Tài liệu Ôn tập hình học 12 nâng cao (đầy đủ) pdf

I . ÔN KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI TRÒN XOAY
A:KHỐI ĐA DIỆN
I/ Các công thức về khối đa diện
Thể tích khối hộp chữ nhật: V= abc ( a,b,c là 3 kích thước)
Thể tích khối lập phương : V = a
3
(a là cạnh khối lập phương)
Thể tích khôi chóp: V =
Bh
3
1
( B diện tích đáy, h chiều cao)
Thể tích khối lăng trụ: V = Bh ( B diện tích đáy,h chiều cao)
Chú ý:
- Nếu hai khối đa diện đồng dạng theo tỉ số k thì thể tích tương ứng tỉ lệ theo tỉ số k
3

II/ Bài tập: 1/ KHỐI CHÓP
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, biết cạnh bên SA vuông góc với
mặt đáy và SA=a
2

a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
b/ Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh mp(SAI) vuông góc với mp(SBC). Tính thể tích của khối
chóp SAIC theo a .
c/ Gọi M là trung điểm của SB Tính AM theo a
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết SA vuông góc với mặt đáy và
SA=AC , AB=a và góc
·
0
45

ABC =
. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài 3 :Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có canh bằng 2 6 .Điểm
M,N là trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng.Tính thể tích khối chóp SAMN
Bài 4: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và cạnh bên gấp hai lần cạnh
đáy
a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
b/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
c / Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối chóp .Hãy kể tên 2 kchóp đó
Bài 5:Cho hình chóp tứ giác đều SABCD đỉnh S, độ dài cạnh đáy AB=a và góc SAB=60
o
. Tính thể tích
hình chóp SABCD theo a
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là hìnhvuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a.
Tính đường cao và thể tích khối chóp theo a.
2/ KHỐI LĂNG TRỤ, HỘP
Bài 1 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a .
a/ Tính thể tích khối LP theo a
b/ Tính thể tích của khối chóp A. A’B’C’D’ theo a .
Bài 2 : Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a .
a/ Tính thể tích khối lăng trụ theo a .
b/ Tính thể tích của khối chóp A’. ABC theo a .
B:KHỐI TRÒN XOAY
I/Tóm tắt lý thuyết:
1/Công thức tính diện tích và thể tích khối nón
S
xq
=
R.l
.

π
với R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh
V=
=
π
2
R
ñ
1 1
.cao
3 3
d .h
s
với R là bán kính đáy, h là chiều cao của hình chóp.
2/ Công thức tính diện tích và thể tích khối trụ
S
xq
= 2
R.l
.
π
với R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh
V=
=π
2
S d.cao R .h
ñ
với R là bán kính đáy, h là chiều cao của hình trụ.
3/ Công thức tính diện tích và thể tích khối cầu:

3
4
4 V .R
3
= π = π
MC
2
S R
với R là bán kính của hình cầu.
II/ BÀI TẬP:
1- KHỐI NÓN
Bài 1: Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a.
a. tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón
b. tính thể tích của khối nón
Bài 2: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.
a/Tính diện tích xung quanh và của hình nón
b/Tính thể tích của khối nón
Bài 3: Một hình nón có đường sinh là l=1 và góc giữa đường sinh và đáy là 45
0

a. Tình diện tích xung quanh của hình nón
b. tính thể tích của khối nón.
Bài 4: Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc IOM bằng 30
0
và cạnh IM = a. khi quay tam
giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay.
a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay.
b/ Tính thể tích của khối nón tròn xoay
Bài 5: Cho hình nón đỉnh S đường cao SO, A và B là hai điểm . Thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng
cách từ điểm O đến AB bằng a và SAO = 30

0
, SAB = 60
0
.
a. Tính độ dài đường sinh và diện tích xung quanh theo a
b. Tính thể tích của khối nón
Bài 6: Một khối tứ diện đều cạnh a nội tiếp một khối nón. Tính thể tích của khối nón đó.
Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và góc SAB =
α
(
α
> 45
0
). Tính diện
tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đtròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD.
2/- Khối trụ
Bài 1: Một khối trụ có bán kính r = 5cm, khoảng cách hai đáy bằng 7cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng
song song với trục cách trục 3cm.
a. Tính diện tích của thiết diện và diện tích xung quanh
b. Tính thể tích khối trụ
Bài 2: Thiết diện chứa trục của khối trụ là hình vuông cạnh a
a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ
b. Tính thể tích khối trụ
Bài 3: Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một htrụ trònxoay
a/Tính d tích xung quanh của hình trụ.
b/Tính thể tích của khối trụ
Bài 4: Một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4 nội tiếp một khối trụ. Tính
thể tích khối trụ đó
Bài 5: Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c nội tiếp trong một khối trụ.

