De thi chon HSG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BINH DUGNG

KY THI CHON HOC SINH GIOI THCS CAP TiNH
Nam hoc: 2012-2013

ĐỀ CHÍNH THỨC

Mơn Tốn lớp 2

Thời gian làm bài: 150 phút

(Không kể thời gian chép đề )
Cau 1: ( 4 diém)
1. Chitng minh rang n° - n*— n’ + 1 chia hét cho 128 véi n 1a s6 ty nhién lé.

2. Trong phép chia a cho b (a,b là các số tự nhiên), nếu tăng số chia b cho một đơn
vị thì thương số không thay đổi trong trường hợp nào ?

Câu 2: ( 4 điểm)

Giải hệ phương trình : L Ty Faye t
3x+y=y

+3

Câu 3: ( 4 điểm)

Cho phương trình x” + px + p = 0O (1)

Tìm p, q để phương trình (1) có 2 nghiệm, mặt khác khi thêm I vào các nghiệm của

(1) thì chúng trở thành nghiệm của phương trình x” - p’x + pq = 0

Câu 4: ( 4 điểm)
Cho tam giác ABC, có AB < AC, kẻ trung tuyến AM, đường cao AH và phân giác
AD.

1. Trén canh AC lay điểm E sao cho AE = AB, Chitng minh DEC > ACB .
2. Chttng minh CD >CM.

3. Chứng minh rằng điểm D nằm giữa 2 điểm H và M.

Câu 5: ( 4 điểm)
Cho góc nhọn xMy và điểm A cố định ( khác M) thuộc tia Mx. Vẽ đường tròn (O),
tâm O sao cho tiếp xúc với Mx tại A và cắt My tại B, C theo thức tự M, B, C.

1. Gọi D là trung điểm cung BC không chứa A của (O), E là giao đểm của AD và
BC. Chứng minh rằng E là điểm cố định khi đường tròn (O) thay đổi .

2. Gọi H là chân đường cao AH của tam giác AOM. Chứng minh rằng tứ giác

BHOC nội tiếp đường tròn.


DAP AN DE THI

Cau 1: ( 4 diém)
1. Chitng minh rang n° - n*— n’ + 1 chia hét cho 128 véi n 1a s6 ty nhién lé.
Tac6: n° -n*—n*?+1 =n‘ (n’- 1)- (n’- 1) = (0? - 1)(n* - 12) = (’ - 17°’ F$-:21)

Vì nlẻ „ đặt n= 2k + 1 với k là số tự nhiên.

Khi đó: (n” — 1) = 4k” + 4k = 4k(k + L) chia hết cho 4
Mặt khác: k(k + 1) chia hết cho 2
=> (n* — 1)? chia hết cho (4.2)? = 64 (1)
Ta co: (n? + 1) = 4k* + 4k + 2 = 2(2k? + 2k + 1) thi chia hết cho 2 (2)
Ty (1) va (2) > n® - n*- n?4+1 chia hết cho 64.2 = 128

2. Trong phép chia a cho b (a,b là các số tự nhiên), nếu tăng số chia b cho một đơn

vị thì thương số không thay đổi trong trường hợp nào ?
Gọi q, r là thương và số dư của phép chia a cho b.
Ta có:a=p.q+r,0,0Ta có thê viet: a= (b+1)q—q-+r
Nêu q là thương của a chia cho b + T thì phải có điêu kiện 0
= q
Vậy chỉ cân điêu kiện q
Câu 2: ( 4 điểm)
c2

TA

`

Giai hé phuong trinh

S

y

:

2

2

—

wy

ray

=]

(*)

3x+y=y +3

“=x =* +xy-Ï
TAY

y =3x+y-3

=>x+xy-1=3x+y-3
& x -2x4+1l+xyx-y+1=0
â (x-1)

+y(x-1)-(x-1)=0

<>(x-1)(x+y-2)=0
&

x=l
eo

eo

re

9

`

+ Voi x=1: (*) tro thnh:
"

x=l

3x+y=y
ơ

+ Vi x+y—2=0: (*) trở thành:

,

xE=l

+3

|y=0y=Il

+y-2=0

oe

3x+y=y

›

x=2+3

Vậy hệ PT đã cho có 3 nghiệm: (1;0); (1;1); (Š;-3)

Câu 3: ( 4 điểm)

Cho phương trình x” + px + q= 0 (1)

>

3(2-y)+y=y

›

=]

+3

,<= yea

—]

y=-3>%x=5


Tìm p, q để phương trình (1) có 2 nghiệm, mặt khác khi thêm 1 vào các nghiệm của

(1) thì chúng trở thành nghiệm của phương trình x” - p’x + pq = 0

Gọi x¡; X¿ là 2 nghiệm của PT (1)

(1) có 2 nghiệm khi và chỉ khi pˆ — 4p > 0

Ta có: XI†X2a=-D.,Xi.X2=dq

Khi thêm ] vào các nghiệm x¡; xa, ta được:

Xi+Ì+x;¿+ l=xịi+Xạ+2=-p+2
(xi+1)( X2 +1)

= X1.X2 + Xj+ Xo +

l=

q-p

t+

1

Vay: xi+ 1 va xạ + 1 là 2 nghiệm của PT: x7 + (p-2)x+q—p+1=0

Ầu bàibài tata có:og: Ụ
Theo đâu

2=

=P
JPW 22=—P

p~2==p

g-p+l=pq

(q+1)(p -1)=0

+TH 1: {Pe

và pˆ—~ Áp > 0 ta suy ra q< +

+TH 2: bi

thoả mãn pˆ — 4p> 0

q tuy y

q—-

ol

=1

pow!

q tuy y

=-2
q =-1

4

Vậy p. q cân tìm là |

Câu 4: ( 4 điểm)

1) Ta có: AABD = AAED (c-g-c)

=> B=E ,D,=D,

A

vaDB=DE(1)

Vi A+ B+C=E,
+E, =180°
=>E,=A+C
> E,>C

2) Vi E, >C
=> CD

(cau 1)

2

> DE

Nên:CD > DB

|

Lai c6 MB = MC (M la trung diém BC)
— CD > CM
3) Tac6é: ADC>ADE

(viEe€

AC)

Va D, =D,
Nén: ADC
> ADB

=> ADC la góc tu
=> CH > CD ( dudng cao nằm ngoài tam giác)
Ma CD > CM (cau 3)
Nén D nam gitra H va M

Câu 5: ( 4 điểm)

BUH

2

DM

c


I) Ta có MAE= = sdAD

(góc tạo bởi tỉa tiếp tuyến và dây cung)

2) MEA= sed (4B + CD] (góc có đỉnh ở trong đường trịn) (a)
=> MEA= =sd(AB+ BD) = = sd AD

( D là trung diém cung BC) (b)

Tir (a) va (b) > MEA = MAE
—> AMAE

can tai M

—= MA = ME không đôi

— E là điểm cô định .

2)

Xét AMAB và AMCA có:
M : chung
MAB = MCA (góc tạo bởi tỉa tiếp tuyến và
dây, góc nội tiếp cùng chắn I cung)
—=AMAB ~ AMCA (g-g)

=- MC2=”MA — MA?=MB.MC

Ma MA? = MH.MO (AAMO vuông tại A,
duong cao AH)
Nén: MB.MC = MH.MO

_, MH
_ MC
MB
MO

= AMBH ~ AMOC
—=> MHB = MCO

— Tứ giác BHOM nội tiếp(góc ngồi băng góc trong đối diện)

D