Ảnh hưởng của chirp tần số trong sự hình thành và lan truyền xung cực ngắn trong môi trường phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
*****************

BÙI XUÂN KIÊN

ẢNH HƯỞNG CỦA CHIRP TẦN SỐ
TRONG SỰ HÌNH THÀNH VÀ LAN TRUYỀN
XUNG CỰC NGẮN TRONG MÔI TRƯỜNG PHI TUYẾN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

- 2013 -


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
*****************

BÙI XUÂN KIÊN

ẢNH HƯỞNG CỦA CHIRP TẦN SỐ
TRONG SỰ HÌNH THÀNH VÀ LAN TRUYỀN
XUNG CỰC NGẮN TRONG MÔI TRƯỜNG PHI TUYẾN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ
Chuyên ngành: Quang học
Mã số: 62 44 01 09

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. Trịnh Đình Chiến

VINH - 2013


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan nội dung của bản luận án này là cơng trình nghiên cứu
của riêng tơi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Trịnh Đình Chiến. Các số liệu,
kết quả trong bản luận án là hoàn tồn trung thực và chưa ai cơng bố trong bất
cứ luận án nào hoặc các cơng trình nào khác.

Tác giả luận án

Bùi Xuân Kiên


LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS
Trịnh Đình Chiến, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy
giáo, những người đã đặt đề tài, dẫn dắt tận tình và động viên tác giả trong suốt
quá trình nghiên cứu để hoàn thành luận án.
Tác giả xin được chân thành cảm ơn các thầy giáo, các nhà khoa học và
các bạn đồng nghiệp, Khoa Vật lý và Công nghệ, phòng Đào tạo Sau đại học
– Trường Đại học Vinh, Viện KH & CNQS – Bộ Quốc phòng, Viện Vật liệu
– Viện hàn lâm khoa học Việt Nam đã đóng góp những ý kiến khoa học bổ ích
cho nội dung luận án, tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập
và nghiên cứu
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu trường Đại học
Điện lực, khoa Khoa học cơ bản, phòng chức năng khác của trường đã giúp đỡ
và tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập và nghiên cứu luận án
Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới bạn bè, người thân trong gia

đình đã quan tâm, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu và
hoàn thành luận án.
Xin trân trọng cảm ơn!
Tác giả luận án

Bùi Xuân Kiên


MỞ ĐẦU
Sợi quang là một trong những môi trường phi tuyến vì chiết suất thay
đổi theo cường độ của ánh sáng mạnh lan truyền. Các xung Laser ngắn và cực
ngắn ln ln có cường độ lớn, vì vậy chúng chịu tác động bởi các hiệu ứng
phi tuyến của môi trường sợi quang. Lan truyền xung laser ngắn và cực ngắn
trong sợi quang đã gắn với hàng loạt hiện tượng quan trọng trong thực tế [30,
31, 34, 51, 52, 54, 61]. Tính chất tán sắc và phi tuyến của sợi quang dẫn đến
nhiều bức tranh khác nhau của quá trình tiến triển xung, trong đó, chủ yếu là
thay đổi dạng xung, phổ và chirp tần số [77, 80]. Sợi quang học đầu tiên đã
được chế tạo trong năm 1966 [37] cùng với sự xuất hiện của laser, tuy nhiên
sợi quang lúc này có hệ số hấp thụ cao nên chưa được sử dụng trong thông tin
quang học. Nhưng dựa vào kết quả này, một đề xuất về cấu trúc sợi dẫn quang
đơn mốt đã được đưa ra bằng tính tốn lý thuyết theo hệ phương trình Maxwell
[23, 47] và từ đó đã phát triển quy trình chế tạo sợi quang có hệ số suy giảm
thấp [42]. Những nghiên cứu các hiệu ứng phi tuyến trong sợi quang với hệ số
suy giảm thấp ngày càng được quan tâm với mục đích bảo đảm hiệu năng
đường truyền (B.L) lớn. Hiện tượng tán xạ Raman [75] và tán xạ Brillouin [33]
được nghiên cứu đầu tiên (1972), hiệu ứng Kerr (1973)[50, 83], trộn thông số
bốn sóng (1974)[84] và tự biến điệu xung (1978) [5, 6, 7, 69] là những hiệu
ứng phi tuyến đã được nghiên cứu rất kỹ trong thời gian qua.
Soliton là một trạng thái truyền dẫn đặc biệt của các xung quang ngắn và
cực ngắn lan truyền trong mơi trường phi tuyến vì chúng không bị méo dạng