a. Tính thể tích của khối trụ.
b. Tính diện tích xung quanh của hình trụ
Bài 6: Một khối trụ có chiều cao bằng 20cm và có bán kính đáy
bằng 10cm. Người ta kẻ hai bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau
một góc 30
0
. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của
khối trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện.
Bài 7: Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng 3R ;
A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 30
0
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của h trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
Bài 8: Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a/Tính diện tích xung quanh của h trụ.
b/Tính thể tích của khối trụ tương đương.
3/ KHỐI CẦU
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và
)(ABCSA
⊥
.
a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A, B, C, S cùng
nằm trên mặt cầu tâm O bán kính
2
SC
R =
.
b) Cho SA = BC = a và
2aAB =

. Tính bán kính mặt cầu
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh
a,
)(ABCDSA
⊥
và 3aSA = . Gọi O là tâm hình vng ABCD và Klà hình chiếu của Btrên SC
a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vng. Suy ra năm điểm S, D, A, K
B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB.
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh
bên đều bằng a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D.
II .TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

*1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3
1 1
2 2 2
1 2 3 2 2
3 3
1 1 2 2 3 3
1. ( , , ) 2.
3. , , 4. k.a , ,
5. a 6. a
7. a. . . . 8. a //
B A B A B A B A B A B A
AB x x y y z z AB AB x x y y z z
a b a b a b a b ka ka ka

a b
a a a b a b
a b
b a b a b a b b a
= − − − = = − + − + −
± = ± ± ± =
=


= + + = ⇔ =


=

= + + ⇔ =
uuur uuur
r r r
r r r
r r r r r
31 2
1 2 3
2 3 3 1 1 2
1 1 2 2 3 3
2 3 3 1 1 2
. 0
9. a . 0 . . . 0 10. a , ,
aa a
k b a b
b b b
a a a a

a a
b ab a b a b a b b
b b b b
b b
⇔ ∧ = ⇔ = =
 
⊥ ⇔ = ⇔ + + = ∧ =
 
 
r r r r
r r r r r r

cb,,a .11
đồng phẳng
(
)
0. =∧⇔ cba

cb,,a .12
khơng đồng phẳng
(
)
0. ≠∧⇔ cba

13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1:







−
−
−
−
−
−
k
kzz
k
kyy
k
kxx
M
BABABA
1
,
1
,
1

14. M là trung điểm AB:






+++
2

,
2
,
2
BABABA
zzyyxx
M

15. G là trọng tâm tam giác ABC:






++++++
,
3
,
3
,
3
CBACBACBA
zzzyyyxxx
G

16. Véctơ đơn vị :
)1,0,0();0,1,0();0,0,1(
321
=== eee

17.
OzzKOyyNOxxM
∈
∈
∈
),0,0(;)0,,0(;)0,0,(

18.
OxzzxKOyzzyNOxyyxM
∈
∈
∈
),0,(;),,0(;)0,,(
19.
2
3
2
2
2
1
2
1
2
1
aaaACABS
ABC
++=∧=
∆

20.

ADACABV
ABCD
).(
6
1
∧=
21.
/
.
).(
////
AAADABV
DCBAABCD
∧=
2.CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác
• A,B,C là ba đỉnh tam giác ⇔

[
→→
AC,AB
] ≠
0
r


• S
∆ABC
=
2

1

→→
AC],[AB
*Đường cao AH =
BC
S
ABC∆
.2
*S
hbh
=
→→
AC],[AB

Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
• Chứng minh A,B,C không thẳng hàng
• ABCD là hbh
⇔

