ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKI MÔN TOÁN 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.06 MB, 27 trang )
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKI
THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN
NĂM HỌC 2019 - 2020
MƠN TỐN- LỚP 11
ĐỀ BÀI
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM
Câu 1.
Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.
Câu 5.
Câu 6.
Với k , nghiệm của phương trình sin x 0 là
A. k .
B. k .
C. k 2 .
2
2
Số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh ( n 4 ) là
n( n 1)
A. n( n 3) .
B.
.
C. n ( n 1) .
2
1
Phương trình sin x có nghiệm là
3 2
x 6 k 2
B.
k .
x 5 k 2
6
x 6 k 2
C.
k .
x k 2
2
x 3 k 2
D.
k .
x k 2
2
n ( n 3)
.
2
Trong 10 vé số cịn lại trên bàn có 2 vé trúng thưởng. Khi đó một người khách rút ngẫu nhiên
5 vé. Xác suất để trong 5 vé được rút ra có ít nhất 1 vé trúng thưởng là
7
7
5
7
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
19
15
13
9
Có bao nhiêu số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau đơi một, trong đó chữ số đầu tiên là số lẻ.
A. 1400 .
B. 5840 .
C. 5040 .
D. 4536 .
Cho M 2;3 . Hỏi điểm nào trong các điểm sau là ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox .
B. P 3; 2 .
C. N 3; 2 .
Câu 8.
D.
x 6 k 2
A.
k .
x k 2
2
A. Q 2; 3 .
Câu 7.
D. k 2 .
D. S 2;3 .
Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Xác
suất để lấy được 4 viên bi không đủ 3 màu là:
5040
5584
735
5586
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
10626
10626
5232
10626
Biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3Cn31 3 An2 52 n 1 . Giá trị của n bằng:
A. 13 .
B. 16 .
C. 15 .
D. 14
Giá trị nhỏ nhất của y sin 2 x 4sin x 5 là
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 5.
Câu 10. Trong bộ mơn Tốn, thầy giáo có 40 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 15 câu hỏi trung
bình, 20 câu hỏi dễ. Một ngân hàng đề thi mỗi đề có 7 câu hỏi được chọn từ 40 câu hỏi trên.
Xác suất để chọn được đề thi từ ngân hàng nói trên nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, dễ,
trung bình) và số câu hỏi dễ khơng ít hơn 4 là
67
77
A.
.
B.
.
325
325
7
915
C.
.
D.
.
13
3848
Câu 9.
Câu 11. Phương trình 2sin 2 x 3sin 2 x 3 có nghiệm là
A. x
4
k .
3
B. x
3
k .
C. x
2
k .
3
D. x
5
k .
3
Câu 12. Phương trình 2 cos x 1 tan x 3 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng 0; ?
B. 4 .
A. 3 .
C. 1 .
D. 2 .
Câu 13. Điều kiện để phương trình m sin x 3 cos x 5 có nghiệm là
m 4
B.
.
m 4
A. m 34.
Câu 14. Hệ số của m10 n19 trong khai triển m 2n
10
.
A. C29
10
B. C 29
.
29
C. 4 m 4.
D. m 4.
10
C. 219 C29
.
10
D. 219 C29
.
là
Câu 15. Giá trị của n thỏa mãn Cnn83 5 An3 6 là
A. n 6 .
B. n 20 .
C. n 15 .
D. n 17 .
2
2
Câu 16. Cho v 3;3 và đường tròn C : x y 2 x 4 y 4 0 . Ảnh của C qua Tv là C có
phương trình là
A. x 4 y 1 4 .
B. x 4 y 1 9 .
C. x 4 y 1 9 .
D. C : x2 y 2 8x 2 y 4 0 .
2
2
2
2
2
2
Câu 17. Một lớp có 40 học sinh trong đó có 3 cán bộ lớp. Tính xác suất để chọn được 3 em trong lớp
đi dự đại hội Đoàn trường sao cho trong 3 em đó ln có cán bộ lớp.
999
211
111
113
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4940
988
520
520
Câu 18. Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 . Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có 5 thẻ
mang số lẻ, 5 thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có một thẻ mang số chia hết cho 10 .
99
55
99
199
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
500
254
667
667
Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tọa độ ảnh của A 1;2 qua Tv , v 2; 1 .
A. M 3;1 .
B. N 1;3 .
C. P 3;1 .
D. Q 3; 1 .
Câu 20. Số đường chéo của một đa giác lồi 20 cạnh là
A. 320 .
B. 170 .
C. 360 .
D. 190 .
2
Câu 21. Nghiệm của phương trình lượng giác cos x cos x 0 thỏa mãn điều kiện 0 x là
A. x .
B. x .
C. x .
D. x 0 .
2
2
Câu 22. Một đội ngũ giáo viên gồm 8 thầy giáo dạy Tốn, 5 cơ giáo dạy Vật lý và 3 cơ giáo dạy Hóa
học. Sở giáo dục cần chọn ra 4 giáo viên để chấm thi THPT Quốc Gia. Xác suất để trong 4 giáo
viên được có đủ 3 môn là
3
5
3
3
A.
.
B.
.
C. .
D. .
11
13
7
8
Câu 23. Ba số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển 1 2x là
10
A. 1; 45 x;120 x 2 .
B. 10; 45 x;120 x 2 .
Câu 24. Có bao nhiêu số hạng nguyên trong khai triển
A. 15 .
B. 31 .
C. 1; 4 x; 4 x 2 .
345
D. 1; 20 x;180 x 2 .
124
C. 32 .
D. 33 .
1
. Giá trị của biểu thức M 1 sin 2 x3 cos 2 x bằng
2
45
7
75
A.
.
B.
C. 5 .
D.
.
16
2
16
3
Câu 26. Cho sin x và 0 x . Giá trị biểu thức M cos 2 x sin 2 x bằng
4
2
Câu 25. Cho cos 2 x
1 3 7
1 3 7
1 3 7
1 3 7
.
B.
C.
.
D.
.
16
8
8
8
Câu 27. Trong mặt phẳng Oxy , ảnh của điểm M 6;1 qua phép quay Q O , 90 là
A.
A. M ' 1; 6 .
B. P 1;6 .
D. R 6;1 .
C. Q 6; 1 .
Câu 28. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Trên đường thẳng a có 6 điểm phân biệt và
trên đường thẳng b có 5 điểm phân biệt. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu tam giác có các đỉnh là
các điểm nằm trên hai đường thẳng a và b đã cho?
A. 165 .
B. 180 .
C. 135 .
D. 200 .
Câu 29. Cho đường thẳng d có phương trình x y 2 0 . Phép vị tự tâm O (0; 0) tỷ số k 2 biến
d thành đường thẳng nào ?
