(Luận văn thạc sĩ) một số nghiệm soliton của các phương trình yang mills và ứng dụng

Lời cam đoan

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tôi. Những kết quả
nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ cơng
trình nào khác. Mọi bài báo đều được các đồng tác giả cho phép sử dụng.

Hà Nội, tháng 3 năm 2014
Giáo viên hướng dẫn

Tác giả luận án

GS, TSKH. Nguyễn Viễn Thọ

Nguyễn Quốc Hoàn

i


Lời cảm ơn

Nhìn lại một khoảng dài, với hơn 5 năm trên trục thời gian. Thời khoảng
mà tôi đã nhận được những tình cảm tốt đẹp nhất từ các thầy cơ, đồng
nghiệp, bạn bè và gia đình.
Trước tiên, tơi xin bày tỏ lịng tơn kính và sự biết ơn của tôi đến
GS.TSKH. Nguyễn Viễn Thọ - Một nhà khoa học nghiêm túc, thầy đã tận
tình dạy bảo và giúp đỡ tơi trong q trình học tập và nghiên cứu.
Tơi xin tỏ lịng biết ơn đến thầy giáo Tơ Bá Hạ, thầy đã nhiệt tình giúp
đỡ và động viên tơi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Bản luận án của tôi là lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong Viện
Vật lý Kỹ thuật, đặc biệt là các thầy, cô và các bạn ở Bộ môn Vật lý Lý
thuyết, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội.

Những bản nhận xét rất tỉ mỉ của các thầy (cô) phản biện đã giúp tơi
hồn thiện cuốn luận án này. Cá nhân tơi coi đó là những bài học q báu
trong học tập và nghiên cứu. Tôi xin được gửi tới các thầy (cô) phản biện lời
cảm ơn chân thành nhất.
Nhân dịp này, tôi muốn gửi lời cảm ơn tới lãnh đạo và các đồng nghiệp
Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Giang - nơi tôi công tác, về những quan tâm, ủng
hộ và giúp đỡ quý báu.
Gia đình là điểm tựa vững chắc cho tơi, là nơi mà tơi có thể bày tỏ mọi
cảm xúc. Xin được gửi tới gia đình tơi lịng biết ơn sâu nặng và những tình
cảm khơng thể nói bằng lời.

Nguyễn Quốc Hồn

ii


MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài
Lý thuyết trường gauge do Yang-Mills [1] đề xướng vào năm 1954. Ý
tưởng này dựa trên yêu cầu xây dựng các Lagrangian bất biến đối với các
phép biến đổi đối xứng nội tại. Ngày nay lý thuyết trường gauge Yang-Mills
đã được thừa nhận rộng rãi và là hình thức luận khung cho lý thuyết thống
nhất tương tác điện từ và tương tác yếu, cũng như cho sắc động lực lượng tử
của tương tác mạnh. Đầu tiên là sự khám phá của Glashow vào năm 1960 về
cách thức để thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu [2], với việc sử
dụng mơ hình

nhưng chưa hồn chỉnh về mặt vật lý vì các

lượng tử của trường này đều khơng có khối lượng. Năm 1967, Weinberg [3]
và Salam [4] đã kết hợp cơ chế Higgs [5, 6, 7] vào trong lý thuyết của
Glashow giúp cho việc sinh khối lượng các boson gauge, kết quả là đã xây
dựng thành cơng mơ hình thống nhất tương tác điện - yếu, gọi là mơ hình
Weinberg-Salam và cơ chế Higgs được cho là nguyên nhân tạo nên khối
lượng cho các hạt cơ bản. Sự thành công này đã thuyết phục hầu hết các nhà
Vật lý rằng lý thuyết gauge phi Abel về tương tác điện - yếu là một lý thuyết
vật lý khá hoàn hảo. Đặc biệt, sau khi tìm thấy dịng yếu trung hịa gây bởi
sự trao đổi

boson ở CERN năm 1973 [8, 9, 10], lý thuyết điện - yếu đã

được chấp nhận một cách rộng rãi và Glashow, Weinberg, Salam đã được
trao giải Nobel Vật lý năm 1979. Tiếp đó là những cơng trình xây dựng sắc
động lực học lượng tử (viết tắt là QCD) là lý thuyết về tương tác mạnh dựa
trên sự bất biến của phép biến đổi gauge đối với nhóm

.

Ngày nay, hầu hết các thí nghiệm kiểm chứng về ba lực miêu tả bởi mơ
hình chuẩn đều đúng như những dự đốn của thuyết này. Tuy nhiên, mơ hình
chuẩn vẫn chưa là một thuyết thống nhất các lực tự nhiên một cách hoàn
toàn, do sự vắng mặt của lực hấp dẫn.
1


