Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File word
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (914.83 KB, 36 trang )
CHUYÊN ĐỀ 10 - SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Số phức và các phép toán
Tập hợp số phức £ , đơn vị ảo i với i 2 1 .
- Số phức (dạng đại số): z a bi a, b ¡
a là phần thực, b là phần ảo của z. Kí hiệu Re z a, lm z b .
- Số phức liên hiệp của số phức: z a bi, a, b ¡
là z a bi
z là số thực phần ảo của z bằng 0 z z
z là số ảo phần thực của z bằng 0 z z
z 0 là số phức duy nhất vừa là số thực vừa là số ảo.
- Môđun của số phức: z a bi, a, b ¡
z a 2 b2 zz
- Phép toán:
a bi a ' b ' i a a ' b b ' i
a bi a ' b ' i a a ' b b ' i
a bi a ' b ' i aa ' bb ' ab ' ba ' i
z 0 : z 1
( a, b, a ', b ' ¡ )
1
1
z'
z'z z'z
2 z; z '.z 1 2
.
z z
z
zz
z
Chú ý:
1) i 4 m 1; i 4 m1 i; i 4 m2 1; i 4 m3 1 .
2) z z; z z ' z z '; zz ' z.z '
z'
z' z' z'
.
,
z
z z z
3) zz ' z . z ' ; z z 2 ;
2
Số phức dạng lượng giác
- Cho số phức: z a bi với a, b ¡ , z 0 , ta có r cos i sin với r 0 là
dạng lượng giác của số phức: z a bi r a 2 b 2 ,cos
a
b
,sin
r
r
là một acgumen của z với số đo rađian.
Trang 1
Góc lượng giác Ox, OM k 2 tức là các acgumen sai khác k 2 với k
i 3 cos 12 i.sin 12
1 i
z.
Khi z 0 không có dạng lượng giác hoặc dạng lượng giác không xác định.
- Nếu z r cos i sin , z ' r ' cos ' i sin ' thì có:
zz ' rr ' cos ' i sin '
z r
cos ' i sin ' , z ' 0
z' r'
Công thức Moa-vrơ
Với n là số nguyên, n 1 thì r cos i sin r n cos n i sin n
n
Đặc biệt: cos i sin cos n i sin n
n
Căn bậc hai, bậc n của số phức
- Số phức z là một căn bậc hai của số phức w z 2 w .
Ta có thể viết số phức w cần tìm thành dạng bình phương đủ, việc này thu gọn quá trình tìm căn bậc hai
của w .
- Số phức z là một căn bậc n của số phức w z n w .
Đặc biệt căn của đơn vị: cos i sin 1
n
cos n i sin n cos0 i sin 0
k 2
, k 0,1, 2,..., n 1
n
Do đó phương trình z n 1 có n nghiệm phức (là các căn bậc n của đơn vị)
zk cos
k 2
k 2
i sin
, k 0,1, 2,..., n 1
n
n
Kết quả tổng của các căn của đơn vị bằng 0.
Phương trình bậc hai, bậc n
Phương trình bậc hai Az 2 Bz C 0 với A 0, B, C là các số phức. Lập biệt thức: B2 4 AC
Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép z
B
2A
Nếu 0 ta tìm các căn bậc hai của thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt z1,2
B
.
2A
Định lý Viet: Nếu và là hai nghiệm của phương trình bậc hai:
Trang 2
Ax2 Bx C 0 thì: S
B
C
và P .
A
A
Đảo lại, hai số phức và là các nghiệm của phương trình bậc hai:
x 2 x . 0
- Phương trình bậc n: A0 z n A1z n1 ... An1z An 0 trong đó A0 , A1 ,..., An là n 1 số phức cho trước,
A0 0 , n là một số nguyên dương luôn có n nghiệm phức, không nhất thiết phân biệt.
Hệ phương trình
- Dùng các biến đổi tích số, rút thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ… như trong hệ phương trình đại số để giải.
- Đặt z x yi, x, y ¡
và
z ' x ' y ' i , x ', y ' ¡
rồi thế vào hệ, đồng nhất để tìm
x, y, x ', y ' .
Biểu diễn số phức:
- Biểu diễn hình học:
Số phức z x yi, x, y ¡
được
biểu diễn bởi điểm M x; y hay bởi vectơ
4i
x; y trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi là mặt phẳng phức. Trục thực là trục
i 1
hoành và trục ảo là trục tung.
uuuur uuuur
- Nếu z, z ' biểu diễn bởi M , M ' thì z z ' được biểu diễn bởi OM OM ', z z ' được biểu diễn bởi
uuuur uuuur uuuuuur
OM OM ' M ' M .