A. 2 x 2 y 4 0 .
B. 4 x 4 y 5 0 .
C. x y 4 0 .
D. x y 4 0 .
cos x 3 sin x
0 có nghiệm là :
1
sin x
2
7
k 2 .
A. x k .
B. x
C. Vô nghiệm.
D. x k 2 .
6
6
6
Câu 31. Cho một hộp đựng 10 viên bi, trong đó có 5 viên bi màu đỏ, 3 viên bi màu xanh và 2 viên bi
màu vàng. Lấy ngẫu nhiên một lần hai viên bi. Xác suất để lấy ra hai viên bi cùng màu là
31
7
7
14
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
45
9
15
45
Câu 30. Phương trình lượng giác
Câu 32. Cho đường trịn C : x 2 y 2 6 x 12 y 9 0 . Tìm ảnh của C qua phép vị tự tâm O 0; 0 tỉ
1
số k .
3
A. x 1 y 2 9 .
B. x 1 y 2 1 .
C. x 1 y 2 16 .
D. x 1 y 2 4
2
2
Câu 33. Phương trình
2
2
2
2
2
2
3 sin 3x cos3x 1 tương đương với phương trình nào sau đây:
1
1
A. sin 3 x
. B. sin 3 x
. C. sin 3 x .
6
6
6
2
6 2
1
D. sin 3 x .
6
2
Câu 34. Điều kiện xác định của hàm số y
1
1
là
sin 2 x cos 2 x
B. x k 2 .
C. x k .
D. k .
2
4
Câu 35. Trong mặt phẳng Oxy cho v 2;1 và điểm A 4;5 . Hỏi A là ảnh của điểm nào trong các
điểm sau qua phép tịnh tiến theo vectơ v .
A. x k
.
A. M 1;6 .
B. N 2;4 .
C. P 4;7 .
D. Q 3;1 .
Câu 36. Cho v 4;2 và đường thẳng : 2 x y 5 0 . Hỏi là ảnh của đường thẳng nào qua
phép tịnh tiến theo vectơ v .
A. : 2 x y 13 0 .
B. : x 2 y 9 0 .
C. : 2 x y 15 0 .
D. : 2 x y 15 0 .
Câu 37. Trong mặt phẳng Oxy , ảnh của điểm M 3; 2 qua phép quay Q O;900 là
A. Q 2; 3 .
B. R 2;3 .
C. P 2; 3 .
D. N 3; 2 .
Câu 38. Nghiệm của phương trình sin 3 x 2 cos 2 x cos 3 x là
A. x
20
k 2 .
Câu 39. Phương trình sin x
B. x
4
2
x 20 k 5
C.
.
x k 2
4
k 2 .
1
có nghiệm thỏa x là:
2
2
2
5
k 2 .
B. .
C. k 2 .
6
6
3
2
Câu 40. Phương trình 6 cos x 5cos x 4 0 có nghiệm là:
2
2
A. x
k 2 .
B. x
k .
3
3
A.
2
x 20 k 5
D.
.
x k 2
2
3
.
k 2 .
3
3
Câu 41. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : 2 x y 2 0 . Phép vị tự tâm O 0;0 tỉ số k 2
C. x
k .
D.
D. x
biến d thành đường thẳng nào sau đây?
A. 2 x y 4 0 .
B. 2 x y 2 0 .
C. x y 4 0 .
D. 2 x y 4 0 .
Câu 42. Có 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9 . Chọn ngẫu nhiên ra 2 tấm thẻ. Tính xác suất để tích
của hai số trên hai tấm thẻ là số chẵn.
1
5
13
.
B. .
C.
.
6
9
18
Câu 43. Tìm m để phương trình 5 cos x m sin x m 1 có nghiệm.
A. m 24 .
B. m 24 .
C. m 13 .
A.
D.
11
.
18
D. m 12 .
9
1
Câu 44. Số không chứa x trong khai triển 2 x 2 là
2x
A. 672 .
B. 670 .
C. 670 .
Câu 45. Biết n là số nguyên dương thỏa mãn: An5 30 An4 2 .
D. 672 .
A. n 8, n 6 .
B. n 6, n 25 .
C. n 8, n 25 .
D. n 5, n 3 .
Câu 46. Một tổ có 10 học sinh trong đó có 5 học sinh nam, 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp
xếp các học sinh trong tổ thành hàng dọc sao cho nam, nữ đứng xen kẽ.
A. 28800 .
B. 14400 .
C. 2880 .
D. 5760 .
Câu 47. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin 2 x 2cosx 5 là
B. 3 .
C. 2 .
D. 1.
Câu 48. Trong mặt phẳng Oxy cho v 1;3 và đường tròn C : x 2 y 2 2 x 4 y 4 0. Ảnh của C
A. 5 .
qua Tv là C ' có phương trình
A. x 2 y 1 1 .
B. x 2 y 1 1 .
C. x 2 y 1 1 .
D. x 2 y 1 1 .
2
2
2
2
2
2
2
2
Câu 49. Cho 15 điểm nằm trên mặt phẳng, trong đó có 5 điểm nằm trên một đường thẳng, ngồi ra
khơng có bất cứ 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong
số 15 điểm đã cho.
A. 225 .
B. 425 .
C. 445 .
D. 145 .
Câu 50. Một hộp đựng 5 quả cầu màu đỏ, 4 quả cầu màu xanh và 2 quả cầu màu trắng. Lấy ngẫu nhiên
cùng một lúc ra 3 quả. Xác suất để lấy ra 3 quả cầu cùng màu là
A.
13
.
45
B.
31
.
45
C.
14
.
165
D.
151
.
165
PHẦN II: TỰ LUẬN
Câu 1.
Giải phương trình sau:
a) 2 sin 2 x 7 sin x 9 0
b) cos 2 x 2sin x 3 0
Câu 2.
Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển x 2 biết Cnn Cnn 1 Cnn 2 79 .
Câu 3.
a) Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử n * . Chứng minh rằng Pn Pn 1 n 1 Pn1
n
b) Tính S P1 2 P2 3P3 ... nPn .
Câu 4.
Giải phương trình 2 cos 2 2 x cos 2 x 1 0 .
Câu 5.
Một nhóm học sinh gồm 6 nam và 9 nữ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 5 học sinh để thành lập đội
văn nghệ. Tính xác suất sao cho trong 5 học sinh được chọn có ít nhất 4 học sinh nữ.
Câu 6.
Cho tứ diện ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh AB , N thuộc cạnh AC sao cho
NA 2 NC , P thuộc cạnh BD sao cho PB 3PD .
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng MNP và BCD .
b) Xác định giao điểm I của đường thẳng CD và mặt phẳng MNP ; giao điểm J của đường
thẳng AD và mặt phẳng MNP . Từ đó suy ra ba điểm N , I , J thẳng hàng.