Mơ hình chuẩn chứa cả hai loại hạt cơ bản là fermion và boson. Fermion
là những hạt có spin bán nguyên và tuân thủ theo nguyên lý loại trừ của
Wolfgang Pauli, ngun lý cho rằng khơng có hai fermion nào có cùng trạng
thái lượng tử với nhau. Các hạt boson có spin ngun và khơng tn theo

ngun lý Pauli. Khái qt hóa, fermion là những hạt vật chất cịn boson là
những hạt truyền tương tác.
Trong mơ hình chuẩn, thuyết điện từ - yếu (bao gồm cả tương tác yếu lẫn
lực điện từ) được kết hợp với thuyết sắc động lực học lượng tử. Tất cả những
thuyết này đều là lý thuyết gauge, trong đó đưa vào các boson trung gian như
là hạt truyền tương tác giữa các fermion. Hệ Lagrangian của mỗi tập hợp hạt
boson trung gian bất biến dưới một phép biến đổi gọi là biến đổi gauge, vì
thế các boson này cịn được gọi là gauge boson.
Mơ hình chuẩn và rất nhiều hướng mở rộng khác nhau đã cho phép mô
tả hiện tượng luận phong phú của tương tác hạt cơ bản. Cùng với việc khai
thác các ứng dụng hiện tượng luận về tương tác dựa trên các mơ hình chuẩn,
một hướng nghiên cứu thu hút sự quan tâm lớn, đó là nghiên cứu các tính
chất cơ bản của lý thuyết Yang-Mills như là các hệ động lực học phi tuyến.
Vật lý toán phi tuyến là lĩnh vực được phát triển rất mạnh mẽ trong thời
gian gần đây. Các phương trình vật lý tốn phi tuyến có nhiều tính chất rất
khác so với các phương trình vật lý tốn tuyến tính thơng thường. Một trong
những đặc điểm quan trọng là sự tồn tại các nghiệm soliton, có thể mơ tả như
các sóng đơn lẻ dạng như bó sóng hoặc xung. Soliton bảo toàn dạng theo
thời gian và sự bảo toàn này liên quan đến bản chất topo của nghiệm, nghĩa
là các nghiệm được phân thành những lớp có topo khác nhau và đặc trưng
topo (chỉ số topo) của nghiệm là tích phân chuyển động.
Soliton là đối tượng được các nhà Vật lý thuộc nhiều lĩnh vực quan tâm:
Quang học phi tuyến, Vật lý hạt, Vũ trụ học và Vật lý chất rắn. Đối với lý
thuyết trường của các hạt cơ bản, điều hấp dẫn nhất là, ngay ở mức độ cổ
điển (chưa lượng tử hóa), hoặc ở gần đúng chuẩn cổ điển, các soliton của các
phương trình trường phi tuyến đã có dạng gần đúng như các hạt: Mật độ
năng lượng trường là hữu hạn, tập trung trong miền không gian và dịch
chuyển theo thời gian. Các nghiệm soliton của các lý thuyết trường phi tuyến
2

được nghiên cứu nhiều và có nhiều ứng dụng vật lý nhất phải kể đến là các
soliton của lý thuyết Skyrme (skyrmion), của lý thuyết Yang-Mills (nghiệm
Wu-Yang), Yang-Mills trong không gian Euclid (instanton), lý thuyết YangMills-Higgs (monopole ’t Hooft-Polyakov, soliton Bogomolny-PrasadSommerfield), …. Các nghiên cứu theo hướng này hiện hiện vẫn đang được
tiếp tục phát triển và thu hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà Vật lý lý
thuyết. Tuy nhiên chúng là những nghiệm của các phương trình trường phi
tuyến nên hầu như khơng có phương pháp giải tổng quát mà phải sử dụng
các tính chất đối xứng của hệ vật lý và đưa vào các ansatz riêng để tìm
nghiệm cho từng trường hợp.
Trên thế giới, một số trung tâm mạnh về các vấn đề này có thể kể đến là
Đại học Princeton (Mỹ), Massachusetts (Mỹ), Viện Vật lý lý thuyết và thực
nghiệm (Nga), Cambridge (Anh), Durham (Anh), v.v...
Các lý thuyết Yang-Mills, Yang-Mills-Higgs, lý thuyết hiện đang được
thừa nhận là sơ đồ khung nhất quán cho lý thuyết các hạt cơ bản. Liên quan
đến các lý thuyết Yang-Mills, còn được gọi là lý thuyết chuẩn (gauge
theories), trong nước có các nhóm nghiên cứu về các mở rộng khác nhau của
mơ hình chuẩn và các hệ quả đối với hạt cơ bản theo hướng hiện tượng luận
và đã có nhiều kết quả mới được cơng bố. Gần nhất với hướng nghiên cứu
của đề tài luận án này – Nghiên cứu về nghiệm của các phương trình YangMills – Có tác giả Nguyễn Văn Thuận với đề tài luận án tiến sỹ “Nghiên cứu
nghiệm của các phương trình trường chuẩn Yang-Mills và ứng dụng vật lý
của chúng” – Trong đó, tác giả đã nghiên cứu về các nghiệm tĩnh với đối
xứng cầu của các phương trình Yang-Mills cổ điển với nhóm chuẩn
và từ đó nghiên cứu về các ứng dụng có thể của các nghiệm cổ điển trong
các bài tốn lượng tử.
Trong luận án này chúng tơi chọn đề tài “Một số nghiệm soliton của các
phương trình Yang-Mills và ứng dụng”. Nhằm nghiên cứu sâu hơn các
nghiệm soliton của các lý thuyết Yang-Mills và cả Yang-Mills-Higgs, tìm
thêm một số nghiệm mới và các ứng dụng mới. Các kết quả và nội dung mới
của chúng tôi về nghiên cứu nghiệm của các phương trình Yang-Mills so với
các kết quả của các tác giả đã cơng bố có thể nêu vắn tắt như sau:

3


(i) Chúng tơi nghiên cứu để tìm nghiệm của các phương trình YangMills cho bài tốn có tính đối xứng trục - khi đó các hàm trường phụ thuộc
vào hai biến khơng gian là

và

(trường hợp đối xứng cầu thì các hàm

trường chỉ phụ thuộc một biến không gian, biến ). Đối với bài tốn này
chúng tơi đã tìm được cả nghiệm số và nghiệm giải tích, đồng thời xây dựng
được bộ chương trình Fotran cho phép giải được các bài tốn tương tự;
(ii) Tiếp theo, chúng tơi khảo sát tính chất các nghiệm thuộc các lớp với
chỉ số topo cao (

);

(iii) Cùng với lý thuyết Yang-Mills đối với nhóm
Yang-Mills đối với nhóm Lorentz
đẳng cấu địa phương

, cũng là của

, xét lý thuyết
– nhóm

– và đề xuất tiệm cận Yang-Mills đối với bài

tốn hạt trong trường hấp dẫn.