DCAB =

Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:
• [
→→
AC,AB
].
→
AD
≠ 0

• V
td
=
6
1
→→→
AD.AC],[AB

Đường cao AH của tứ diện ABCD:
AH
SV
BCD
.
3
1
=

⇒

BCD
S
V
AH
3
=

• Thể tích hình hộp :
[
]
/

.
.;
////
AAADABV
DCBAABCD
=
Dạng 4:Hình chiếu của một điểm M trên các trục tọa độ và trên các mp tọa độ:
Cho điểm M ( x , y , z ). Khi đó:
+ M
1
là hình chiếu của điểm M trên trục Ox thì M
1
( x , 0 , 0 )
+ M
2
là hình chiếu của điểm M trên trục Oy thì M
2
( 0 , y , 0 )
+ M
3
là hình chiếu của điểm M trên trục Oz thì M
3
( 0 , 0 , z )
+ M
4
là hình chiếu của điểm M trên mpOxy thì M
4
( x , y , 0 )
+ M
5

là hình chiếu của điểm M trên mpOxz thì M
5
( x , 0 , z )
+ M
6
là hình chiếu của điểm M trên mpOyz thì M
6
( 0 , y , z )
1. H là hình chiếu của M trên mpα
§ Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vng góc mp (α) : ta có
α
na
d
=

§ Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)
§ Viết phương trình mpα qua M và vng góc với (d): ta có
d
an =
α

§ Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
Dạng 5 : Điểm đối xứng
1.Điểm M
/
đối xứng với M qua mpα
§ Tìm hình chiếu H của M trên mp (α) (dạng 4.1)
§ H là trung điểm của MM
/

2.Điểm M
/
đối xứng với M qua đường thẳng d:
§ Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng 4.2)
§ H là trung điểm của MM
/
.
§
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
B1: Cho ba vectơ
→
a
= ( 2;1 ; 0 ),
→
b
= ( 1; -1; 2) ,
→
c
= (2 ; 2; -1 ).
a) Tìm tọa độ của vectơ :
→
u
= 4
→
a
- 2
→
b
+ 3

→
c
b) Chứng minh rằng 3 vectơ
→
a
,
→
b
,
→
c
khơng đồng
phẳng .
B2: Cho 3 vectơ
→
a
= (1; m; 2),
→
b
= (m+1; 2;1 ) ,
→
c
= (0 ; m-2 ; 2 ). Định m để 3 vectơ đó đồng phẳng .

B3: Cho:
( ) ( ) ( )
2; 5;3 , 0;2; 1 , 1;7;2
a b c
→ → →
= − = − =

. Tìm tọa độ của vectơ: a)
1
4 3
2
d a b c
→ → → →
= − +
b)
4 2
e a b c
→ → → →
= − −

B4: Tìm tọa độ của vectơ
x
→
, biết rằng:
a)
0
a x
→ → →
+ =
và
( )
1; 2;1
a
→
= −
b)
4

a x a
→ → →
+ =
và
( )
0; 2;1
a
→
= −

B5: Cho ba điểm khơng thẳng hàng:
(1;3;7), ( 5;2;0), (0; 1; 1).
A B C
− − −
Hãy tìm tọa độ trọng tâm G của
tam giác ABC.
B6: Cho bốn diểm khơng đồng phẳng :
(2;5; 3), (1;0;0), (3;0; 2), ( 3; 1;2).
A B C D
− − − −
Hãy tìm tọa độ trọng
tâm G của tứ diện ABCD.
B7; Cho điểm M(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của điểm M:
a) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz.
B8: Cho điểm M(1 ; 2 ; 3). Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M:
a) Qua gốc tọa độ O b) Qua mặt phẳng Oxy c) Qua Trục Oy.
B9: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tìm tọa độ của các
đỉnh còn lại.
B10: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại điểm M.
a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? b) Tìm tọa độ điểm M.

