KHOI DA DIEN VA LANG TRU Le Hoanh Pho File word

CHUYEN DE 12: KHOI DA DIEN VA LANG TRU

1. KIEN THUC TRONG TAM
Khối đa diện
—_

Hình đa diện gồm một số hữu hạn đa giác phăng thỏa mãn hai điều kiện:

(1) Hai đa giác bất kì hoặc khơng có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh
chung.

(2) Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
—

Hình đa diện chia khơng gian làm hai phần: phần bên trong và phần bên ni
diện cùng với phần bên trong của nó gọi là khối đa diện.

đa

©

Khối đa diện đều

©

Khối đa diện đều loại {n, p} khi mỗi mặt là đa giác đều n cạnh a

đỉnh là đỉnh chung

của p cạnh

Oy

Có 5 loại khối da dién déu: Khéi tir dién déu 18 loai {3; 3};kh6i
khối lập phương là loại {4; 3}; khối 20 mặt đều 4looy

“$66
đều
Khối bát Mê:

-

xdiện
nhị thập

Khối

bat diện đều là loại {3: 4};
và khối 12 mặt đều là loại

thập nhị diện đều

Hình lăng trụ: cere ong song bằng nhau và các cạnh bên song song bang nhau. Ta
thường phân loại
đa giác đáy: lăng trụ tam giác, tứ giác...
°
—_ Lăng trụđứng khi cạnh bên vng góc với đáy.
—

ow
ê

nến,

là lăng trụ đứng và có đáy là đa giác đều.

tích khối lăng trụ:

V=BA

Là hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành. Hình hộp có 6 mặt là hình bình

hành, 4 đường chéo đồng qui tại tâm hình hộp.
—_

Hình hộp chữ nhật: hộp đứng và có đáy là hình chữ nhật. Gọi a, b, c là 3 kích thước thì

có đường chéo: đ =wa°+b”+c”, diện tích tồn phần: §=2(ab+be+ca) và thể tích
khối hộp chữ nhật: V = zbc.
—._

Hình lập phương: hình hộp chữ nhật có 3 kích thước băng nhau.
— Website chuyén dé — tài liệu file word


Chú ý:

1) Thé tích khối chóp: V = = Bh
2) Dé tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hay chứng minh bất đắng thức ta có thể dùng vectơ, bất
đăng thức Cauchy hoặc dùng đạo hàm.

2. CÁC BÀI TỐN
Bài tốn 12.1: Cho khối đa diện lôi. Chứng minh răng:
a) Sô góc của tât cả các mặt là sơ chăn

6>

b) Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh và là "w
nhất ba mặt.

ø của it

©
Hướng dân giải

e

a) Gọi số góc là G va s6 canh khéi da dién 14 C. Trong méi ca

thì số góc băng số

cạnh, mà số cạnh được tính 2 lần nên G = 2C, do đó G ain
b) Ta dùng phản chứng. Nếu xuất phát từ một đỉnh nảo
thê là cạnh của chỉ một đa giác, trái với điêu kiện tr
Vậy mỗi đỉnh phải là đỉnh chung của ít nhất AI „

chÝ

có hai cạnh thì mỗi cạnh như
ghĩa của hình đa diện.

, và vì vậy nó cũng phải là đỉnh chung

của ba mặt.
Bài toán 12.2: Cho khối đa diện ssid
lồi. C
a) Khong tồn tại khối đa diện có "oDae
o

b) Tổng số đo các góc của c
Ny

a) Giả sử tổn tại wo

oe

b) GọbC;

my

là

- XG

và mỗi mặt lại có một số lẻ cạnh.

=2(C-M)a
Hướng dân giải

có số mặt là M lẻ và mỗi mặt chứa số lẻ cạnh C¡, i=1,2,...M .

ổï đa diện: Œ=C,
+, +...+C„ =G lẻ; vơ lý.

Ta có số góc của

Vậy

oO

rang:

đa diện thỏa đề bài.

ạnh của mặt thứ 1, ¡ = L,2,....

2)z "[Še- 2M Ìz =(2C-2M)z=2(C—M)z
i=l

Bài tốn 12.3: Chứng minh răng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác thì số mặt phải là
số chăn. Hãy chỉ ra những khối đa diện như thế với số mặt băng 4, 6, 8, 10.
Hướng dẫn giải
Gọi số cạnh của khối đa diện là C, số mặt là M. Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh lại
chung cho hai mat nén 3M =2C.

Suy ra M là số chẵn.

— Website chuyén dé — tài liệu file word


Sau đây là một số khối đa diện số các mặt tam giác là 4, 6, 8, 10.

DOGD

Bài toán 12.4: Chứng minh đặc số Ơ-le của khối đa diện lồi: Đối với mỗi khối đa diện lơi H,

ta kí hiệu Ð là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt của H thì đặc số y(H)=D Suy ra: khơng tổn tại khối đa diện lỗi có 7 cạnh.

©

Hướng dẫn giải

.

Ta chứng minh quy nạp theo sô đỉnhÐ > 4.

ci

muda

een

al

co

=2.

