Tài liệu Lượng giác - 3. Phương trình lượng giác không mẫu mực pdf

Chửụng 1: Phửụng trỡnh lửụùng giaực
BAI 3: PHNG TRINH LNG GIAC KHễNG MU MC
Trong giai toan ta thng gp mụt sụ phng trinh ma cach giai tuy c thu cua tng phng
trinh, co thờ goi o la nhng phng trinh khụng mõu mc. Mụt sụ PTLG thờ hiờn tinh khụng
mõu mc ngay dang cua chung, nhng cung co nhng phng trinh ma thoat trụng thõy rõt
binh thng nhng cach giai lai khụng mõu mc (hay cach giai khụng mõu mc thng hay
hn, gon hn cach giai mõu mc)
Trong dang phng trinh nay phng phap anh gia bõt ng thc rõt thng gp. No gụm
mụt sụ dang nho sau:
I. PHNG PHAP TễNG BINH PHNG:
2 2
A = 0
A +B 0
B= 0

=


Hờ qua:
( )
( )
( )
( )
1
n
2
i=1
f 0
f 0
f 0

f 0
i
n
x
x
x
x
=

=

=



=


Vi
( )
f 0, 1,
i
x i n =
Bi toỏn 1:
Giai phng trinh:
( ) ( )
2
2 sin 1 0 1x x xy+ + =
Giai
( ) ( )

2
2 sin 1 0 1x x xy+ + =

( )
2
2
sin cos 0x xy x + + =


( )
( )
1 0
sin 1
1 0
sin 1
x
xy
x
xy
+ =




=




=

=




1
2
2
1
2
x
y k
x
y l



=





= +

=





= +




Vi
( )
,k l Z
Nhõn xet: ụi vi bi toỏn nay ta dờ nhin thõy dang cua no cho nờn no tr nờn dờ dang. Do
o mụt kinh nghiờm trong giai toan loai nay co le la cõn thõn nhõn dang no. Thc hiờn c
bc nay bai toan xem nh c giai khoang 7 phõn.
Bi toỏn 2: Giai phng trinh:

4cos 2cos2 cos 4 7x x x+ + =
Giai
4cos 2cos2 cos 4 7x x x
+ + =
( ) ( ) ( )
4 cos 1 2 cos2 2 cos4 1 0x x x + + + + + =
Naờm hoùc 2006 2007

41
Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
1 cos 0
1 cos2 0
1 cos4 0
x
x
x
+ =


⇔ + =


+ =

vơ nghiệm
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
Nhận xét: Trong bài tốn này ta đã sử dụng mợt bất đảng thức quen tḥc của lương giác:
cos 1x
≤
Mợt sớ BĐT lượng giác thường dùng để ước lượng:
sin 1x ≤
,
cos 1x ≤
,
2 2
sin cosa x b x a b+ ≤ +
.
Nếu m, n là các sớ tự nhiên lớn hơn 2 thì

2 2
sin cos sin cos 1
m m
x x x x± ≤ + =
II. PHƯƠNG PHÁP ĐỚI LẬP:
(Còn có tên gọi là phương pháp gặp nhau ở cửa-chặn trên chặn dưới 2 vế):
A M
A = M
B M
B= M
A=B
≥



≤ ⇔
 



Bài tốn 1: Giải phương trình:
5 2
cos 0x x+ =
Giải
5 2
cos 0x x+ =

2 5
cosx x⇔ = −
Vì

2
1 cos 1 0 1 1 1x x x− ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤
Mà
[ ]
1,1 ; cos >0
2 2
x
π π
 
− ⊂ − ⇒
 ÷
 
với
1 1x
− ≤ ≤
5
cos <0x⇒ −
với
1 1x
− ≤ ≤
Do đó ta có
2
0x ≥
và
5
cos <0x−
nên phương trình
5 2
cos 0x x+ =
vơ nghiệm.