4;BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài11. Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tính chu vi và diện tích ∆ABC.
c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành. d) Tính độ dài đường cao của ∆ABC hạ từ
đỉnh A.
e) Tính các góc của ∆ABC.
Bài12Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tìm góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
c) Tính thể tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
Bà1i3. Cho ∆ ABC biết A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). Hãy tìm độ dài đường phân giác trong của
góc B.
Bài14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D tạo thành tứ diện. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.
b) Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh C của tứ diện đó.
c) Tính độ dài đường cao của tam giác ABD hạ từ đỉnh B.
d) Tính góc ABC và góc giữa hai đường thẳng AB, CD.
Bài15. Cho 3 điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a) Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành .
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường chéo.
c) Tính diện tích tam giác ABC, độ dài BC từ đó đường cao tam giác ABC vẽ từ A.
Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC .
Bài16:Cho 4 điểm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a) Chứng minh 4 điểm A, B , C , D không đồng phẳng.Tính thể tích tứ diện ABCD
b) Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD .
c) Tính diện tích tam giác ABC , từ đó suy ra chiều cao của tứ diện vẽ từ D.
d) Tìm tọa độ chân đường cao của tứ diện vẽ từ D .
Bài17:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) Tìm độ dài các cạnh của tm giác ABC. b) Tính cosin các góc A,B,C .

c) Tính diện tích tam giác ABC

III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ pháp tuyến của mp
α
:
n
r
≠
0
r
là véctơ pháp tuyến của α
⇔

n
r
⊥ α
2. Cặp véctơ chỉ phương của mp
α
:
a
r

b
r
là cặp vtcp của α
⇔
a
r

,
b
r
cùng // α
3 Quan hệ giữa vtpt
n
r
và cặp vtcp
a
r
,
b
r
:
n
r
= [
a
r
,
b
r
]
4. Pt mp
α
qua M(x
o
; y
o
; z

o
) có vtpt
n
r
= (A;B;C)
A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0

(α) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có
n
r
= (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :
1
c
z
b
y
a
x
=++

Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
//

7. Chùm mặt phẳng :
Giả sử α
1
∩ α
2
= d trong đó: (α
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0 (α
2
): A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
Pt mp chứa (d) có dạng sau với m
2
+ n
2

≠ 0 : m(A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
) + n(A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
) = 0
8. Vị trí tương đối của hai mp (α
1
) và (α
2
) :

°
222111
C
:
B
:
A

C
:
B
:
A
caét
≠⇔βα

°
2
1
2
1
2
1
2
1
//
D
D
C
C
B
B
A
A
≠==⇔
βα

°

2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
===⇔≡
βα

ª
0
212121
=++⇔⊥ CCBBAA
βα


9.KC từ M(x
0
,y
0

,z
0
) đến (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0
222
ooo
CBA
D Cz By Ax
++
+++
=)d(M,
α

10.Góc giữa hai mặt phẳng:
21
21
.
.
nn
nn
rr
r
r
=),cos(
βα

2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
° Cặp vtcp:

→
AB
,
→
AC
°
]
)(
→→
= AC , AB[nvtpt
qua
r
ChayBhayA
α

Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
°
→
= AB vtpt
AB ñieåm trungMqua
n
r
α

Dạng 3: Mặt phẳng (
α
) qua M và
⊥
d (hoặc AB)
°

) ( AB
n
→
⊥
=
d
a vtpt neân (d) Vì
Mqua
r
α
α

Dạng 4: Mp
α
qua M và // (
β
): Ax + By + Cz + D = 0
°
βα
βα
α
n n vtpt neân // Vì
M qua
rr
=

Dạng 5: Mp(
α
) chứa (d) và song song (d
/

)
§ Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
§ Mp(α) chứa (d) nên
α
aa
d
=
Mp(α) song song (d
/
) nên
α
ba
d
=
/

■ Vtpt
[
]
/
,
d
d
aan =

Dạng 6 Mp(
α
) qua M,N và
⊥

β
: ■ Mp (α) qua M,N nên
α
aMN =

■ Mp (α) ⊥ mp (β) nên
αβ
bn =

°
],[
β
α
n nvtpt
N) (hayM qua
rr
→
= MN

Daùng 7 Mp(

) chửựa (d) vaứ ủi qua M
Mp(

) chửựa d neõn

aa
d
=

Mp(

) ủi qua
)(dM

vaứ A neõn

bAM =
.=>(
],[ AM nvtpt
A qua

=
d
a
r


3.BI TP P DNG
Bi toỏn 1. Phng trỡnh mt phng
Bi 1: Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua im M v cú vtpt
n
r
bit
a,
(
)
(
)
M 3;1;1 , n 1;1;2