xung do tán sắc và không suy giảm về năng lượng [29]. Lý thuyết về xung
soliton quang học đã được đề cập trong năm 1973 như là kết quả của quá trình
cân bằng giữa hiệu ứng tán sắc và hiệu ứng phi tuyến của sợi quang, và quá
trình lan truyền xung soliton đã được xây dựng bảy năm sau đó (1980) [2, 12].
Hiện nay, xung soliton đã được sử dụng như “bit” thông tin trong sợi quang
[31, 60].
1


Phương trình Schrodinger phi tuyến dạng secant cho các lời giải để giải
thích sự tồn tại của xung soliton quang học [10, 12, 53]. Lời giải phương trình
Schrodinger phi tuyến cho xung soliton rất ổn định không những cho dạng
xung secant mà cịn cho các dạng xung khác. Thí dụ, một xung Gauss ban đầu
có thể trở thành xung soliton sau khi lan truyền qua một đoạn sợi quang và giữ
ngun trạng thái đó trong q trình lan truyền qua từng các đoạn lặp. Quãng
thời gian lặp lại được gọi là chu kỳ soliton.
Soliton không chỉ nghiên cứu nhằm ứng dụng trong thơng tin quang mà
cịn được nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực liên quan đến công nghệ tạo xung
cực ngắn và tương tác laser với mơi trường, ví dụ, laser sợi quang, quang học
phi tuyến, vật lý plazma, sinh học,…[9, 13, 29, 97].
Trước khi trở thành xung soliton, các xung laser lan truyền trong sợi
quang chịu tác động của nhiều hiệu ứng khác nhau, tùy thuộc vào tính chất của
môi trường và đặc trưng của xung. Xung laser luôn luôn bị mở rộng do hiệu
ứng tán sắc vận tốc nhóm trong sợi quang, và chính hiện tượng này gây nên
chirp tuyến tính. Xung laser càng ngắn thì tác động của hiệu ứng tán sắc vận
tốc nhóm bậc cao càng rõ ràng [10, 14]. Mặt khác, hiệu ứng tự biến điệu pha
kiểu Kerr của xung laser lan truyền trong sợi quang gây nên hiện tượng chirp
tần số ngược với hiện tượng chirp tần số do tán sắc vận tốc nhóm gây nên [15,
16, 23, 85, 86, 87]. Ngoài ra, các xung laser còn bị ảnh hưởng bởi các hiệu ứng
khác trong sợi quang như bị suy giảm công suất trong quá trình lan truyền hoặc

được khuếch đại trong buồng cộng hưởng [17], do đó có thể tạo ra các xung
laser có dạng khác nhau [18, 92, 95]. Sự cân bằng giữa tác động của các hiệu
ứng lên xung laser khởi phát là điều kiện cần để tạo ra xung soliton quang học
trong môi trường lan truyền [88, 89, 90].
Nghiên cứu biến đổi xung laser lan truyền trong sợi dẫn quang nói
chung và trong laser sợi nói riêng là vấn đề nghiên cứu hấp dẫn trong lĩnh vực
quang tử hiện đại [53].