Bài tốn 2:
Giải phương trình:
sin .sin 2 1x x = −
Giải
sin .sin 2 1x x
= −
sin 1
sin 2 1
sin 1
sin 2 1
x
x
x
x
 =



= −


⇔

= −



=




1
2
1
2
2
2
4
2
2
4
x k
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π
π
π


= +








= − +



⇔



= − +







= +




vơ nghiệm
Nhóm học sinh lớp 11A1
42
Chửụng 1: Phửụng trỡnh lửụùng giaực
Nhõn xet: Bi toỏn nay co thờ xem nh mụt bai toan mõu. Bng cach lõp luõn tng t ta
giai c cac phng trinh co dang tng t:

sin .sin 1
sin .sin 1
ax bx
ax bx
=
=
cos .cos 1
cos .cos 1
ax bx
ax bx
=
=
Bi toỏn 3:
Giai phng trinh:
2
sin 1x x x= + +
Giai
Ta xet hai trng hp:
- Nờu
[ ]
1,0 ,0 sin 0
2
x x





Ma
2

1>0x x+ +
,suy ra vụ nghiờm.
- Nờu
( ) ( )
, 1 0,x U
thi
sin 1x
Ma
2
2
1 3 1 3
1 > 1
2 4 4 4
x x x

+ + = + + + =
ữ

, suy ra phng trinh vụ nghiờm.
Kờt luõn: phng tinh a cho vụ nghiờm.
Nhõn xet: Bi toỏn nay a s dung mụt phng phap tim nghiờm trong ai sụ. o la phng
phap chia khoang. Phng phap nay thng c dung trong cac bai toan giai phng trinh
co tri tuyờr ụi, co miờn gia tri lụn xụn, hay trong cac bai toan bõt phng trinh.ụi vi
phng phap nay ta chia miờn xac inh ra tng khoang ma trờn khoang o ham f khụng ụi
dõu.
Bi toỏn 4: Giai phng trinh:
1
cot cos sin
4
n

n n
tgx gx x x

+ = +
ữ

( )
; >1n nZ
Giai
iờu kiờn:
cos 0
sin 0
2
x
k
x
x







Do tg va cotg luụn cung dõu nờn
cot
1 1
cot cot 2 1
4 4 4
n

n
n
tgx gx
tgx gx tgx gx



+ = + =
ữ
ữ
ữ



Dõu ng thc xay ra khi va vhi khi
2
1 1 1 1
cot
4 4 2 2
tgx gx tg x tgx x arctg k


= = = = +
ữ

Vi
; >1n nZ
ta xet vờ phai :
2 2
2 sin cos sin cos 1

n n
n x x= + = + =
Naờm hoùc 2006 2007
43
Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng

1 1
cot 1
4 2
n
tgx gx x arctg k
π
   
⇒ + = ⇔ = ± +
 ÷  ÷
   
>2n
ta có:
2
cos cos
n
x x≤

2
sin sin
n
x x≤
2 2
cos sin cos sin cos sin 1
n n n n

x x x x x x⇒ + ≤ + ≤ + =
' '
2
k
x
π
= ⇔ =
(loại)
Vậy
cos sin <1,
2
n n
k
x x x
π
+ ∀ ≠
và
1
cot 1
4
n
tgx gx+ ≥

Cho nên với
>2n
phương trình vơ nghiệm.,
Kết ḷn: nghiệm của phương trình là:

1
2

x arctg k
π
 
= ± +
 ÷
 
,
k ∈Z
Nhận xét: qua bài tốn này ta thấy việc sử dụng bất đẳng thức kinh điển trong các bài toán
giúp ta tìm được giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của mợt biểu thức để chặn nó lại và đem áp
dụng vào phương trình bởi vì thơng thường điều kiện xảy ra đẳng thức khơng nhiều giúp ta có
thể giải nhanh các phương trình. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức là mợt phương pháp
kinh điển được sử dụng rất phở biến.
Bài tốn 5:
Giải phương trình:
( )
cos .cos 2 .cos3 sin .sin 2 .sin 3 1 1x x x x x x+ =
Giải
Sử dụng bất đẳng thức BCS ta có:
( )
cos .cos 2 .cos3 sin .sin 2 .sin 3 1 1x x x x x x+ =
cos .cos 2 .cos3 sin .sin 2 .sin3x x x x x x
⇔ +
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
cos cos 2 sin sin 2 cos 3 sin 3x x x x x x≤ + +
( )
2 2 2 2 2 2
cos cos 2 sin sin 2 cos sin 1x x x x x x= + ≤ + =
( )

( )
2 2 2 2 2 2
cos cos2 sin3 sin sin 2 cos3 0 2
' '
cos cos 2 sin sin 2 cos sin 3
x x x x x x
x x x x x x
= ≥