=
r
b,
(
)
(
)
M 2;7;0 , n 3;0;1
=
r

c,
(
)
(
)
M 4; 1; 2 , n 0;1;3
=
r
d,
(
)
(
)
M 2;1; 2 , n 1;0;0
=
r

Bi 2: Lp phng trỡnh mt phng trung trc ca AB bit:
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5)

c,
1 1
A ; 1;0 , B 1; ;5
2 2




c,
2 1 1
A 1; ; , B 3; ;1
3 2 3





Bi 3: Lp phng trỡnh mt phng
(
)

i qua im M v song song vi mt phng
(
)

bit:
a,
(
)
(

)
(
)
M 2;1;5 , Oxy
=
b,
(
)
(
)
M 1;1;0 , :x 2y z 10 0
+ =

c,
(
)
(
)
M 1; 2;1 , : 2x y 3 0
+ =
d,
(
)
(
)
M 3;6; 5 , : x z 1 0
+ =

Bi 4 Lp phng trỡnh ca mt phng (P) i qua im M(2;3;2) v cp VTCP l
(2;1;2); (3;2; 1)

a b

r r

Bi 5: Lp phng trỡnh ca mt phng (P) i qua M(1;1;1) v
a) Song song vi cỏc trc 0x v 0y. b) Song song vi cỏc trc 0x,0z.
c) Song song vi cỏc trc 0y, 0z.
Bi 6: Lp phng trỡnh ca mt phng i qua 2 im M(1;-1;1) v B(2;1;1) v :
a) Cựng phng vi trc 0x. b) Cựng phng vi trc 0y.
c) Cựng phng vi trc 0z.
Bi 7: Xỏc nh to ca vộc t
n
vuụng gúc vi hai vộc t
(6; 1;3); (3;2;1)
a b
r r
.
Bi 8: Tỡm mt VTPT ca mt phng (P) ,bit (P) cú cp VTCP l
)4,2,3( );2,7,2( ba

Bi 9: Lp phng trỡnh tng quỏt ca mt phng (P) bit :
a) (P) i qua im A(-1;3;-2) v nhn
);4,3,2(n
lm VTPT.
b) (P) i qua im M(-1;3;-2) v song song vi (Q): x+2y+z+4=0.
Bi 10: Lp phng trỡnh tng quỏt ca cỏc mt phng i qua I(2;6;-3) v song song vi cỏc mt phng
to .
Bi1 1:Trong khụng gian 0xyz cho im A(-1;2;3) v hai mt phng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .Vit phng trỡnh mt phng (R) i qua im A v vuụng gúc vi hai mt phng (P),(Q).
4;BI TP V NH

Bi12: Cho t din ABCD cú A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a) Vit phng trỡnh tng quỏt cỏc mt phng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b) Vit phng trỡnh tng quỏt ca mt phng (P) i qua cnh AB v song song vúi cnh CD.
Bi13: Vit phng trỡnh tng quỏt ca (P)
a) i qua ba im A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b) i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) v vuụng gúc vi mt phng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Cha 0x v i qua A(4;-1;2) ,
d) Cha 0y v i qua B(1;4;-3)
Bi 14: Cho hai im A(3;2;3) B(3;4;1) trong khụng gian 0xyz
a) Vit phng trỡnh mt phng (P) l trung trc ca AB.
b) Vit phng trỡnh mt phng (Q) qua A vuụng gúc vi (P) v vuụng gúc vi mt phng y0z
c) Vit phng trỡnh mt phng (R) qua A v song song vi mt phng (P).

IV .ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua
M(x
o
;y
o
;z
o
) có vtcp
a
r
= (a
1
;a
2
;a

3
)

Rt;
tazz
tayy
t
a
x
x
(d)
3o
2o
1o
∈





+=
+=
+=
:

2.Phương trình chính tắc của (d)

32
a
z-z

a
yy
a
xx
(d)
o
1
o 0
: =
−
=
−

3.PT tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp α
1
và α
2





=+++
=+++
0 DzBxA
0


D
z

B
x
A
(d)
2222
1111
Cy
Cy
:

Véctơ chỉ phương








=
22
11
22
11
22
11
,,
BA
BA
AC

AC
CB
CB
a

4.Vị trí tương đối của 2 đường thẳng :
(d) qua M có vtcp
d
a
r
; (d’) qua N có vtcp
/
d
a