$. 6-6 M~ Re

°

+M=4-6+4=2:

đúng.
Giả sử khăng định đúng với số đỉnh Ð: Ð -C +M De
Xét khéi da dién co D’ =P +

khối đa diện sao cho mặt phắng chứa mặt

a không gian làm 2 phần, một phần chứa

đỉnh A và phần kia chứa khối đa diện lôi c
Số đỉnh
Ј = Ð + I, số cạnh
C° =C
Do đó: Ј—Cˆ+M'

Otydin h và mặt A,A,...A, là một mặt của

1 đỉnh. Gọi A là

my

oor

nh cịn lại, ta có З C+M

Gv

=2.

=M+n-]

(M+n—-1)=D-C+M=2

Vậy y(H)=D-C+M=
Cách khác: Dùng oe
nào của khôi đa

tir mot diém S không thuộc bất kỳ mặt nào, mặt đi qua 3 đỉnh

điện

Giá sử tồn tại khối đa diện lồi có C=7.
Ta có đà

dig

Vi Ky,

VOD

D-—-C+M=2nénD+M=9

> 4 nén hoac D=4,

M=5

hoắc D=5,

M=4.

= 4 thì khối đa diện lơi là tứ diện: loại.

Với M = 4 thì khối đa diện lôi là tứ diện: loại
Vậy không tổn tại khối đa diện lỗi có 7 cạnh.
Bài 12. 5: Chứng minh tâm các mặt của một khối tám mặt đều là các đỉnh của một khối lập
phương.

Hướng dẫn giải
Cho khối tám mặt đều SABCDS'.
— Website chuyén dé — tài liệu file word


Goi M, N, P, Q, M’, N’, P’, Q’ lan luot 1a trọng tâm của các mặt

SAB, SBC, SCD, SAD, S’AB, S’BC, S’CD, S’DA thi cac tt giác
MNPQ, M’N’P’Q’, MNN’M’, PQQ’P’, NPP’N’, MQQˆM'

đều là

hình vng.
M6i dinh M, N, P, Q, M’, N’, P’, Q' đều là đỉnh chung của 3 cạnh.

Vậy MNPQ.MˆN'P°Q' là khối lập phương.
Bài toán 12.6: Cho một khối tứ diện đều. Chứng minh răng các
trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tám mặt đều.

Hướng dẫn giải
Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điềm của các cạnh AB, CD, AC,
BD, AD, BC của khối tứ diện đều ABCD. Khi đó, tam giác MP

MRQ, MQS, MSP, NPR, NRQ, NSP là những tam giác đều,

làm thành khối đa diện với các đỉnh là M, N, P, Q, R, S mà
đỉnh chung của bốn cạnh.

Vậy đó là khối tám mặt đều.

OY

Bài toán 12.7: Hãy phân chia:

è
Ah 1a

*

y

a) Một khối hộp thành năm khối tứ TY
b) Một khối tứ diện thành bốn gu

én bởi hai mặt phẳng.

„ Ác Â\, ˆ Hướng dẫn giải

a) Có thể phân chia khối :
ABDA",

CBDC’, BARC’

CD.A’B’C’D’ thanh nam khối tứ diện sau đây:
,

DA’C’D, BDA’C’.

B

b) Cho khối tứ dién ABCD. Lay diém M nam giữa A và B, điểm N năm giữa C và D. Bang
hai mat phang (MCD) va (NAB), ta chia khối tứ diện đã cho thành bốn khối tứ diện: AMCN,
AMND, BMCN, BMND.
Bài tốn 12.8: Tính thể tích của khối lăng trụ n-giác đều có tất cả các cạnh đều bang a.

Hướng dẫn giải
— Website chuyén dé — tài liệu file word


Goi A,A,...A, la day cia khéi lang tru déu va O là tâm của đa giác đều A,A,...A,. Ha
ON
L AA, . Ta co:

O

ON = AN cot NOA, = “cot=
2

,

n

`

Do đó diện tích đáy của khối lăng trụ đều là:
1

1

A

A,

Z

S=NSoy4, = ns .A,A,.ON = qe cot—

A,

N

A;

Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ đều nên chiều cao của nó bằng cạnh bên: h =a.
roe
1
Vậy thể tích của khối lăng trụ là V = $.h= T na cot.
Bài tốn 12.9: Tính thể tích của khối lập phương có các đỉnh làa
trọ

LY các mặt của một

khối tám mặt đều cạnh a.

Hướng dẫn giải

Ss

Giả sử có khối tám mặt đều với các đỉnh là S, S°, A, B, oY

M và N lân lượt là trọng tâm của tam giác SAB ~

oi
doan

thăng MN là một cạnh của khối lập phương. “4s
Gọi Mˆ,N'

lân lượt là trung điểm của AB

>

M và N lan

lượt nằm trên SM’ va SN’ nén: MNsat; =2 AC
2

Vậy thể tích của khối Ki
lập
Bai

toan

12. x\

5 (RR

3

V=MN°=Z“ “6
hộp

8

(dvit).

ABCD.AA'BCTD'

AB=43,AD= RVs ai mặt bên (ABB’A’) va (ADD’A’)
45° va xã

có

đáy

là

hình

chữ

nhật

1an luot tao véi đáy những góc

thé tích khối hộp nếu biết cạnh bên băng I.
Hướng dẫn giải

và
Taco:

LAD,HK L AB

ADLA'M,ABLA'K

AM =VAA"-A'M?

