Cac de luyen thi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THỊ TUYẾN SINH VÀO LỚP 10

TRUNG HỌC PHO THONG CHUYEN HUNG VUONG
NAM HOC 2015-2016

ĐÈ CHÍNH THỨC

__ Mơn: lon

-

(Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Tin học)

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đê
Đê thi có 0] trang

Câu 1 (2,0 điểm)
X-ÿ-Z
b) Tìm các sơ thực x, y, z thỏa mãn: 4 y— ;z— x

lÍ
Wo—

ã—=+— y

Mm

a) Giải phương trình: x” — 3|x| +2=0.

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Phép toán 7 được định nghĩa như sau: a7b = I

a

-

với a và b là các số thực khác 0

tùy ý. Thí dụ: 273 = 2. = = Tính giá trị biểu thức: P=(576)7(778).
b) Cho ø và ? là các số thực thỏa mãn các điều kiện:

Chứng minh răng:

b

6a”+20a+15=0;

ab?—9(ab+1)`

—

6

15b°+20b+6=0;

ab¥l.

2015:

Câu 3 (2,0 điểm)
a) Tim tất cả các số tự nhiên ø sao cho ø + 2015

và ø + 2199

đều là các số chính

phương.
b) Bạn Nam việt một chương trình đê máy tính in ra các sô nguyên dương liên tiêp theo
thứ tự tăng dân từ T đên 1000 dưới dạng sau:
123456789101112131415 1ó...9989991000.
Trong dãy sơ trên, tính từ trái qua phải, chữ sơ thứ II là chữ sô 0, chữ sô thứ 15 là chữ sô 2.
Hỏi chữ sô thứ 2016 trong dãy sô trên là chữ sơ nào?

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho hình vng AB8CD tâm O, M là điểm di động trên cạnh AB. Trên cạnh AD lấy điểm
E sao cho AM = AE, trên cạnh BC lầy điêm F sao cho BM = BF.
a) Chứng minh rằng đường thăng OA là phân giác trong của góc MOE,
OB la phan giac
b) Goi H
A, B, H,O cùng
c) Chứng

đường thăng

trong cua goc MOF. Tw do suy ra ba diém O, E, F thang hang.

la chan đường vuông góc ke tu M toi duong thang EF’. Chung minh bon diem
năm trên một đường tròn.
minh răng khi điêm M⁄ di động trên cạnh ÁØ thì đường thăng MH luon di qua

một điểm cô định.

Câu 5 (1,0 điểm)
Cho x là một số thực tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

ƒ{z)=|x-1|+2|x2|+3|x— 3|+ 4|x -4I.

Họ và tên thí sinh: ..............................
- ---- << <<
SE
SE
crreg Số báo danh: .......................-

Ghi chi: Thi sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ

KỲ THỊ TUYẾN SINH VÀO LỚP 10
TRUNG HOC PHO THONG CHUYEN HUNG VUONG
NAM HOC 2015-2016

DE CHINH THUC

(Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Tin hoc)

HUONG DAN CHAM THI MON TOAN
(Hướng dan cham thi gdm 05 trang)

I. Một số chú ý khi cham bai
e Huong dan cham thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám
khảo cân bám sát yêu câu trình bày lời giải đây đủ, chi tiệt, hợp logic và có thê chia nhỏ đên
0.25 điêm.
e Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho
điêm tương ứng với biêu điêm của Hướng dân châm.
e Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.
H. Hướng dẫn chấm và biéu điểm

Câu I (2,0 điểm)
a)

Giải phương trình: x” — 3|x| +2=0.
.

x-y-z=l
b) Tìm các sơ thực x, y, z thỏa mãn: 4 y— z— x =3.

HUONG DAN CHAM

z-x-y=5

DIEM

a) (1,00 diém)

025đ

Phương trình đã cho tương đương với phương trình lx} — 3|¬| +2=0

<= (|x|-1)(|x|- 2) =0

Í

0.25đ

x|=1

s|=2

0,25d

Phương trình có nghiệm xe {—2;:—1;1;2}.

0,25đ

b) (1,00 điểm),

025đ

Phương trình đầu có dạng 2x— (x +y+ z) =l>x=-4.