Tóm lại, trong lĩnh vực vật lý hạt cơ bản mà công cụ nghiên cứu là Lý
thuyết trường Yang-Mills, việc tìm nghiệm của các phương trình Yang-Mills
và phương trình Wong cũng như phương trình Wong tổng quát là lĩnh vực
còn nhiều vấn đề đang mở phải tiếp tục giải quyết. Với đề tài nghiên cứu đặt
ra, có thể nói đã tiếp cận được các vấn đề thời sự của lý thuyết trường lượng
tử hiện đại và hy vọng có đóng góp vào sự phát triển của hướng nghiên cứu
đã chọn.

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a) Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề lý thuyết của các hệ trường Yang-Mills như
các hệ động lực học phi tuyến, cụ thể là các nghiệm soliton của lý thuyết
Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs thu được nhờ các ansatz khác nhau, nghiên
cứu các đặc trưng topo của nghiệm, tìm thêm một số nghiệm số và nghiệm giải
tích mới. Ứng dụng các nghiệm để khảo sát tương tác của hạt với trường
gauge bằng phương pháp chuẩn cổ điển, mở rộng các lý thuyết trường chuẩn
đối với các nhóm Unita để áp dụng vào các đối xứng không-thời gian và ứng
dụng để xây dựng cách tiếp cận Yang-Mills cho bài toán hạt trong trường
hấp dẫn.

4


b) Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu về các lớp nghiệm của các phương trình Yang-Mills,
Yang-Mills-Higgs và nghiên cứu chuyển động của hạt trong trường YangMills trong gần đúng cổ điển.
c) Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các đối tượng trên trong phạm vi của nhóm đối xứng
và nhóm đối xứng khơng-thời gian (nhóm Lorentz).

3 Phương pháp nghiên cứu
Trong lý thuyết trường lượng tử hiện đại, song song với kỹ thuật nhiễu
loạn và giản đồ Feynmann, tồn tại chiến lược giải khác, thay thế bài toán của
lý thuyết trường bằng một phiếm hàm Lagrangian hiệu dụng, rồi tìm nghiệm
của hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng đó bằng cách suy ra từ phiếm
hàm này.
Sử dụng các ansatz, xây dựng mơ hình tìm nghiệm, mơ phỏng các
nghiệm tìm được về đặc điểm của trường Yang-Mills với một số dạng nguồn
ngoài ứng với các chỉ số topo khác nhau. Các bài tốn lý thuyết trường nói
chung là dẫn đến các phương trình phi tuyến khá phức tạp. Tuy nhiên, bằng
cách khai thác triệt để tính đối xứng của các hệ vật lý và sử dụng phương
pháp số hoá để giải các phương trình, chúng tơi đã thu được một số kết quả
mới trong việc tìm và ứng dụng các nghiệm để làm sáng tỏ một số vấn đề
động lực học của các tương tác.
Tiếp theo, chúng tôi sử dụng ngôn ngữ tốn học bó thớ cùng với việc
tham số hóa vector đối với nhóm
và tham số hóa vector phức đối với
nhóm Lorentz, từ đó xây dựng phương trình Wong tổng qt, rồi tìm nghiệm
của phương trình này để mơ tả chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn.

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Luận án nghiên cứu một số vấn đề lý thuyết của một số hệ trường YangMills xem như là hệ động lực học phi tuyến: các soliton topo của hệ Yang-

5


Mills, Yang-Mills-Higgs, Yang-Mills với các nguồn màu ngoài, tương tác
của hạt với các đối tượng này. Những kết quả với ý nghĩa khoa học và thực
tiễn của luận án có thể tóm tắt như sau:
Chúng tơi đã xây dựng được thuật tốn và lập chương trình giải phương

trình Yang-Mills

với nguồn ngồi dạng điểm, dạng sợi dây. Chương

trình cho phép tìm được nghiệm với chỉ số topo tùy ý. Với các nghiệm tìm
được, chúng tơi đã tính tốn và vẽ tường minh điện trường, từ trường phi
Abel cũng như mật độ năng lượng với các chỉ số topo khác nhau. Từ đó giúp
ta hiểu rõ hơn về bức tranh tương tác của các hạt cơ bản.
Tìm được lớp nghiệm giải tích dạng vortex cho nguồn ngoài dạng sợi
dây. Đối với trường hợp nghiệm tĩnh đã chứng minh được hiện tượng rẽ
nhánh của đồ thị năng lượng phụ thuộc độ lớn tích màu. Tìm được nghiệm
phụ thuộc thời gian dạng sóng trụ và mang các đặc điểm như: có sự truyền
tải năng xung lượng, nhưng khơng phát xạ màu, do đó tích màu tổng cộng
của nguồn không đổi theo thời gian. Những nghiệm vortex này có thể giúp
cho việc nghiên cứu các loại vật liệu mới.
Đã tìm được hệ phương trình Wong mở rộng cho trường hợp hạt chuyển
động trong trường Yang-Mills của các nhóm