=

Sịy

—> A'MH =60°,A'KH = 45°
Dat A'H =x. Khi do: A'M = x:sin60° =

với

- HK

— Website chuyén dé — tài liệu file word

,


[3-4 :

> =x=

= x nên x=
Mà HK = xcot45”
Ạ

3

3

Vậy Vy pagcp.=AD.ABx= ý

lỆ-

Bài tốn 12.11: Cho hình lập phuong ABCD.A’B’C’D’ canh a. Tinh:

a) Tinh thé tich khéi lang tru ABC.A’B’C’.
b) Khoang cach tir A dén mp(A’BD) va khoang cach tir A’, B, C, D’ dén đường thăn
Hướng dẫn giải
1

1

a) Visco apc: = Sapc- AA’ = 554

1
3.a= Ta3

(dvtt).

b) Diém A va C’ cach đều ba đỉnh của tam giác đều A'BD nên
AC”

là trục của đường

tròn ngoại tiếp tam gidc A’BD,

do

đường thăng AC” vng góc voi mat phang (A’BD) tai ta

%

tam gidc déu A’BD. Ta có: d(A;(A'BD)) = Al
Vi AO//A'C'

va A'C'’=2A0O nén Al == AC

Vì AC'.Lmp(A'BD) nên A'T
L AC", d
2

Tam giác AAˆI vng tai Inén, AC

Vay A'I= als
Do

(A' BD) HỆ Wy
tố

“ƠN

'(A:AC')=A'1
6a”
-AI 2 =>

»
nên khoảng cách từ A’, B, C, D’ dén AC’ déu bangwe
Cho

hình

chữ

nhật

.

ABCD.A’B’C’D’

khống cách từ điểm D đến mặt phẳng (ACD').

ne
Tim đoạn vng góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thắng AC” và CD'.
Hướng dẫn giải
a) Xét tứ diện DACTD'

có DA, DC, DD”

đơi một vng góc

nên khoảng cách DH từ D đến mặt phẳng (ACD') với H là
trực tam tam giac ACD’, duoc tính bởi hệ thức:

— Website chuyén di

thudc


11
DH*

+

l

DA

+

l

DC?

DD”

Ta có: DC =a, DD'=a,
AC” = AC’ +CC” = DA? + DC? +CC”
Nén 4a* = DA’? +a* +a’ => DA’ = 2a’

1

=

Do do DH

2.

1

b) Vi CD=DD'=a

aV10

2a

a

a

2a

DH

15

z†+;z=>z=DH=

>=—z†

nén CD'LC'D.

5

Mat khéc ADL(CDD'C)

nén

CD' | AC' va CD' | mp(AC'D). Goi giao diém cia CD’ voi mp(AC’D) 1a L_/
Ha /J | AC’ thi IJ la doan vu6ng géc chung cua AC’ va CD’.

J

Œ

'

Ta có:

Cc"

MIC
>I[J= Ap. <2. = ¿(5.232 „ a5
AD
AC'
2AC
2.2a

Bài toán 12.13: Cho hinh h6p ABCD.A’B’C’D’ cé tat
oe

ca

bang d và ba góc của

đỉnh A đều băng 60”.
a) Tính độ dài các đường chéo và thể tích V của hình
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt song song ¢ rele
phẳng sao cho thiết diện nhận được là một hì

ULRR

1

ULRUH

a) Đặt AA'=a,

1

1

AB=b,

ull,

©

D=e
5

Ty

Tạ

Suy ra:

BD"

T

r

T

thu)

be =ca=

Ny

oe

SRÀ

AC'=d

com

NY

Ta có: AC" =(a+b+c)

wesc

ộp. Có thê căt hình hộp băng một mặt

Va

Ty

ấy

Tạ

Tạ

rr

rr

TT

=a +b +c —2ab—2bct+2c.a=2d’

"`:
Tương tự DB'=CA'=dA2
(AA'BD) —

d2
12

, do

do

nên ta có AA'BD là hình tứ diện đều cạnh d, nên:

V = OV 4 'BD —

a2
12

(đvtt).

b) Gọi h là khoảng cách giữa hai mặt phăng (ABCD) va (A’B’C’D’) thi:

V=Syyph=

2

> p=

— Website chuyén dé — tài liệu file word


Vậy khoảng cách giữa hai mặt song song nào cũng bang „6

Hình bình hành BCDˆA'

.

có các cạnh bằng d, và hai đường chéo băng d 42 nên nó là hình

vng. Vậy hình hộp có thiết điện BCDˆA' là hình vng.
Tương tự thiết diện CDA°”B' cũng là hình vng.
Bài 12.14: Cho hình lăng trụ ABC.AˆB°C' có tật cả các cạnh đều băng a. Góc tạo bởi cạnh
bên và mặt phẳng đáy băng 30”. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (AˆB°C))

thuộc

đường thắng BˆC'.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phăng đáy.

©

b) Chứng minh rằng hai đường thắng AA' và B°C” vng góc, wakhoản§

St
Do

AHL(A'B'C')

nén

Hướng dẫn giải

AA'H

là

góc

giữa

Khoảng

cách

giữa

hai

mặt

phăng

AA'sị

laODA

AH = AA'sin30° =>

Vì A'BC'

là tam giác sua

trung điểm của BC”. Mat’

là khoảng cách giữa
MA:

S

Do mm

điển

eên

kha

thuộc đường thăng BC

nên A'⁄
L Ø'C'

và H là

1 B'C' nén AA'
1 B'C'. Hạ HK L AA' thì HK chính

C’.