2


Một số cơng trình nghiên cứu sự phát xung soliton quang học ổn định
trong laser sợi quang đã được tiến hành cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm. Các
cơng trình đáng chú ý nhất là sử dụng phương trình Schrodinger phi tuyến để
khảo sát sự tiến triển của các xung ngắn lan truyền trong sợi quang tán sắc
( môi trường Kerr ), với các dạng xung Parabol [25, 26, 38], Gauss [39],
Secant và Secant có chirp [43]. Tuy nhiên, các nghiên cứu chỉ dừng lại cho
xung laser khởi phát có dạng Parabol, Gauss, Secant và Secant có chirp. Các
xung laser ngắn và cực ngắn dạng Gauss hay siêu Gauss luôn có hiện tượng
chirp tần số khi chúng lan truyền trong môi trường tán sắc (sợi quang) hoặc
yếu tố sinh ra tán sắc ( cách tử Bragg trong sợi quang - FBG ) chưa được
nghiên cứu đến. Theo chúng tôi, đây là vấn đề nghiên cứu lý thú vì chúng có
thể đem lại các kết quả để mở rộng bức tranh tổng thể trong quá trình tạo xung
soliton với các dạng xung laser khởi phát có chirp tần số.
Xuất phát từ lý do nêu trên, chúng tôi đề xuất một số nội dung nghiên
cứu trong luận án với tiêu đề: “Ảnh hưởng của chirp tần số trong quá trình
hình thành và lan truyền xung cực ngắn trong môi trường phi tuyến ”.
Trong luận án này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu quá trình tiến
triển của xung laser khởi phát dạng Gauss có chirp tần số lan truyền trong sợi
quang tán sắc và trong buồng cộng hưởng với mục đích xác định điều kiện

hình thành soliton quang học từ xung này.
Mục đích của luận án:
Khảo sát q trình hình thành và biến dạng xung laser dạng Gauss có
chirp trong laser sợi quang và trong quá trình truyền trong sợi quang tán sắc,
phân tích điều kiện hình thành soliton quang học thời gian từ xung Gauss có
chirp.
Phương pháp nghiên cứu:
Sử dụng các cơng cụ lý thuyết để đưa ra các phương trình mơ tả q
trình truyền lan xung ngắn trong mơi trường tán sắc và môi trường tán sắc

3


khuếch đại và biểu thức cho các điều kiện mô tả sự phụ thuộc giữa các tham số
nguyên lý.
Sử dụng phương pháp số và phần mềm tính tốn để mơ phỏng các quá
trình tiến triển và đặc trưng của xung.
Cấu trúc của luận án:
Chương 1: Trình bày về quá trình lan truyền ánh sáng trong mơi trường
tán sắc nói chung và trong sợi quang nói riêng. Phân tích những hiệu ứng ảnh
hưởng đến quá trình biến dạng xung laser trong mơi trường tán sắc phi tuyến.
Từ đó, trình bày về cấu hình chung của laser sợi quang và một số lý thuyết và
cơng nghệ laser sợi quang.
Chương 2: Trình bày về chirp tần số, quá trình sinh chirp và hủy chirp.
Phân tích ảnh hưởng của chirp lên q trình biến đổi xung trong mơi trường
tán sắc. Từ đó, dẫn ra những vấn đề nghiên cứu trong chương 3 và chương 4.
Chương 3: Dẫn phương trình lan truyền xung Gauss có chirp tần số
trong sợi quang tán sắc cảm ứng và tán sắc bậc ba cho xung Gauss có chirp.
Khảo sát ảnh hưởng của tham số chirp và tham số tán sắc lên quá trình biến đổi
độ rộng xung. Từ biểu thức tính hệ số biến đổi độ rộng xung, tìm điều kiện

xuất hiện soliton. Khảo sát và phân tích ảnh hưởng của tham số chirp bậc ba
lên hệ số biến đổi độ rộng với các xung có độ rộng khác nhau.
Chương 4: Đề xuất mẫu laser sợi quang biến điệu thụ động với buồng
cộng hưởng laser sử dụng cách tử Bragg sợi quang. Dẫn phương trình lan
truyền xung Gauss có chirp tần số trong buồng cộng hưởng. Sử dụng phương
trình đã dẫn ra để khảo sát quá trình biến dạng xung trong buồng cộng hưởng
laser đồng thời tìm điều kiện phát ổn định hay phát soliton thời gian phụ thuộc
vào chiều dài sợi quang.

