De thi chon HSG

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THỊ CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2012-2013
ĐÈ THỊ MƠN: TỐN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 150 phút, không kế thời gian giao đề

Câu 1 (3,0 điểm).
1
r

1
2

1
2ˆ

1
3°

a) Tinh tong: S=,/l+—>+—+,/l4+—+—+:-:-+,/l+

)

5

\

\

b) Cho các số nguyên x và y thỏa mãn

\

1

20122

+—.

2013

4x+5y= 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức P=5|x|—-3|
y|.

Câu 2 (1,5 điểm).

Tìm các số hữu tỉ x, y thỏa mãn:

\2x3 —3= V3xv3 — y yv3 .

Câu 3 (1,5 điểm).
Cho các số thực dương z, b, c thỏa mãn

Câu 4 (3,0 điểm).

abc = 7 Chứng minh răng:

3+-2 22239 xa+2p+3e+L.-L..E,
2b
3c
a
a
2b
3c

Cho tam giác nhọn

415ŒC( 4C > AB)

có các đường cao

44141', BB', CC"

và trực

tâm H. Gọi (Ĩ) là đường trịn tâm O, đường kính ĐC. Từ 44 kẻ các tiếp tuyến 4M,

AN tới đường tròn (Ø) (M, N là các tiếp điểm). Gọi 4' là giao điểm thứ hai của
A'N va duong tron (O), K la giao điểm của OH va B'C'. Chứng minh răng:
a) M'đối xứng với Ä⁄ qua BC.
b) Ba điểm M⁄/,/, N thăng hàng.

KPB' ( HB'Y

c) —— =| —
KC'

\AC'
Câu 5 (1,0 điểm).

].

Cho bảng ô vuông

3x3 (3 hàng và 3 cột). Người ta điền tất cả các số từ 1 đến 9

vào các ô của bảng (mỗi số điền vào một 6) sao cho tống của bốn số trên mỗi bảng
con có kích thước 2x2

đều bằng nhau và băng một số 7 nào đó. Tìm giá trị lớn nhất

có thể được của 7.

—Hết—
Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.


SO GD&DT VINH PHUC

KY THI CHON HSG LOP9 NAM HOC 2012-2013
HUONG DAN CHAM MON: TOAN

I. LUU Y CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm

bài học sinh làm theo cách khác nêu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.

- Điêm tồn bài tính đên 0,25 và khơng làm trịn.

- Với bài hình học nếu thí sinh khơng vẽ hình phần nào thì khơng cho điểm tương
ứng với phần đó.

II. DAP ÁN:
1
(3d)

Điểm

Nội dung trình bày

Cau | Y

1

Ta có: vneN’ 144+
n

"=— nu

n

n (n+l)

Suy ra

ptt
nh

(n+])

_n(ntly (ntn+ ĐỀ+(n+D

I

aw

(n 4 D°

Ị ]

n+l

a 4

n

—

n+l

(dol+—-—
n

n+l

>0 Wren’)

Ap dung két quả tiên, ta có
1
1
1 1
l++===l+--~
L2
1 2
1
1
1
1
l+—+—-l+--ˆ 37
2 3

I+

]

st

]

= 1+ =

]

- =

]

2012°
2013
2012
2013
Cộng về với vê của 2012 đăng thức trên, ta được
s=2013- ——,
2013

Nhận xét: Nêu có x, y thỏa mãn điêu kiện đề bài thì
cần xét hai trường hợp sau
TH, x>0>y. Khi đó P=5|x|—3|y|EŠ5x+3y

Suyra P=5x+3:

x„<0. Do đó chỉ

và 5y=7—4x

7-4x 13x+21 . Do đó, P nhỏ nhất khi x nhỏ nhất.

Do x nguyên dương, y nguyên âm nên x= 3, y=—I.

Vậy, trong trường

hợp này, P nhỏ nhất bằng 12.

TH;: x<0< y. Khi đó P=5|x|—-3|y|E—-5x—3y

và 5y=7— 4x

Suyra P=-5x-—3:
Do
hợp
So
khi

(1,5d)

7—4x —-13x-21 . Do đó, P nhỏ nhất khi x lớn nhất.

x nguyên âm, y nguyên dương nên x=-—2,y= 3. Vậy, trong trường
này, P nhỏ nhất băng l.
sánh kêt quả hai trường hợp, giá trị nhỏ nhât của P băng | dat duoc
và chỉ khi x=-—2, y=3.

Tìm các số hữu ty x, y thỏa mãn:

\2x3 —3= V3xv3 — Jyv3

(1)

Điều kiện x> 0;y >0

(1) => 23 —3 = 3x3 + yV3 -6.[xy © (3x4 y—2)V3 = 6fxy -3 (2)
=> (3x+ y—2)°.3 = 36xy — 36./xy +9

= fy - 12xy+3-(3x+y-2)
SY
8)

x, y là các số hữu tỉ, nên từ (3) suy ra xy
+ Nêu 3x+ y—2z0,

la số hữu tỉ.

thì ta có về trái của (2) là một sô vô tỉ, về phải của

(2) là một số hữu tỉ, điều này vơ lí.