Tập điểm biểu diễn số phức:
- Gọi điểm M x; y biểu diễn số phức z x yi x, y ¡
- Từ điều kiện cho thiết lập quan hệ giữa x và y hay quanh hệ giữa M và các điểm khác để xác định dạng loại tập
điểm cần tìm.
2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 10.1: Thực hiện các phép tính sau:
1
10
1 i
A
1 i 2 3i 2 3i
i
1 i
33
B 1 1 i 1 i 1 i ... 1 i
2
3
20
Hướng dẫn giải
1 i 1 i 1 i 2 2i 1 1 2i
i
Ta có:
1 i 1 i2
11
2
2
Trang 3
2
1 i
2
33
2 16
Nên:
i i .i i . Và 1 i 1 i 2i 2i
1 i
33
Nên 1 i 2i 32i . Từ đó tính được C 13 32i
10
5
1 1 i
1 1 i
1 q 21
Ta có D u1.
1.
1 q
1 1 i
i
21
mà 1 i 1 i .1 i
21
20
21
1 i 2i
10
1 i .210 210 i.210
Vậy: D
1 210 i.210
i
210 210 1 .i
Bài toán 10.2: Cho số phức z thỏa mãn:
a)
z 1
z i
z 3 . Tính
z2
z 2i
b) z
4
i . Tính 1 1 i z
z 1
Hướng dẫn giải
a) Ta có
z 1
z 3 z 1 z 3 z 2 , z 2
z2
z 2 i
z2 4z 5 0
z 2 i
Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên
đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Với z 2 i,
z i 2 2i 2 10
z i
2 26
i
13
z 2i 2 3i 13 13
z 2i
Với z 2 i,
z i
2
4 2
z i
2 5
i
5
z 2i 2 i 5 5
z 2i
b) Đặt z a bi, a, b ¡
Trang 4
4
i a 2 b 2 a 4 bi b a 1 i
z 1
Ta có: z
a 2 b 2 a 4 b
a 1, b 2
a 2, b 1
b a 1
Với a 1, b 2 , thì 1 1 i z 1 1 i 1 2i 3i 3
Với a 2, b 1 , thì 1 1 i z 1 1 i 2 i 3i 3 .
Bài toán 10.3: Cho số phức z. Hỏi mỗi số sau là số thực hay số ảo
a) z 2 z
zz
2
b)
z3 z
3
Hướng dẫn giải
Ta tính các số phức liên hiệp:
a) z 2 z
b)
2
zz
2
zz
z3 z
3
2
z z 2 z 2 z . Vậy z 2 z
3
z z3
zz
z3 z
3
. Vậy
2
là số thực.
zz
z3 z
3
là số ảo.
Bài toán 10.4: Tìm các căn bậc hai của số phức
a) 1 4 3i
b) 17 20 2i
Hướng dẫn giải
a) x, y ¡ . Giả sử: x yi 1 4 3i
2
x 2 y 2 1 2 xy 2 3 i 0
2 12
x 2 1 x2 4
x y 1
x
3
2 xy 4 3
y 2 3
y
x
x
2
2
Từ đó có 2 căn bậc hai là: z1 2 3i, z2 2 3i
b) x, y ¡ . Giả sử: x yi 17 20 2i
2
x 2 y 2 17 2 xy 10 2 i 0
Trang 5
2
2
x 5, y 2 2
x y 17 0
x 5, y 2 2
xy 10 2 0
Vậy có hai căn bậc hai là 5 2 2i, 5 2 2i .
Bài toán 10.5: Tìm các căn bậc hai của w a bi a, b ¡
.
Hướng dẫn giải
Gọi z x yi, x, y ¢ là căn bậc hai của w a bi a, b ¡
x2 y 2 a
2
x yi x 2 y 2 2 xyi a bi
*
2
xy
b
x2 y 2 a
x2 y 2 a
2
2
4 x 2 y 2 b 2 x 2 y 2 x 2 y 2 b 2
xyb 0
xyb 0
2
a 2 b2 a
x
2
x2 y 2 a
2
a 2 b2 a
2
2
2
2
x y a b y
2
xyb 0
xyb 0
Vậy các căn bậc hai cần tìm của w a bi là:
Hay
a 2 b2 a
i
2
a 2 b2 a
i
2
a 2 b 2 a
2
a 2 b 2 a
2
Bài toán 10.6: Tìm các căn bậc ba của số phức
khi b 0
khi b 0
1 i
.
