De thi chon HSG

Sở GD&ĐT Thừa Thiên - Huế

DE THỊ HỌC SINH GIỎI

Trường THCS Ngun Tri Phuong

Mơn Tốn 9 - Thời gian : 120 phút

œ8

Cau 1/ (1d) Cho x = PP

- Bi

Chứng minh rằng x là một số

nguyên .
Câu 2/ (1,5đ)

Chox>0,y>0,t>0.

Chứng minh rằng : Nếu
Cau

3/(1,5d) Cho

Vxy +1 _Jyt+1_ Vxt +1 hì
=
thì x=y=t

\y

vt

Vx

đa thức bac hai f(x)= ax + bx + c có

Ching minh rang da thitc g(x) = cx’? + bx +a

thỏa mãn

m+n>2 .

Câu 4/(2đ)

hoặc x.y.t =l
nghiệm

x = m.

(cZ0) cũng có nghiệm dương x = n và

Trong mặt phăng tọa độ Oxy , cho đường thăng d(m)

(m -1)x+ (m -2)y - I=0

dương

(m là tham số) .

có phương trình :

Tìm m dé khoảng cách từ điểm O đến đường thăng d(m) có giá trị lớn nhất . Xác định
đường thăng đó .

Câu 5/ (4đ) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R >r. Lấy A và E là

hai điểm thuộc đường trịn (O; r), trong đó A di động, E cô định

( với A # E). Qua

E vẽ một đường thăng vng góc với AE cắt đường trịn (O; R) ở B và C. Gọi M là
trung điểm của đoạn thăng AB .

a/ (1,58) Chứng minh EB”+EC”+ EA” không phụ thuộc vị trí điểm A .
b/ (1,5đ) Chứng minh răng khi điểm A di động trên đường tròn (O; r) và A# E thì
đường thăng CM ln đi qua một điểm cố định

œ/ (1đ)

( gọi tên điểm có định là K ).

Trên tia AK đặt một điểm H sao cho AH = = AK

. Khi A di động trên đường

tron (O:r) thì điểm H di động trên đường nào ? Chứng minh nhận xét đó ?


Dap an va biéu diém chầm Tốn 9

Cau
Câu1

Nội dung

a=il3+,|9+-

(1d)

Thì

a—b

27
=6

và b= l|-3+.|9+

Điểm

27

0,25 d

va ab =

x=a—b>x’

=a°—b —3ab(a—b)

—
x 3 =6-5x &(x-1)(x° 2 +x+6)=0

0,25 d
0,25d

xe Z
Ma x7 +x +6 > O(do........ ).Suy ra x =1.Vậy
Câu 2 | Từ os

đc

(1,54)

nức VỚI dieu kiện do đề bài đã cho suy ra :
1

=4y mm:

q)

0,25 d

W-w=-L._L _ dy -vz

Ti

Fr

zy

vs

ở

xz

TIÊN
()=>{Jy-vz=—-—--4
vy

"mm...

(2)

ý

ak We
0) = [Ve YS) [yo —Va] (evn)=
`
Từ 3)

.
4
.
›
Hoc sinh chting minh dugc rang

Câu 3 | Ta có:

x =m

S

màn

(1,54)

0,25 d

0,5 đ

AEI KIKS)
IT
af ZYZXXY

|ÄX}y=Z
xyz=l1

0.5 d
,

là nghiệm của da thirc f(x)= ax” + bx +Â

+b

m+c

=0

(1)(1), mm>
ma

0

ee

(gt

0,25

()â@a+--+=0 @a+b()+cC)=0

|

| ons|

m

;

m

m

m

@)

0,25

ng thc ny chng t rằng x=—— là nghiệm của

0,25d

m

đa thtte g(x) =cx*>+bxt+a=0

Vay x=n=

Ta có m+n

(do .......... )

=m

+-L>2
m

me

m

iy
m

0(dom>0)

(3)

Hay m+n22

0,25d
0,25 d
0,25

Câu 4 | Nêu m =l thì d(1) là đường thắng y= -I nên khoảng cách từ O đến d(1) là 1 | 0,254
(2d)

Nêu m =2 thì d(2) là đường thăng x = 1 nén khoang cach ttr O dén d(2) 1a 1

q)

0,25d


r

7

°

1

Néu m #1 va m# 2 thi d(m) cat truc hoanh tai a{

B(«

5)

m—
1L _— 1

mì

⁄

| va cat truc tung tai

—

.

0,25

Goi OH là khoảng cách từ O đến đường thắng AB ta có :

1.

OW OA? op ch)
L_ =2m?~6m+5=2

OH

Vay OH? <2 @ OH< V2

›

to?)

›

0,25d

2

m-2)

+ts1

2)

2

> OH,

2

nq = V2

0,25d

.

3 (2)

khi m =>

Từ (1) và (2) và do 1 < 42 suy ra khoảng cách lớn nhất từ O đến d(m) 1a V2
Khi đó đường thăng d có cơng thức là x - y- 2 =0

0,254

025đ
°

0,25d

Cau 5

Câu a Í Gọi G là trung điểm BC thì OG.LBC_
,

GB = GC va GE=GD

(dl)

(đi) suy ra

và OG là đường trung bình A ADE nên oG=— AE hay AE = 20G

0,25d

Ta cé EB°+EC’= (BG-EG)’+ (GC+ GD)“=(BG-EG)“+(BG+EG)”

0,25d

Ap dụng định lý Pi ta go vào các tam giác vuông OGE và OGB ta có :

0,25d

Suy ra EBˆ+EC”= 2(BG“ +EG”)

OG”+GE”= r” và OG”+GB”= R”
Do đó EB“+EC”+EA”=2(BG” +EG+4OGˆ =2 (BG”+OG”)+2 (EG”+OG”)
= 2R’ +2r° ( khơng đơi)

Trường hợp đặc biệt :

`

G =E=D Thì chứng minh trên vân đúng

Câu b Í Hại tam

(1,5d)

8 giác

ABC và ADE có chung trung tuyến AG nên có chung trọng tâm

0,25d

0,25d

0,5d


Mà tam giác ADE có trung tuyến OE cơ định ,
Nên điêm cô định K mà trung tuyên CM của A ABC đi qua chính là trọng

0,5d

Do H thuộc tia AK, ma K la trong tam A ADE

0,5d

tam cua AADE

0,5d

Câu c

(1đ)

va AH

= = AK

nén H

tring

với G ( là trung điểm chung của hai đoạn thắng DE và BC )
Mà AOGE vuông tại E ( chứng minh trên) , O,E cô định (theo gt) )
Vậy khi A di động trên đường trịn (O; r) thì H di động trên đường trịn

đường kính OE

0,25d

0,25d