Câu 7.
c) Giả sử P di động trên cạnh BD . Gọi K là giao điểm của đường thẳng MI và đường thẳng
NP . Chứng minh rằng K thuộc một đường thẳng cố định.
Cho hình chóp S . ABCD , có đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối khơng song song, điểm
M thuộc cạnh SA .
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: SAC và SBD ; MBC và SAD .
b) Tìm giao điểm Q của đường thẳng MC với mặt phẳng SBD và tìm giao điểm P của
đường thẳng SB với mặt phẳng MCD .
Câu 8.
a) Giải phương trình sau cos2 x sin x 1 0 .
b) Giải phương trình Cn1 6Cn2 6Cn3 9n 2 14n .
0
2
4
2000
c) Chứng minh đẳng thức sau: C2001
32 C2001
34 C2001
.... 32000 C2001
2 2000 22001 1
Câu 9.
Cho hình chóp tứ giác S . ABCD. Gọi M , N lần lượt thuộc các cạnh
BC , SD M B, M C , N S , N D .
a) Tìm giao điểm I của đường thẳng BN và mặt phẳng SAC .
b) Tìm giao điểm J của đường thẳng MN và mặt phẳng SAC .
c) Xác định thiết diện của hình chóp S . ABCD khi cắt bởi mặt phẳng BCN .
Câu 10. Giải phương trình lượng giác 3cos 2 x cos x 4 0.
1.A
11.B
21.A
31.D
41.D
2.D
12.D
22.C
32.D
42.C
3.A
13.B
23.D
33.B
43.D
BẢNG ĐÁP ÁN PHẦN TRẮC NGHIỆM
4.D
5.A
6.A
7.D
8.A
14.D
15.D
16.B
17.B
18.C
24.C
25.A
26.C
27.A
28.C
34.C
35.B
36.D
37.A
38.C
44.D
45.B
46.A
47.B
48.A
9.A
19.A
29.C
39.B
49.C
10.D
20.B
30.B
40.A
50.C
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM
Câu 1.
[Mức độ 1] Với k , nghiệm của phương trình sin x 0 là
A. k .
B. k .
C. k 2 .
2
2
Lời giải
Chọn A
Ta có sin x 0 x k
Câu 2.
D. k 2 .
k .
[Mức độ 2] Số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh ( n 4 ) là
n( n 1)
A. n( n 3) .
B.
.
C. n ( n 1) .
2
Lời giải
Chọn D
D.
n ( n 3)
.
2
Số đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác là Cn2 , trong đó có n cạnh. Suy ra số đường chéo là
Cn2 n
Câu 3.
n(n 1)
n(n 3)
n
.
2
2
1
[Mức độ 1] Phương trình sin x có nghiệm là
3 2
x 6 k 2
A.
k .
x k 2
2
x 6 k 2
B.
k .
x 5 k 2
6
x 6 k 2
C.
k .
x k 2
2
x 3 k 2
D.
k .
x k 2
2
Lời giải
Chọn A
x k 2
x k 2
1
3 6
6
Ta có: sin x
(k )
(k )
3 2
x k 2
x k 2
3
6
2
Câu 4.
[Mức độ 2] Trong 10 vé số cịn lại trên bàn có 2 vé trúng thưởng. Khi đó một người khách rút
ngẫu nhiên 5 vé. Xác suất để trong 5 vé được rút ra có ít nhất 1 vé trúng thưởng là
7
7
5
7
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
19
15
13
9
Lời giải
Chọn D
Ta có số phần tử khơng gian mẫu n( ) C105 252
Gọi A là biến cố : “ 5 vé được rút ra có ít nhất 1 vé trúng thưởng”
Số phần tử của biến cố A là n ( A) C 21C84 C 22C83 196
Vậy xác suất của biến cố A là P( A)
Câu 5.
n( A) 7
.
n() 9
[Mức độ 1] Có bao nhiêu số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số đầu tiên
là số lẻ.
A. 1400 .
B. 5840 .
C. 5040 .
D. 4536 .
Lời giải
Chọn A
Gọi chữ số thỏa yêu cầu đề bài là: abcd .
a có 5 cách chọn
d có 5 cách chọn
b có 8 cách chọn
c có 7 cách chọn
Câu 6.
Vậy có 5.5.8.7 1400 cách.
[Mức độ 1] Cho M 2;3 . Hỏi điểm nào trong các điểm sau là ảnh của M qua phép đối xứng
trục Ox .
A. Q 2; 3 .
B. P 3; 2 .
C. N 3; 2 .
D. S 2;3 .
Lời giải
Chọn A
Điểm đối xứng với M 2;3 qua trục Ox là Q 2; 3
Câu 7.
[Mức độ 3] Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4
viên bi. Xác suất để lấy được 4 viên bi không đủ 3 màu là:
5040
5584
735
5586
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
10626
10626
5232
10626
Lời giải
Chọn D
Số phần tử của không gian mẫu: n C244 10626 .
Gọi A là biến cố “Lấy được 4 viên bi không đủ 3 màu”.
Số cách chọn 4 viên bi khơng có màu đỏ: C144 .
Số cách chọn 4 viên bi không có màu vàng: C164 .
Số cách chọn 4 viên bi khơng có màu xanh: C184 .
Số cách chọn 4 viên bi màu đỏ: C104 .
Số cách chọn 4 viên bi màu vàng: C84 .
Số cách chọn 4 viên bi màu xanh: C64 .
Số cách chọn 4 viên bi không đủ 3 màu: n A C144 C164 C184 C104 C84 C64 5586 .
5586
.
10626
[Mức độ 2] Biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3Cn31 3 An2 52 n 1 . Giá trị của n bằng:
Vậy P A
Câu 8.
A. 13 .
B. 16 .
C. 15 .
D. 14
Lời giải
Chọn A
Điều kiện: n 2 .
3Cn31 3 An2 52 n 1
n 1 .n. n 1 3.
2
Vậy n 13 .
Câu 9.
3. n 1!
3.n!
52 n 1
3! n 2 ! n 2 !
n 13
n 8(l )
n 1 n 52 n 1 n 2 n 6n 104 n 2 5n 104 0
[Mức độ 3] Giá trị nhỏ nhất của y sin 2 x 4sin x 5 là
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 5.
Lời giải
Chọn A
Đặt sin x t , 1 t 1 . Khi đó ta được f t t 2 4t 5 , 1 t 1 .
Có a 1 0 nên đồ thị hàm số hướng bề lõm lên trên.
Trục đối xứng t
b
2.
2a
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số f t t 2 4t 5 , 1 t 1 là 2.
