De thi chon HSG

ĐỀ THI HSG TOÁN 6 LÀN THỨ III
Năm học 2010 - 2011 (thời gian 150phút)
Câu 1:(3điểm). Cho
1
1
1
1
+
+
+ .... +
3.8 8.13 13.18
33.38
1
1
1
1
B=
+
+
+ .... +
3.10 10.17 17.24
31.38
A=

A
B

Tính tỷ số .
Câu 2: (3điểm). Cho A = 3 + 32+ 33 +...+ 32010
a, Rút gọn A.
b, Tìm x để 2A + 3 = 3x.

Câu 3: (3điểm). Tìm số tự nhiên có ba chữ số sao cho khi lấy số đó chia cho 11 thì
được thương bằng tổng các chữ số của số phải tìm.
Câu 4: (5điểm). Ba máy bơm cùng bơm vào một bể lớn, Nếu dùng cả máy I và máy
II thì sau 1 giờ 20 phút bể sẽ đầy, dùng cả máy II và máy III thì sau 1 giờ 30 phút bể
sẽ đầy, dùng cả máy I và máy III thì sau 2 giờ 24 phút bể sẽ đầy. Hỏi nếu mỗi máy
bơm được dùng một mình thì bể sẽ đầy trong bao lâu.
Câu 5: (4điểm). Trên đường thẳng xy xác định điểm O. Vẽ trên cùng một nữa mặt
phẳng bờ xy các góc xOa = 400, yOb = 750 Tính số đo của góc kề bù với góc aob.
Câu 6: (2điểm). Chứng minh rằng phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n.
n +1
2n + 3


Cõu
1

P N
NI DUNG
ử 1ổ1 1 ữ
ử
ổ
ử
1ổ1 1ử 1ổ
ỗỗ1 - 1 ữ
ỗỗ - ữ+ .... + 1 ỗỗ 1 - 1 ữ
ữ
ữ
ữ
A = ỗỗỗ - ữ
+

+
ữ
ỗỗ8 13ữ
ỗỗ13 18ữ
ỗỗ33 38ứ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ3 8ữ
5ố
5ố
ứ 5ố
ứ 5ố
ứ
ử
1ổ1 1 1 1 1 1
1 1ữ
ữ
= ỗỗỗ - + + + ... + ữ
5ỗố3 8 8 13 13 18
33 38ữ
ứ
ổ
ử
1 1 1ữ
ữ
= ỗỗỗ ữ
5ỗố3 38ữ
ứ

IM
0,75

0,5

ử 1 ổ1 1 ử
ử
1 ổ1 1 ử 1 ổ
1ổ
ỗỗ 1 - 1 ữ
ỗỗ - ữ
ỗỗ 1 - 1 ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
B = ỗỗỗ - ữ
+
+
+
....
+
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗỗ10 17ứ
ỗỗ17 24ứ
ỗỗ31 38ứ

ữ 7ố
ữ 7ố
ữ
ữ
7 ỗố3 10ứ
7ố
1 ổ1 1 1 1 1 1
1 1ử
ữ
ữ
= ỗỗỗ + + + ... + ữ
ữ
ỗ
7 è3 10 10 17 17 24
31 38ø

0,75

ư
1 ỉ1 1 ÷
÷
= ççç ÷
7 çè3 38÷
ø

0,5
1
A
7
= 5=

B
1
5
7

2

3

0,5

Suy ra:
a, A = 3 + 32 + 33 + ...+ 32010
3A = 32 + 33 + 34+...+ 32011
Þ 2A = 32011 - 3
Suy ra: 2A + 3 = 3x
Þ
32011 - 3 + 3 = 3x
Þ
32011 = 3x
Þ
x = 2011

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

Gọi số đó là xyz Trong đó 1 £ x

£

9, 0 £ y,z £ 9 ,x,y,z

Ỵ

0,5

Theo đề ra ta có : xyz M11 = x + y + z

xyz = 11(x + y + z)

Þ

100x + 10y + z = 11x + 11y + 11z

Þ

89x = 10z + y

Do zy < 100

4

0,5

Û

Þ

Û

0,5
0,5

89x = zy (*)

89x < 100

N

Þ

x

£

1 mà x ¹ 0

Thay x = 1 vào (*) ta có : 89.1 = zy Þ
Thử lại : 198:11 = 18 = 1 + 9 + 8
Vậy số phải tìm là 198
Ta quy ước dung tích của bể là đơn vị.

Þ

x=1

zy = 89

0,5
0,5


1h20' =
Ta có:

4
3
12
h,1h30' = h,2h24' =
h
3
2
5

3
Như vậy : Trong 1h, vòi I và vòi II chảy được: 4 (bể)
2
Trong 1h, vòi II và vòi III chảy được: 3 (bể)
5
Trong 1h, vòi I và vòi III chảy được: 12 (bể)

Suy ra trong 1h c 3 vũi chy c:
ổ
ử
3 2
5ữ

11
ỗ
ữ
+
+
:
2
=
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
12
ố4 3 12ữ
ứ

(b)

11 3 1
- =
12
4 6 (bể)
Trong 1h, vòi III chảy được:
11 2 1
- =
12
3 4 (bể)
Trong 1h, vòi I chảy được:
11 5 1
=

Trong 1h, vòi II chảy được: 12 12 2 (bể)

Vậy : vịi I chảy một mình 4h sẽ đầy bể
vịi II chảy một mình 2h sẽ đầy bể
vịi III chảy một mình 6h sẽ đầy bể
5

· + aOy
· = 1800
xOa
( 2 góc kề bù)
·
400 + aOy
= 1800
·
aOy
= 1800 - 400 = 1400

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5

0,5
0,5

Vì tia Ob nằm giữa 2 tia Oy và Oa nên ta có:

0,5
0,5
0,5

·
Số đo của góc kề bù với góc aOb bằng: 1800 - 650 = 1150
Gọi d = ƯCLN( 2n + 3, n + 1)

0,5

· = aOb
· + yOb
·
aOy
· + 750 Þ aOb
· = 1400 - 750 = 650
1400 = aOb
Þ

6

0,5

Þ

2n + 3 Md và n + 1 Md

Þ

2( n + 1) Md

Þ

2n + 3 - 2( n + 1) Md

1 Md Þ d = 1
Vậy ƯCLN( 2n + 3, n + 1) = 1
Þ

n +1
Hay 2n + 3 là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n.

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25