4


Chương 1
CÁC HIỆU ỨNG PHI TUYẾN TRONG MÔI TRƯỜNG DẪN QUANG
VÀ LASER SOLITON SỢI QUANG
Khi ánh sáng truyền trong môi trường dẫn quang (sợi quang), nó sẽ chịu
nhiều hiệu ứng khác nhau, đặc biệt hiệu ứng phi tuyến đối với xung ngắn và
cực ngắn. Trong chương này chúng ta xem xét các hiệu ứng trên thơng qua
phương trình lan truyền ánh sáng Schrodinger phi tuyến. Tiếp theo, chúng ta
xem xét laser soliton sợi quang hoạt động dựa trên nguyên lý lan truyền ánh
sáng trong sợi quang với các hiệu ứng phi tuyến và nguyên lý hoạt động của
laser. Phương trình Schrodinger phi tuyến đã được áp dụng nghiên cứu lan
truyền xung ánh sáng trong sợi quang đặt trong buồng cộng hưởng biến điệu
thụ động. Phương trình Ginzburg - Landau áp dụng cho laser sợi quang phát
soliton đã được dẫn ra trên cơ sở phương trình Schrodinger phi tuyến kết hợp
với nguyên lý hoạt động của laser.
1.1. Phương trình truyền ánh sáng trong sợi quang
1.1.1. Hệ phương trình Maxwell
Như chúng ta đã biết, bản chất của ánh sáng là một sóng điện từ. Sự lan
truyền của sóng điện từ tuân theo hệ phương trình Maxwell. Xét mơi trường

khơng có nguồn hệ phương trình Maxwell có dạng [1, 10, 12]:

rotE

rotH

div D =0
div B =0
Ở đây E và H là hai véc tơ cường độ điện trường và cường độ từ trường và
D , B là véc tơ cảm ứng từ và cảm ứng điện.


5


Mối liên hệ giữa chúng là:
D=0
B =
0

E+P
0

: là hằng số điện môi trong chân không,

0

là độ từ thẩm trong chân không,

P và M là véc tơ phân cực điện và phân cực từ.

Nói chung quan hệ giữa E và P có thể phi tuyến. Mặc dù quan hệ phi
tuyến đưa lại nhiều vấn đề bên trong sợi quang, nhưng chúng ta có thể bỏ qua
trong trường hợp sợi quang đơn mode. P và E liên hệ với nhau bởi phương
trình:
P(r,t)=

0

(r, t t , )E(r,t , )dt ,

là độ cảm tuyến tính.
Những sợi quang trở thành lưỡng chiết do những biến đổi trong lõi hoặc
méo địa phương. Những hiệu ứng lưỡng chiết cho biết sự tác động của không
gian sợi. Tuy nhiên nó bao gồm tác động của sự trì hỗn thời gian do tán sắc,
một đặc tính có liên quan đến truyền thơng tin trong sợi quang. Phương trình
(1.1) và (1.5) cho biết sự lan truyền của sóng trong sợi quang. Trong thực tế sẽ
tiện lợi hơn nếu sử dụng biến cường độ điện trường E. Sử dụng phương trình
(1.1) và (1.2), (1.5) và (1.6) ta thu được phương trình sóng:

E

Ở đây với c
Để mơ tả một cách tổng quan, hệ thức liên hệ giữa phân cực P và cường độ
điện trường E cần được biểu diễn theo cách tiếp cận cơ học lượng tử. Nhìn
chung, để đánh giá P chúng ta sử dụng cách tiếp cận theo quan điểm cơ học
lượng tử khi tần số quang học gần với miền cộng hưởng. Đối với trường hợp
6

sợi quang trong vùng bước sóng (0,5 2) m, nếu chúng ta chỉ nghiên cứu đến
hiệu ứng phi tuyến bậc ba thì phân cực cảm ứng có thể được phân ra làm hai
thành phần:

Ở đây PL (r,t) ,
cảm ứng phi tuyến, chúng có mối liên hệ với cường độ điện trường bởi hệ
thức:
PL (r,t)

PNL (r,t)