2
Hướng dẫn giải
Đặt z x iy, x, y ¡ là căn bậc ba của
x3 3xy 2 i 3x 2 y y 3
1 i 3 1 i
:z
2
2
1 i
2
Trang 6
3
2
x 3xy
3x 2 y y 3
1
x y x 2 y 2 4 xy 2
2
2
2
1
x y x y 4 xy 0
2
- Xét x y 0 y x nên x3 3x3
1
2
3
1 1
1
x
.
x
2 2 2
2
3
1 i
1
. Ta có được: z1
.
2
2
Do đó: y
- Xét x 2 y 2 4 xy 0 .
2
x y x y 2 6 xy 2
x y
2
Ta có hệ:
2
x y 2 xy 0
xy 1
4
Từ đó có 3 căn bậc ba là: z1
i 2
2 3 1
z3
4
2 3 1
2 3 1
1 i
; z2
i
4
4
2
3 1
4
Bài toán 10.7: Tìm số phức z thỏa mãn từng trường hợp:
a) z.z 3 z z 4 3i .
b) z 5 và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.
Hướng dẫn giải
a) Đặt z x iy, x, y ¡
Ta có: z.z 3 z z x 2 y 2 3.2iy x 2 y 2 6 yi
15
x
x y 4
2
Do đó: z.z 3 z z 4 3i
6 y 3
y 1
2
Vậy z
2
2
15 i
15 i
hoặc z
.
2
2
2
2
Trang 7
z 5
a 2 b2 5
b) Giả sử z a bi, a, b ¡ . Ta có:
a 2b
a 2b
a 2 5
a 2b
a 2 5
hay
b 5
b 5
b 5
Vậy có hai số phức cần tìm: z 2 5 i 5, z 2 5 i 5 .
Bài toán 10.8: Tìm số phức z thỏa mãn từng trường hợp:
a) z z 1 i 5 và có 2 z i z là số ảo.
b) z i z 2 2 z 3i .
2
2
2
Hướng dẫn giải
a) Đặt z x yi, x, y ¡ . Khi đó: z z 1 i 5
3
y
2
2
1 2 y 1 i 5 1 2 y 1 5
y 1
2
mà: 2 z i z 2 x yi x 1 y i
x 2 x y 1 y 2 x 1 y xy i
nên 2 z i z là số ảo khi phần thực: x 2 x y 1 y 0
1
x
3
3
2
Với y , ta có x 2 2 x 0
2
4
x 3
2
1
x
1
3
2
Với y , ta có x 2 2 x 0
2
4
x 3
2
Vậy z
1 3
3 3
1 1
3 1
i, z i , z i , z i .
2 2
2 2
2 2
2 2
b) Đặt z x yi x, y ¡ . Khi đó: z 1 z 2 2 z 3i
2
2
2
Trang 8
x y 1 i x 2 yi 2 x y 3 i
2
2
2
x 2 y 1 2 x y 1 i x 2 y 2 2 x 2 2 y 3 4 x y 3 i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x y 1 x 2 y 2 x 2 y 3
2 x y 1 4 x y 3
2
2
2
2
2
2
x y 1 x 2 y 2 x 2 y 3
2 x 3 y 7 0
Đăng ký mua file word trọn
bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
7
7
y
y
x
0
3
3
2
hay
2 y 10 y 21 0 0
497 4 x
x 497
9
36
Vậy z
497 7
i.
36 3
Bài toán 10.9: Viết dưới dạng lượng giác các số phức:
a) 1 i 3 1 i
b)
1 i 3
1 i
Hướng dẫn giải
i sin ,1 i 2 cos i sin
4
4
3
3
a) 1 i 3 2 cos
nên 1 i 3 1 i 2 2 cos i sin
3 4
3 4
2 2 cos i sin
12
12
Trang 9
b)
1 i 3
2
cos i sin
1 i
2 3 4
3 4
7
7
2 cos
i sin
12
12
Bài toán 10.10: Tìm acgumen của số phức
a) z 1
2 1 i
b) z 2 3 i
Hướng dẫn giải
a) Ta có: z 1
1
2 1
2 1 i 2 2 2
i
2. 2 2
2. 2 2
2 2
2 2
2. 2 2
i
2
2
1 cos 2a
1 cos 2a
, sin 2 a
2
2
Dùng công thức hạ bậc: cos 2 a
Ta tính được: cos
8
2 2
2 2
và sin
8
2
2
Vậy acgumen của số phức là
8
2k , k ¢
b) Biểu diễn hình học số phức z 2 3 i thì số phức z tương ứng với điểm A 2 3,1 . Đặt ·
AOH .
ta có tan
sin 2
AH
1
2 3
OH 2 3
2 2 3
2 tan
1 tan 2 1 2 3
2
22 3 1
3
42 3 2
2 2 3
84
Tương tự cos 2
Suy ra: 2
6
1 tan 2
3
.