và

. Dựa trên

phương trình này nghiên cứu bài toán chuyển động của hạt điểm trong
trường gauge đối với nhóm Lorentz, như là tiếp cận Yang-Mills cho bài tốn
hạt trong trường hấp dẫn. Sự đóng góp này của luận án giúp cho việc liên kết
giữa lý thuyết Yang-Mills và lý thuyết hấp dẫn của Einstein, trong đó có so
sánh với lý thuyết hấp dẫn của Newton để đóng góp cho lý thuyết về sự
thống nhất các tương tác.
Các kết quả trên góp phần làm phong phú hơn các hiểu biết về cấu trúc
lý thuyết Yang-Mills, mà hiện nay đang được thừa nhận là lý thuyết đóng vai

trị nền tảng để xây dựng các mơ hình lý thuyết mơ tả các tương tác cơ bản
của tự nhiên.

6


5 Bố cục của luận án
Luận án gồm 4 chương, phần mở đầu, kết luận, danh mục các cơng trình
và phần phụ lục. Nội dung 4 chương cơ bản như sau:
 Chương 1. Soliton topo trong các hệ trường gauge Abel và phi Abel: Trong
chương này chúng tơi trình bày tổng quan về lý thuyết trường Yang-Mills
. Trong đó, giới thiệu các soliton topo là các nghiệm của các phương
trình Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs như: Nghiệm Wu-Yang trong hệ
Yang-Mills khơng có trường Higgs; Với hệ Yang-Mills-Higgs, giới thiệu
nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov và nghiệm dyon Julia-Zee; Nghiệm
soliton tới hạn, nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield (BPS); Trường
Yang-Mills trong không gian Euclide và nghiệm instanton.
 Chương 2. Nghiệm soliton của hệ Yang-Mills với nguồn ngoài đối xứng
trục: Trong chương này chúng tơi trình bày về nguồn đối xứng xuyên tâm
và đối xứng trục, nghiên cứu về các ansatz để tìm nghiệm đồng thời giới
thiệu một số kết quả mới đã được công bố theo hướng nghiên cứu này;
Trình bày phương pháp mà chúng tơi đã áp dụng để tìm nghiệm và mơ
phỏng một số kết quả mới đã tìm được từ phương pháp này cho bài tốn về
nghiệm của phương trình Yang-Mills với hai nguồn điểm và nguồn ngoài
dạng sợi dây với nghiệm vortex.
 Chương 3. Phương trình chuyển động của hạt màu trong trường chuẩn:
Trong chương này chúng tơi chỉ ra cách suy ra phương trình chuyển động
của hạt màu trong trường chuẩn từ phương trình chuyển động của điện tích
trong trường điện từ của điện động lực cổ điển – phương trình Wong; Suy
rộng phương trình Wong cho trường chuẩn

và

; Nghiên

cứu bài tốn chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn đối với đối xứng
Lorentz địa phương; Sử dụng hình thức luận bó thớ để nghiên cứu động
lực học Lagrangian của hạt màu trong trường chuẩn

.

 Chương 4. Thế hiệu dụng và quỹ đạo của hạt trong trường chuẩn: Trong
chương này chúng tơi trình bày việc nghiên cứu các kết quả đã được công
bố của một số tác giả. Đó là, bài tốn về hạt trong trường Wu-Yang, bài
7


toán về hạt trong trường đơn cực ’t Hooft-Polyakov và trường soliton BPS.
Từ đó, giải bài tốn về chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn và so
sánh cách tiếp cận hấp dẫn của lý thuyết Yang-Mills với lý thuyết hấp dẫn
của Einstein và Newton.

8


Chương 1

1 SOLITON TOPO TRONG CÁC HỆ TRƯỜNG GAUGE
ABEL VÀ PHI ABEL

Một trong những đặc trưng cơ bản của điện động lực Maxwell là tính bất
biến gradient (gradient invariance). Nghĩa là, điện động lực sẽ bất biến nếu
thêm vào thế gradient một thế nào đó. Tuy nhiên, để tương tác của của vật
chất tích điện với trường điện từ, bảo đảm được tính bất biến gradient cho
trường điện từ, hàm sóng của hệ vật chất cũng phải chịu một phép biến đổi
pha với pha chính là hàm xác định phép biến đổi gradient của hàm thế. Phép
biến đổi xác định bởi cùng một hàm lên cả hàm sóng của vật chất lẫn thế của
trường điện từ được gọi là phép biến đổi chuẩn – phép biến đổi gauge (gauge
transformation). Như vậy, lý thuyết vật chất tương tác với trường điện từ
phải bất biến chuẩn (gauge invariant).
Tính chất này đã được tổng quát hóa cho cả tương tác yếu và tương tác
mạnh. Tính bất biến chuẩn sẽ dẫn đến sự tồn tại một thế vector có vai trị
tương tự như thế của trường điện từ, được gọi là thế chuẩn hay trường chuẩn
(gauge field). Nếu nhóm cơ bản để xây dựng trường chuẩn cho Điện động
lực là nhóm

, và trường chuẩn tương ứng là thế điện từ, thì nhóm dùng

để xây dựng trường chuẩn cho tương tác yếu là nhóm

và trường

chuẩn tương ứng được gọi là trường Yang-Mills, còn cho tương tác mạnh sẽ
là nhóm

, trường chuẩn tương ứng gọi là trường gluon.