0

(3)
0 (t

t1,t t2 ,t t3 )E(r,t1 ).E(r,t2 ).E(r,t3 )dt1dt2dt3

Sử dụng biến đổi Fourier:
~
E(r, )

E(r,t) exp(i t)dt

Tương tự cho P(r,t) và việc sử dụng phương trình (1.3) và (1.4) ta có:

x xE(r, )

với
(r, ) 1 (r, )

là hằng số điện môi,
(r, ) là phức, phần ảo và phần thực của nó liên quan tới chỉ số chiết suất n
và hệ số hấp thụ .
(n

Sử dụng phương trình (1.11) và (1.12) ta có:
n (1 Re )


7


nc

Cả n và đều phụ thuộc tần số. Sự phụ thuộc tần số của n dẫn đến hiện
tượng tán sắc.
Để giải phương trình (1.10) trước hết ta đơn giản hố bằng việc bỏ số
2

hạng n trong vì trong sợi thuỷ tinh mất mát thấp. Sử dụng phương trình
(1.10) và D E
Từ phương trình (1.12) và (1.15) ta được:

Với k0 là số sóng trong chân khơng.

Với là bước sóng trong chân khơng ở tần số . Giải phương trình (1.12) ta
thu được chỉ số chiết suất của sợi quang.
1.1.2. Phương trình lan truyền xung phi tuyến
Nghiên cứu đa số các hiệu ứng phi tuyến trong sợi quang liên quan đến

việc sử dụng các xung sáng cực ngắn với độ rộng xung nằm trong vùng từ
10ns đến 10fs. Khi một xung quang học như thế lan truyền trong sợi quang thì
cả hai hiệu ứng tán sắc và phi tuyến sẽ ảnh hưởng lên phổ và hình dạng của
chúng. Trong phần này chúng ta dẫn ra phương trình cơ bản lan truyền của các
xung quang học trong các sợi quang tán sắc phi tuyến. Chúng ta bắt đầu từ
phương trình (1.8). Có thể được viết lại dưới dạng [1, 10]:

2

E

ở đây thành phần phân cực tuyến tính và phi tuyến liên hệ với trường điện từ
E(r,t) được cho bởi (1.9a) và (1.9b) .


8
Các xung quang học được gọi là xung ngắn khi độ rộng của nó cỡ picơgiây. Đối với các xung này, điều kiện chuẩn đơn sắc được thoả mãn
1, phản ứng phi tuyến của mơi trường với sóng là tức thời. Khi đó,
0

sự lan truyền của hàm bao được mơ tả bởi phương trình [2, 10]:

trong đ

( g là vận tốc nhóm của xung).

-

2

n2

-

c
0

cA

là hệ số phi tuyến. Aeff là tiết diện hiệu dụng của sợi quang.

eff

Để đơn giản, ta xét trong hệ tọa độ chuyển động với vận tốc bằng vận
tốc nhóm

g

bằng cách đưa vào biến: T = t -

Với phép đổi biến này, phương trình (1.11) sẽ có dạng sau:

Phương trình (1.19) mơ tả q trình lan truyền của hàm bao biến thiên
chậm của xung ánh sáng trong mơi trường tán sắc phi tuyến, được gọi là
phương trình Schrodinger phi tuyến (Nonlinear Schrodinger Equation-NLSE).
Phương trình này mơ tả phù hợp sự lan truyền xung cỡ picô giây hoặc lớn hơn.


Số hạng thứ hai ở vế trái mô tả hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm (GVD), cịn số
hạng ở vế phải mô tả hiệu ứng tự biến điệu pha. Như vậy, khi truyền trong sợi

quang các xung ánh sáng ngắn có cơng suất đỉnh lớn một giá trị ngưỡng nào đó
(ngưỡng hiệu ứng Kerr) sẽ tác động lên mơi trường sợi

9


quang làm thay đổi chiết suất. Chiết suất thay đổi kết hợp với hiệu ứng tán sắc
sẽ dẫn đến hiệu ứng tự biến điệu pha và cuối cùng dạng xung sẽ thay đổi.
Trong phương trình (1.19), biên độ A được giả thiết chuẩn hóa theo cơng
suất quang A 2 . Đại lượng A 2 có đơn vị đo là m

