SU HOI TU CUA TICH PHAN SUY RONG LOAI 1

I. LÝ THUYẾT:
1. Vô cùng bé: ( khi x → x0 , với x 0 ≠ ∞ )
( a ) sin u tan u arcsin u acrtan u u ,khi u →0
2
( b ) 1−cos 2 u u khi u →0
2
α
( c ) (1+u) −1 α . u khiu → 0
( d ) ln ( 1+ u ) u khi u →0
( e ) ax −1 x lna khi x →0
( f ) e x −1 x khi x →0

* Quy tắc ngắt bỏ vô cùng bé:ta ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao (

lim f ( x )=0 thì f(x) gọi là

x → x0

vô cùng bé)
2. Vô cùng lớn: ( khi x → ∞ )
Khi x→ ∞ thì thằng nào tiến ra vơ cùng nhanh hơn thì giữ lại , thằng nào tiến ra vơ
cùng chậm hơn thì bỏ.
* Quy tắc ngắt bỏ vô cùng lớn:ta ngắt bỏ vô cùng lớn bậc thấp (

lim f ( x )=∞ thì f(x) gọi

x→∞

là vơ cùng lớn)
Ví dụ : lim

x→∞

x100 + x 50+1
x 100
lim
=1
x 100 + x 99+100 x →∞ x 100

3. KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ TÍCH PHÂN LOẠI 1:
+∞

a) Tích phân cơ bản:

hội tụ : α>1
∫ x1α dx { phân
kỳ : α ≤1
a

b) Tích phân phức tạp: (dùng 3 tiêu chuẩn)
 Dấu hiệu so sánh bất đẳng thức: 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x )

g ( x ) hội tụ→ f ( x ) hội tụ
f ( x ) phân kỳ → g ( x ) phân kỳ

{

 Dấu hiệu so sánh giới hạn:
f (x)
lim
=k ( 0 ≤ k ≤+∞ ) , f ( x ) hội tụ→ g ( x ) hội tụ

x → ∞ g (x)
f ( x ) phân kỳ → g ( x ) phân kỳ

{

* Hệ quả: f ( x ) g ( x ) : cùng hội tụ , cùng phân kỳ
+∞



+∞

∫|f ( x )| dx hội tụ→ ∫ f ( x ) dx hội tụ
a

a

II. BÀI TẬP: Xét sự hội tụ của các tích phân sau:
+∞

a.

∫ x 31+ 1 dx

(sử dụng hệ quả)

1

Khi x →+∞ tacó :

1
1
3
x +1 x
3


+∞

∫1

1

x

3

dx

+∞

hội tụ

→∫
1

1
dx hội tụ
x +1
3

+∞

∫ x√3+x1 dx

b.

(sử dụng hệ quả)

2

Khi x →+∞ tacó :

+∞

∫
2

1
x

5
2

+∞

dx hội tụ → ∫
2

√x

√x = 1

3

x3

x +1

x

5
2

√ x dx hội tụ
3

x +1

+∞

c.

1
dx
∫ lnx

(sử dụng dấu hiệu so sánh bất đẳng thức)

2

Khi x →+∞ tacó :ln x ≤ x →
+∞

1 1
≥
lnx x

+∞

1
dx phân kỳ
∫ 1x dx phân kỳ ( α =1 ) → ∫ lnx
2
2
+∞

d.

∫
1

1
3

√ 1+ x . √1+ x 2

dx

Khi x →+∞ tacó :

+∞

∫

1

1
3
√ 1+ x . √ 1+ x2
+∞

1
1
= 7
3 2
√ x . √ x x6

7
1
dx hội tụ α = >1 → ∫
dx hội tụ
7
3
2
6
1 √ 1+ x . √ 1+ x
6

1

e.

(sử dụng hệ quả)

x
x
x−sin ¿
¿
¿ dx
x2¿
x +sin x
¿
+∞

∫¿
1

(

)


x
x−sin¿
¿
2
x ¿
Khi x →+∞ tacó :

x +sin x

¿

x
x−sin ¿
¿
¿ dx
x2 ¿
x +sin x
¿
+∞

∫
1
+∞

f.

+∞

1
dx hội tụ ( α =2> 1 ) → ∫ ¿
x2
1

∫ sinx 2x dx

(sử dụng dấu hiệu so sánh bất đẳng thức)

1

Khi x →+∞ tacó :
+∞

∫
1

sin x 1
≤ 2
x2
x
+∞

1
sin x
dx hội tụ ( α =2> 1 ) → ∫ 2 dx hội tụ
2
x
x
1

g.
+∞

−2 x

∫ ex 2

dx( sử dụng dấu hiệu so sánh bất đẳng thức )

1

Khi x →+∞ tacó :e−2 x =

1
≤1 ( e 2 x >0 , khi x →+∞ )
2x
e

Chia 2 vế cho x2 ta đư ợ:
c

e−2 x 1
≤ 2
2
x
x

+∞

∫
1

+∞

1
e−2 x
dx
h
ộ
i

tụ
(
α
=2>
1
)
→
∫ x 2 dx hội tụ
x2
1
+∞

h.

2

∫ x 4−xx 2 +1 dx
0

(sử dụng hệ quả)


2

Khi x →+∞ tacó :
+∞

∫
0

2

x
x
1
= 2
4
2
4
x −x +1 x x
+∞

1
x2
dx
h
ộ
i
tụ
(
α
=2>
1
)
→
∫ x 4−x 2 +1 dx hội tụ
x2
0