2
1 tan
2
2l
12
l . Chọn
12
k 2 .
Trang 10
Vậy acgumen của z 2 3 i bằng
12
k 2 k ¢ .
Bài toán 10.11: Viết dưới dạng lượng giác của các số phức
a)
1 cos i sin
1 cos i sin
b) 1 cos i sin 1 cos i sin
Hướng dẫn giải
a)
1 cos i sin 1 cos i sin
1 cos i sin
1 cos i sin
2sin 2
2cos
- Khi tan
- Khi tan
- Khi tan
b)
2
2
2
2
i.sin
i.sin
2
2
cos
cos
sin i cos
2 tan
2
2 i.tan
2
2
2
cos
0 dạng lượng giác là: tan
2
i.sin
2
cos i sin
2 2
2
0 dạng lượng giác là: tan cos i sin
2
2
2
2
2
0 thì không có dạng lượng giác.
1 cos i sin 1 cos i sin
2sin sin i cos .2cos cos i sin
2
2
2
2
2
2
2sin cos i sin
2
2
- Khi sin 0 : nó có dạng lượng giác không xác định.
- Khi sin 0 : dạng lượng giác là 2sin cos i sin
2
2
- Khi sin 0 : dạng lượng giác là 2sin cos
i sin
2
2
Bài toán 10.12: Viết số phức z dưới dạng lượng giác biết rằng z 1 z 3i và i z có một acgumen là
.
6
Hướng dẫn giải
Đặt z r cos i sin , r 0, ¡ thì: z r cos i sin
Trang 11
iz r sin i cos r cos sin
2
2
Theo giả thiết ta có
2
Khi đó z 1 z 3i
6
3
r
3r
r
r
1
i 3 1
2
2
2
2
2
2
2
2
r2
r 3r
r
r
1
3 1 r 2 4 1 r 1
4
4
2
2
2
Vậy z cos
i sin
3
3
.
i
Bài toán 10.13: Tính: a)
1 i
2016
1000
5 3i 3
b)
1 2i 3
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
i
1 i
1
cos i sin
1 i
2
4
4
2
i
1 i
2016
1
2016
2016
i.sin
cos
2
4
4
b)
1008
1
cos3 i.sin 3
1008
2
1
21008
5 3i 3 1 2i 3
5 3i 3
13 13i 3
2
2
1 i 3 2 cos
i.sin
1 12
13
3
3
1 2i 3
1000
5 3i 3
1 2i 3
2000
2000
21000 cos
i sin
3
3
2
2
21000 cos
i sin
3
3
1000 1 3
2 i
2
2
Bài toán 10.14: Tìm các căn bậc hai của các số phức:
b) z 1 i 3
a) z 2 i 2 3
Hướng dẫn giải
1
3
2
2
i
i sin
4 cos
2
3
3
2
a) Ta có: z 2 i 2 3 4
Trang 12
Vậy z có hai căn bậc hai là: z1 2 cos
3
i sin
1 i 3 và
3
z2 2 cos i sin 2 cos i sin
3
3
3
3
4
4
2 cos
i sin
3
3
1
b) Ta có: z 1 i 3 2
2
1 i 3
3
5
5
i sin
2 cos
2
3
3
i
Vậy z có hai căn bậc hai là: z1
6
2
6
2
i , z2
i.
2
2
2
2
Bài toán 10.15: Tìm số phức z thỏa mãn:
a) 1 2z i z và
z3
có một acgumen bằng .
z 3
4
b) 2 z i 2 z z và
1 3i
2
có một acgumen là
.
z
3
Hướng dẫn giải
a) Đặt z x yi x, y ¡
Khi đó 1 2 x i 2 z 2 x 1 yi 2 x y 1 i
2 x 1 y 2 2 x y 1 2 x y
2
Và:
2
z 3 x 3 yi x 3 yi x 3 yi
2
z 3 x 3 yi
x 3 y 2
Vì
2
x2 9 y 2
x 3
2
y
2
6 y
x 3
2
y2
i
z3
có một acgumen bằng
nên
z 3
4
z 3
r
r
r cos i sin
, i, r 0
z 3
4
4
2
2
Trang 13
x2 9 y 2
r
2
2
2
y 0
x 3 y
Do đó
2
2
6 y
r
x 9 y 6 y
,
r
0
x 3 2 y 2 2
2 x y 0
x 3
. Vậy z 3 6i .
y 6
5 x 12 9 0
Nên ta có
2
b) Giả sử z r cos i sin , r 0 .