0,25d

Phương trình thứ hai có dạng 2y — (x +y+ z) =3>

0,25d

Cộng vê với vê các phương trình đã cho ta được x+ y+ z=—9.

y=-3.

Phương trình thứ ba có dạng 2z — (x +y+ z) =5—z=-2.

Thử lại thỏa mãn. Vậy x=—4, y=—3,z =-—2.

°

025đ

°


Câu 2 (2,0 điểm)
a) Phép toán 7 được định nghĩa như sau: 275 = 1 --,

với a và b là các số thực khác 0

a

tùy y. Thi du: 273 = 2. = < Tính giá trị biểu thức: P=(576)7(778).
b) Cho ø và ? là các số thực thỏa mãn các điều kiện:

6a” +20a+15=0;

Chứng minh răng:

15b°+20b+6=0;

ab¥l.

3

P
y=
6 .
ab’ -9(ab+1)
2015

HUONG DAN CHAM

a) (1,00 diém)

DIEM

Theo định nghĩa phép tốn 7, ta có:

L1
1
5T6=—-—=—
5 6 30

Suy

7

ra P=(5T6)T

.
Vay P=|

(778)

=|

(S76)TT8)

0.25đ

1T8=~-4=+
7 8 56

1

0,254

1

—

|T| —

0.25đ

[sa] (=|

1
1
— |T| — |=30-56=-26.
30)
\56
b) (1,00 diém)

0,25d

Ta ký hiệu các điều kiện như sau

6a +20a+15=0

(1);

15b°+20b+6=0

(2); ab¥1

(3)

Dễ thấy các phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt.

0,25đ

Do (3) nên Ð khác 0. Chia hai về của (2) cho ðŸ ta được
(=

+20{ 2
b

b

+15=0

(4)

Tu (1), (3) va (4) suy ra a va , là hai nghiệm khác nhau của phương trình
6x° +20x+15=0
Theo dinh li Vi-ét: a+L=-19.
b
3
Từ đó

ab’ -9(ab+l)
5
b

Suy ra

b°

ab’ —9(ab+1)

Câu 3 (2,0 điểm)

0,25d

a>
b

2

a

=—-9|
b

2015

(5)

( a+—|)
b

5

=—-9|
2

(-?]
-— |

`
, điêu phải chứng minh.

3

2015

=——

6

0,25d
0,25d

a) Tìm tất cả các số tự nhiên ø sao cho ø + 2015 và ø + 2199 đều là các số chính phương.
b) Bạn Nam viết một chương trình để máy tính in ra các số ngun dương liên tiếp theo
thứ tự tăng dẫn từ I đến 1000 dưới dạng sau:
12345678910111213141516...9989991000.
Trong dãy số trên, tính từ trái qua phải, chữ số thứ I1 là chữ số 0, chữ số thứ 15 là chữ số 2. Hỏi


chữ số thứ 2016 trong dãy sô trên là chữ số nào?

HUONG DAN CHAM

a) (1,00 diém)

DIEM

Gia str a và b là các số tự nhiên sao cho ø+ 2015 = 4”; n+2199 =D’.

0,25d

Suy ra (b — a)(b + a) = 184.

Hay (b — a)(b + a) = 2°23
Vì b—a và b+a
trường hợp

là các số có cùng tính chăn lẻ và b— ø
Trường hợp thứ nhất
(7) <=

°

=45

b=47

I) )va va lan

lan

nên chỉ xảy ra hai
0,25d

II )

0,25d

—=>n=10. Thỏa mãn.

Trường hợp thứ hai

trì =f)

=21
952 2 = 1574 <0. Khong thoa man.

Vay n=10.

b) (1,00 diém)

0,254

có

Trong dãy sơ nói trên, 9 sơ đâu tiên: 1,2,3,....9 la cac sơ có 01 chữ sơ.
90 sơ tiệp theo: 10,11,12.....99 là các sơ có 02 chữ sơ.

0.25đ

Như vậy, băng cách viêt nói trên ta thu được một sơ có:

0.25đ

900 số tiếp theo: 100,101,102.....999 là các số có 03 chữ sơ.

9+2x90+3x900+4=
2893 chữ số.