4 a3

nên H._2-2__443.
a

Bai uốn
NN

A

CA

để:
°

al

mp(A’B’C’). Theo gia thiét thi AA'H =30°.
a)

cáth giữa chúng.

4

| Cho lang tru ABC.A’B’C’ c6 cdc cạnh đáy đều bằng a. Biết góc tạo thành
và mặt đáy là 60” và hình chiếu H của đỉnh A lên mp(A’B’C’) tring voi trung

của B'C'.

a) Tính tang của góc giữa hai đường thắng BC và AC”; tang của góc giữa (ABB'ˆA') và đáy.

b) Tinh thé tích khối lăng trụ.
Hướng dẫn giải
a) Theo giả thiết tam giác AA°H vng tại H và có ÄA'H =60°.

— Website chuyén dé — tài liệu file word

Từ đó suy ra: AH =

Đặt ø=(AC', BC)

Vi BC//B'C' nên g=(AC'",
BC') = ACH
Suy ra tan
Vẽ

”

_At
C'H

HỊ
L A'B'

ta suyra

Vậy œz= AIH

Ta có:

b)

AI LA'8B'.

chính là góc giữa (ABBˆA') và đáy.

AH

tang =

IH

V=S,„..AH
“nan

3a

2)

=

= 2/3

B'H.sin60°

N3

3q 33
dvtt
can.

^¬

1
1
3a

=—.a.—axA3.—-=

Bài tốn 12.16: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ co tat
C, CA=a,CB =b; mặt bên ABBˆA'

Hướng dẫn giái
Kẻ đường cao CHÍ của tam giác vuông A
ABB’A’

la

hinh

vu6ng

nên

giác vuông tại đỉnh

ặt phăng đi qua C và vng

là hình vng. Gọi

góc với AB'. Xác định và tính diện tích thiết diện

®

g trụ cắt bởi (P).

no

Iw
“pi

AB'L

CH

| AB’. Vi

HK//A'B

thì

HK L AB' nên thiết diện là tam gi

Do

CH LAB. mp (ABBA) NR?

từ đó tam giác CHK vRO
Taco:

CH.ABS

na
aun

A'B

AB

\

oy

Do đó: S.„ =

nên CH L(ABB'A).

nén Sou. ==~CH, AK.

xa...

ab

Va? +b?

= AH =

=> HK

BC)

=A'B.

AB

a’

AB

_ va’ +h? N2.a°

a’ +B?

a2

Ie oe

abV2
2(a’ +b’)

Bài toán 12.17: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.AˆB°C' có tất cả các cạnh đều bằng a.
Goi M, N, P 1an lượt là trung điểm các cạnh AA', AC, A'°B'. Hãy dựng và tính diện tích của
thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi mp(MNP).
— Website chuyén dé — tài liệu file word


Hướng dẫn giải
Duong thang MN cat A’C’ tai I va CC’ tai J. Duong thang

IP cat B’C’ tai Q va QJ cat BC tại R.

‘

NZ

Thiết diện là ngũ giác NMPQR.

;

ue
M

Ta có AI=A'P=S

va [A'P=120° nén A'IP=30°

|

Do đó tam giác IQC” vng tại Q.
Va vi vay AJOJ

ee

P VI) 5

|
.

vuông tại Q.

z

JQ? = JC?+C'Q? -(2)2 (2)4 -3{*4)4 => JO= ảng
19=~V3 IC’ =

3axl3
¬

cr

Vậy S=2/010 =2. ảnh, 3av5 _9a°
VAS
2

4

32

`
.
1
Ta có tam giác JRN đơng dạng với AJ@T với tỉ sơ WY. điện tích của JRN là S,= 9 S.
Mat khac

Ml. 1.2 nên nếu gọi S
II
310
3

Gọi S2 là diện tích thiết diện thi

lên tích tam giác IMP thi S, -1 25 = 5.
3 3
9

oe
2

2

S,=S-S,-S, “s-5s-3N8 Ca 988, =
Bài toán 12.18: Cho
tạo thành bởi cạnh

b N

với trung điểm của
a) Tinh

b) Tínlgóc

a. tam giac ABC.A’B’C’ co tat ca cdc canh day déu bằng a, góc
mặt đáy là 60” và hình chiếu H của đỉnh A lên mp(AˆB°C')

anh B’C’.

ách giữa hai mặt đáy và góc giữa hai đường thăng BC và AC”.

itfa mp(ABB’ A’) voi mặt đáy và tính thê tích của khối lăng trụ.
Hướng dẫn giải

a) Ta có AH là khoảng cách giữa hai mặt phăng đáy.

Vì AˆH là hình chiếu vng góc của cạnh bên AA' trên mặt phăng đáy nên ÄA'H = 60”.
Trong tam giác AA°H có: AH = A'H tan60° =

aWS -%4

Góc giữa BC và AC” là ACB'.