1
Ta có 1 3i 2
2
nên
3
i 2 cos
i sin
2
3
3
1 3i 2
cos i sin
z
r
3
3
Theo giả thiết
3
r
3r
2
i
. Do đó z
2
2
3
3
Theo giả thiết 2 z i 2 z z r
r2
3r 2
2
4
3r
2
3r 2 i 2 3ri
r 2 4 3r 0
r 4 3 , vì r 0 . Vậy z 2 3 6i .
Bài toán 10.16: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện sau
a) z 1
b)
zz
3 , hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
2
1 i z 2
1 i
3 , hãy tìm số phức có môđun lớn nhất.
Hướng dẫn giải
a) Đặt z x yi x, y ¡
Khi đó z 1
zz
3 x 1 yi x 3
2
x 1 y 2 x 3 y 2 4 x 8
2
Ta có z
2
x2 y 2 x2 4x 8
x 2
2
4 2
Dấu = xảy ra khi x 2 y 0 . Vậy số phức z 2 .
Trang 14
b) Đặt z x yi x, y ¡
1 i z 2
1 i
. Ta có
3 i x yi 2 3
2 y xi 3 x 2 y 2 3
2
2
2
x y2
1
3 3
Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề
khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Đặt x 3 sin , y 3 cos thì tìm được z
lớn nhất khi z 2 3 i và z nhỏ nhất khi
z 2 3 i.
Bài toán 10.17: Xét các số phức z1 6 i 2; z2 2 2i, z3
Viết z1 , z2 , z3 dưới dạng lượng giác, suy ra cos
z1
.
z2
7
7
và sin
12
12
Hướng dẫn giải
Ta có z1 2
3 1 2 2 cos i sin
6
6
3
z2 2 1 i 2 2 cos
4
z3
z1
3
cos
z2
4
6
3
i sin
4
3
i sin
6 4
7
7
i sin
cos
12
12
Mặt khác:
z1
6 i 2
z2
2 2i
6 i 2 2 2i
8
6 2
6 2
i
4
4
Trang 15
So sánh đồng nhất với kết quả trên, suy ra:
cos
7 6 2
7
6 2
.
,sin
12
4
12
4
Bài toán 10.18: Cho a, b, c là ba số thực sao cho cos a.cos b.cos c 0 .
Tìm phần ảo của số phức 1 i tan a 1 i tan b 1 i tan c ,
suy ra tan a tan b tan c tan a.tan b.tan c a b c k k ¢ .
Hướng dẫn giải
Từ khai triển của 1 i tan a . 1 i tan b . 1 i tan c thì phần ảo của số phức
1 i tan a 1 i tan b 1 i tan c bằng tan a tan b tan c tan a.tan b.tan c
Vậy tan a tan b tan c tan a.tan b.tan c khi và chỉ khi phần ảo của số phức đang xét bằng 0, tức là
acgumen của số phức đó là một bội nguyên của .
Mặt khác, 1 i tan a
1
. cos i sin có acgumen là a l với l là số nguyên bất kì
cos a
Tương tự cho 1 i tan b,1 i tan c
Do đó: 1 i tan a 1 i tan b 1 i tan c có acgumen là a b c l
Vậy: tan a tan b tan c tan a.tan b.tan c a b c k k ¢ .
Bài toán 10.19: Giải các phương trình nghiệm phức:
a) 2ix2 3x 4 i 0
b) z 2 cos i sin z i sin cos 0
Hướng dẫn giải
a) 9 8i 4 i 9 32i 8i 2 17 32i
Ta tìm các căn bậc hai a bi, a, b ¡ của a bi 17 32i
2
2 256
a a 2 17
a b 17
2ab 32
b 16
a
2
2
Từ đó, phương trình cho có 2 nghiệm phức:
1
4
1313 17 1
3
2
4
1313 17
i ;
2
Trang 16
1313 17 1
3
2
4
1
4
1313 17
i
2
b) cos i sin 4i sin cos
2
cos2 i sin 2i.sin cos cos i sin
2
2
Nên có hai căn bậc hai là cos i sin
Vậy phương trình có 2 nghiệm: z1 cos , z2 i sin
Bài toán 10.20: Giải các phương trình nghiệm phức
b) x i 2 x 2 2 i x 7i 1 0
a) x3 8 0
Hướng dẫn giải
a) Ta có: x3 8 0 x 2 x 2 2 x 4 0 x 2 hay x2 2 x 4 0
Phương trình bậc hai có ' 1 4 3 3i 2 nên có các căn bậc hai là i 3 . Vậy phương trình đã cho có
3 nghiệm: x 2; x 1 i 3
b)
x i 2 x2 2 i x 7i 1 0 x 2 i hoặc
x 2 2 i x 7i 1 0
Phương trình bậc hai có biệt thức
2 i 4 7i 1 7 24i 4 3i nên có các căn bậc hai là 4 3i .