Vì 9+2x90< 2016 <2893
có 03 chữ số.

nên chữ số thứ 2016 của dãy số là một chữ số của số

Ta có 2016=9+2x90+3x609,

0,254

số có 03 chữ số đầu tiên là 100, số có 03 chữ số
.

,

thứ 609 là 609 +100—1= 708 do đó chữ sơ thứ 2016 trong dãy đã cho là chữ so 8.

Câu 4 (3,0 điểm)

2

—_

0,54

Cho hinh vu6ng ABCD tam O, M la diém di dong trén canh AB. Trén canh AD lay diém E
sao cho AM = AE, trén canh BC lay diém F sao cho BM = BF.
d) Chứng minh răng đường thăng OA là phân giác trong của góc MOE,

đường thắng ĨB

là phân giác trong của góc MOE. Từ đó suy ra ba điểm O, E, Ƒ thăng hàng.

e) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ Ä⁄ tới đường thăng EƑ. Chứng minh bốn điểm A,

B, H,O cùng năm trên một đường tròn.
fƒ) Chứng minh răng khi điểm M di động trên canh AB thi đường thăng Ä⁄H luôn đi qua

một điềm cố định.


E

0

D

C

HUONG DAN CHAM

DIEM

Do ABC? là hình vng nên hai đường chéo vng góc, hai đường chéo tạo với các
cạnh của hình vng góc 45°.

0,25d

a) (1,00d)

Tam giác AME vng cân đỉnh A suy ra AM = AE; EAO = MAO = 45”.

S uy ra AAMO = AAEO (c (c.g.c)
g c) => MOA = EOA.

0.254

Vay OA là phân giac trong cua goc MOE.

Chứng minh tương tự, ta có 2ð là phân giác trong của góc MO.

Mat khac,

MOA+ MOB = AOB =90”> MOE + MOF = 2AOB =180”

F thang hàng. Điêu phải chứng minh.

0,25đ

hay E, Ó,

b) (1,00d)

0.254
0.254

Tur giac AEHM noi tiép dung tron duong kinh ME nén MHA = MEA = 45°.

Tur giac BFHM noi tiép dung tron duong kinh MF nén MHB = MFB = 45°.
Suy ra AHB = AHM + MHB = 90°.

Ta thay Ĩ và H cùng nhìn AB dưới một góc vng nên bơn diém A, B, H,O cùng
XI
QUA
`
`
`
:
năm trên đường trịn đường kính AB.

0,25d
0,25đ
0,25đ

c) (100đ)

Đường thăng MíH cắt đường trịn đường kính A5 tại điêm thứ hai 7 (I khác H).

Ta có AHI = BHI =45° nên 1 là điểm chính giữa cung AB (khơng chứa Ø) của | 0.50đ
đường trịn đường kính AB.

Do A, B, O là các điểm cô định nên 7 là điểm cô định (7 đối xứng với Ó qua đường

thang AB).
oo
|
Vay, khi M di dong trén canh AB, duong thang MAH luon di qua điêm cô định /(/đôi|
xứng với @ qua đường thăng A8).

050d
ˆ

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho x là một sô thực tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhât của hàm sơ:

ƒ(z)=|x-I|+2|x2|+3|x— 3|+ 4|x- 4|.
HUONG DAN CHAM

| DIEM


Xét đô thị của hàm số y= ƒ (x).
Trên mỗi miền x
1
2
3
x>4(gôm 05 miền),

0,25d

y=f (x) là các hàm số bậc nhất.
Đồ thị hàm số y= ƒ (x)

là đường gấp khúc gồm 02 tia va 03 đoạn thắng liên tiếp

nhau. Mặt khác ƒ (x)>0,Vxell

nên tồn tại giá trị nhỏ nhất của ƒ(x) trên 1 và | 0.50đ

giá trị nhỏ nhât này sẽ đạt được tại đâu mút nào đó của các tia hoặc các đoạn thăng.
Nói cách khác:

min ƒ(x)= min{ /(1)./(2)./)./(4j= /)=8.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=ƒ (x) bang 8, dat duoc khi x =3.

Ghi chii: Hoc sinh cé thé str dụng phương pháp chia khoảng.

0.25đ