Bài giảng Đàn hồi ứng dụng: Chương 5 - ThS. Nguyễn Thanh Nhã

Đàn hồi Ứng dụng

ThS. Nguyễn Thanh Nhã
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật, Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Đại học Bách Khoa TpHCM
Email:
ĐT: 0908.56.81.81

Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011


Đàn hồi Ứng dụng

5.1. Khái niệm về phần tử thanh gậy
5.2. Các đặc trưng cơ học của phần tử thanh gậy

5.3. Nguyên lý công ảo áp dụng cho phần tử thanh gậy
5.4. Hệ tọa độ vật lý và hệ tọa độ tự nhiên

5.5. Hàm dạng (shape function)
5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể

Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011


Đàn hồi Ứng dụng

5.1. Khái niệm về phần tử thanh gậy

Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011

Đàn hồi Ứng dụng

5.1. Khái niệm về phần tử thanh gậy

Hình học phần tử thanh gậy

Nguyễn Thanh Nhã

Bộ mơn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011


Đàn hồi Ứng dụng

5.1. Khái niệm về phần tử thanh gậy

Hình học phần tử thanh gậy

Nguyễn Thanh Nhã

Bộ mơn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011


5.1. Khái niệm về phần tử thanh gậy

Nguyễn Thanh Nhã

Đàn hồi Ứng dụng

Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011

Đàn hồi Ứng dụng

5.2. Các đặc trưng cơ học
của phần tử thanh gậy

Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011


Đàn hồi Ứng dụng

5.2. Các đặc trưng cơ học của phần tử thanh gậy

Các thành phần ứng suất
Giả thiết đầu tiên và cơ bản nhất cho mơ hình thanh gậy là trong thanh
chỉ có một thành phần ứng suất pháp duy nhất chính là ứng suất pháp
theo phương dọc trục của thanh

11  0
 22   33  12   23  13  0
*
 11 0 0  n1  t1 
 0 0 0  n   t * 

 2  2
 0 0 0  n3  t3* 

σ  n  t*

Thanh chỉ chịu lực dọc trục nên có trạng thái ứng suất đơn

Nguyễn Thanh Nhã

Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011


5.2. Các đặc trưng cơ học của phần tử thanh gậy

Đàn hồi Ứng dụng

Quan hệ biến dạng – Chuyển vị
Giả thiết thứ 2 cơ bản cho mơ hình thanh gậy cho trường chuyển vị
trong thanh: tất cả các điểm trên 1 mặt cắt bất kỳ của thanh đều có
chuyển vị giống nhau dọc theo trục thanh.

u1  u1 ( X 1 )

11  11 ( X 1 )  u1,1 ( X 1 )

Nguyễn Thanh Nhã

Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011


Đàn hồi Ứng dụng

5.2. Các đặc trưng cơ học của phần tử thanh gậy

Quan hệ Ứng suất – Biến dạng

Với giả thiết đầu tiên về các thành phần ứng suất trong thanh, viết
phương trình định luật Hook



 11   2   
0 
2  

  
2  
0 
 
0 
0 
  
 0   sym
Ta có:

0
0
0



0
0
0
0



0   11 
0    22 


0    33 


0   212 
0   2 23 


   213 


 22   33  
11  11
2(   )

 11  (2   )11   ( 22   33 ) 
 12  13   23  0
Nguyễn Thanh Nhã

 (3  2 )
11  E11   11  E11

  11   11 ( X 1 )
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011

Đàn hồi Ứng dụng

5.3. Nguyên lý công ảo áp dụng cho
phần tử thanh gậy

Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011


5.3. Nguyên lý công ảo áp dụng cho phần tử thanh gậy

Đàn hồi Ứng dụng

Công thức tổng quát
Áp dụng nguyên lý công ảo cho một phần tử thanh gậy trong không gian
3 chiều:

Wdyn  Wint  Wext  Wext  Wext
 u1   u1 
11   11 
 Wdyn   Wint    u2   u2   dV    22    0  dV
   

  


 u3   u3 
 33   0 
*
  u1  t1 

  u1  b1 
 
 Wext   Wext    u2    0  dA    u2    0   dV
 
   


 u3   0 
 u3   0 

Trong bài toán tĩnh, bỏ qua thành phần  Wdyn
Nguyễn Thanh Nhã

Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011


5.3. Nguyên lý công ảo áp dụng cho phần tử thanh gậy

Đàn hồi Ứng dụng

Khai triển các thành phần công ảo
Công ảo của thành phần lực bề mặt:

L * L
L * L 
L * L
L * L

 Wext   u1 ( )t1 ( )   u1 ( )t1 ( )   dA   u1 ( ) N1 ( )   u1 ( ) N1 ( )
2

2
2
2 A
2
2
2
2



Cơng ảo của thành phần lực thể tích:

W  
ext

L /2



 u1 p1 ( X 1 )dX 1

 L /2

Công ảo của thành phần nội lực:

 Wint 

L /2



 L /2

L /2



11 11  dAdX 1 
A

 u1 u1  AdX 1 

 L /2

Nguyễn Thanh Nhã

L /2



 L /2

L /2



11 11 AdX 1

 L /2

A11  11 dX 1   u1e1N1e1   u1e 2 N1e 2 

L /2



 u1 p1 dX 1

 L /2

Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011


Đàn hồi Ứng dụng

5.4. Hệ tọa độ vật lý
và hệ tọa độ tự nhiên

Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011


Đàn hồi Ứng dụng

5.4. Hệ tọa độ vật lý và hệ tọa độ địa phương

Hệ tọa độ vật lý và hệ tọa độ tự nhiên
Hệ tọa độ vật lý (physical coordinates)

L / 2

0

L/2

X1

 L L
X1   , 
 2 2

Hệ tọa độ tự nhiên (natural coordinates)

1

Nguyễn Thanh Nhã

0

1

1

1   1,1

Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011


Đàn hồi Ứng dụng

5.4. Hệ tọa độ vật lý và hệ tọa độ địa phương

Quan hệ giữa tọa độ vật lý và tọa độ tự nhiên
Hệ tọa độ t.nhiên (natural coordinates)

Hệ tọa độ vật lý (physical coordinates)
L / 2

0

L/2

1

X1

Quan hệ giữa tọa độ vật lý và tọa độ tự nhiên:

0

X1 

1

1

L
1
2

Ma trận chuyển đổi giữa 2 hệ tọa độ (ma trận Jacobi):

J

X 1
L
 X 1,1 
1
2

dX 1 

L
d1  J d1
2

Quan hệ giữa chiều dài phần tử và định thức ma trận Jacobi:

dX 1 
Nguyễn Thanh Nhã

L
d1  J d1
2
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011


Đàn hồi Ứng dụng

5.5. Hàm dạng (shape function)

Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011


Đàn hồi Ứng dụng

5.5. Hàm dạng (shape function)

Tính liên tục của hàm dạng
u1

fullfilled

u1,1

e 1

u1

e 1
Nguyễn Thanh Nhã

e 1

e

e 1

jump
e

e 1

u1
u1,1

jump

e

u1,1

e 1

e

violated

u1,1

u1

e 1

kink

e 1

Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011

Đàn hồi Ứng dụng

5.5. Hàm dạng (shape function)

Hàm xấp xỉ
u1

  1 2 3

u1

u1
u1

1

2

3

Xấp xỉ tuyến tính với 3 phần tử

1

2

3

Xấp xỉ bậc 2 với 3 phần tử

u1
u1

Xấp xỉ tuyến tính với 6 phần tử
Nguyễn Thanh Nhã

Bộ mơn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011


Đàn hồi Ứng dụng

5.5. Hàm dạng (shape function)

Đa thức nội suy Lagrange
Xấp xỉ hàm chuyển vị u bất kì bằng các giá trị chuyển vị nút với đa thức nội suy:
p 1

u1 (1 )  u1 (1 )   u1ei N 1 (1 )  N(1 )ue
i 1

N(1 )   N 1 (1 ) N 2 (1 )

u  u
e

e1
1

e1
1

u

en T
1

u 

N n (1 ) 

-> Vector các hàm dạng
là hàm theo 1
-> Vector các chuyển vị nút
độc lập với 1

Xấp xỉ đạo hàm hàm chuyển vị u bất kì bởi các giá trị chuyển vị nút với hàm dạng:
p 1
u1 (1 )
 u1,1 (1 )  u1,1 (1 )   u1e1N,1i (1 )  N,1 (1 )ue
1
i 1

Nguyễn Thanh Nhã

Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011


Đàn hồi Ứng dụng

5.5. Hàm dạng (shape function)

Đa thức nội suy Lagrange bậc p:

1 if i  k
N ( )  
0 if i  k

1k  1
N (1 )   k
i
k 1 1  1
p 1

i

i

k i

k
1

-> Điều kiện Kronecker dealta

Ví dụ: Đa thức nội suy Lagrange bậc 1 (p=1)