+ Nêu 3x+ „—2=0, kêt hợp với (2) ta có:
lene ao

©

6,/xy -3=0

3x+ y= 2

az

1

¬

Giải hệ trên ta được: x=y=5

I,

và

l
5
.
Thay vào (1) ta được x= y= 2 thỏa mãn yêu câu bài toán.

Đặt a=“,2b=-^“ (voi
x, y,z>0)
x

(1,5d)

y

=> 3e=Ễ

Z

Bat dang thức cân chứng minh trở thành:
y

z7

x?

y

Z

x

x

y

Z

ZX

XV

W

X

ÿ

Z

yp

Zz

x

3+~—=+—+—>—+—+—+—+~+—
©x`+y

+zÌ+3xz

> y'z+ xz”+ x°y+x”z+xy”

+ yz”

©Sx(x~ y\(x—=z)+ y(y~z)(y—x)+z(z~x)(z—y)>0

(Ù)


Khơng mất tính tổng qt giả sử x> y„>z.
Ta có: (1) ©(x—y)(x+y_—z)+z(z-x)(z-y)>0

(2)

Dễ thấy (2) đúng suy ra đpem.
a=l

DâuA

66.99

““=

_ 2

Xây Ta cC©x=y=z©tb=z I

_

4

c=—

1
3

A

(3d)

,
C'

i

N

|

\

KO

o

C

M'

Từ giả thiết ta có: 4MO= ANO = 4A4'O =90° nên các điểm 4, 4”, M, Ó,
ẤN thuộc đường trịn đường kính 4Ø.

=> AA'N=AMN

(1)

Lai cé: AMN = MM'N =
(2)

Tu (1) va (2) > MM'N = AA'N> MM/AA'

Ma BC
| Ad’ > BC
| MM”

Mặt khác BC là đường kính của (Ĩ) nên 8C vng góc với Ä⁄M⁄ˆ tại
trung diém cua MM’, do dé M’ doi xtng voi

VM qua BC


AAMC’ va AABM c6 AMC'= ABM vachung goc MAB
= AAMC'~ AABM=> AM _ AC’ => AM’= AB.AC'

(3)

“AB AM

Dé thay AAC'H ~ AAA'B> AC AM.
AA AB

Tu (3) va (4) = A4A'.AH = AM? —_ 4H

AM

Mặt khác A4HMí

_ AM

AA'

và A4M⁄4' có chung góc 4 ˆ41⁄ nên

AAHM ~ AAMA'=> AMH = AA'M

Tứ
Có
Từ
Từ

44) AH = ABAC’ (4)

giác 4A⁄4N nội tiếp > AA'M = ANM
AM, AN là tiếp tuyến của (Ø) > AMN = ANM
(6) va(7) > AMN = AA'M
(5)
và (8) tacó AMH
= AMN .

(5)

(6)
(7)
(8)

Dễ thấy H, N năm cùng một phía so với đường thăng 41M nên tỉa 4H

tring tia MN hay M, H, N thang hang

D

Qua O ké đường thăng d song song véi B’C’, d cat BB’ va CC’ lan luot
tai D, E
KB`

KH

KC'

KB"

OD

OD

OH

OE

KC'

OE

Ta có: BDO

= ECO (vì

cùng băng BB'C') va BOD
= EOC.

= ADBO~ ACEO => 22 = 28 -, opog=00 = 22 =o
OC OE
OE

2

(10)


Lay F (F# E) trén duong thang CC’ sao cho OE = OF

— OFC = B'C'H (vicing bang OEC’). Lai cé HB'C'=OCF

=> AB'C'H ~ ACFO=>
Tu

5
(1đ)

(9),
(9).

(10),(10), 11)

(1 )

KB'

HB' =OC.=> HB' =OC

HC'

OF

HB'

HC'

OE

(11)

2

=> ——
——
xe =| lạc,

1,0 điểm

Tông của tât cả các sô ghi trên bảng bang

l+2+3+-::+9=45.
Gọi x là sô ghi ở ô (2; 2) (ơ trung tâm của
bảng); các ơ cịn lại ghi các sơ a, b, c, d, e, f,
ø.h (Hình Ï):

d

b

C

h

x |

d

g | f | e
Hinh 1

Cộng tông tât cả các sơ ghi trên 4 bảng con kích thước 2x2 ta được
AT =4x+(a+ct+e+g)+2(b+d+ f+h)=454+2x4+(x+b+d+ f+h)
Do x<9,x+b4+d+4+ f+h<9+8+7+64+5=35
AT < 454+29+35=98>T
<24 (do TEN)

Trên Hình 2 chỉ ra một phương án dién s6 sao cho

T=24.

nén

4

|5

|1

3

9

6

5

7

2