Bằng cách lựa chọn nhóm chuẩn
, các nhà vật lý lý
thuyết đã xây dựng được lý thuyết thống nhất cho tương tác điện từ - yếu

(mơ hình Weinberg - Salam), cịn nếu chọn nhóm chuẩn là
9


, ta sẽ được lý thuyết thống nhất điện từ - yếu - mạnh (mơ
hình chuẩn – Standard Model). Nếu thay nhóm chuẩn của mơ hình chuẩn
bằng nhóm

ta sẽ được lý thuyết thống nhất lớn (Grand Unified

Theory).
Như vậy, mặc dù có tới bốn tương tác cơ bản, nhưng trừ tương tác hấp
dẫn, các tương tác còn lại đều được diễn tả thơng qua một ngơn ngữ duy
nhất, đó là ngơn ngữ trường chuẩn. Do tính phổ quát của lý thuyết YangMills trong nghiên cứu vật lý hạt cơ bản mà dẫn đến việc tìm nghiệm của
phương trình này trong những mơ hình vật lý khác nhau ln là đề tài hấp
dẫn các nhà vật lý. Trong phần này ta sẽ điểm qua một số kết quả đã được
công bố của các tác giả về việc tìm nghiệm soliton của các phương trình
Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs.
Soliton là những nghiệm của các phương trình trường cổ điển phi tuyến.
Chúng được cho là định xứ, có năng lượng hữu hạn và cấu trúc ổn định
giống như những đối tượng hạt thông thường. Những soliton và những đa
soliton (multi-solitons) sở dĩ có cấu trúc ổn định là do chúng mang tích topo
, đó là số nguyên đặc trưng cho hạt và chúng là đại lượng được bảo tồn.
Sự bảo tồn của

khơng phải do định lý Noether mà do cấu trúc topo của

soliton. Mỗi soliton được mô tả bởi tập hợp các tọa độ trong mô hình. Tập
hợp các tọa độ được coi như khơng gian moduli.
Bogomolny [11] đã chỉ ra rằng, trong các lý thuyết trường thì năng

lượng của soliton bị chặn dưới bởi một đa tích topo và dấu đẳng thức chỉ xảy
nếu như trường thỏa mãn trật tự đầu tiên PDE. Bởi vì phương trình
Bogomolny khơng chứa thời gian, những nghiệm của nó là những nghiệm
tĩnh. Hơn nữa, chúng là những nghiệm ổn định trong cấu trúc topo chúng có
năng lượng cực tiểu.
Nếu một đơn soliton có
gian moduli với

tập hợp tọa độ thì

chiều. Đa tạp

soliton sẽ có một khơng

chiều này có cấu trúc một ma trận, nó

mơ tả những sự tương tác của các soliton. Đôi khi thế của trường cũng được
định nghĩa trên không gian moduli. Trong trường hợp không tồn tại thế,
10


khơng có lực tương tác giữa các soliton tĩnh và các tương tác bị chi phối bởi
dạng hình học của khơng gian moduli thì năng lượng tỉ lệ với số lượng các
soliton.
Những thí dụ về các soliton được các nhà vật lý quan tâm nhiều:
 Kinks với một chiều;
 Vortices trong lý thuyết gauge với trường Higgs của trường hợp
hai chiều [12];
 Lumps trong những lý thuyết trường vô hướng phi tuyến ( models) với hai chiều [13];
 Monopoles trong ba chiều của những lý thuyết Gauge/Higgs [14,

15];
 Solitons trong ba chiều

-models (được biết đến như những

Skyrmion) [16, 17];
 Instantons trong những lý thuyết thuần gauge của bốn chiều [18]

1.1 Hệ Yang-Mills khơng có trường Higgs: Nghiệm Wu-Yang
Phần này ta sẽ xem xét các nghiệm của phương trình Yang-Mills trong
khơng gian Minkowski. Phương trình chuyển động của lý thuyết thuần gauge
có dạng
(1.1)
nó bất biến dưới phép biến đổi của nhóm gauge

. Các nghiệm của

phương trình này được biết đến đó là: nghiệm sóng phẳng phi Abel [19],
nghiệm monopole phi Abel, và một số các lớp nghiệm phức thu được từ các
lớp ansatz. Một nghiệm thực tiêu biểu trong không gian Minkowski đó là cặp
meron-phản meron. Hầu hết các nghiệm này đều mang tính thuần túy tốn
học mà ít có ý nghĩa vật lý thực tế. Tuy vậy cũng có những nghiệm quan
trọng với ý nghĩa vật lý nhất định như nghiệm monopole Wu-Yang, nó được
coi là một dây các monopole tự do trong trường hợp phi Abel.

11


Nghiệm monopole Wu-Yang là nghiệm monopole tự do của lý thuyết
. Nghiệm này đã được tìm ra đầu tiên bởi Wu và Yang [20] với

thuần
trường hợp

(sau đó được Jualia và Zee [21], Hsu và Mac [22] mở

rộng cho trường hợp

) bằng cách đưa vào ansatz sau (gọi là ansatz

Wu-Yang)

[

(1.2)

]

Thế các ansatz này vào (1.1), ta được hệ phương trình sau
(

(1.3)

)

Phương trình (1.3) có hai nghiệm hằng là

và

, chúng là những nghiệm vacuum với

với nghiệm thứ nhất, còn đối với nghiệm thứ hai

đối

(

là thế gauge thuần).