Câu 10. [Mức độ 3] Trong bộ mơn Tốn, thầy giáo có 40 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 15 câu
hỏi trung bình, 20 câu hỏi dễ. Một ngân hàng đề thi mỗi đề có 7 câu hỏi được chọn từ 40 câu
hỏi trên. Xác suất để chọn được đề thi từ ngân hàng nói trên nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi
(khó, dễ, trung bình) và số câu hỏi dễ khơng ít hơn 4 là
67
77
A.
.
B.
.
325
325
7
915
C.
.
D.
.
13
3848
Lời giải
Chọn D
Ngân hàng đề thi mỗi đề có 7 câu hỏi được chọn từ 40 câu hỏi khác nhau có số đề thi là C740 .
Đề thì phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu dễ khơng ít hơn 4 có những trường hợp là:
+ TH1: 1 câu khó, 2 câu trung bình và 4 câu dễ.
2
Số đề thi là C 420 .C15
.C15 .
+ TH2: 2 câu khó, 1 câu trung bình và 4 câu dễ.
1
Số đề thi là C 420 .C15
.C52 .
+ TH3: 1 câu khó, 1 câu trung bình và 5 câu dễ.
1
Số đề thi là C520 .C15
.C15 .
4
2
1
Số đề thi có đủ ba loại mà số câu dễ khơng ít hơn 4 là C520 .C115 .C15 C 20
.C15
.C15 C520 .C15
.C15 .
Xác suất để chọn được đề thi từ ngân hàng nói trên nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, dễ,
4
2
1
C4 .C1 .C2 C20
.C15
.C15 C520 .C15
.C15 915
trung bình) và số câu hỏi dễ khơng ít hơn 4 là 20 15 5
.
C740
3848
Câu 11. [Mức độ 2] Phương trình 2sin 2 x 3sin 2 x 3 có nghiệm là
A. x
4
k .
3
B. x
3
k .
C. x
2
k .
3
D. x
5
k .
3
Lời giải
Chọn B
2sin 2 x 3sin 2 x 3 3sin 2x cos 2x 2
3
1
sin 2x cos 2x 1
2
2
sin 2 x 1 2 x k 2 x k k .
6
6 2
3
Câu 12. [Mức độ 2] Phương trình
2 cos x 1 tan x
3 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
0; ?
A. 3 .
B. 4 .
C. 1 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn D
Điều kiện: cos x 0 . Với điều kiện đó, ta có:
2
1
x
k 2
cos
x
2 cos x 1 0
3
PT
2
k .
tan
x
3
0
x k
tan x 3
3
2
Đối chiếu điều kiện, suy ra phương trình có 2 nghiệm thuộc khoảng 0; là: x ; .
3 3
Câu 13. [Mức độ 2] Điều kiện để phương trình m sin x 3 cos x 5 có nghiệm là
m 4
B.
.
m 4
A. m 34.
C. 4 m 4.
D. m 4.
Lời giải
Chọn B
m 4
2
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m 2 3 52 m 2 16
.
m 4
29
Câu 14. [Mức độ 2] Hệ số của m10 n19 trong khai triển m 2n là
10
A. C29
.
10
B. C 29
.
10
D. 219 C29
.
10
C. 219 C29
.
Lời giải
ChọnD
Số hạng tổng quát trong khai triển Tk 1 C29k m 29 k 2n C29k 2 m 29 k n k .
k
k
19
Hệ số của m10 n19 ứng với k 19 là C29
2 219 C2910 .
19
Câu 15. [Mức độ 2] Giá trị của n thỏa mãn Cnn83 5 An3 6 là
A. n 6 .
B. n 20 .
C. n 15 .
D. n 17 .
Lời giải
Chọn D
Điều kiện: n .
Cnn83 5 An3 6
n 8 ! 5. n 6 ! n 8! 5. n 6 ! n 7 n 8 5
5!
120
n 3!5! n 3 !
n 17 n
.
n 2 15n 56 600 n 2 15n 544 0
n 32 l
Vậy n 17 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 16. [Mức độ 2] Cho v 3;3 và đường tròn C : x 2 y 2 2 x 4 y 4 0 . Ảnh của C qua Tv
là C có phương trình là
A. x 4 y 1 4 .
B. x 4 y 1 9 .
C. x 4 y 1 9 .
D. C : x2 y 2 8x 2 y 4 0 .
2
2
2
2
2
2
Lời giải
Chọn B
C có tâm I 1; 2 , bán kính
C
R 3.
là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ v 3;3 sẽ có tâm I và bán kính
R R 3 .
xI 1 3
x 4
Ta có: Tv I I
I
.
y I 2 3 y I 1
Vậy C : x 4 y 1 9 .
2
2
Câu 17. [Mức độ 2] Một lớp có 40 học sinh trong đó có 3 cán bộ lớp. Tính xác suất để chọn được 3
em trong lớp đi dự đại hội Đồn trường sao cho trong 3 em đó ln có cán bộ lớp.
A.
999
.
4940
B.
211
.
988
C.
111
.
520
D.
113
.
520
Lời giải
Chọn B
+ Một lớp có 3 em cán bộ lớp và 37 em không là cán bộ lớp.
3
+ n C40
.
+ Gọi A là biến cố “chọn ra 3 em sao cho trong ba em đó ln có cán bộ lớp”.
3
+ A : biến cố “chọn ra 3 em không là cán bộ lớp”, suy ra n A C37
.
3
C37
211
.
3
C40 988
Câu 18. [Mức độ 2] Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 . Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất
để có 5 thẻ mang số lẻ, 5 thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có một thẻ mang số chia hết cho 10 .
99
55
99
199
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
500
254
667
667
+ Xác suất của biến cố A là: P A 1 P A 1
Lời giải
Chọn C
+ Trong 30 tấm thẻ có: 15 tấm thẻ lẻ; 12 thẻ chẵn không chia hết cho 10 và 3 thẻ chẵn chia
hết cho 10 .
10
+ n C30
.
+ Gọi A là biến cố “chọn ra 5 thẻ mang số lẻ, 5 thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có một thẻ
mang số chia hết cho 10 ”.
n A C155 .C124 .C31 .
+ Xác suất của biến cố A là P A
n A
n
C155 .C124 .C31 99
.
10
C30
667
Câu 19. [Mức độ 1] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tọa độ ảnh của A 1;2 qua Tv , v 2; 1 .
A. M 3;1 .
B. N 1;3 .
C. P 3;1 .
D. Q 3; 1 .
Lời giải
Chọn A
Gọi M x ; y là toạ độ ảnh của A 1;2 qua Tv , v 2; 1 .
x x A 2
x 1 2 3
M 3;1 .
y y A 1 y 2 1 1
Câu 20. [Mức độ 2] Số đường chéo của một đa giác lồi 20 cạnh là
A. 320 .
B. 170 .
C. 360 .
D. 190 .
Lời giải
Chọn B
Phương pháp tự luận:
Đường chéo là đoạn thẳng nối giữa một đỉnh bất kỳ của đa giác và một đỉnh khác khơng liên kề
với nó. Suy ra số đường chéo của một đa giác được tính bằng cách lấy số đoạn thẳng qua 2
đỉnh bất kỳ của đa giác trừ đi số cạnh của nó.