-1

, nếu hệ số chiết suất phi

2

tuyến n2 có đơn vị đo là m /W. Tham số Aeff tiết diện mode hiệu dụng của sợi
quang được định nghĩa như sau:

A
eff

F(x, y) 4 dxdy

Để xác định được tiết diện mode hiệu dụng, chúng ta cần sử dụng phân
bố F(x, y) đối với mode cơ bản của sợi quang. Rõ ràng Aeff phụ thuộc vào bán
kính lõi và bán kính vỏ của sợi quang. Nếu phân bố F(x, y) có dạng gần Gauss

Phương trình (1.19) mơ tả q trình lan truyền của xung pico giây trong

các sợi đơn mode. Phương trình này có thể rút gọn trong điều kiện nhất định.
Các hiệu ứng tác động vào q trình lan truyền đó là hấp thụ thông qua hệ số
hấp thụ , hiệu ứng tán sắc thơng qua vận tốc nhóm

1

và hệ số tán sắc vận tốc

nhóm 2 và hiệu ứng phi tuyến Kerr thơng qua hệ số .
Nếu chúng ta xét trường hợp bao xung chuyển động với vận tốc nhóm v
g

1 / 1 thì hiệu ứng tán sắc của vận tốc nhóm (GVD – group velocity dispersion)

sẽ thông qua 2. Tham số

2

của hiệu ứng GVD có giá trị dương hoặc âm, phụ

thuộc vào bước sóng ánh sáng nhỏ hơn hay lớn hơn bước sóng tán sắc khơng
của sợi quang, tại đó tham số tán sắc D d
Trong chế độ tán sắc dị thường,

10

1

/dd

2

n / cd

2

D

0 (xem hình 1.1).


Tham số tán sắc

tức là > D, tham số 2 có giá trị âm và trong sợi quang có thể hình thành soliton.

Bước sóng ( m)
Hình 1.1. Thay đổi tham số tán sắc D=d 1/d (liên tục) và

2

(đường đứt) của

sợi thủy tinh [10].
Phương trình (1.19) là phương trình đạo hàm vi phân tuyến tính. Để giải
phương trình này, người ta sử dụng một phương pháp giải tích đó là phương
pháp tán xạ ngược và thu được lớp nghiệm rất thú vị là các nghiệm Soliton
Một lưu ý rằng, trong phương trình (1.19) ta đã bỏ qua sự hao phí trong
q trình lan truyền xung. Trong trường hợp tính đến cả hao phí trên sợi quang
phương trình được viết lại có dạng [10]:
A

z

2

trong đó là hệ số hấp thụ, liên quan đến phần ảo của chiết suất, thường được
cho bởi:

11


( )

1.1.3 Các hiệu ứng phi tuyến bậc cao
Ở

trên ta đã dẫn ra phương trình lan truyền của các xung ngắn trong môi

trường phi tuyến (sợi quang). NLSE mô tả sự biến đổi các xung ngắn hoàn
toàn phù hợp với thực nghiệm. Tuy nhiên, trong những năm 80 - 90 của thế kỷ
XX, các nghiên cứu thực nghiệm đã nhận thấy rằng các xung cỡ femtô
- giây (xung cực ngắn) vi phạm phương trình (1.20). Tức là nếu mơ tả sự lan
truyền của các xung cực ngắn bởi phương trình (1.20) sẽ không cho ta nghiệm
Soliton mà trái lại cả hàm bao lẫn phổ của xung đều bị biến đổi. Hiện tượng
này thường được gọi là hiện tượng Soliton tự dịch chuyển tần số ( Soliton self
- frequence shift) hay là hiện tượng tách xung (pulse splitting). Do đó, chúng
ta cần tìm phương trình chính xác hơn (1.20) để mơ tả sự lan truyền của các
xung cực ngắn.
Các xung cực ngắn, có phổ rộng so sánh được với tần số sóng mang nên
hiệu ứng tán sắc xảy ra mạnh hơn, nghĩa là ta cần phải tính đến các thành phần
tán sắc bậc cao xẩy ra trong phương trình lan truyền.