Nghiệm hằng số không tầm thường là
(1.4)
, thì

Khi
hằng số. Với

, ta có

trong đó

thế gauge khơng triệt tiêu tại vơ cùng

là những
̂

Dù

có sự đóng góp này của thế gauge nhưng nó có thể thay đổi bởi phép biến
đổi gauge. Vì vậy, với sự tương đương gauge, phương trình (1.4) chỉ cịn lại
.
Để có cách nhìn tổng thể hơn và thuận lợi cho việc so sánh các nghiệm

của Wu-Yang trong hệ Yang-Mills khơng có trường Higgs này. Ta hãy chỉ ra
đây một tam tuyến Higgs mà Lagrangian của nó trong lý thuyết gauge
được cho bởi
(1.5)
ở đây
12


(1.6)
(1.7)
và thế Higgs là
(
là chỉ số

chỉ số
, còn cả

và

(1.8)

)
và

bất biến dưới phép biến đổi cục bộ

biến đổi như các biểu diễn phó. Mặt khác, thế

Higgs phải khơng triệt tiêu tại vơ cùng cịn thế năng phải triệt tiêu tại đó. Do
vậy, bất kể nghiệm vật lý nào cũng phải thỏa mãn

̂
)
(1.9)
√
Điều này giống như việc phá vỡ đối xứng trong lý thuyết lượng tử, mà ở đó
mong muốn rằng vacuum có giá trị khác khơng 〈 〉
.
(

Bây giờ, ta sẽ nghiên cứu một Lagrangian của thế gauge thuần YangMills, có dạng
(

)

(1.10)
(1.11)

Để thế năng tại vơ cùng phải triệt tiêu, địi hỏi
(1.12)
Từ sự tương ứng Julia-Zee [21], nếu chọn
(1.13)
thì nghiệm của lý thuyết thuần Yang-Mills (1.10) và nghiệm của lý thuyết
Yang-Mills-Higgs (1.5) sẽ giống nhau về mặt toán học.
Trở lại với vấn đề nghiệm Wu-Yang. Phương trình (1.13) cho ta thấy
rằng, bất kể nghiệm tĩnh nào của lý thuyết thuần
cũng có thể coi như
nghiệm của lý thuyết (1.5) mở rộng trong giới hạn nói trên. Do vậy mà

13

phương trình (1.4) cũng gợi ý một nghiệm tương tự như lý thuyết đó. Ansatz
thích hợp cho sự tương ứng này của phương trình (1.2) là

[

(1.14)

]

Phương trình chuyển động thu được từ Lagrangian (1.5) có dạng là
[

(
(

)

]
(1.15)

)

Sử dụng các ansatz (1.14) ta được phương trình rút gọn của (1.15) thành
(

)

(

(1.16)

)

phương trình này có dạng hồn tồn tương tự như (1.3) khi

.

Cịn đối với trường hợp
thì phương trình này khơng cịn
nghiệm hằng số nữa. Từ (1.16) ta tìm được

[

]

ở đây, ta sử dụng các ký hiệu

Với (1.15), phương trình thứ nhất ứng với trường hợp tầm thường khi
cịn khi

thì nó trở thành
[

( )

]

và phương trình thứ hai của (1.15) trở thành
[

( )

]
14

,


Từ (1.16) ta thu được

Xuất phát từ phương trình (1.2) và (1.14) nên đôi khi người ta dùng thuật
ngữ “bán kính gauge”. Sự tương ứng mà ta đã chỉ ra ở đây là điều rất thuận
lợi cho việc tìm nghiệm của các phương trình chuyển động (1.3) và (1.16)
trong trường hợp thuần gauge.
Một loại gauge khác mà được gọi là “string gauge” hay “unitary gauge”,
với dạng biến đổi cục bộ

(

ký hiệu ̂

)

(1.17)

là vector phương vị trong không gian gauge (được xác

định như hướng trong không gian ba chiều), tức là trên trục
mỗi điểm là ̂

thì tọa độ của

. Phép biến đổi này là khơng liên tục dọc theo phía âm

của trục . Những thế gauge unita

thu được từ ansatz (1.2) hay (1.14) bởi

phép biến đổi (1.17) là

(

)

[̂

̂

]
(1.18)

(

[ ̂

)
(

)

̂

]

[ ̂]

ở đây ̂ và ̂ là vector đơn vị trực giao với góc cực

và

gian. Những thế

. Khi có phá vỡ đối

xứng tự phát thì

và

được xác định bởi hàm

trong 3-khơng

là thành phần khối lượng của trường gauge. Nhưng

15


thì khơng phụ thuộc vào

mà nó được xác định bởi dạng của

hay

ansatz (1.2).
Trở lại với nghiệm (1.4) ở trên, trong trường hợp string gauge nó trở
thành

(1.19)
(

)

[ ̂]

đây là nghiệm đầu tiên được tìm ra bởi Wu và Yang vào năm

Với

1968 [20] và đó chính là nghiệm monopole. Cịn đối với
như là nghiệm dyon với điện tích

thì có thể coi

trong lý thuyết

thuần

gauge.