Do đó, với đa giác lồi 20 cạnh ( 20 đỉnh) có: C202 20 170 (đường chéo).
Phương pháp trắc nghiệm:
n(n 3)
, với n 20 ta có số đường chéo là 170 .
2
Câu 21. [Mức độ 2] Nghiệm của phương trình lượng giác cos 2 x cos x 0 thỏa mãn điều kiện
0 x là
A. x .
B. x .
C. x .
D. x 0 .
2
2
Số đường chéo của đa giác lồi n cạnh là
Lời giải
Chọn A
x k
cos x 0
Ta có cos x cos x 0
k Z .
2
cos x 1
x k 2
2
Vì 0 x nên x
2
.
Chú ý: Bài này khơng cần giải: vì nhìn thấy các phương án B, C, D không thuộc khoảng 0;
Câu 22. [Mức độ 2] Một đội ngũ giáo viên gồm 8 thầy giáo dạy Tốn, 5 cơ giáo dạy Vật lý và 3 cơ giáo
dạy Hóa học. Sở giáo dục cần chọn ra 4 giáo viên để chấm thi THPT Quốc Gia. Xác suất để
trong 4 giáo viên được có đủ 3 môn là
3
5
3
3
A.
.
B.
.
C. .
D. .
11
13
7
8
Lời giải
Chọn C
Chọn 4 giáo viên bất kỳ từ 16 giáo viên có C164 cách nên n C164 1820 .
Gọi A : “ Chọn được 4 giáo viên có đủ 3 mơn “
Chọn được 4 giáo viên có đủ 3 mơn tức là chọn (2 Tốn, 1 Lý, 1 Hóa) hoặc (1 Tốn, 2 Lý, 1
Hóa) hoặc (1 Tốn, 1 Lý, 2 Hóa), suy ra n A C82C51C31 C81C52C31 C81C51C32 780
Vậy P ( A)
n A
n
780 3
.
1820 7
Câu 23. [Mức độ 2] Ba số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển 1 2x là
10
A. 1; 45 x;120 x 2 .
B. 10; 45 x;120 x 2 .
C. 1; 4 x; 4 x 2 .
D. 1; 20 x;180 x 2 .
Lời giải
Chọn D
Số hạng thứ k 1 của khai triển Tk 1 C10k 2k x k ; k ; 0 k 10 .
Số hạng thứ 1: T1 C100 20 1 .
Số hạng thứ 2: T2 C101 21 x 20 x .
Số hạng thứ 3: T3 C102 22 x 2 180 x 2 .
Câu 24. [Mức độ 3] Có bao nhiêu số hạng nguyên trong khai triển
A. 15 .
B. 31 .
C. 32 .
Lời giải
345
124
D. 33 .
Chọn C
k
Số hạng thứ k 1 của khai triển Tk 1 C124
3 5 , k ; 0 k 124
124 k
4
k
Số hạng là số nguyên ứng với các giá trị của k thỏa:
124 k 2 m
k 0; k 4; k 8;......; k 124
k 4n
k 0,...,124
k 0; k 4;........; k 124 là cấp số cộng có số hạng thứ nhất bằng 4; công sai bằng 4; số hạng
cuối bằng 124. Vậy có 32 số k nên có 32 số hạng nguyên.
1
Câu 25. [Mức độ 2] Cho cos 2 x . Giá trị của biểu thức M 1 sin 2 x3 cos 2 x bằng
2
45
7
75
A.
.
B.
C. 5 .
D.
.
16
2
16
Lời giải
Chọn A
Ta có: cos 2 x
1
1
3
1
2 cos 2 x 1 cos 2 x sin 2 x .
2
2
4
4
Thay vào biểu thức suy ra M
Câu 26. [Mức độ 2] Cho sin x
A.
1 3 7
.
16
45
.
16
3
và 0 x . Giá trị biểu thức M cos 2 x sin 2 x bằng
4
2
B.
1 3 7
8
C.
1 3 7
.
8
D.
1 3 7
.
8
Lời giải
Chọn C
Ta có: M cos 2 x sin 2 x 2 cos 2 x 1 2sin x cos x .
Vì sin 2 x cos 2 x 1 cos x
7
( cos x 0 vì 0 x ).
4
2
1 3 7
.
8
Câu 27. [Mức độ 2] Trong mặt phẳng Oxy , ảnh của điểm M 6;1 qua phép quay Q O , 90 là
Thay số ta được M
A. M ' 1; 6 .
B. P 1;6 .
C. Q 6; 1 .
Lời giải
Chọn A
D. R 6;1 .
Ảnh của điểm M 6;1 qua phép quay Q O , 90 là điểm M 1; 6 .
Câu 28. [Mức độ 2] Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Trên đường thẳng a có 6 điểm
phân biệt và trên đường thẳng b có 5 điểm phân biệt. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu tam giác
có các đỉnh là các điểm nằm trên hai đường thẳng a và b đã cho?
A. 165 .
B. 180 .
C. 135 .
D. 200 .
Lời giải
Chọn C
Trên đường thẳng a và b có tất cả 11 điểm phân biệt.
Số cách lấy ra ba điểm phân biệt từ 11 điểm là C113 (cách).
Số cách lấy ra ba điểm thẳng hàng là C63 C53 .
Do đó số cách lấy ra ba điểm không thẳng hàng là C113 C63 C53 .
Vậy số tam giác có các đỉnh là các điểm nằm trên hai đường thẳng a và b đã cho:
C113 C63 C53 135 .
Câu 29. [Mức độ 2] Cho đường thẳng d có phương trình x y 2 0 . Phép vị tự tâm O (0; 0) tỷ số
k 2 biến d thành đường thẳng nào ?
A. 2 x 2 y 4 0 .
B. 4 x 4 y 5 0 . C. x y 4 0 .
Lời giải
D. x y 4 0 .
Chọn C
Ta lấy M (2;0) d
Giả sử phép vị tự tâm O (0; 0) tỷ số k 2 biến đường thẳng d thành dường thẳng d ' .Ta có
phép vị tự tâm O (0; 0) tỷ số k 2 biến điểm M (2;0) thành điểm M '(4; 0) d ' . Theo
tính chất của phép vị tự phương trình đường thẳng d ' có dạng x y c 0 .
Do M '(4; 0) d ' nên ta có c 4 . Vậy d ' có phươngtrình: x y 4 0
Câu 30. [Mức độ 2] Phương trình lượng giác
A. x
k .