— Website chuyén đề — tai |

trùng


AH _3a 4 _

Trong tam giác vuông AHC'” co: tan AC'B'=

HC"

2

`2

b) Từ H hạ #K L A'B'. Ta có HK là hình chiếu của AK trên mặt phăng (A’B’C’). Suy ra

AK 1 A'B'. Vậy góc giữa mặt phăng (ABBˆA') và mặt phắng (A’B’C’) la AKH. Gọi I là
trung điểm của A'ˆB', ta có C'7 L A'B', suy ra Cï//HK. Vì H là trung điểm của B’C’ nên
CL _av3

HK là đường trung bình của tam giác BˆC”I, suy ra HK = 2a
AH

Tam giác vng AKH có: tan AKH =

_ 34 :a3

HK

2`

2/3

4

O

ss

Ta có thể tích khối lăng trụ là:

V=§,„¿.AH =2 B'C' AH
AH =54,1,„ 443
_ 3434
2

2

2

Bài toán 12.19: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A.BC,
với cạnh

huyền

AB

bằng

AA, = 3,

goc

A,AB

V2.

Mặt

phăng

nhọn và mặt phẳng

3

`

8

có

(AA:B)

(AM
oe

Ly.
góc

là tam giác vng cân
với mặt phăng

(ABC),

sóc 60° voi mat phang

(ABC).

Hãy tìm thể tích khối lăng trụ.
—

giải

Hạ A,K L AB(K eAB).
@

K thuộc đoạn AB vì A,AB a

Ny

Ha KM LAC>AM L

Tacé AK 1 MAN

¡nh lý ba đường vng góc).

,B) | (ABC) => A.MK = 60°

Dat AK
= x, tagcd

AK = Ie
aor

\3-x”

sin KAM

= V¥3—x° sin 45° = Ơ3- ee

Mat khộc, MK = A 1K.cot60 ==.
V3
2(3-x)

x

3

v3

V5

=--=->-x-=-~>

2

Vay Viscape, = Sisc AK=

1

ăC: CBAK

=

3v5
10

— Website chuyén dé — tài liệu file word

és

|


Bai toan 12.20: Cho hinh lang tru ABC.A’B’C’ voi canh bén khơng vng góc với mặt đáy.
Goi (a) la mat phang vng góc với các cạnh bên của hình lăng trụ va cat chúng tại P, Q, R.

Phép tịnh tiến theo vectơ AA' biến tam giác PQR thành tam giác PˆQ°R'.
a) Chứng minh răng thể tích V của hình lăng trụ đã cho băng thể tích của hình lăng trụ
PQR.P’Q’R’.
b) Chứng minh rang V = S poe:AA", trong đó S„„„ là diện tích tam giác PQR.

Hướng dẫn giải

AY

a) Mat phang (PQR) chia khéi lang tru ABC.A’B’C’ thanh hai khéi da dién Hype
và Hạ, trong đó H; chứa tam giác ABC

C

cịn H; chứa tam giác A’B’C’.

a

phẳng (A*B'C') chia khối lăng trụ PQR.P°Q°R' thành hai khối đa diện HVà
Hà trong đó Hạ chứa tam giác P°Q°R'.

a) — - mm

a

Goi V,,V,,V, lần lượt là thể tích của các khối đa diện HÀ

Paper

Vu

ad

Vascasc =VitVo> Veorpor =V2 +V3
và biến tam giác PQR thành tam gidc P’Q’ TY eee

khối đa diện Hạ, vì vậy ta có V,= V;. Từ đ
Vi

lang

tru

PQR.P’Q’R’

ot, noe
ing B

Vì phép tịnh tiễn theo vectơ ÁA' biến tam giác cs

b)

| a

od

tam gidc A’B’C’

ea

đa diện H; biến thành

%

°

Viscasc: = Veorpor':
rụ

đứng

có

chiều

cao

PP'=AA'

nên

Vgc. ABC! — Voor. PQR' — Spor:

Bai toan 12.21: Cho hình.aS
30”, góc giữa mp(

A’B’C’D’. Biét rang géc gitta CA’ va (ABCD) bang

KiƯeatc»

Tính thể tích khối h

bằng 45” và khoảng cách từ C° đến (A°CD) băng a.

cho
Hướng dẫn giải

Vì a
AA'

) nên (CA',(ABCD))= Ä'CD =909

AM ascp) ) và AB
L BC
geo
nén2 ((A'BC),(ABCD)) = A' tape BA = 45

Ta c6: d(C';(A'CD))=d(D';(A'CD))=d(A,(A'CD))=
AH voi

Ỉ

A

ỒN
1
3

oe

a

D

“Pe

perro wenn enna, --4D

H la hinh chiéu cita A lén A’D.

:

Đặt AA'= x.

Tam giac A’AB vuong can tai Anén

OND

ohh

AB=x.

B

_

;

— Website chuyén dé — tài liệu file word

C


Tam gidc A’AC vuong tai A, c6 A'CA = 30° suy ra AC=xv3.

Khi dé AD = BC = VAC: — AB? =V3x2 —x° = xv2.
Tam giac A’AD vuông tại A, có đường cao AH

1

1

1

2 AA ae ap?
AH
AD

7?a

ˆ

a6

Vay Visco aricp =

2°

.

1

1

1

av6

ax TB2x

ax6

.

2°

avi2

2

RTD2
3a°4B

=—5

(dvtt).