2
2
Từ đó giải cho 2 nghiệm x 3 i, x 1 2i
Vậy phương trình cho có 3 nghiệm: x 2 i, x 3 i, x 1 2i
Bài toán 10.21: Giải phương trình nghiệm phức:
a) z 4 2 z 3 z 2 4 z 4 0
b) z 3 3 i z 2 3 4i z 1 mi 0 biết 1 nghiệm z i .
Hướng dẫn giải
a) Ta có z 0 không là nghiệm của phương trình, chia z 2 ta được:
2
4 4
2
2
z 2z 1 2 0 z 2 z 3 0
z z
z
z
2
2
z
1
1
7
z2 z 2 0
z
i
z
2
2
2
z 2 3
z 3z 2 0
z 1; z 2
z
Trang 17
Vậy nghiệm của phương trình là z 1; z 2; z
1
7
i.
2 2
b) Thay z i vào phương trình ta có m 3 .
Khi đó PT: z 3 3 i z 2 3 4i z 1 3i 0
z i z 2 3z 3 i 0 z i hoặc z 2 3z 3 i 0
Giải phương trình bậc hai
Ta có : 9 4 3 i 3 4i 1 2i
2
Suy ra z 2 i, z 1 i
Vậy 3 nghiệm của phương trình là z i, z 2 i, z 1 i
Bài toán 10.22: Giải các phương trình nghiệm phức:
iz 3
iz 3
b)
40
3
z 2i
z 2i
2
a) z 3 i 6 z 3 i 13 0
2
Hướng dẫn giải
a) Đặt z 3 i w thì phương trình trở thành w2 6w 13 0 .
Biệt thức 36 52 16 nên w
6 4i
3 2i
2
do đó z 3 i 3 2i hay z i 2i
Vậy z 3i và z i là các nghiệm cần tìm.
b) Đặt
iz 3
w thì phương trình: w2 3w 4 0
z 2i
Biệt thức 9 16 25 nên w
Với w 1, ta có
Với w 4 , ta có
35
suy ra w 1 hay w 4
2
iz 3
1 5i
1 z
z 2i
2
iz 3
4 35i
4 z
z 2i
17
Bài toán 10.23: Giải các phương trình và biểu diễn tập nghiệm:
b) 8z 4 8z 3 z 1
a) z 4 16 0
Hướng dẫn giải
a) Ta có z 4 16 0 z 2 4 z 2 4 0
Trang 18
z 2 z 2 z 2 4 0 z1,2 2 hay z3,4 2i
Vậy phương trình có 4 nghiệm được biểu diễn bởi 4 điểm A, B, C, D tạo thành hình vuông ở hình 1.
2 z 1 0
b) 8 z 4 8 z 3 z 1 z 1 8 z 3 1 0
z 1 2 z 1 4 z 2
z 1 2 z 1 0 hay 4 z 2 2 z 1 0
Nghiệm của z 1 0 là z1 1 , nghiệm của 2 z 1 0 là z2
1
2
2
1
3
1
3
1 3
i . Vậy phương
i và z4
Nghiệm của 4 z 2 z 1 0 2 z 0 là z3
4 4
4 4
2 4
2
trình đã cho có bốn nghiệm được biểu diễn bởi 4 điểm A, B, C, D tạo thành hình thoi ở hình 2.