Thời gian của các xung cực ngắn có thể so sánh được với các q trình
ngun tử, cơng suất của chúng cũng rất lớn. Ta không thể xem phản ứng phi
tuyến của môi trường là tức thời được. Bởi ta biết các q trình vi mơ có thời
gian từ 0,1 - 10fs, các xung cực ngắn có thời gian từ 10fs đến hàng trăm fs. Do
đó, cần phải đưa thêm số hạng diễn tả sự trễ của môi trường vào phương trình.
Mặc dù phương trình (1.20) đã giải thích một cách hiệu quả nhiều hiệu
ứng phi tuyến, tuy nhiên, nó cũng cần được thay đổi cho phù hợp với thực
nghiệm. Ví dụ, trong phương trình (1.20) cần có số hạng mơ tả hiệu ứng tán xạ
không đàn hồi cưỡng bức như tán xạ Raman cưỡng bức (SRS - Stimulated
Raman scattering) hay tán xạ Brillouin cưỡng bức (SBS – Stimulated Brillouin
scattering). Khi công suất đỉnh của xung ánh sáng tới lớn hơn một
12


giá trị ngưỡng nào đó, hiệu ứng SRS và SBS sẽ xuất hiện và chuyển năng
lượng cho một xung mới có bước sóng khác. Các sóng này có thể lan truyền
cùng chiều hoặc ngược chiều với xung tới. Hai xung này sẽ tác động lên nhau
thông qua hiện tượng biến điệu pha chéo (XPM-cross-phase modulation). Hiện
tượng tương tự sẽ xẩy ra khi hai hoặc nhiều xung có bước sóng khác nhau (với
độ rộng phổ nhất định) truyền trong sợi quang. Quá trình lan truyền đồng thời
của nhiều xung cần được mơ tả bởi hệ nhiều phương trình tương tự (1.20) có
biến đổi với sự tham gia của các số hạng mô tả hiện tượng XPM và khuếch đại
SRS và SBS.
Phương trình (1.20) cần được biến đổi cho các xung cực ngắn nhỏ hơn
1ps. Độ rộng phổ của các xung này đủ lớn để có thể sử dụng một số gần đúng
trong các phép vi phân trong phương trình (1.20).
Trước tiên, có thể loại bỏ hiệu ứng Raman. Đối với các xung có độ rộng
phổ lớn hơn 0,1 THz, khuếch đại Raman có thể khuếch đại các thành phần tần
số thấp của xung bằng cách chuyển năng lượng từ thành phần tần số cao của
chính xung đó. Hiện tượng này gọi là hiện tượng tán xạ Raman nội xung

(intrapulse Raman scattering). Do hiệu ứng này, khi xung truyền trong sợi
quang, phổ của nó sẽ dịch về phía tần số thấp (phía đỏ). Hiệu ứng này gọi là
dịch tần cảm ứng Raman (Raman-induced frequency shift).
Chúng ta xem xét lại phương trình sóng (1.8). Phương trình (1.9) mơ tả
rất nhiều hiệu ứng phi tuyến bậc ba, một số lớn trong đó khơng liên quan đến
vấn đề thảo luận trên, ví dụ như hiệu ứng tạo hịa âm bậc ba hay tương tác
thơng số bốn sóng với điều kiện hợp pha. Các hiệu ứng phi tuyến phụ thuộc
cường độ có thể xem xét đến nếu độ cảm phi tuyến bậc ba được viết dưới dạng
sau [1, 10]:
(3)

(t t 1 , t t 2 , t t 3 )

(3)

R(t t 1 ) (t t 2 ) (t t 3 ),

13


trong đó, R(t) là hàm đáp ứng phi tuyến chuẩn hóa sao cho

R(t)dt

1.