Bài tốn 12.22: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’

co day la hinh vuông cạ

A cách đều A’, B’, C’, D’. Biết răng khoảng cách từ trọng tâm G của ta
mp(AA’D’)

bang

2

Tính thể tích khối lăng trụ cho và khoảng
vơ”

ăng a3,

AB'D' đến
tt’ tam O của hình

vudng A’B’C’D’ đến mặt phang (ADC’B’).
Hướng dân giải
Vi G là trọng tâm của tam giác AB”D' nên G nam=
Taco:

3

ang AO va AG= 340 .

aN

= ~d(G
(0;(AA'D))=5
si”

d(O;

Gọi M là trung điểm của AˆD'.

Hạ ØH L AM thì OH L(AA*Ð
Su”
Do đó OH = d(O a

Tam giác AOM

1

OH? OA

1

Ấ

dy Vy»

NY

tune

sec

WAN

Zz

2

9a? “oR? 3a°

My = Sancp-OA = 3a"

3a

3a
=> @Á=—

2

9a

= —— (dvtt).

điểm của B’C’. Ha OK L AN.

Ta có OK 1 (ADC'B') nên OK = đ(O,(ADC'B)))
Tam giác AON vng tại O:
Bài

tốn

12.23:

Cho

l

l
l
l
4
>=—:†+—=—:+—~z=
OK”
OA
ON’
9a

3a”
hinh

hép

ABCD.A’B’C’D’

co

l
9a

6

day

=> OK = 3a
4
là

hình

chữ

nhật.

AB=ax3,AA'= AC =2aA3. Hình chiếu của B lên mp(A°B°C'D') là trung điểm O của
— Website chuyén dé — tài liệu file word

B'D.. Tính thể tích khối hop ABCD.A’B’C’D’ va cosin ctia géc gitta hai duong thang AC va
BB’.
Hướng dẫn giải

Ta có O là tâm của hình chữ nhật A°B°C?D' nên 8Ø L(A'B'C'Đ))
Tam gidc vuéng ABC: BC = VAC? — AB’ = V 12a’ —3a’ =3a
Tam giác vng BOB' ta có:
2

BO=ABB”—PB'O” =,|BB 2 ACL

12a”—3a” =3a

Nên W¿z„z.p = Sagcp:-BO = AB.BC.BO =a ¥3.3a.3a =9a°V3
Ta có: cos(AC, BB')=cos(A'C', AA')= cos ÄA '0|

Vì BO 1 (ABCD) = BO L AB

“>

Tam giác ABO vuông cân tại B:

Ap dung định lý cosin trong tam giác AA’O

Vay

Ay
fa 06

A'A?+A'O°-AO* _ 12a’ +a’

2A'A.A'O
3

cos (AC, BB')

năm trên hai anynổ
thể tích khối

1

^©

Bài tốn 12.24: Cho hình
Chứng minh on

⁄

Y

AO =V AB? + BO? =V3a"+9a? = 2av3

cos AA'O =

MT

Íậb.

phương ABCD.A”B°C”D' có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt
)D’ sao cho C'M =DN =x. Mặt phang (MAD’) cat BB’ tai P.

vng góc BN va tim x theo a dé thé tich khéi lap phuong gấp 3 lần
MPB’D’AA’.
Hướng dẫn giải

BN =(CC'+C'M
)(BA+ AD+ DN)
UUULII

— UUULUULII
ULI

=ŒC`.DN+C`M.AD

=a.x— xa =0

Suy ra CM | BN

Ta có các đường thăng AP, DM, A'B' đồng quy tại S.
a

q
=
X

— Website chuyén dé — tài liệu file word


manatees elle)
Wuu„

SA SA’SD' \

a

4

Ta

có

4

V

cep

3

_

1

_

= 3 YABCD.A'B'C'D

— +“

3

3

^

nen

Vue: p' AA

—

2

+“

“flriMrj)}Setjtfen
Chọn

Bài

-X==1#⁄Š
a
2

tốn

12.25:

ca

Cho

AB = AC=a,AA'=a.

@

y-3=5
2

hình

lang

©

tru

ABC.A’B’C’

co

Hình chiếu của B lên mp(AˆB°C')

trung điểm của A°C”. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A

ws
cờ
Mowe
cà

@

giác

vng

cua B’C’. Goi M 1a
cosin của góc giữa hai

đường thắng BC”, MB'.

Do d0: Vize apc = Sapc-B2h
Goi N là trung “a
Nén góc ( (BC' M

SS a.—=a _= a2
J2

4

(dvtt).

thi BN//B'M
BC’, BN)

Goi Ila xót của BC thì C'7//BH. Suy ra C'1.L(ABC).
Tam

g C’IN ta co:

`...

Tam giác BNC' có BN =

,la” 4

BC'=

a`

a

ty

cân,

ax3

Ta C'N=——

Ap dung dinh ly cosin trong tam giac BNC’:

— Website chuyén dé — tài liệu file word


cos NBC '=

BN?+BC°-NC”
2.BN.BC

'

=

“qo *

TT

aN5
2.——.q
2

Vậy cos(BC', MB') = cos(BC',BN)=

5

—

WS
10

.

