Tài liệu Chuyên đề 6: Hypebol ppt

CHUYÊN ĐỀ 6
HYPEBOL
Để giải các bài toán có liên quan đến đường hypebol ta cần nắm vững các vấn đề cơ
bản sau:
Hypebol (H) có tâm O, hai trục đối xứng là x
′
x,
y
′
y.


Phương trình
chính tắc
. Hypebol có tiêu điểm
trên x
′
x
2
2
x
a
–
2
2
y
b
= 1
. Hypebol có tiêu điểm t
rên

y
′
y
2
2
x
a
–
2
2
y
b
= –1
với c
2
= a
2
+ b
2
với c
2
= a
2
+ b
2

Tiêu điểm
Tiêu cự
Trục thực, độ dài
Trục ảo, độ dài

Đỉnh
Tiệm cận


Tâm sai
Bán kính
M(x
M
, y
M
) ∈ (H)





F
1
(–c, 0), F
2
(c, 0)
2c
Ox, 2a
Oy, 2b
A
1
(–a, 0), A
2
(a, 0)
y =

±
b
a
x

e =
c
a

11
22
M
M
rFMex a
rFMex
a
=
=+
⎧
⎨
=
=−
⎩

(x
M
a)≥
1
2
M

M
rex
rex
a
a
=
−−
⎧
⎨
=
−+
⎩

(x
M

≤
– a)

F
1
(0, –c), F
2
(0, c)
2c
Oy, 2b
Ox, 2a
A
1
(0, –b), A

2
(0, b)
y = ±
a
b
x

e =
c
b

11
22
M
M
rFMey b
rFMey
b
=
=+
⎧
⎨
=
=−
⎩

(y
M
≥ b)
1

2
M
M
rey
rey
b
b
=
−−
⎧
⎨
=
−+
⎩

(y
M
≤ – b)


1
Đường chuẩn

Phương trình tiếp
tuyến tại tiếp
điểm M
0
(x
0
, y

0
) ∈ (H)
x =
±
a
e


0
2
xx
a
–
0
2
yy
b
= 1
y = ±
b
e


0
2
xx
a
–
0
2

yy
b
= –1

Ngoài ra ta cũng cần lưu ý:
. Điều kiện để:
(D) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (H) :
2
2
x
a
–
2
2
y
b
= 1 là
a
2
A
2
– b
2
B
2
= C
2
> 0
(D) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (H) :
2

2
x
a
–
2
2
y
b
= –1 là
a
2
A
2
– b
2
B
2
= –C
2
< 0
Ví dụ :
Cho hypebol (H) : 4x
2
– y
2
= 4
1) Xác đònh tiêu điểm, đỉnh, tâm sai, các đường tiệm cận và đường chuẩn của (H)
2) Viết phương trình tiếp tuyến với (H) tại điểm M(1, 0)
3) Viết phương trình tiếp tuyến với (H) phát xuất từ điểm N(1, 4) tìm tọa độ tiếp điểm.
Giải

1) Các phần tử của hypebol (H)
(H) : 4x
2
– y
2
= 4 x
2
– ⇔
2
4
y
= 1 có dạng
2
2
x
a
–
2
2
y
b
= 1 với
a
2
= 1 a = 1, b
2
= 4 ⇒ b = 2 và c
2
= a
2

+ b
2
= 5 ⇒
Vậy hypebol (H) có 2 tiêu điểm F
1
( 5
−
, 0), F
2
( 5 , 0) ; hai đỉnh A
1
(–1, 0), A
2
(1, 0) ;
tâm sai e =
c
a
= 5 ; hai đường tiệm cận phương trình y =
±
2x và hai đường chuẩn phương
trình
x = ±
a
e
= ±
1
5


2

2) Phương trình tiếp tuyến với (H) tại tiếp điểm M(1, 0)
Ta có M(1, 0) ∈ (H) : 4x
2
– y
2
= 4
⇒ Phương trình tiếp tuyến với (H) tại tiếp điểm M(1, 0) là
4x
M
x – y
M
y = 4
⇔ 4x – 0y = 4 x = 1 ⇔
3) Phương trình tiếp tuyến với (H) phát xuất từ N(1, 4). Hai tiếp tuyến cùng phương với
0y là x = a = 1. Vậy x=1 là một tiếp tuyến qua N(1, 4). ± ±
Tiếp tuyến
(
qua N(1, 4) không cùng phương với 0y có dạng:
)
Δ
: y – 4 = k(x – 1)
()
Δ
⇔
kx – y + 4 – k = 0
()
Δ
tiếp xúc với hypebol (H) :
2
1

x
–
2
4
y
= 1
⇔ k
2
. 1
2
– 4(–1)
2
= (4 – k)
2

⇔ k
2
- 4 = 16 – 8k + k
2

⇔ k =
20 5
82
=
.Vậy :
()
Δ
5
2
x – y – 4 –

5
2
= 0
⇔ 5x – 2y – 13 = 0
Tóm lại có hai tiếp tuyến qua điểm N(1, 4) là x = 1, và 5x – 2y – 13 = 0.
* * *


3