1.2 Hệ Yang-Mills-Higgs: Nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov và
dyon Julia – Zee
Trong phần này ta sẽ xem xét một số nghiệm của lý thuyết gauge
tương ứng với sự phá vỡ đối xứng gauge

. Một trong số nghiệm nổi

tiếng thuộc lĩnh vực này của lý thuyết trường lượng tử là nghiệm monopole
của ’t Hooft-Polyakov.
1.2.1 Nghiệm monopole 't Hooft-Polyakov

’t Hooft [15] và Polyakov [23, 24] đã tìm ra (một cách độc lập) nghiệm
monopole của lý thuyết gauge với tam tuyến Higgs. Đây là nghiệm khơng kỳ
dị và có năng lượng hữu hạn. Nó biểu diễn những trạng thái định xứ, mở
rộng và bền về topo.
Monopole chính là nghiệm của phương trình (1.16) cho trường hợp
và

.

16


Nhớ rằng, những nghiệm thu được từ việc sử dụng các ansatz Wu-Yang
(1968), đó là

[

(1.20)

]

Trong giới hạn
và
với
xác định thì nó trở thành
nghiệm Prasad-Sommerfield (mà ta sẽ xét đến ở phần tiếp theo).
Bây giờ, ta hãy tìm hiểu để trả lời câu hỏi xem tại sao nghiệm này lại
được giải thích như một đơn cực? ’t Hooft và Polyakov đã độc lập tìm ra
nghiệm này nhưng lại có cách giải quyết vấn đề này theo các cách khác
nhau. Ở đây, ta chỉ xem xét cách giải quyết vấn đề của ’t Hooft. Theo đó,
’tHooft đã nghiên cứu vấn đề này như là một cách tiếp cận trường điện từ
trong phạm vi lý thuyết gauge với một tam tuyến Higgs (1.5) và địi hỏi nó
phải hiển nhiên bất biến dưới phép biến đổi gauge

. ’t Hooft đưa ra

một tensor bất biến gauge có dạng
(1.21)
phải thỏa mãn là một tensor trường điện từ. Tensor này được viết dưới dạng
khác tường minh hơn
̂

̂

̂

(1.22)

các ký hiệu được dùng ở đây là

̂
Ở đây

̂

(1.23)

là thành phần không khối lượng của thế gauge

(1.15) ta dễ thấy thỏa mãn

, từ ansatz

̂

và do đó

̂

̂

17

(1.24)


Đây là trường điện từ tĩnh của một điểm monopole với từ tích
(1.25)
Chính vì lẽ này mà nghiệm ’t Hooft-Polyakov được goi là nghiệm monopole.
Từ tích cực tiểu theo điều kiện lượng tử Dirac là

( là đơn vị cơ

bản của điện tích). Như vậy monopole tích ’t Hooft-Polyakov có giá trị gấp
đôi giá trị cực tiểu này.
Tiếp theo, ta sẽ xem xét vấn đề tại sao đơn cực lại có năng lượng hữu
hạn mà theo Polyakov đây là một trong số vai trò nổi bật của nghiệm
monopole đối với lý thuyết gauge và trường Higgs.
Xét một tam tuyến Higgs mà khơng có trường gauge

(1.26)
(

)

Sử dụng ansatz
(1.27)
cho trường Higgs đó, ta thu được phương trình chuyển động
(1.28)
Phương trình này có một nghiệm (ta không đưa ra biểu thức đầy đủ ở đây)
mà diễn tiến có dạng
(

√

)(

)

(1.29)

(1.30)

Vì số hạng phi tuyến trong (1.29) là
, do đó số hạng thế năng khơng
bị phân kỳ tại vô cùng. Mặc dù vậy, số hạng động năng lại phân kỳ tại đó.
Nghiệm năng lượng khơng xác định này (Polyakov gọi là quả cầu gai)
dường như bền về topo. Ta lý giải điều này theo phương pháp topo. Giá trị
biên
tương ứng với một ánh xạ từ một hình cầu ở vơ cực lên
18


hình cầu đơn vị trong khơng gian
. Ánh xạ này phủ lên hình cầu đơn
vị một lần, ta nói rằng nó có số lần cuộn (winding number) hay tích topo
(topological charge)
. Vì là số ngun, nên chỉ có thể tồn tại một
phép biến đổi không liên tục làm thay đổi từ
đến
. Phép biến
đổi này, có lẽ chứa năng lượng khơng xác định theo một số hướng. Do đó
khơng thể thay đổi theo thời gian thông thường của hệ. Nghĩa là tích topo
được bảo tồn. Cụ thể, tích topo
của “quả cầu gai” được bảo tồn. Do
tính đối xứng cầu của nghiệm nên nó là một cấu hình trường năng lượng cực
tiểu, vì vậy nó được xem là bền.
Việc đưa vào trường gauge
có một ảnh hưởng rất quan trọng đó
là: Sự phân kỳ ở số hạng động năng sẽ được giải quyết bởi việc thay thế đạo
hàm

bằng
và đặt
, số hạng này không phân kỳ ở
lớn do đó mà số hạng động năng trở thành hữu hạn. Nếu điều kiện biên
[

]
(1.31)

̂ [
√

√

]

được thỏa mãn thì

[( ) ]

( )(
(

)

(1.32)

)

Dễ dàng kiểm chứng lại rằng, tất cả các số hạng trong tích phân năng lượng

bây giờ đã có giá trị hữu hạn. Thêm nữa, khi

thì ta cũng có kết quả

tương tự. Như vậy, năng lượng tổng cộng theo đó là hữu hạn.
1.2.2 Nghiệm dyon Julia – Zee