Bài toán 12.26: Cho hình lăng trụ ABC.A'BC'
AB = BC =a,ÄBB'=CBB '=30°.

có cạnh bên AA'=2aN3,AC=a,

Gọi M là trung điểm của BB'. Chứng mines

vudng géc voi mp (MAC) va tinh thé tich khéi lang tru ABC.A’B’C’.

©

Hướng dẫn giải
Áp dụng định lý cosin vào tam giác ABB' ta có:
AB” =4a” +12a”— 2.242032

=4a* > AB'=2a

Á

e

è

A

Suy ra tam giác ABB' vuông tại A nên AM L BB'.
oP
Tuong tu tac6 CB’=2a

AY

Trong tam giác vng BCM ta có:

CM =V BC? 2 - BM? 2 =V4a

2

Si

V§ xu —

,

CM can tai M

MN L AC.
a7

oy a CÓ: MN =V AM? — AN?

I
3

8

aA

Gọi N là trung điểm của AQ

1Ð

A'

3°

= a nên
=
ta

T rong t tam giác w

=

va CM | BB’.

Suy ra (MAC) LBB'>AA'L (MAC).

Tương tự ta có AM

B

V3

ON?
2

av3

a’ ——=—
1

a

aa

3=—
4

`

3a!

Arpet = Sapc-‹Â (B › (ABC)) = 3V asc = Viv ase = 2.

Bài toán 12.27: Cho hình hộp đứng

ABCD.ABŒD'

(dvtt).

có đáy là hình bình hành,

AB = 2a, BC = a, BAD = 60°, géc gitta đường thắng B°C và mặt phăng (ACC?A') bằng 30”.
Tinh thé tich khéi hop ABCD.A’B’C’D’ va khoang cach gitta hai

đường thắng AM, DD' với M là trung điểm của CC”.

c

Hướng dẫn giải
Ha BH | A'C' thicé BH L(ACC'A’).

!
A

— Website chuyén đề — tai |

feet

: !

c

7
ca i ff---|M
A

7

D

/

MS aeesAeesznradG

A'

D'


Tir do suy ra géc gitta B’C va mat phang (ACC’A’) bang B'CH.
Ap dung định lý côsin trong tam giác ABC ta có:
AC” = BC” + BA” - 2BC.BA.cos120° = a” + 4a” — 2a2a, - ;

=7d7

Suy ra AC =av7.

Taco: B'H =

Same
A'C'

Tam giác vuông B’CH:

=

B'ASB'CSsin1209
A'C'

g'c=-B TT
sin 30

v3

=

#24—
a7

=

q21
7

_ 2a21
7

Tam giác vuông BBˆC: 8B'=v'B'C”- BC” =
Nên: Viscp pcp = AB.AD.sin 60°.AA'= 2a.

(

4a?
Sha

©
)

a

v3có

Ta cé AM song song voi (ACC’A’).

teeeasas89.2

Do đó d(DD',AM
) =d(DD',(ACC'A’) 2

CC'A')

Bài tốn 12.28: Cho khối lăn§ trự

ABC.A'°BˆC”. Gọi M, N lân lượt là trung điểm của hai

canh AA’ va BB’. Mat nN

chia khối lăng trụ đã cho thành hai phân. Tính tỉ số

thể tích của hai phần ta,
>
Nếu gọi V là thé t h
.

la 3°
vag

Nôi
đáy

`

Hướng dân giải

của khối lăng tru thi thể tích của khối tứ diện CABC
2V

tích của khối chop C’.ABB’A là 37

;

chóp C'.ABNM và C°MNB'ˆA' có cùng chiều cao và có mặt

.
k.
1 2
băng nhau nên thê tích của khơi chóp C”.MNBˆA' là: V,= 2 =

=I=

Do đó tỉ số thể tích hai phần được phân chia là k =

= = .

1
—.

— Website chuyén dé — tài liệu file word


Bài (tốn 12.29: Cho một khối hộp ABCD.A'B°C
'D' có AA'=. Trên BB' va DD” lay hai
diém M va N sao cho BM = DN =x< . . Mặt phắng (AMN) chia khối hộp thành hai phân.
Tính tỉ số thể tích hai phân đó.
Hướng dẫn giải
Ta có mp(AMN) cắt khối hộp theo một hình bình hành AMEN,
với E năm

trong

đoạn

CC”

mà

C'E=x.

Qua

M

vé mot

mat

phăng song song với mp(ABCD) cắt khối hộp theo hình bình
hanh MINI.
Gọi Vị là thể tích phần khối hộp nằm giữa thiết diện AMEN và
mp(AˆBˆ°C'D') và V; là thể tích phần cịn lại của khối hộp.
Ta

co.

V

— ViqyNA'g.e'p

Vì Viune — Viamy

nen

— Vip

T Vjyyy

V — Vivuna'Bc’D’

so?

Vị _ MB: _h~—X

Do đó V, 2 =V, IMJNABCD . Vậ

yY V,
—

~

BM

Y

x

Bài toán 12.30: Cho lăng trụ tứ giac déu AB

6c

Ð có chiêu cao băng nửa cạnh đáy.

Với M là một điểm trên cạnh AB, tìm giá(Âm mũ cla g6c AMC,.
g dan giai
1

Chon

uuu

cơ sở AB= a, AD=b

1

und

SE

Goi chiéu cao 1a h thi dayhẴỀN
M c AB nên có số
UUW

UULE

UUILuu.