6
B. x
cos x 3 sin x
0 có nghiệm là :
1
sin x
2
7
k 2 .
6
C. Vơ nghiệm.
Lời giải
Chọn B
D. x
k 2 .
6
x k 2
1
6
Điều kiện sin x 0
(k )
5
2
x
k 2
6
Ta có :
cos x 3 sin x
0 cos x 3 sin x 0
1
sin x
2
1
3
cos x
sin x 0
2
2
x l
6
cos ( x ) 0
3
7
k 2 k .
6
Câu 31. [Mức độ 2] Cho một hộp đựng 10 viên bi, trong đó có 5 viên bi màu đỏ, 3 viên bi màu xanh
và 2 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên một lần hai viên bi. Xác suất để lấy ra hai viên bi cùng
màu là
31
7
7
14
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
45
9
15
45
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x
Lời giải
Chọn D
Ta có n C102 45 .
Số cách chọn 2 viên bi cùng màu n A C52 C32 C22 14 .
P A
n A 14
.
n 45
Câu 32. [Mức độ 2] Cho đường tròn C : x 2 y 2 6 x 12 y 9 0 . Tìm ảnh của C qua phép vị tự
tâm O 0; 0 tỉ số k
1
.
3
A. x 1 y 2 9 .
B. x 1 y 2 1 .
C. x 1 y 2 16 .
D. x 1 y 2 4
2
2
2
2
2
2
2
2
Lời giải
Chọn D
Gọi I , R lần lượt là tâm và bán kính của đường trịn C . Ta có I 3;6 , R 6 .
1
Gọi I , R là ảnh của I , R qua phép vị tự O 0;0 tỉ số k . Khi đó I 1; 2 , R 2 .
3
1
2
2
Suy ra ảnh của C qua phép vị tự tâm O 0; 0 tỉ số k là x 1 y 2 4 .
3
Câu 33. [Mức độ 1] Phương trình
3 sin 3x cos3x 1 tương đương với phương trình nào sau đây:
1
1
A. sin 3x
. B. sin 3 x
. C. sin 3 x .
6 6
6 2
6 2
Lời giải
Chọn B
1
D. sin 3 x .
6
2
3 sin 3x cos3x 1
sin 3x.cos
6
sin
Vậy phương trình
6
3
1
1
sin 3 x cos 3 x
2
2
2
.cos 3 x
1
1
.
sin 3 x
2
6 2
1
3 sin 3x cos3x 1 tương đương với phương trình sin 3 x .
6 2
Câu 34. [Mức độ 1] Điều kiện xác định của hàm số y
A. x k
2
.
B. x k 2 .
1
1
là
sin 2 x cos 2 x
C. x k
4
.
D. k .
Lời giải
Chọn C
Điều kiện xác định của hàm số
sin 2 x 0
2sin 2 x cos 2 x 0 sin 4 x 0 4 x k x k , với k .
cos
2
x
0
4
Câu 35. [Mức độ 1] Trong mặt phẳng Oxy cho v 2;1 và điểm A 4;5 . Hỏi A là ảnh của điểm nào
trong các điểm sau qua phép tịnh tiến theo vectơ v .
A. M 1;6 .
B. N 2;4 .
C. P 4;7 .
D. Q 3;1 .
Lời giải
Chọn B
Gọi X x, y là điểm cần tìm.
4 x 2
x 2
x A x xv
Ta có Tv X A
.
y 4
5 y 1
y A y yv
Vậy điểm cần tìm có tọa độ 2; 4 .
Câu 36. [Mức độ 2] Cho v 4; 2 và đường thẳng : 2 x y 5 0 . Hỏi là ảnh của đường thẳng
nào qua phép tịnh tiến theo vectơ v .
A. : 2 x y 13 0 .
B. : x 2 y 9 0 .
C. : 2 x y 15 0 .
D. : 2 x y 15 0 .
Lời giải
Chọn D
Do Tv nên n 2; 1 là một vectơ pháp tuyến của .
Lấy M 3;1 và gọi M x , y sao cho Tv M M .
3 x 4 x 7
Ta có biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:
.
1 y 2
y 1
Phương trình đường thẳng cần tìm là: 2 x 7 1 y 1 0 2 x y 15 0 .
Câu 37. [Mức độ 1] Trong mặt phẳng Oxy , ảnh của điểm M 3; 2 qua phép quay Q O;900 là
A. Q 2; 3 .
B. R 2;3 .
C. P 2; 3 .
D. N 3; 2 .
Lời giải
Chọn A
Ta có biểu thức tọa độ của phép quay tâm O , góc quay 900 là
x yM
Q O;900 M M M
y M xM
Từ đó suy ra tọa độ ảnh của điểm M 3; 2 qua phép quay Q O;900 là 2; 3 .
Câu 38. [Mức độ 2] Nghiệm của phương trình sin 3 x 2 cos 2 x cos 3 x là
A. x
20
k 2 .
B. x
4
2
x 20 k 5
C.
.
x k 2
4
k 2 .
2
x 20 k 5
D.
.
x k 2
2
Lời giải
Chọn C
Ta có
sin 3 x 2 cos 2 x cos 3 x sin 3x 2 cos 2 x cos 3x
sin 3x cos 3x 2 cos 2 x
1
2
sin 3 x
1
2
cos 3 x cos 2 x
x k 2
3 x 2 x k 2
4
4
,k
cos 3 x cos 2 x
4
x k 2
3 x 2 x k 2
20
5
4
1
Câu 39. [Mức độ 2] Phương trình sin x có nghiệm thỏa x là:
2
2
2
5
k 2 .
A.
B. .
C. k 2 .
D. .
6
6
3
3
Lời giải
Chọn B
x 6 k1 2
1
Ta có: sin x
k1 , k2
2
x 5 k 2
2
6
1
1
2 6 k1 2 2
3 k1 6
Mà x nên
2
2
5 k 2
2 k 1
2
2
3
6
2
6
2
Do k1 , k 2 nên chỉ có duy nhất một giá trị k1 0 thỏa mãn đề bài.
Vậy x
là giá trị duy nhất thỏa đề bài.
6
Câu 40. [Mức độ 2] Phương trình 6 cos 2 x 5 cos x 4 0 có nghiệm là:
2
2
A. x
k 2 .
B. x
k .
3
3
C. x
3
k .
D. x
3
k 2 .
Lời giải
Chọn A
Ta có
6 cos 2 x 5cos x 4 0 3cos x 4 2 cos x 1 0
4
cos x 3 l
2
x
k 2 k
1
3
cos x
2
Câu 41. [Mức độ 2] Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : 2 x y 2 0 . Phép vị tự tâm O 0;0
tỉ số k 2 biến d thành đường thẳng nào sau đây?