Sau khi thế (1.22) vào (1.9) và sử dụng phương trình cho trường với gần đúng
đường bao biến đổi chậm:

E(r, t)

ta nhận được dạng vô hướng của phân cực phi tuyến bậc ba sau:

PNL (r, t)

trong đó, giới hạn trên của tích phân chỉ đến t vì theo nguyên lý nhân quả thì
hàm đáp ứng R(t-t1) phải bằng khơng khi t1 > t.
Chúng ta phân tích theo tần số. Trước tiên chúng ta viết lại các phương
trình cho phân cực:

PL

(r, t)

là phân cực tuyến tính. Sau khi thay vào (1.9) ta nhận được:

trong đó, E(r, ) là biến đổi Fourier của E(r,t) .
Thành phần phân cực phi tuyến nhận được sau khi thay

P
vào (1.9b). Chúng ta có thể đơn giản hóa khi đáp ứng phi tuyến được giả thiết
là tức thời sao cho sự phụ thuộc thời gian của

(3)

trong (1.9b) được cho bởi tích


của ba hàm delta dạng (t t1) . Khi đó, phương trình (1.9b) được rút gọn như
sau:

14


PNL (r, t) 0
Giả thiết đáp ứng phi tuyến tức thời được tính đến sẽ cho phép bỏ qua
đóng góp của dao động phân tử vào

(3)

(tức là hiệu ứng Raman bị loại bỏ). Đối

với sợi thủy tinh sự đáp ứng dao động hay đáp ứng Raman xẩy ra trong khoảng
thời gian 60 - 70fs. Do đó, phương trình (1.28) được đánh giá gần đúng cho
các xung > 1ps.
Sau khi thế (1.23) vào (1.28), phân cực phi tuyến PNL (r, t) sẽ chứa số
hạng dao động theo tần số

0

và số hạng dao động theo tần số 3 0 . Thành

phần này cần có điều kiện hợp pha và nói chung có thể bỏ qua trong sợi
quang. Sử dụng (1.27) chúng ta có:
PNL (r, t) 0 NLE(r, t) ,
trong đó, phần phi tuyến đóng góp vào hằng số điện mơi được định nghĩa như
sau:

NL

Để nhận được phương trình sóng cho biên độ E(r,t) biến đổi chậm, cần

phải sử dụng biến đổi Fourier. Nói chung biến đổi này khơng giống như trong
trường hợp tuyến tính, vì hằng số điện mơi lúc này phụ thuộc vào cường độ.
Một cách thực hiện là giả thiết là

NL

hằng số khi lấy đạo hàm trong phương

trình lan truyền. Cách này là hợp lý khi giả thiết gần đúng đường bao biến đổi
chậm và bản chất nhiễu loạn của phân cực phi tuyến. Chúng ta thế (1.23) vào
(1.27) và vào (1.8), sau khi sử dụng biến đổi Fourier

E(r,0 )

E(r, t) exp

ta nhận được phương trình Helmholtz sau:
2

E ( )k 0 E 0


15


trong đó, k 0/ c và

( ) 1

(1)

xx

( )

NL

là hằng số điện môi chứa thành phần phi tuyến cho trong (1.30). Từ hằng số
điện mơi, có thể xác định chiết suất n và hệ số hấp thụ .
Triển khai phương trình (1.32) có sự tham gia của chiết suất và hệ số
hấp thụ chúng ta có:
2

E( 1 , z)E
trong đó, R( ) là biến đổi Fourier của R(t) . Trong phương trình trên, chúng ta
đã quan tâm đến thành phần nhiễu loạn phân cực phi tuyến ở bên phải. Hiệu
ứng này sẽ làm thay đổi hằng số truyền một lượng , nhưng biểu thức của nó
khác đi.
Biên độ biến đổi chậm A(z,t) được định nghĩa như trong phương trình
sau:

E(r, t)
Khi chúng ta biến đổi Fourier ngược về dạng phụ thuộc thời gian, cần
phải tính đến sự phụ thuộc tần số của triển khai theo chuỗi Taylor. Khi đó, các
tham số phi tuyến và hệ số hấp thụ sẽ được triển khai theo dạng sau:

()()()