MOR

UUULL

Ww

cy

AM

=œAB=ơa,
với <œz<]

1

aa

cect

UAL

—

aj€ho:
1

MA, = AA, — AM

ông cạnh 2h

@ unw

aleries
1

TT

T

đa) =c ~2dae+d

1

Xá

1

T

Dị

'

1

AL

:

/

'

a =lˆ(I+4ø)

MC; =[(I-a)a+b+e]
=i [4(1-a) +5]
F

YT

,

1

Dị,

UUUII UUIUILL

1

1

1

of: it

MA..MC, =(c~ø|(L=ø)a+b+e |=#?(2z~1Ÿ

A

,

z a

TH

,

tf

Ị

aot

xÃ

Do đó MA, = đA|I+4ø?” và MC, =h Í4(I-ø)” +5

2

C,

B

— Website chun dé — tài liệu file word

C


maTn
a Dag-a} si
UUHU UUUƯ

(2z-1}

,

1

No

Vậy ø lớn nhât © ø=90° © øz=—

>0

L3

nên M là trung điểm của AB.

Bai 12.31: Cho ABC.A.B.C, 1a mot hinh lang tru tam gidc déu có tất cả các cạnh dài bang a.
Xét các đoạn thăng có hai đầu lần lượt năm trên hai duong chéo BC, va CA, ctia hai mat bén
lăng trụ và song song với mặt phăng (ABB¡A;¡). Tính đoạn thăng ngắn nhất nen

thăng như thế.
Hướng dẫn giải

O

Chọn
hé co sé: AB =a, AC =b, AA, =c

2

Gọi M thuộc đoạn ØC,, và N thuộc đoạn CA¡.
UUUII

UULL

1

oo

1

Taco: MA, =aCA, =a(c—b) với 0<ø<]
UUUUL

UUUNI:

1

L

ờ

Ll

Y

CN = BC.B = B(-b-c+a) voi 0< B<1

iit WA a ARE a ER alc-aot) )+ b+ a (abOY
= Ba+(1-a-f)b+(a-B)c
Vi MN //mp(ABB,A,) va CG /lp(ABB,A,) nên ba vecto AB,MN,CC, 1a déng phẳng.
Do đó có cặp số (p.) sa ow
MN = pAB+ CE

ô\\

Do do Bat

pa+ ge

ơ

8)b+(-

|a=eP

8)c= pa+qc ©

p=

l-a-B=09\a=1-£f
a-p=q

r

sờ

1

=/Ø“+0b+(I-2Ø)c
2

22

1

q=l—2

nên:

ae

rr

MNˆ=Ø“ +(I-2Ø} ` +28(-2Ø).aec

2
= Ø4?22 +(I=28) 22a°+0=(5/”—~48+1)a”

2

2Ý

=5 B-=|

5

l1

a += 22a

2

MN nhé nhat <> MN” nhé nhat <= 2 = :

— Website chuyén dé — tài liệu file word

5
.
Vay MN = =5 là giá trị nhỏ nhất của các đoạn MN.
3. BÀI LUYỆN TẬP
Bài tập 12.1: Cho khối đa diện lồi. Chứng minh rằng
a) Nếu mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chăn.
b) Nếu các mặt là tam giác và mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì đó là khối tứ diện.

Hướng dẫn
a) Giả sử khối đa diện có C cạnh và có Ð đỉnh thì 3Ð = 2C.

Ss

b) Xét đỉnh A bất kỳ, mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh nên đỉnh A là địn 2

cạnh AB, AC, AD rồi chứng minh ABCD là khối tứ diện.

©

Bài tập 12.3: Chứng minh:

e

a) Tâm các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khó

ặt đều

b) Tâm của các mặt của khối tứ diện đều là các đỉnh của mộ tựu

ø của ba

diện đều.

Hướng dẫnsố.
a) Dùng định nghĩa khối đa diện đều loại {n, "

là đa giác đều n cạnh và mỗi

đỉnh là đỉnh chung của p cạnh.
b) Dùng phép vỊ tự tâm là trọng tâm Gad
Bài tập 12.3: Chứng minh tông rà
cạnh a, đến một đường than wy

vati k=

ơng khoảng cách từ 8 đỉnh của hình lập phương

đi qua tâm là số không đối.
Hướng dẫn

Goi hinh lap phuong sine
có 2 đỉnh là 2 mú
nn
Bài tập 12.4:

lần lượt

ne

B’C’D’ tam O

thi d qua O. Ghép tổng bình phương các cặp

chéo có trung điểm chung là O. Kết quả 4a\2.
lap phuong ABCD.A’B’C’D’

canh a. Trén AB, CC’, C’D’ va AA’

os c điểm M, N, P, Q sao cho AM =C'N=C'P=AQ=x(0êm M,N, P, Q đồng phắng và tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chu vi thiết diện

i (MNPQ).
Hướng dẫn

Dùng hình học hoặc vectơ, có thé trai thiết điện MNPQ lên mp(AA’,BB’).
Bài tập 12.5: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A°B°C
D', đường cao h. Mặt phăng (A°BD)
hợp với mặt bên ABBˆA' một góc @. Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.

Hướng dẫn
— Website chuyén dé — tài liệu file word