A. 2 x y 4 0 .
B. 2 x y 2 0 .
C. x y 4 0 .
D. 2 x y 4 0 .
Lời giải
Chọn D
Có điểm A 1;0 thuộc d . Gọi A x ; y là ảnh của A qua phép vị tự tâm O 0;0 tỉ số k 2 .
x 2.1 2
Khi đó, OA 2OA
A 2;0 .
y 2.0 0
Gọi d là ảnh của d qua phép vị tự tâm O 0;0 tỉ số k 2 . Suy ra d // d .
Do đó ta có d : 2 x 2 1 y 0 0 2 x y 4 0 .
Câu 42. [Mức độ 3] Có 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9 . Chọn ngẫu nhiên ra 2 tấm thẻ. Tính xác
suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ là số chẵn.
A.
1
.
6
B.
5
.
9
C.
13
.
18
D.
11
.
18
Lời giải
Chọn C
Để tích của hai số trên hai tấm thẻ là số chẵn thì tấm được chọn ra có ít nhất một tấm được
đánh số chẵn.
Gọi là khơng gian mẫu, ta có C92 .
Gọi A là biến cố "tích của hai số trên hai tấm thẻ là số chẵn"
A là biến cố "tích của hai số hai tấm thẻ là số lẻ", ta có A C52 .
C52
C52 13
P
A
1
.
C92
C92 18
Câu 43. [Mức độ 2] Tìm m để phương trình 5cos x m sin x m 1 có nghiệm.
A. m 24 .
B. m 24 .
C. m 13 .
D. m 12 .
P A
Lờigiải
Chọn D
Phương trình 5cos x m sin x m 1 có nghiệm
2
2
m 1 52 m 2m 1 25 m 12 .
9
1
Câu 44. [Mức độ 2] Số không chứa x trong khai triển 2 x 2 là
2x
A. 672 .
B. 670 .
C. 670 .
D. 672 .
Lờigiải
Chọn D
Ta có
9
k
9
9
9
1
1
9 k
k k 2 k
k
k
k 9 k 9 k
k
92 k 93 k
.
2 x 2 C9 2 x . 2 C9 2 x . 1 2 .x C9 1 .2 .x
2 x k 0
2 x k 0
k 0
Số hạng không chứa x ứng với 9 3k 0 k 3 .
Số hạng không chứa x là C39 1 .23 672 .
3
Câu 45. [Mức độ 2] Biết n là số nguyên dương thỏa mãn: An5 30 An4 2 .
A. n 8, n 6 .
B. n 6, n 25 .
C. n 8, n 25 .
D. n 5, n 3 .
Lời giải
Chọn B
Điều kiện: n 6, n .
An5 30 An4 2
n 2 ! n n 1 30 n 2 31n 150 0 n 6 .
n!
30
n 25
n 5
n 5!
n 6 !
Vậy n 6, n 25 .
Câu 46. [Mức độ 2] Một tổ có 10 học sinh trong đó có 5 học sinh nam, 5 học sinh nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp các học sinh trong tổ thành hàng dọc sao cho nam, nữ đứng xen kẽ.
A. 28800 .
B. 14400 .
C. 2880 .
D. 5760 .
Lời giải
Chọn A
Nếu học sinh nam đứng đầu hàng sẽ có 5! cách sắp 5 học sinh nam và có 5! cách sắp 5 học
sinh nữ xen kẽ nhau. Suy ra có 5!.5! cách sắp.
Nếu học sinh nữ đứng đầu hàng sẽ có 5! cách sắp 5 học sinh nữ và có 5! cách sắp 5 học sinh
nam xen kẽ nhau. Suy ra có 5!.5! cách sắp.
Vậy có 2.5!.5! 28800 cách sắp.
Câu 47. [Mức độ 2] Giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin 2 x 2cosx 5 là
A. 5 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 1.
Lời giải
Chọn B
y sin 2 x 2cos x 5
Viết lại y cos 2 x 2 cos x 4 cos x 1 3 3.
2
Dấu " " xảy ra khi cos x 1 x k 2 ; k .
Vậy Miny 3.
Câu 48. [Mức độ 2] Trong mặt phẳng Oxy cho v 1;3 và đường tròn C : x 2 y 2 2 x 4 y 4 0.
Ảnh của C qua Tv là C ' có phương trình
A. x 2 y 1 1 .
B. x 2 y 1 1 .
C. x 2 y 1 1 .
D. x 2 y 1 1 .
2
2
2
2
2
2
2
2
Lời giải
Chọn A
Đường tròn C tâm I 1; 2 ; R 1.
Phép tịnh tiến theo vectơ v 1;3 biến điểm I 1; 2 thành điểm I ' 2;1 .
Đường tròn C ' tâm I ' 2;1 và bán kính R ' R 1 .
Vậy đường trịn C ' có phương trình: x 2 y 1 1.
2
2
Câu 49. [Mức độ 2] Cho 15 điểm nằm trên mặt phẳng, trong đó có 5 điểm nằm trên một đường thẳng,
ngồi ra khơng có bất cứ 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 3
điểm trong số 15 điểm đã cho.
A. 225 .
B. 425 .
C. 445 .
D. 145 .
Lời giải
Chọn C
1 2
TH1: Lấy một điểm trong 5 điểm thẳng hàng có: C5.C10 225 ( cách ).
2 1
TH2: Lấy hai điểm trong 5 điểm thẳng hàng có: C5 .C10 100 ( cách ).
TH3: Khơng lấy điểm trong 5 điểm thẳng hàng có:C 103 120 ( cách ).
Vậy số tam giác cần tìm là: 225 100 120 445 .
Câu 50. [Mức độ 2] Một hộp đựng 5 quả cầu màu đỏ, 4 quả cầu màu xanh và 2 quả cầu màu trắng. Lấy
ngẫu nhiên cùng một lúc ra 3 quả. Xác suất để lấy ra 3 quả cầu cùng màu là
A.
13
.
45
B.
31
.
45
C.
14
.
165
Lời giải
Chọn C
Số phần tử không gian mẫu là: n C113 165 .
Gọi A là biến cố lấy ra 3 quả cầu cùng màu.
Số phần tử của biến cố A là: n A C53 C43 14.
Xác suất để lấy ra 3 quả cầu cùng màu là: P A
n A 14
.
n 165
PHẦN II: TỰ LUẬN
Câu 1.
Giải phương trình sau:
a) 2 sin 2 x 7 sin x 9 0
b) cos 2 x 2sin x 3 0
Lời giải
sin x 1
a) 2 sin x 7 sin x 9 0
x k 2
9
sin x
2
VN
2
2
D.
151
.