Julia và Zee, vào năm 1975 [21] đã chỉ ra cách đưa vào monopole
’tHooft-Polyakov một điện tích. Như vậy, nó trở thành một monopole vừa có
19


từ tích vừa có điện tích, tức một lưỡng tích được gọi là một dyon. Cách làm
này là thay đổi ansatz (1.14) bằng cách cho

:

(1.33)
[

]

Khi đó phương trình chuyển động (1.15) trở thành
(

)
(

)

(

)

Ở đây, ta nhận thấy rằng khi
và

(1.34)

thì hàm

và

(và cả

) có vai trị tương tự nhau đối với chỉ số . Trường hợp này đã được

xem xét đầu tiên bởi Julia và Zee (chú ý rằng
tiếp thông qua hàm
Giả sử

và

chỉ quan hệ gián

).
, ta sẽ có

, và do đó điện trường đã được đưa

thêm vào từ trường của đơn cực. Nói một cách đơn giản là, việc mở rộng
nghiệm ’t Hooft-Polyakov chỉ trở nên có ý nghĩa khi tồn tại của nghiệm với
.
Đối với trường hợp
và
, giống như trường hợp của
monopole thì nghiệm của phương trình (1.34) (đã được tìm bằng phương
pháp số) với điều kiện biên ở vơ cùng,
[

√

]
( )

√
20

(1.35)


ở đây

(

√ )

,

là khối lượng của dyon. Ta thấy khối lượng của

dyon rõ ràng là hữu hạn bởi vì chỉ có sự phân bố tích phân năng lượng thay
đổi từ

thành

và

khi

.

Để xác định điện tích của dyon, đầu tiên ta cần phải xét điện trường của
nó. Tại

lớn thì tất cả các tensor trường điện từ được định nghĩa như nhau
̂

và ta có thể sử dụng định nghĩa đơn giản

. Do đó, điện trường

của dyon tại lớn là
̂

̂ [

]
̂

[

]
(1.36)

[
ở đây

]

chưa biết (trong điều kiện biên (1.35)) đối với hàm

. Hằng số

này đã được tìm bằng phương pháp số và điện tích của dyon khi đó là
(1.37)
Julia-Zee đã chỉ ra rằng khối lượng của dyon tăng chậm theo hàm của
khi
(với

là khối lượng của boson

trong lý thuyết).

1.3 Nghiệm soliton tới hạn, nghiệm Bogomolny-PrasadSommerfield (BPS)
1.3.1 Nghiệm soliton tới hạn

Trong các mơ hình trường, soliton là nghiệm năng lượng hữu hạn của
phương trình trường phi tuyến mà mật độ năng lượng trường tập trung trong
vùng xác định của khơng gian. Để tìm điều kiện tới hạn của nghiệm soliton,

ta hãy xem xét Lagragian sau
(1.38)

21


với

là trường vô hướng thực và

là hàm thực, không âm của biến

.

Thế Lagrangian này vào phương trình Euler-Lagrange ta được phương trình
phi tuyến
(1.39)
Cho

ta tính được thế năng

khi
∫ (

và động năng

)
(1.40)
̇

∫

Sự bảo tồn năng lượng cho ta:
∫

∫

(1.41)

Có thể thấy giới hạn dưới năng lượng của hệ trường phụ thuộc vào điều kiện
biên. Với sự thăng giáng:
(

√

√

(1.42)

)

Khai triển bất đẳng thức này và lấy tích phân trên tồn bộ khơng gian, ta thu
được
∫ (

√

√

∫ √

)

(1.43)

Do đó, với những trường dừng

|∫ √

Bởi vì

|

|∫ √

|

, nên ta có thể đưa ra một siêu thế

tích phân ở vế phải của (1.44) cho ta giới hạn của nghiệm là
22

(1.44)

(

) , khi đó


(1.45)

giới hạn này cho phép xác định giới hạn dưới của năng lượng trường, được
Bogomolny [25] tìm ra và gọi là giới hạn Bogomolny của nghiệm soliton.
Giới hạn này có ý nghĩa rất quan trọng. Bởi vì, các phương pháp tìm nghiệm
soliton của các phương trình trường bằng cách tìm cực tiểu năng lượng có
thể có phương pháp chưa đạt được giới hạn này. Nghiệm thành công nhất
phải đạt giới hạn này còn được gọi là nghiệm bão hòa Bogomolny hay
nghiệm tới hạn.
1.3.2 Nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield (BPS)

Đây là nghiệm của lý thuyết thuần gauge

. Từ ansatz (1.2), dẫn

đến phương trình chuyển động (1.3), Prasad, Sommerfield [26] đã tìm ra
nghiệm của phương trình này có dạng

(1.46)

với

là hằng số tùy ý. Khi

đối xứng địa phương

nghiệm (1.46) tương ứng với sự phá vỡ
bởi vì
̂
(1.47)

Như vậy

là khối lượng của hai thành phần trường Yang-Mills mà thu được

thông qua sự phá vỡ đối xứng gauge cục bộ. Những thành phần này đã được
chỉ ra trong (1.18). Khi

ta thấy

trở thành nghiệm vacuum
đổi tại

(

và

; còn với

và nghiệm (1.46)
nghiệm (1.46) khơng thay

). Mặc dù Prasad và Sommerfield tìm ra

nghiệm này, nhưng nghiệm này là nghiệm bão hòa Bogomolny nên được gọi
là nghiệm BPS.
23