1

2

k
2





1  1
1
N 1 (1 )   1k 11  12 11 
 (1  1 )
1  1 1  (1) 2
k 1 1  1
112

1k  1
N (1 )   k
i
k 1 1  1
p 1

i

k i

k 1

1k  1 11  1 1  1 1
N (1 )   k
 1


 (1  1 )
2
2
1  1
1  1 2
k 1 1  1
112

2

k 2

Nguyễn Thanh Nhã

Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011


Đàn hồi Ứng dụng

5.5. Hàm dạng (shape function)

Đa thức nội suy Lagrange

Ví dụ: Đa thức nội suy Lagrange bậc 2 (p=2)

1

2

3

k
2
3








0  1 1  1
1
N 1 (1 )   1k 11  12 11 13 11 
 (1  1)1
1  1 1  1 0  (1) 1  (1) 2
k 1;k 1 1  1
213

1k  1 11  1 13  1 1  1 1  1
2
N (1 )   k



1



1
2
1
2
3
2










1

0
1

0
k 1;k 2 1
1
1
1
1
1
213

2

1k  1 11  1 12  1 1  1 0  1 1
N (1 )   k
 1 3 2

 (1  1 )1
3
3
1  1 1  1 1  1 0  1 2
k 1;k 3 1  1
213

3

Ví dụ: Đa thức nội suy Lagrange bậc 3 (p=3)

Nguyễn Thanh Nhã

Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011


Đàn hồi Ứng dụng

5.5. Hàm dạng (shape function)

Xấp xỉ các đại lượng cơ học thông qua hàm dạng
Hàm dạng tuyến tính (Linear shape functions):

N(1 )   N 1 (1 ) N 2 (1 ) 

N 1 (1 )

1
N (1 )  (1  1 )
2
1
2
N (1 )  (1  1 )
2
1

2
1
N 2 (1 )

1

Xấp xỉ các biến cho bài toán:

2

Xấp xỉ trường chuyển vị u1 (1 ) và biến phân của trường chuyển vị
thông qua ma trận các hàm dạng N(1 ) .

u1 (1 )  u1 (1 )  N(1 )u

 u1 (1 )   u1 (1 )  N(1 ) u
u1 (1 )  u1 (1 )  N(1 )u
Nguyễn Thanh Nhã

ue  u1e1 u1e 2 

e

e

e

 u1 (1 )

T

 ue   u1e1  u1e 2 
ue  u1e1 u1e 2 

T

T

Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011


Đàn hồi Ứng dụng

5.5. Hàm dạng (shape function)

Xấp xỉ các đại lượng cơ học thông qua hàm dạng
Xấp xỉ đẳng tham số cho hình học
Trong cơng thức phần tử hữu hạn đẳng tham số, tọa độ hình học cũng được

xấp xỉ thông qua ma trận các hàm dạng giống như phép xấp xỉ chuyển vị.

X 1 (1 )  X 1 (1 )  N(1 )X e

X   X 1e1
e

e2 T
1

X 

Với phần tử thanh gậy:

X 1 (1 )  X 1e1

1  1
1  1  L 1  1 L 1  1 L
 X 1e 2


 1
2
2
2 2
2 2
2

Xấp xỉ ma trận Jacobi:

J

Nguyễn Thanh Nhã

X 1 L

1 2

Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011


Đàn hồi Ứng dụng

5.5. Hàm dạng (shape function)

Xấp xỉ các đại lượng cơ học thông qua hàm dạng
Xấp xỉ trường biến dạng
Trường biến dạng của bài toán trong hệ tọa độ tự nhiên:

11 (1 ) 

u1 u1 (1 ( X 1 )) u1 (1 ) 1
2


 u1,1 (1 )
X 1
X 1
1 X 1
L

u1,1 ( 1 )

J 1

Xấp xỉ trường biến dạng thông qua vector các hàm dạng:

2   2 ei i
 2 2 ei i
11 (1 )  11 (1 ) 
u1 N (1 )    u1 N,1 (1 )


L 1  i 1
 L i 1
Viết dạng vector:

e1


u
2 1
11 (1 )  11 (1 )   N ,1 (1 ) N ,12 (1 )   1e 2   B(1 )ue
L
u1 

B-Operator (ma trận tính biến dạng):

B
Nguyễn Thanh Nhã

2 1
1
 N,1 (1 ) N,12 (1 )   
L
 L

1
L 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011