Bài toán 10.24: Giải phương trình nghiệm phức: z 1 z 1 0, n ¥ * .
n
n
Hướng dẫn giải
Phương trình tương đương: z 1 z 1 ,
n
n
z 1
vì z 1 không thể là nghiệm, do đó ta có thể viết:
1
z 1
n
Gọi 0 , 1 ,..., n1 là các căn số bậc n của 1:
m cos
2m
2m
i sin
n
n
Phương trình trên trở thành:
z 1
m với m 0,1,..., n 1
z 1
z 1 m z 1 với m 0,1,..., n 1
z
1 m
m
với m 1, 2,..., n 1 z cot
i
n
1 m
Trang 19
(Vì m 0 0 1 z không xác định nên ta loại bỏ 0 )
Vậy phương trình có n 1 nghiệm: z i cot
m
với m 1,2,..., n 1.
n
Đăng ký mua file word trọn
bộ chuyên đề khối 10,11,12:
Bài toán 10.25: Giải các hệ phương trình nghiệm phức:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
z 3 w5 0
b)
4
2
z
w
1
z w 4 i
a) 3
3
z w 7 28i
1
2
Hướng dẫn giải
a) Ta có z w 4 i
Và z 3 w3 7 28i z w z w 3zw 7 28i
4 i
2
3zw
2
7 28i
zw 5 5i
4i
Vì z w 4 i nên w 4 i z .
Thế vào thì có phương trình z 2 4 i z 5 5i 0
Ta có: 5 12i 2 3i . Suy ra z 3 i hoặc z 1 2i
2
Vậy z, w 3 i;1 2i , z; w 1 2i;3 i
b) Từ (2) suy ra z 6 w
Do đó: w10 w
12
Suy ra z 6 w
10
12
1 . Từ (1) suy ra z 6 w10
1 nên w
22
1 tức là w 1
1 tức là z 1 . Từ w
1
và w10 w
w
12
1 suy ra w
2
1 nên w bằng 1 hoặc bằng
−1.
Từ w
2
1 và (2) suy ra z 2 1 tức z bằng 1 hoặc bằng −1.
Trang 20
Mà (1): z 3 w5 0 nên: z 1 w 1 và z 1 w 1.
Vậy hệ có hai nghiệm z, w là: 1; 1 và 1;1
Bài toán 10.26: Giải hệ phương trình:
b)
x iy 2 z 10
a) x y 2iz 20
ix 3iy 1 i z 30
z 1
1
z i
z 3i
1
2i
Hướng dẫn giải
x iy 2 z 10
x iy 2 z 10
a) Ta có: x y 2iz 20
x y 2iz 20
ix 3iy 1 i z 30
x 3 y i 1 z 30i
i 1 y 2 1 i z 10
4 y 1 i z 20 30i
Khử x ta có hệ:
x 3 11i
Từ đó có x 3 11i . Vậy hệ có nghiệm: y 3 9i
z 1 7i
b) Ngoài cách giải đại số, bằng cách viết z x yi, x, y ¡
rồi tính toán. Ta có cách giải hình học biểu
diễn như sau:
Ta có tập hợp các điểm M của mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn
z z0
1 z z0 z z1
z z1
là đường trung trực của đoạn thẳng A0 A1 với A0 , A1 theo thứ tự biểu diễn số phức z0 , z1 .
Do đó
z 1
1 nên điểm M biểu diễn số z x yi, với x, y ¡ phải nằm trên đường phân giác y x .
z i
Còn điều kiện
z 3i
1 chứng tỏ phần ảo của z bằng 1. Vậy z 1 i .
z i
Bài toán 10.27: Không giải phương trình z 2 2 i z 3 5i 0 . Hãy tính: z12 z22 , z14 z24 .
Hướng dẫn giải
Theo hệ thức Viet ta có: S z1 z2 2 i, P z1z2 3 5i
Do đó z12 z22 S 2 2P 2 i 2 3 5i 3 14i
2
z14 z24 z12 z22 2 z12 z22 3 14i 2 3 5i
2
2
2
Trang 21
155 24i
Bài toán 10.27: Cho các số phức z1 , z2 thõa mãn điều kiện
2
4
z z
z1 z2 z1 z2 0 . Tính T 1 2 .
z2 z1
Hướng dẫn giải
Đặt
z1
w ta được z2 w z2 z2 w z2 0
z2
Hay w 1 w 1
Giả sử w a bi a, b ¡
Khi đó ta có a 1 b 2 a 2 b 2 1 a
2
- Với w
1
3
,b
2
2
1
3
i cos i sin
2 2
3
3
4
4
4
4
1
thì w cos
và cos
i sin
i sin
3
3
3
3
w
4
4
2
4
z z
4
1
Do đó T 1 2 w4 2cos
1
3
w
z2 z1
4
2
4
z z
1
3
1
i , tương tự T 1 2 w4 1.
