CHUYÊN ĐỀ ĐA GIÁC. ĐA GIÁC ĐỀU

Giaovienvietnam.com

ĐA GIÁC. ĐA GIÁC ĐỀU
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng
chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.
2. Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.
3. Bổ sung
 Tổng các góc trong của đa giác n cạnh (n > 2) là (n - 2). 180�
(n - 3).n
.
2
 Số đường chéo của một đa giác n cạnh (n > 2) là
 Tổng các góc ngồi của đa giác n cạnh (n > 2) là 360° (tại mỗi đỉnh chỉ chọn
một góc ngồi).
 Trong một đa giác đều, giao điểm O của hai đường phân giác của hai góc là
tâm của đa giác đều. Tâm O cách đều các đỉnh, cách đều các cạnh của đa
giác đều. Có một đường trịn tâm O đi qua các đỉnh của đa giác đều gọi là
đường trịn ngoại tiếp đa giác đều.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
�
Ví dụ 1. Cho ngũ giác đều ABCDE và một điểm P sao cho DPE đều. Tính APC .

Giải. Ta xét hai trường hợp :


Giaovienvietnam.com

Hình 48
 Nếu P ở trong ngũ giác (h.48) thì:
� = CDP

� = 108° - 60° = 48°.
AEP

Từ  AEP ;  CDP cân ta có
� = CPD
� =  180° - 48°  : 2 = 66°.
APE

�
Vậy APC = 360° - 60° - 2.66° = 168°.

Hình 49


Giaovienvietnam.com
 Nếu P ở phía ngồi ngũ giác (h.49) thì:
�EP = CDP
� = 108° + 60° = 168°
 A
� = CPD
� =  l80° - 168°  : 2 = 6°.
=> APE
�
Vậy APC = 60° - 2.6° = 48°.

Ví dụ 2. Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi M là trung điểm EF và N là trung điểm
của BĐ. Chứng minh rằng AMN là tam giác đều.
Giải. (h.50)

Gọi I, K là trung điểm của AB,CD. Ta có BCNI là hình bình hanh.

=> BI // CN, BI = CN => AI // CN ; AI = CN
=> AICN là hình bình hành => CI = AN
+ Ta có MNKE là hình bình hành, suy ra MN = KE.
+ Mặt khác :  BCI =  DEK =  FAM (c.g.c)
=> CI = EK = MA
=> AN = MN = AM hay  AMN đều.


Giaovienvietnam.com
Ví dụ 3. Chứng minh rằng tổng độ dài các cạnh của một ngũ giác lồi bé hơn tổng
độ dài các đường chéo của nó.
Giải (h.51).

Áp dụng tính chất về quan hệ các cạnh của tam giác, ta có :
AB+BC+CD+DE+EA<(AN+NB)+(BP+PQ+(OQ+QD)+(DK+KE)+(EM+MA).
Mặt khác : AN + PC < AC
BP + DQ < BD
CQ + KE < CE
DK + MA < DA
EM + NB < EB.
Suy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét. Những bài toán về bất đẳng thức về độ dài, ta nên đưa về bất đẳng thức
tam giác.
C. BÀI TẬP


Giaovienvietnam.com
1. Cho ngũ giác lồi ABCDE. Gọi M, N, P, R H và K lần lượt là trung điểm AB, BC,
1
CD, DE, MP và NR. Chứng minh rằng HK song song với AE và HK = 4 AE.

2. Cho ngũ giác lồi ABCDE, gọi M, P, N, Q lần lượt là các trung điểm AB, BC,
DE, EA. Chứng minh MN đi qua trung điểm PQ khi và chỉ khi MN // CD.
3. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M bất kì nằm trong tam giác. Gọi
A1 ; B1 ; C1

là các điểm đối xứng với M lần lượt qua trung điểm các cạnh BC, CA,

AB.
a) Chứng minh AA1 ; BB1 ; CC1 đồng quy ;
b) Xác định vị trí của M để hình lục giác AB1 CA1 BC1 có các cạnh bằng nhau.
4. Cho lục giác lồi ABCDEF. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD,
EF và R, S, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AF, BC, DE. Chứng minh rằng hai
tam giác MNP và RSQ trọng tâm trùng nhau.
5. Một đa giác lồi có tất cả các đường chéo bằng nhau. Hỏi đa giác có thể có nhiều
nhất bao nhiêu cạnh ?
6. Chứng minh, rằng trong một ngũ giác lồi ln có thể chọn được ba đường chéo
để từ đó dựng được một tam giác.
7. Cho lục giác lồi ABCDEF có độ dài các cạnh đều bằng 1. Chứng minh rằng
trong ba đoạn AD, BE, CF tồn tại một đoạn có độ dài khơng lớn hơn 2.
8. Một lục giác lồi có tất cả các góc trong bằng nhau. Chứng minh hiệu giữa các
cặp cạnh đối diện thì bằng nhau.


Giaovienvietnam.com
9. Cho ngũ giác lồi ABCDE có các cạnh bằng nhau và các góc trong đều bé hơn
120�
. Chứng minh rằng các góc của ngũ giác lồi này đều là góc tù.

10. Cho đa giác đều 9 cạnh. Người ta đánh dấu mỗi đỉnh của đa giác bằng màu

xanh hoặc màu đỏ. Chứng minh tồn tại 3 đỉnh của tam giác cân được, đánh cùng
màu.