§ d chéo d’
⇔
[
d
a
r
,
/
d
a
].
→
MN
≠ 0
(không đồng phẳng)

§ d,d’ đồng phẳng
⇔
[
d
a
r
,
/
d
a
].
→
MN
= 0

§
d,d’ cắt nhau
⇔
[
d
a
r
,
/
d
a
]
0≠
và [
d

a
r
,
/
d
a
].
→
MN
=0
§
d,d’ song song nhau
⇔
{
d
a
r
//
/
d
a
và )(
/
dM ∉ }

§ d,d’ trùng nhau
⇔
{
d
a

r
//
/
d
a
và )(
/
dM ∈ }
5.Khoảng cách :
Cho (d) qua M có vtcp
d
a
r
; (d’) qua N có vtcp
/
d
a

Kc từ điểm đến đường thẳng:
d
d
a
AMa
dAd
];[
),( =

Kc giữa 2 đường thẳng :
];[
].;[

);(
/
/
/
d
d
d
d
aa
MNaa
ddd =

6.Góc : (d) có vtcp
d
a
r
; ∆’ có vtcp
/
d
a
; (α ) có vtpt
n
r


Góc giữa 2 đường thẳng :
/
/
.
.

'
d
d
d
d
aa
aa
r
r
=)dcos(d,

Góc giữa đường và mặt :
na
na
d
d
rr
r
r
.
.
=
)sin(d,
α

2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B





= ABaVtcp
hayBquaA
d
d
)(
)(

Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (
∆
)
Qui ước:
Mẫu = 0 thì Tư = 0


∆
=∆ a
d
a vtcp neân )( // (d) Vì
qua
rr
A
d )(

Dạng 3: Đườ ng thẳng (d) qua A và vuông góc mp(
α
)
α
α
n

d
a vtcp neân )( (d) Vì
qua
rr
=⊥
A
d )(

Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên
α
: d
/
=
α

∩

β

§ Viết pt mpβ chứa (d) và vuông góc mpα

( )
( ) ( )








=⇒
=⇒⊥
=⇒⊃
∈
];[
)()(
)(
αβ
βα
β
αβ
β
β
nan
bn
aad
dquaM
d
d
ª



)(
)(
)(
/
β
α
d

Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d
1
),(d
2
)
]
d
a ,
d
a [ avtcp
qua
1 2
)(
rrr
=
A
d
Dạng 6: PT d vuông góc chung của d
1
và d
2
:
+ Tìm
d
a
= [
a
r
d1

,
a
r
d2
] + Mp (α) chứa d
1
, (d)
; mp(β)
chứa d
2
, (d)
⇒
d = α ∩ β
Dạng 7: PT qua A và d cắt d
1
,d
2
: d = (
α
)
∩
(
β
) với mp(α) = (A,d
1
) ; mp(β) = (A,d
2
)
Dạng 8: PT d //
∆

và cắt d
1
,d
2
: d = (
α
1
)
∩
(
α
2
) với mp (α
1
) chứa d
1
// ∆ ; mp (α
2
) chứa d
2
//
∆
Dạng 9: PT d qua A và
⊥
d
1
, cắt d
2
: d = AB với mp (α) qua A, ⊥ d
1

; B = d
2
∩ (α)
Dạng 10: PT d
⊥
(P) cắt d
1
, d
2
: d = (
α
)
∩
(
β
) với mp(α) chứa d
1
,⊥(P) ; mp(β) chứa d
2
, ⊥
(P)
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1:Lp phương trình đưng thẳng (d) trong các trưng hỵp sau :
a) (d) đi qua điĨm M(1;0;1) và nhn
(3;2;3)
a
r
làm VTCP
b) (d) đi qua 2 điĨm A(1;0;-1) và B(2;-1;3)
Bài 2: Trong không gian Oxyz lp phương trình giao tuyn cđa

( ): -3 2 -6 0
P x y z
+ =
và các mỈt phẳng toạ
đ
Bài 3: Vit phương trình cđa đưng thẳng đi qua điĨm M(2;3;-5) và song song với đưng thẳng (d) c phương
trình:
( )
R t,
21
22: ∈





+=
+=
−=
tz
ty
tx
d

Bài 4: Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình là :
( )
R t,
21
22: ∈