- Với w
2 2
w
z2 z1
4
Bài toán 10.29: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều
kiện sau:
a) z 2 3i 4
b)
z i
1
z i
Hướng dẫn giải
a) Giả sử: z x yi, x, y ¡
,
Ta có: z 2 3i 4 x 2 y 3 i 4
2
x 2 y 3 16
2
2
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 2;3 , bán kính R 4 .
b) Giả sử: z x yi, x, y ¡
, ta có:
Trang 22
z i
1 z i z i x y 1 i x y 1 i
z i
x 2 y 1 x 2 y 1 y 0
2
2
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là trục thực Ox.
Bài toán 10.30: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn từng điều kiện:
b) z 2 z z
a) 2 z i z z 2i
2
4
Hướng dẫn giải
a) Gọi z x yi, x, y ¡ . Ta có: 2 z i z z 2i
2 x y 1 i 2 y 1 i x 2 y 1 y 1
2
y
2
x2
x2
. Vậy tập hợp cần tìm là parabol y
4
4
b) Gọi z x yi, x, y ¡ . Ta có: z 2 z
2
4 4 xyi 4
xy 1 xy 1 hoặc xy 1 .
Vậy tập hợp cần tìm là hai hyperbol y
1
1
và y .
x
x
Bài toán 10.31: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều
kiện sau:
a) z là các căn bậc hai của a i, a thay đổi
b)
z2
có một acgumen bằng
.
z2
3
Hướng dẫn giải
a) Viết z x yi x, y ¡
thì
1
2
2
y
x
y
a
z2 a i
2x
2
2 xy 1
x y2 a
Do đó, điểm M biểu diễn z phải thuộc hyperbol y
1
. Vì với mỗi điểm x, y của hyperbol này, tìm
2x
được a x 2 y 2 nên M vạch nên toàn bộ hai nhánh của hyperbol đó.
Trang 23
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn căn bậc hai là hyperbol y
z 2 z 2 z 2 zz 4 2 z z
.
2
z2 z2 z2
z2
b) Ta có số phức
1
.
2x
khi và chỉ khi
3
có một acgumen bằng
zz 4 2 z z l 1 i 3 , l là số thực dương.
Viết z x yi x, y ¡
thì:
z.z 4 2 z z x 2 y 2 4 4 yi nên zz 4 2 z z l 1 i 3 ,
( l 0 ).
x2 y 2 4 4 yi l l 3i l 0
2
2
x y 4 l l 0
4 y x 2 y 2 4 3, y 0
4 y l 3
Mà: 4 y x 2 y 2 4
3
2
2 16
x y
3 0
3
2
Vậy M chạy trên cung tròn có tâm là điểm biểu diễn
2
4
i và có bán kính bằng
nằm ở phía trên trục
3
3
thực.
Bài toán 10.32: Chứng minh rằng:
w z
a) Nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì
b) Nếu z1 khác z2 : z1 z2 khi và chỉ khi
z1 z2
là số ảo.
z1 z2
Hướng dẫn giải
a) Nếu z là một căn bậc hai của w thì z 2 w
Nên z 2 z w . Vậy: z
2
b) Với điều kiện z1 z2 ,
z
2
w
z1 z2
z z2 z1 z2
là số ảo 1
z1 z2
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 0
2 z1 z1 z2 z2 0 z1 z2
Bài toán 10.33: Tìm số nguyên dương n:
Trang 24
a) z n là số thực, số ảo với số phức z 3 i
n
n 2
3 i
5i
b) Nhỏ nhất sao cho z1
là số thực và z2
là số ảo.
2 3i
1 3i
Hướng dẫn giải
a) Ta có: z 3 i 2 cos
6
i sin
6
Áp dụng công thức Moivre thì z n 2n cos
z n là số thực
n
k n 6k , k ¥ *
6
n
n
i sin
6
6
Đăng ký mua file word trọn bộ
chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
z n là số ảo
b) Ta có:
n
2k 1 n 3 2k 1 , k ¥
6
2
3 i
3 1
i cos i sin
2 2
6
6
1 3i
n
n
3 i
n
n
i sin
nên z1
cos i sin cos
6
6
6
6
1 3i
z1 là số thực sin
n
0 n 6k , với k nguyên dương.
6
5i
5i
1 i 2 cos i sin nên z2
Ta có
2 3i
4
4
2 3i
2 cos i sin
4
4
z2 là số ảo cos
n 2
n 2
4
2
n 2
n 2
n 2 i sin n 2
cos
4
4
0 n 2 4l 2
Trang 25
