Tài liệu Các bài cực trị liên quan đến phương trình đường thẳng docx

. Các bài cực trị liên quan đến phương trình đường
thẳng
Bài 1. Cho đường thẳng và hai điểm . Tìm điểm
trên đường thẳng sao cho:
a) nhỏ b) lớn nhất
Hướng dẫn giải
Trước tiên ta kiểm tra nằm cùng phía hay khác phía đối với đường thẳng .
Ta có:

Suy ra nằm cùng phía đối với đường thẳng .
a) Gọi là điểm đối xứng của qua và là giao điểm của với . Khi đó
là trung điểm của .
Phương trình đường thẳng hay
Tọa độ của là nghiệm của hệ:

Suy ra tọa độ
Gọi là giao điểm của và
Phương trình đường thẳng hay
Tọa độ của là nghiệm của hệ:

Khi đó là điểm cần tìm. Thật vậy:
Với mọi điểm ta có và dấu
xảy ra khi và chỉ khi
b) Ta có thể trình bày như câu a) hoặc có thể trình bày theo cách sau:
Ta có . Dấu xảy ra khi và chỉ khi thuộc đường thẳng và
nằm ngoài đoạn thẳng . Mà cùng phía đối với đường thẳng nên điểm
cần tìm chính là giao của đường thẳng và đường thẳng
Phương trình đường thẳng . Suy ra tọa độ của điểm cần tìm là

Bài 2. Cho đường thẳng và hai điểm . Tìm điểm
trên đường thẳng sao cho:

a) là nhỏ nhất c) lớn nhất
Hướng dẫn giải
Trước tiên ta kiểm tra cùng phía hay khác phía đối với đường tròn. Ta có
, suy ra
khác phía đối với đường thẳng
a) Ta có và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi nằm giữa hay
là giao của đường thẳng và (Vì khác phía đối với đường thẳng ).
Phương trình đường thẳng
Tọa điểm là nghiệm của hệ:

Vậy là điểm cần tìm.
b) Để ý rằng là khác phía đối với đường thẳng nên khi áp dụng bất đẳng
thức thì không tồn tại để dấu bằng xảy ra. Do đó ta phải
làm như sau:
Gọi là điểm đối xứng của qua đường thẳng .Khi đó ta có
. Dấu xảy ra khi và chỉ khi thuộc đường
thẳng và nằm ngoài đoạn thẳng hay là giao điểm của và
Ta tính được tọa độ điểm là
Phương trình đường thẳng hay
Suy ra tọa độ của điểm là nghiệm của hệ:

Vậy tọa độ điểm cần tìm là
Bài 3. Cho đường thẳng và hai điểm . Tìm điểm
trên đường thẳng sao cho:
a) nhỏ nhất. b) nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
a) Gọi là trung điểm của . Khi đó ta có:

Vậy nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất, khi đó là hình chiếu của
trên .

Tọa độ điểm
Phương trình đường thẳng qua và vuông góc với là:
Khi đó cần tìm chính là giao điểm của và . Tọa độ của là nghiệm của hệ
phương trình:

Vậy là điểm cần tìm.
b) Gọi điểm là điểm thỏa .
Khi đó ta có


Ta có là cố định, nên không đổi. Do đó nhỏ nhất khi
và chỉ khi nhỏ nhất, khi đó là hình chiếu của trên đường thẳng
Tọa độ điểm
Suy ra tọa độ điểm cần tìm là
Nhận xét: Chúng ta có thể làm tương tự với những biểu thức cực trị có dạng
hoặc