+=
+=
−=
tz
ty
tx
d
và (P):
x+y+z+1=0
Tìm phương trình của đường thẳng (
<
) đi qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc
với đường thẳng (d)
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). Viết phương trình tham số của
đường thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó
Bài6: Lập phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm A(2;1;3) và vuông góc với
mặt phẳng

( ): 2 3 -4 0
P x y z
+ + =
.
4;BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 7: Lập phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;3) và song song với
đường thẳng (
∆

) cho bởi :
( )
2 2
: 3 t
3
x t
y t R
z t
= +


∆ = − ∈


= − +

.
Bài8: Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:
a)
( )
R t,
2
3
1
: ∈






+=
−=
+=
tz
ty
tx
d
(P): x-y+z+3=0 b)
( )
R t,
1
9
412
: ∈





+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
(P): y+4z+17=0
Bài 9: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) có phương trình (P): 2x+y+z=0 và
( )
3

2
1
2
1
:
−
+
==
−
zyx
d
.
a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) .
b) Lập phương trình đường thẳng (d
1
) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P) .
Bài 10: Cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) có phương trình cho bởi :

( )
1
1
2
1
1
2
:

1
−
=
−
=
−
zyx
d

( ) ( )
t
31
2
21
:
2
R
tz
ty
tx
d ∈





+−=
+=
+=

a) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d
2
).

Bài1 1): cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
)
( )

34
24
37
:
1





+=
−=
+−=
tz
ty
tx

d

( ) ( )
R
tz
ty
tx
d ∈





−−=
+−=
+=
1
1
1
1
2
tt,
12
29
1
:

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d
1
),(d

2
) chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .

V. MẶT CẦU
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R

(
)
(
)
(
)
2
Rczbyax:R)S(I,
222
=−+−+−
(1)

0
d
2cz
2by
2ax
z

y
x
:
R)
S(I,
2
2
2
=+−−−++
(2) (
0
d
c
b
a
vôùi
2
2
2
>−++
)
• Tâm I(a ; b ; c) và
dcbaR −++=
222

2.Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho
(
)
(

)
(
)
2
Rczbyax:(S)
2
2
2
=−+−+−
và (α): Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,α) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp(α) :
§ d > R : (S) ∩ α = φ
§ d = R : (α) tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, (α): tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là h chiếu của tâm I trên mp
α
)
ü Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp(α): ta có
α
na
d
=

ü Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
§ d < R : α cắt (S) theo đường tròn có pt
(
)
(
)
(
)




=+++α
=−+−+−

2
0DCzByAx :
Rczbyax:(S)
222

*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:
+ bán kính
),(
22
α
IdRr −=

+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mp(α))
ü Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vng góc mp(α) : ta có
α
na
d
=

ü Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu







+=
+=
+=
tazz
tayy
t
a
x
x
d
3o
2o
1o
:
(1) và
(
)
(
)
(
)
2
Rczbyax:(S)
222
=−+−+−
(2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,

+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
2.CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª
(
)
(
)
(
)
2
Rczbyax:R)S(I,
222
=−+−+−
(1) Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2

Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
§ Tâm I là trung điểm AB
§ Viết phương trình mặt cầu tâm I (1) Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2

Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp(α)
222

)(
CBA
D
I
zC

I
yB
S
++
+++
==
I
A.x
)d(I, R
I tâmcầu mặt Pt
α

Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dùng (2)
0
d
2cz
2by
2ax
z
y
x
:
R)
S(I,
2
2
2
=+−−−++
A,B,C,D ∈ mc(S)

⇒
hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 5: Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € ()

0
d
2cz
2by
2ax
z
y
x
:
R)
S(I,
2
2
2
=+−−−++
(2)
§ A,B,C ∈ mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2).
§ I(a,b,c)∈ (): thế a,b,c vào pt ().
§ Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d.
Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A. Tiếp diện (
α
) của mc(S) tại A : (
α
) qua A,
→
= IA n vtpt

r

3. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Trong các phương trình sau đây ,phương trình nào là phương trình của mặt cầu ,khi đó chỉ rõ toạ độ
tâm và bán kính của nó ,biết:
a)
(
)
02642:
222
=++−−++ zyxzyxS b)
(
)
09242:
222
=+−+−++ zyxzyxS
c)
(
)
03936333:
222
=+−+−++ zyxzyxS d)
(
)
07524:
222
=−−++−−− zyxzyxS
e)
(
)

