


Vậy xác suất cần tìm là
47
90

2.6 Ví dụ 6:Trong hộp có 3 bi trắng và 7 bi đỏ,lấy lần lượt mỗi lần một viên và không trả
lại,hãy tính:
a)Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất là
màu đỏ.
b)Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất là
màu trắng.
Lời giải.
a)Nếu viên bi lấy lần thứ nhất là màu đỏ thì trong hộp còn lại 9 viên:trong đó có 3 bi trắng và
6 bi đỏ.
Vậy xác suất cần tính là
6 2
9 3
=
b)Nếu đã biết viên bi lấy lần thứ nhất màu trắng,thế thì trong hộp còn lại 9 viên,gồm hai viên
bi trắng và 7 bi đỏ.
Vậy xác suất cần tính là
7
9
Nhận xét:Trong bài toán nêu trên nếu ta gọi A là biến cố:viên bi lấy lần thứ nhất màu đỏ,B là
biến cố:viên bi lấy lần thứ hai màu đỏ thì xác suất ở câu a là
P(B / A)
và xác suất ở câu b là
P(B / A)
2.7 Ví dụ 7: Một bình đựng 5 bi xanh và 3 bi đỏ chỉ khác nhau về màu sắc,lấy ngẫu nhiên
một bi,rồi lấy một bi nữa.Tính xác suất của biến cố “lấy lần thứ hai được một bi xanh”.
Lời giải.
Gọi A là biến cố “lấy lần thứ nhất được bi xanh”
B là biến cố “lần thứ hai lấy được bi xanh”
Vì B chỉ xảy ra cùng với A hoặc
A

,nên
C (BA) (BA)= ∪
.
Cần tính:
P(C) P((BA) (BA))= ∪
Áp dụng công thức xác suất có điều kiện, ta có:
P( C)=P(A)
P(B / A)
+P(
A
).
P(B / A)
Do P(A)=
3
8
,P(
A
)=
5
8
,
P(B / A)
=
5
7
,
P(B / A)
=
4
7

Suy ra
3 5 5 4 5
P(C)
8 7 8 7 8
= × + × =
3
2.8 Ví dụ 8: Một con súc sắc cân đối, đồng chất được gieo 4 lần. Gọi X là số lần xuất hiện
mặt 6 chấm. Hãy tính xác suất để có ít nhất hai lần xuất hiện mặt 6 chấm.
Lời giải:
Áp dụng công thức Bernoulli, ta có:
2
1
4
3
4
4
4
4
1 1 5
P(X 2) C
6 6 6
1 1 1 5
P(X 3) C
6 6 6 6
1
P(X 4) C
6
 
= = × ×
 ÷

 
= = × × ×
 
= =
 ÷
 
Vậy xác suất cần tính là:
2 4
1 3 4
4 4 4
1 1 5 1 1 1 5 1 19
C C C
6 6 6 6 6 6 6 6 144
   
× × + × × × + × =
 ÷  ÷
   
III.Bài tập đề nghị
1)Trong một lô sản phẩm có 95% sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong đó có 60% sản phẩm loại một.ta
lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô sản phẩm này.Tính xác suất để lấy được sản phẩm loại một.
2) Một lô hàng gồm 5 sản phẩm trong đó có 1 sản phẩm giả. Người ta lấy lần lượt từng sản phẩm
ra kiểm tra cho đến khi gặp phế phẩm thì dừng. Tính xác suất dừng lại ở lần kiểm tra thứ 1;2;3;4.
3) Có hai hộp bút: hộp I có 2 bút đỏ và 10 bút xanh; hộp II có 8 bút đỏ và 4 bút xanh. Chọn ngẫu
nhiên từ mỗi hộp ra một bút. Tính xác suất để có 1 bút xanh và 1 bút đỏ.
4) Biết xác suất để một học sinh thi đậu ở lần thi thứ nhất, thứ hai lần lượt là 0,9 và 0,6. Tính xác
suất để học sinh ấy thi đậu trong kì thi, biết rằng mỗi học sinh được phép thi tối đa 2 lần.
5) Trong thùng có 30 bi: 20 bi trắng và 10 bi đen. Lấy liên tiếp 4 bi trong đó mỗi bi lấy ra đều
hoàn lại trước khi lấy bi tiếp theo và các bi đều được trộn lại . Hỏi xác suất để trong 4 bi lấy ra có
2 bi trắng.
6) Xác suất xuất hiện biến cố A là 0,4. Hỏi xác suất để trong 10 phép thử biến cố xuất hiện

không quá 3 lần.
7) Một bác sỹ có xác suất chữa khỏi bệnh cho bệnh nhân là 0,8. Có người nói rằng cứ 10 người
đến chữa bệnh thì có chắc chắn 8 người khỏi bệnh. Điều đó có đúng không?
Tài liệu tham khảo.
[1] Nguyễn Văn Nho-Phương Pháp Giải Các Dạng Toán Đại Số và GiảiTích11,NXBĐHSP,2007
[2] Tống Đình Quỳ-Giáo Trình Xác Suất Thống Kê,NXB Bách Khoa Hà Nội-Hà Nội
[3] Trần Minh Quang-Đào Bảo Dũng- 206 Bài Tập Nâng Cao và 171 Câu Hỏi Trắc Nghiệm Đại
Số và Giải Tích 11,NXBĐHQG Hà Nội
[4] Lê Khánh Luận-Lý thuyết xác suất thống kê,NXB Tổng Hợp TPHCM,2008
4