= ⇔

+ = +


Ta xét
( )
3 sin 0x x k
π
⇔ = ⇔ =
thoả (2)
Vậy nghiệm của (1) là:
,x k k
π
= ∈Z
Nhóm học sinh lớp 11A1
44
Chửụng 1: Phửụng trỡnh lửụùng giaực
Nhõn xet: Bi toỏn nay lam ta nh ờn cac tng hu han bai trc. Ta cung co thờ ap dung
bõt ng thc BCS (nh Bi toỏn nay) hay bõt ng thc Cauchy ờ tim c gia tri nho nhõt

hay ln nhõt cua tụng o.
III. PHNG PHAP PHAN CHNG: (Nguyờn ly cc biờn)
1
1
1
1
1 1
A A
A=A
B B
B=B
A+B=A B








+

Bi toỏn1: Giai phng trinh:

12 16
sin cos 1x x+ =
Giai
Ta co:
12 2
sin sinx x

;

16 2
cos cosx x

12 16
sin cos 1x x x +
Vi thờ
12 16
sin cos 1x x+ =
( )
12 2
16 2
sin sin
2
cos cos
x x
k
x k
x x


=

=

=


Z

Nhõn xet: Bi toỏn nay thuục dang phng trinh tụng quat sau:
sin cos 1
m n
x x+ =
vi
m ,n t nhiờn.
Ta co:
( )
( )
2
2
2 2
sin sin 1
sin sin
cos cos cos cos 2
m
m
n n
x x
x x
x x x x

=





=

T o ta xet 4 kha nng cho dang toan nay:
1.Nờu m,n cung chn. Khi o:
( ) ( ) ( )
sin 0
sin 1
1 2
2
cos 0
cos 1
x
x
k
x k
x
x

=



=

=

=

=


Z
2. Nờu m,n cung le. Khi o:
( ) ( ) ( )
sin 0
2
sin 1
1 2
2
cos 0
2
cos 1
x
x k
x
k
x k
x
x



=


=

=





= +
=





=


Z
3. Nờu mchn, n le. Khi o:
Naờm hoùc 2006 2007
45
Chuyên đề Lượng giác và Ứng dụng
( ) ( ) ( )
sin 0
2
sin 1
1 2
2
cos 0

2
cos 1
x
x k
x
k
x k
x
x
π
π
π
 =


=


= ±


⇔ ⇔ ∈


= +
=






=


Z
4. Nếu m lẻ, n chẵn. Khi đó:
( ) ( ) ( )
sin 0
sin 1
1 2
2
cos 0
2
cos 1
x
x k
x
k
x k
x
x
π
π
π
 =


=



=


⇔ ⇔ ∈


= +
=





= ±


Z
Bài tốn 2: Giải phương trình:

1 1 1
2
1 cos 2 1 cos4 1 cos6x x x
+ + =
+ + −
Giải
Điều kiện:
( )
( )
( )
cos2 1 1

cos4 1 2
cos6 1 3
x
x
x
≠ −

≠ −


≠

1 cos 2 ,1 cos4 ,1 cos6 >0x x x⇒ + + −
Theo bất đẳng thức Cauchy:
( ) ( )
1 1 1
1 cos2 1 cos4 1 cos6 . 9 4
1 cos2 1 cos 4 1 cos6
x x x
x x x
 
+ + + + − + + ≥
 ÷
+ + −
 
Đặt
1 cos2 1 cos4 1 cos6S x x x= + + + + −

2
3 1 2sin 2 2sin 4 sin 2x x x= + − =

( )
2 2 2
3 1
3 sin 4 cos 4 2sin 2 2sin 4 sin 2
2 2
x x x x x= + − + − −

( )
2
2
9 1 1
sin 4 2sin 2 cos 4
2 2 2
x x x= − + −
( )
9
5
2
S⇒ ≤
Dấu đẳng thức xảy ra
( ) ( )
( )
2sin 2 1 cos2 0 6
sin 4 2sin 2 0 sin 2 0
cos4 0 cos4 0
cos4 0 7
x x
x x x
x x

x
+ =
+ = =
 

⇔ ⇔ ⇔
  
= =
=
 


Hệ phương trình này vơ nghiệm
9
<
2
S⇒

Tức là
1 1 1
>2
1 cos 2 1 cos4 1 cos6x x x
+ +
+ + −
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
Nhóm học sinh lớp 11A1
46
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
Naêm hoïc 2006 – 2007
47