022:
222
=−+−++ yxzyxS
Bài 2: Cho họ mặt cong (S
m
) có phương trình:
(
)
04624:
2222
=++−−−++ mmzmymxzyxS
m

a) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
b) CMR tâm của (S
m
) ln nằm trên một đường thẳng cố định.
Bài 3: Cho họ mặt cong (S
m
) có phương trình:
(
)
05824:
22222
=−+−−++ mymmxzyxS
m

a) Tìm điều kiện của m để (S

m
) là một họ mặt cầu .
b) Tìm quĩ tích tâm của họ (S
m
) khi m thay đổi.
c) Tìm điểm cố định M mà (S
m
) ln đi qua.
Bài 4: Cho họ mặt cong (S
m
) có phương trình:
(
)
03cos2sin2:
222
=−−−++ mymxzyxS
m

a) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
b) CMR tâm của (S
m
) ln chạy trên một đường tròn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi m thay
đổi.
c) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y tại A và B. Đường thẳng y=m(-1<m<1 ,m
≠
0) ,cắt (C) tại T, S
, đường thẳng qua A , T cắt đường thẳng qua B ,S tại P .Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi .
Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) ,biết :

a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4.
b) Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1).
c) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x.
d) Hai đầu đường kính là A(-1;2;3), B(3;2;-7)
Bài 6: Cho 3 đường thẳng (d
1
),(d
2
), (d
3
) có phương trình :
( )
1
1
4
2
3
2
:
1
−
=
+
=
−
zyx
d
,
( )
1

9
2
3
1
7
:
2
−
−
=
−
=
−
zyx
d
,
( )
1
2
2
3
3
1
:
3
−
−
=
−
+

=
+
zyx
d

a) Lập phương trình đường thẳng (d) cắt cả hai đường thẳng(d
1
),(d
2
) và song song với đường thẳng
(d
3
).
b) Giả sử
(
)
(
)
{
}
Add =∩
1
,
(
)
(
)
{
}
Bdd =∩

2
.Lập phương trình mặt cầu đường kính AB.
4;BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 7: Cho 2 đường thẳng (d
1
),(d
2
) có phương trình :
( )
R
tz
ty
tx
d ∈





=
−=
+=
t
2
1
2
:
1
,
( )

1
9
2
3
1
7
:
2
−
−
=
−
=
−
zyx
d

a) CMR (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
c) Lập phương trình mật cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d
1
) và (d

2
).
d) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng cách đều (d
1
) và (d
2
).
Bài 8: Viết phương trình mặt cầu (S) biết :
a) Tâm I(1;2;-2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):6x-3y+2z-11=0.
b) (CĐGTVT-2000): Tâm I(1;4;-7) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) :6x+6y-7z+42=0.
c) Bán kính R = 9 và tiếp xúc với (P): x+2y+2z+3=0 tại điểm M(1;1;-3).
Bài 9: Trong không gian với hệ toạ 0xyz, cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài10: Cho bốn điểm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8)
a)CMR SB vuông góc SA.
b)CMR hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (0AB) vuông góc với cạnh 0A. Gọi K là giao điểm
của hình chiếu đó với 0A. Hãy xác định toạ dộ của K.
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) : Gọi P,Q lần lượt là điểm giữa của các cạnh S0,AB . Tìm toạ độ của điểm M trên SB sao cho
PQ và KM cắt nhau.
Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz ,cho bốn điểm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
a) Tìm hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD.
b)Viết phương trình tham số đường thẳng vuông góc chung của AC và BD.
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 12: Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).
a):Viết phương trình tham số của đường thẳng BC .Hạ AH vuông góc BC .Tìm toạ độ của điểm H.
b) Viết phương trình tổng quát của (BCD) .Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Bài 13: Trong không gian 0xyz, cho hình chóp .biết toạ độ bốn đỉnh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-
1;4), D(3;1;0).
a) Lập phương trình các mặt của hình chóp.
b) Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp .
c) Tính thể tích hình chóp SABCD
Bài 14: Cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).
a) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện bằng nhau . b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ
diện.
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp ,nội tiếp tứ diện ABCD
………………………HẾT……………………………………