165
k 2 ( k )
2
b) cos 2 x 2sin x 3 0 1 2 sin 2 x 2 sin x 3 0 sin 2 x sin x 2 0
sin x 1
x k 2
2
sin x 2 VN
PT có nghiệm: x
PT có nghiệm: x
2
k 2 ( k )
Câu 2. Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển x 2 biết Cnn Cnn 1 Cnn 2 79 .
n
Lời giải
* Cnn Cnn 1 Cnn 2 79 . Đk: n * , n 2
Dùng công thức Cnk Cnn k ta có:
Cnn Cnn 1 Cnn 2 79 1 Cn1 Cn2 79 n
n!
n(n 1)
78 n
78
2!(n 2)!
2
n 12 TM
n 2 n 156 0
n 12
n 13 L
12
* x 2 C12k x12 k 2 (Đk: k , 0 k 12 )
12
k
k 0
Số hạng chứa x8 ứng với 12 k 8 k 4 (TM)
Vậy số hạng chứa x8 là: C124 x8 (2) 4 7920 x 8
Câu 3.
a) Kí hiệu Pn là số các hốn vị của n phần tử n * . Chứng minh rằng Pn Pn 1 n 1 Pn1
b) Tính S P1 2 P2 3P3 ... nPn .
Lời giải
a) Ta có VT Pn Pn 1 n ! n 1 ! n 1 !.n n 1!
n 1 . n 1 ! n 1 Pn1 VP
Vậy Pn Pn 1 n 1 Pn1 luôn đúng n *
b) Xét k .k ! k 1 1 k ! k 1 k ! k ! k 1 ! k !
Do đó 1.1! 2! 1!
2.2! 3! 2!
3.3! 4! 3!
……….
n.n ! n 1 ! n !
Cộng các vế ta có: 1.1! 2.2! 3.3! ... n.n ! n 1! 1! n 1 ! 1
Do đó S P1 2 P2 3P3 ... nPn 1! 2.2! 3.3! ... n.n ! n 1! 1 .
Câu 4.
Giải phương trình 2 cos 2 2 x cos 2 x 1 0 .
Lời giải
x k
cos 2 x 1
2 x k 2
2
Ta có 2 cos 2 2 x cos 2 x 1 0
k .
1
cos 2 x
2 x k 2
x k
2
3
6
Vậy phương trình có các họ nghiệm là x
Câu 5.
2
k và x
6
k với k .
Một nhóm học sinh gồm 6 nam và 9 nữ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 5 học sinh để thành lập đội
văn nghệ. Tính xác suất sao cho trong 5 học sinh được chọn có ít nhất 4 học sinh nữ.
Lời giải
Gọi A là biến cố “ Trong 5 học sinh được chọn có ít nhất 4 học sinh nữ ”.
Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn 5 học sinh tuỳ ý trong 15 học sinh
n C155 3003 cách chọn.
Để tìm số phần tử của biến cố A ta xét 2 trường hợp sau.
Trường hợp 1: Chọn 4 học sinh nữ và 1 học sinh nam có C94 .C61 756 cách chọn.
Trường hợp 2: Chọn 5 học sinh nữ có C95 126 cách chọn.
Nên n A 756 126 882 cách chọn.
Do đó xác suất của biến cố A là P A
n A
n
882
42
.
3003 143
Vậy xác suất sao cho trong 5 học sinh được chọn có ít nhất 4 học sinh nữ là P A
Câu 6.
42
.
143
Cho tứ diện ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh AB , N thuộc cạnh AC sao cho
NA 2 NC , P thuộc cạnh BD sao cho PB 3PD .
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng MNP và BCD .
b) Xác định giao điểm I của đường thẳng CD và mặt phẳng MNP ; giao điểm J của đường
thẳng AD và mặt phẳng MNP . Từ đó suy ra ba điểm N , I , J thẳng hàng.
c) Giả sử P di động trên cạnh BD . Gọi K là giao điểm của đường thẳng MI và đường thẳng
NP . Chứng minh rằng K thuộc một đường thẳng cố định.
Lời giải
A
M
N
K
C
B
P
D
J
I
H
P MNP
a) Ta có
P MNP BCD
P BD BCD
Trong mặt phẳng ABC , do
(1)
AM AN
nên MN cắt BC . Gọi H MN BC .
AB AC
H MN MNP
Lúc đó
H MNP BCD
H BC BCD
(2)
Từ (1) và (2) suy ra MNP BCD PH .
I CD
b) Trong BCD , gọi I CD PH ta có
I CD MNP .
I PH MNP
J AD
Trong ABD , gọi J AD MP ta có
J AD MNP .
J MP MNP
N MNP ACD
Dễ thấy rằng I MNP ACD . Suy ra 3 điểm N , I , J thẳng hàng.
J MNP ACD
c)
A
M
N
K
C
B
P
I
D
K MI MDC
Ta có K MI NP
K MDC NBD .
K NP NBD
Suy ra, K thuộc giao tuyến của MDC và NBD (là một đường thẳng cố định). (đpcm)
Câu 7.
Cho hình chóp S . ABCD , có đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm
M thuộc cạnh SA .
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: SAC và SBD ; MBC và SAD .
b) Tìm giao điểm Q của đường thẳng MC với mặt phẳng SBD và tìm giao điểm P của
đường thẳng SB với mặt phẳng MCD .
Lời giải
a) Tìm giao tuyến của SAC và SBD :
Ta có: S SAC SBD
1
Trong mặt phẳng ABCD , gọi O AC BD .
O AC , AC SAC
Khi đó:
O SAC SBD
O BD, BD SBD
Từ 1 và 2 , suy ra SO SAC SBD .
2
* Tìm giao tuyến của MBC và SAD :
M SA
Ta có:
M SAD M SAD MBC
SA SAD
Trong mặt phẳng ABCD , gọi K AD BC .
3
K AD, AD SAD
Khi đó:
K SAD MBC
K BC , BC MBC
Từ 3 và 4 , suy ra MK SAD MBC .
4
b) Tìm giao điểm Q của đường thẳng MC với mặt phẳng SBD :
Trong mặt phẳng SAC , gọi Q MC SO , suy ra Q MC
5
Q SO
Ta có:
Q SBD
SO SBD
Từ 5 và 6 , suy ra Q MC SBD .
6
* Tìm giao điểm P của đường thẳng SB với mặt phẳng MCD :
Trong mặt phẳng SBD , gọi P DQ SB . Suy ra P SB
P DQ
Ta có:
P MCD
DQ MCD
Từ 7 và 8 , suy ra P SB MCD .
7
8
Câu 8.
a) Giải phương trình sau cos2 x sin x 1 0 .
b) Giải phương trình Cn1 6Cn2 6Cn3 9n 2 14n .
0
2
4
2000
c) Chứng minh đẳng thức sau: C2001
32 C2001
34 C2001
.... 32000 C2001
2 2000 22001 1
Lời giải
